Transcript Aula II * O Campo Elétrico
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AULA II – O CAMPO ELÉTRICO
Ao final desta aula você deverá ser capaz de:
Definir o campo elétrico criado por uma partícula carregada;
Calcular o campo elétrico devido a uma partícula na origem;
Calcular o campo elétrico devido a um corpo extenso carregado;
Calcular a força elétrica sobre uma partícula em uma região na qual temos um
campo elétrico;
Calcular o fluxo do campo elétrico por uma superfície;
Utilizar a Lei de Gauss em sua forma integral no cálculo do campo elétrico em
situações de alta simetria.
ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS PROF. PAULO ROSA
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CAMPO ELÉTRICO
Pontos do espaço
Pontos do espaço
Partícula
carregada
Espaço
vazio
Espaço com uma partícula
carregada
Campo Elétrico é um conjunto de propriedades
presentes em cada ponto do espaço decorrentes
da presença de uma partícula com carga elétrica
estar localizada em um determinado ponto.
O Campo Elétrico não é um lugar, mas é em um
lugar.
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FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA
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DETECTANDO O CAMPO ELÉTRICO
z
F(r)
Força sobre
a partícula
teste
q
Partícula
teste
q é chamada partícula de teste: não pode
interferir na distribuição que cria o campo;
r
y
x
A partícula de teste é, por definição, positiva.
Partícula fonte do
Campo Elétrico.
O campo tem a direção e o
sentido da força elétrica
experimentada pela
partícula.
ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM
FÍSICA/UFMS - PROF. PAULO ROSA
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CAMPO ELETROSTÁTICO
Interpretação do conceito de campo: ao invés de falarmos da
força sobre uma partícula podemos falar sobre a força por
unidade de carga da partícula ⇒ campo.
Se dividirmos a força sobre a partícula pela quantidade de carga
Fentão o
1 campo
q ( rna
') região da partícula será dado
desta
E ( r ) partícula,
li m
( r r ') q
: p a r t í c u la d e t e s t e
q
4
| r r ' |
por (q+ é chamada de partícula de teste):
z
q 0
3
0
Partícula
E (r )
li m
q 0
F
q
1
4
0
d
3
r '
( r ')
| r r ' |
3
( r r ')
E(r)
Distribuição
contínua de
matéria
r
O campo não depende da partícula na posição r.
Ele é uma propriedade do espaço na posição r,
quer haja ou não uma partícula nesta posição.
y
x
Partícula fonte do
Campo Elétrico.
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PAULO ROSA
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LINHAS DE FORÇA
Uma forma de representar o campo elétrico é usando linhas de força.
Para traçá-las, devemos desenhar a linha tangente ao campo elétrico em cada ponto do espaço.
Convenção: as linhas de força são mais
próximas nas regiões nas quais o módulo
do campo elétrico é maior.
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EXEMPLOS DE LINHAS DE FORÇA
Cargas isoladas
Dipolo
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FLUXO DE UM FLUIDO
Em um fluido:
V
t
Avt
t
Av
O fluxo de um fluído por uma superfície é o
volume de fluído que atravessa esta superfície
por unidade de tempo.
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FLUXO DE UMA CAMPO VETORIAL A
A
Linhas que entram e
saem no volume limitado
por S.
Linhas que somente saem do
volume limitado por S
Linhas que somente entram
no volume limitado por S.
Superfície S
n
A
da
A .n da
S
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LEI DE GAUSS
O objetivo é o cálculo do fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada.
Etapa 1: calcular o fluxo para uma calota recortada
sobre uma superfície esférica.
Estratégia:
Etapa 2: mostrar que o fluxo é o mesmo entre duas
calotas de uma mesma superfície esférica que
delimitam o mesmo ângulo sólido.
Etapa 3: mostrar que o resultado que vale para a
superfície esférica é válido para qualquer outra
superfície.
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INTERMEZZO: DEFINIÇÃO DE ÂNGULO E ÂNGULO
SÓLIDO
S
θ
r
Circunferência
Ω
C
r
Esfera
C
r
S
r
2
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LEI DE GAUSS: SUPERFÍCIE ESFÉRICA, CARGA FORA
DA SUPERFÍCIE
O que acontece com a componente do campo normal à superfície?
Hipótese:
n
q
E2
E1
n
da1
da2
d
Os elementos de área da são tão
pequenos que o campo pode ser
considerado constante.
Observe
1 que:
E
E 1 da1 E 2 da 2
2
da r
r
2
Portanto:
E .n da 0
S
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LEI DE GAUSS: SUPERFÍCIE ESFÉRICA CARGA
DENTRO DA SUPERFÍCIE
O que acontece com a componente do campo normal à superfície?
E
da
E .n d a
n
q
da
4
r
0
2
r
da
d
r
E .n d a
q
4 0
2
d
d
Integrando sobre S:
E .n
da
S
E .n
S
S
da
q
4
d
0
q
4
0
S
d
q
4
4
0
q
0
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LEI E GAUSS, CASO GERAL
da
E
n
Truque: tomamos uma
superfície esférica tão pequena
quanto quisermos em torno da
carga!
r
d
Então:
S
q
E .n d a 0
0
Como é o mesmo ângulo sólido, o
fluxo é o mesmo!
s e q e s tiv e r n o in te rio r d a s u p e rfíc ie
s e q e s tiv e r fo ra d a s u p e rfíc ie
Lei de Gauss
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LEI DE GAUSS, DISTRIBUIÇÕES DE PARTÍCULAS
CARREGADAS
Para uma distribuição de cargas (pontuais ou uma densidade volumétrica
de carga):
Partículas carregadas
S
E .n
da
i
1
0
qi
0
( r ') d
3
r '
V
Distribuição volumétrica
de partículas
carregadas
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FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS
Para podermos escrever em forma diferencial a lei de Gauss vamos
analisar o teorema da divergência de Gauss para um campo vetorial
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qualquer:
A .n d a .A d x
S
V
V
S
Fluxo de A
Aplicando ao campo elétrico:
q
E .n d a
0
S
E .n d a
S
.E
d
3
1
0
V
3
0
r
1
.E
0
( r ') d
3
r
( r ') d
3
V
1
r
V
.E d
V
1
0
Forma diferencial da Lei
de Gauss
r
V
( r ') d
V
( r ') d
3
r 0
3
r 0
.E
(r )
0
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FIM DA AULA II
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AULA II – O CAMPO ELÉTRICO
Ao final desta aula você deverá ser capaz de:
Definir o campo elétrico criado por uma partícula carregada;
Calcular o campo elétrico devido a uma partícula na origem;
Calcular o campo elétrico devido a um corpo extenso carregado;
Calcular a força elétrica sobre uma partícula em uma região na qual temos um
campo elétrico;
Calcular o fluxo do campo elétrico por uma superfície;
Utilizar a Lei de Gauss em sua forma integral no cálculo do campo elétrico em
situações de alta simetria.
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CAMPO ELÉTRICO
Pontos do espaço
Pontos do espaço
Partícula
carregada
Espaço
vazio
Espaço com uma partícula
carregada
Campo Elétrico é um conjunto de propriedades
presentes em cada ponto do espaço decorrentes
da presença de uma partícula com carga elétrica
estar localizada em um determinado ponto.
O Campo Elétrico não é um lugar, mas é em um
lugar.
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DETECTANDO O CAMPO ELÉTRICO
z
F(r)
Força sobre
a partícula
teste
q
Partícula
teste
q é chamada partícula de teste: não pode
interferir na distribuição que cria o campo;
r
y
x
A partícula de teste é, por definição, positiva.
Partícula fonte do
Campo Elétrico.
O campo tem a direção e o
sentido da força elétrica
experimentada pela
partícula.
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CAMPO ELETROSTÁTICO
Interpretação do conceito de campo: ao invés de falarmos da
força sobre uma partícula podemos falar sobre a força por
unidade de carga da partícula ⇒ campo.
Se dividirmos a força sobre a partícula pela quantidade de carga
Fentão o
1 campo
q ( rna
') região da partícula será dado
desta
E ( r ) partícula,
li m
( r r ') q
: p a r t í c u la d e t e s t e
q
4
| r r ' |
por (q+ é chamada de partícula de teste):
z
q 0
3
0
Partícula
E (r )
li m
q 0
F
q
1
4
0
d
3
r '
( r ')
| r r ' |
3
( r r ')
E(r)
Distribuição
contínua de
matéria
r
O campo não depende da partícula na posição r.
Ele é uma propriedade do espaço na posição r,
quer haja ou não uma partícula nesta posição.
y
x
Partícula fonte do
Campo Elétrico.
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LINHAS DE FORÇA
Uma forma de representar o campo elétrico é usando linhas de força.
Para traçá-las, devemos desenhar a linha tangente ao campo elétrico em cada ponto do espaço.
Convenção: as linhas de força são mais
próximas nas regiões nas quais o módulo
do campo elétrico é maior.
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EXEMPLOS DE LINHAS DE FORÇA
Cargas isoladas
Dipolo
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FLUXO DE UM FLUIDO
Em um fluido:
V
t
Avt
t
Av
O fluxo de um fluído por uma superfície é o
volume de fluído que atravessa esta superfície
por unidade de tempo.
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FLUXO DE UMA CAMPO VETORIAL A
A
Linhas que entram e
saem no volume limitado
por S.
Linhas que somente saem do
volume limitado por S
Linhas que somente entram
no volume limitado por S.
Superfície S
n
A
da
A .n da
S
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LEI DE GAUSS
O objetivo é o cálculo do fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada.
Etapa 1: calcular o fluxo para uma calota recortada
sobre uma superfície esférica.
Estratégia:
Etapa 2: mostrar que o fluxo é o mesmo entre duas
calotas de uma mesma superfície esférica que
delimitam o mesmo ângulo sólido.
Etapa 3: mostrar que o resultado que vale para a
superfície esférica é válido para qualquer outra
superfície.
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INTERMEZZO: DEFINIÇÃO DE ÂNGULO E ÂNGULO
SÓLIDO
S
θ
r
Circunferência
Ω
C
r
Esfera
C
r
S
r
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LEI DE GAUSS: SUPERFÍCIE ESFÉRICA, CARGA FORA
DA SUPERFÍCIE
O que acontece com a componente do campo normal à superfície?
Hipótese:
n
q
E2
E1
n
da1
da2
d
Os elementos de área da são tão
pequenos que o campo pode ser
considerado constante.
Observe
1 que:
E
E 1 da1 E 2 da 2
2
da r
r
2
Portanto:
E .n da 0
S
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LEI DE GAUSS: SUPERFÍCIE ESFÉRICA CARGA
DENTRO DA SUPERFÍCIE
O que acontece com a componente do campo normal à superfície?
E
da
E .n d a
n
q
da
4
r
0
2
r
da
d
r
E .n d a
q
4 0
2
d
d
Integrando sobre S:
E .n
da
S
E .n
S
S
da
q
4
d
0
q
4
0
S
d
q
4
4
0
q
0
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LEI E GAUSS, CASO GERAL
da
E
n
Truque: tomamos uma
superfície esférica tão pequena
quanto quisermos em torno da
carga!
r
d
Então:
S
q
E .n d a 0
0
Como é o mesmo ângulo sólido, o
fluxo é o mesmo!
s e q e s tiv e r n o in te rio r d a s u p e rfíc ie
s e q e s tiv e r fo ra d a s u p e rfíc ie
Lei de Gauss
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LEI DE GAUSS, DISTRIBUIÇÕES DE PARTÍCULAS
CARREGADAS
Para uma distribuição de cargas (pontuais ou uma densidade volumétrica
de carga):
Partículas carregadas
S
E .n
da
i
1
0
qi
0
( r ') d
3
r '
V
Distribuição volumétrica
de partículas
carregadas
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FORMA DIFERENCIAL DA LEI DE GAUSS
Para podermos escrever em forma diferencial a lei de Gauss vamos
analisar o teorema da divergência de Gauss para um campo vetorial
3
qualquer:
A .n d a .A d x
S
V
V
S
Fluxo de A
Aplicando ao campo elétrico:
q
E .n d a
0
S
E .n d a
S
.E
d
3
1
0
V
3
0
r
1
.E
0
( r ') d
3
r
( r ') d
3
V
1
r
V
.E d
V
1
0
Forma diferencial da Lei
de Gauss
r
V
( r ') d
V
( r ') d
3
r 0
3
r 0
.E
(r )
0
ELETROMAGNETISMO I – BACHARELADO EM FÍSICA/UFMS PROF. PAULO ROSA
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