Transcript X` Y`
Slide 1
Система координат на плоскости.
• Прямоугольная (декартова) система
координат.
y - ось ординат
четверти (квадранты)
y
II
М(х;у)
y
0
радиус-вектор
j
III
0
i
i,
I
j
x
IV
x - ось абсцисс
-единичные векторы: i j 1 ,
x
i j
Slide 2
• Полярная система координат.
M ( ; )
0
полюс
e
P
полярная ось
единичный вектор
M ( ; ) - полярные координаты точки М
- полярный радиус
0
- полярный угол
0 2
Slide 3
Связь между прямоугольными и полярными
координатами.
y
М
Пусть М (х; у) –прямоугольные координаты т. М
j
0
i
x
M ( ; ) - полярные координаты т. М
Р
x cos
y sin
или
x 2 y 2
x
cos
y
sin
Slide 4
Пример 1. Найти прямоугольные координаты точки М,
если даны её полярные координаты: M ( 2 ;
Решение:
Имеем:
2,
2
3
2
3
Находим:
2
2
1
x cos 2 cos
2
cos
2
1
3
3
2
2
3
2
y sin 2 sin
2
3
2 sin
3
3
2
Ответ.
M ( 1;
3)
)
Slide 5
Пример 2. Найти полярные координаты точки М, если
даны её прямоугольные координаты: M ( 3 ; 1)
Решение:
Находим:
Имеем:
3
cos
2
y
1
sin
2
x 3,
x y
2
2
y 1
( 3 ) ( 1)
2
2
2
x
Ответ.
y
7
6
0
M (2 ;
7
6
М
)
x
Р
Slide 6
Преобразование системы координат
• Переход от одной системы координат в какуюлибо другую называется преобразованием
системы координат.
Slide 7
1. Параллельный перенос (пп) осей
координат.
Под пп осей координат понимают переход от системы
координат OXY к новой системе O’X’Y’ , при котором
меняется положение начала координат, а направление осей
и масштаб остаются прежними.
Y
Y’
X’
0’
0
X
Slide 8
Y
y
Y’
0 i
Пусть
O’(x0;y0)начало
новой системы координат
O’X’Y’
y’
y0
j
M
0’
x0
x’ X’
x X
M(x;y) – координаты точки в системе OXY
M(x’;y’) – координаты точки в системе O’X’Y’
Slide 9
Y
Y’
y
M
y’
OM x i y j ( x ; y )
O M x i y j ( x ; y )
y0
0’
j
0 i
x0
x’ X’
x X
OM O O O M
O O x0 i y0 j ( x0 ; y0 )
Slide 10
OM O O O M
( x ; y ) ( x 0 ; y 0 ) ( x ; y )
( x ; y ) ( x 0 x ; y 0 y )
x x0 x
y y0 y
Нахождение старых координат (x;y),
если известны новые (x’;y’)
x x x0
y y y0
Нахождение новых координат , если
известны новые.
Slide 11
Пример 3.
Путем пп осей за новое начало координат
взята точка O’(2;-5). Найти координаты точки P в новой
системе, если её координаты в старой системе (-3;4)
Решение:
Имеем:
O ( 2 ; 5 )
P ( 3; 4 )
P ( x ; y )
в
x0 2 ,
x 3 , y 4
y0 5
( OXY )
( O X Y )
Находим:
x x x0 3 2 5
y y y0 4 ( 5) 9
Ответ.
P ( 5 ; 9 )
Slide 12
2. Поворот осей координат.
Под поворотом осей координат понимают такое
преобразование координат, при котором обе оси
поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и
масштаб остаются неизменными.
Y’
Y
X’
0
X
Slide 13
Y’
Y
y
M
Пусть O(x’; y’)- начало новой
системы координат OX’Y’
y’
x’
0
x
X’
X
M(x;y) – координаты точки в системе OXY
M(x’;y’) – координаты точки в системе OX’Y’
Slide 14
Y’
Y
y
M
y’
x’
0
x
X’
Возьмем две полярные
системы
координат
с
общим полюсом О и
полярными осями OX и
OX’
X
- полярный радиус в обеих системах одинаков
– полярный угол в системе OX’Y’
– полярный угол в системе OXY
Slide 15
По формулам перехода
прямоугольным:
x cos
y sin
⇒
Так как
то
от
полярных
координат
к
x cos cos sin sin
y sin cos cos sin
x cos
y sin
x x cos y sin
y x sin y cos
определяет старые координаты
(x;y) через новые (x’;y’)
Slide 16
Выведем формулу, которая позволяет выразить новые координаты через
старые:
x x cos y sin
y x sin y cos
cos
sin
sin
cos
x
x
y
y
sin
cos
cos
sin
x
y
Найдем x’ и y’
cos sin 1
2
2
x cos y sin x
y cos x sin y
mak
mak
kak
kak
x
y
x
y
Slide 17
Итак:
x x cos y sin
y y cos x sin
определяет новые координаты
(x’;y’) через старые (x;y)
Slide 18
Пример 4. Новые оси повернуты относительно старых
на угол
α=π/4 Найти выражения старых координат
произвольной точки плоскости (х;у) через её новые
координаты (x’;y’)
Решение:
cos
x x cos y sin
y x sin y cos
⇒
2
2
2
x y
x
y
x
2
2
2
y 2 x 2 y 2 x y
2
2
2
4
sin
4
2
2
Slide 19
Пример 5. Найти координаты точки Р в новой системе,
повернутой относительно старой на угол α=π/6 , если её
координаты в старой системе равны (-2;3).
Решение:
Имеем:
cos
6
P ( 2 ;3 )
P ( x ; y )
в
x 2 , y 3
3
sin
2
6
1
2
( OXY )
( O X Y )
3
1 1
3
32 3
x x cos y sin 2
2
2 2
y y cos x sin 3 3 2 1 1 2 3 3
2
2 2
Slide 20
3. Параллельный перенос и поворот осей
координат.
Если новая система координат O’X’Y’ получена из старой ОХУ путём
пп осей координат и последующим поворотом осей на угол α, то путем
введения вспомогательной системы O X~Y~ легко получить формулы,
выражающие старые координаты (х;у) произвольной точки через её
новые (x’;y’).
Y’
~
Y
Y
~
y
y
y’
x x cos y sin x 0
y x sin y cos y 0
M
X’
x’
y0
0’
j
0
i
x0
~
x
x X
~
X
Slide 21
Y’
~
Y
Y
~
y
y
y’
Параллельный перенос.
~x ; ~y - новые координаты
M
~
x x0 x
~y
y
y
0
X’
x’
y0
0’
j
0 i
x0
~
x
x X
~
X
~~
Относительно O X Y
поворачиваем на угол α и
получаем новую систему
координат O’X’Y’
~
x x cos y sin
~
y x sin y cos
Итак:
x x cos y sin x 0
y x sin y cos y 0
Система координат на плоскости.
• Прямоугольная (декартова) система
координат.
y - ось ординат
четверти (квадранты)
y
II
М(х;у)
y
0
радиус-вектор
j
III
0
i
i,
I
j
x
IV
x - ось абсцисс
-единичные векторы: i j 1 ,
x
i j
Slide 2
• Полярная система координат.
M ( ; )
0
полюс
e
P
полярная ось
единичный вектор
M ( ; ) - полярные координаты точки М
- полярный радиус
0
- полярный угол
0 2
Slide 3
Связь между прямоугольными и полярными
координатами.
y
М
Пусть М (х; у) –прямоугольные координаты т. М
j
0
i
x
M ( ; ) - полярные координаты т. М
Р
x cos
y sin
или
x 2 y 2
x
cos
y
sin
Slide 4
Пример 1. Найти прямоугольные координаты точки М,
если даны её полярные координаты: M ( 2 ;
Решение:
Имеем:
2,
2
3
2
3
Находим:
2
2
1
x cos 2 cos
2
cos
2
1
3
3
2
2
3
2
y sin 2 sin
2
3
2 sin
3
3
2
Ответ.
M ( 1;
3)
)
Slide 5
Пример 2. Найти полярные координаты точки М, если
даны её прямоугольные координаты: M ( 3 ; 1)
Решение:
Находим:
Имеем:
3
cos
2
y
1
sin
2
x 3,
x y
2
2
y 1
( 3 ) ( 1)
2
2
2
x
Ответ.
y
7
6
0
M (2 ;
7
6
М
)
x
Р
Slide 6
Преобразование системы координат
• Переход от одной системы координат в какуюлибо другую называется преобразованием
системы координат.
Slide 7
1. Параллельный перенос (пп) осей
координат.
Под пп осей координат понимают переход от системы
координат OXY к новой системе O’X’Y’ , при котором
меняется положение начала координат, а направление осей
и масштаб остаются прежними.
Y
Y’
X’
0’
0
X
Slide 8
Y
y
Y’
0 i
Пусть
O’(x0;y0)начало
новой системы координат
O’X’Y’
y’
y0
j
M
0’
x0
x’ X’
x X
M(x;y) – координаты точки в системе OXY
M(x’;y’) – координаты точки в системе O’X’Y’
Slide 9
Y
Y’
y
M
y’
OM x i y j ( x ; y )
O M x i y j ( x ; y )
y0
0’
j
0 i
x0
x’ X’
x X
OM O O O M
O O x0 i y0 j ( x0 ; y0 )
Slide 10
OM O O O M
( x ; y ) ( x 0 ; y 0 ) ( x ; y )
( x ; y ) ( x 0 x ; y 0 y )
x x0 x
y y0 y
Нахождение старых координат (x;y),
если известны новые (x’;y’)
x x x0
y y y0
Нахождение новых координат , если
известны новые.
Slide 11
Пример 3.
Путем пп осей за новое начало координат
взята точка O’(2;-5). Найти координаты точки P в новой
системе, если её координаты в старой системе (-3;4)
Решение:
Имеем:
O ( 2 ; 5 )
P ( 3; 4 )
P ( x ; y )
в
x0 2 ,
x 3 , y 4
y0 5
( OXY )
( O X Y )
Находим:
x x x0 3 2 5
y y y0 4 ( 5) 9
Ответ.
P ( 5 ; 9 )
Slide 12
2. Поворот осей координат.
Под поворотом осей координат понимают такое
преобразование координат, при котором обе оси
поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и
масштаб остаются неизменными.
Y’
Y
X’
0
X
Slide 13
Y’
Y
y
M
Пусть O(x’; y’)- начало новой
системы координат OX’Y’
y’
x’
0
x
X’
X
M(x;y) – координаты точки в системе OXY
M(x’;y’) – координаты точки в системе OX’Y’
Slide 14
Y’
Y
y
M
y’
x’
0
x
X’
Возьмем две полярные
системы
координат
с
общим полюсом О и
полярными осями OX и
OX’
X
- полярный радиус в обеих системах одинаков
– полярный угол в системе OX’Y’
– полярный угол в системе OXY
Slide 15
По формулам перехода
прямоугольным:
x cos
y sin
⇒
Так как
то
от
полярных
координат
к
x cos cos sin sin
y sin cos cos sin
x cos
y sin
x x cos y sin
y x sin y cos
определяет старые координаты
(x;y) через новые (x’;y’)
Slide 16
Выведем формулу, которая позволяет выразить новые координаты через
старые:
x x cos y sin
y x sin y cos
cos
sin
sin
cos
x
x
y
y
sin
cos
cos
sin
x
y
Найдем x’ и y’
cos sin 1
2
2
x cos y sin x
y cos x sin y
mak
mak
kak
kak
x
y
x
y
Slide 17
Итак:
x x cos y sin
y y cos x sin
определяет новые координаты
(x’;y’) через старые (x;y)
Slide 18
Пример 4. Новые оси повернуты относительно старых
на угол
α=π/4 Найти выражения старых координат
произвольной точки плоскости (х;у) через её новые
координаты (x’;y’)
Решение:
cos
x x cos y sin
y x sin y cos
⇒
2
2
2
x y
x
y
x
2
2
2
y 2 x 2 y 2 x y
2
2
2
4
sin
4
2
2
Slide 19
Пример 5. Найти координаты точки Р в новой системе,
повернутой относительно старой на угол α=π/6 , если её
координаты в старой системе равны (-2;3).
Решение:
Имеем:
cos
6
P ( 2 ;3 )
P ( x ; y )
в
x 2 , y 3
3
sin
2
6
1
2
( OXY )
( O X Y )
3
1 1
3
32 3
x x cos y sin 2
2
2 2
y y cos x sin 3 3 2 1 1 2 3 3
2
2 2
Slide 20
3. Параллельный перенос и поворот осей
координат.
Если новая система координат O’X’Y’ получена из старой ОХУ путём
пп осей координат и последующим поворотом осей на угол α, то путем
введения вспомогательной системы O X~Y~ легко получить формулы,
выражающие старые координаты (х;у) произвольной точки через её
новые (x’;y’).
Y’
~
Y
Y
~
y
y
y’
x x cos y sin x 0
y x sin y cos y 0
M
X’
x’
y0
0’
j
0
i
x0
~
x
x X
~
X
Slide 21
Y’
~
Y
Y
~
y
y
y’
Параллельный перенос.
~x ; ~y - новые координаты
M
~
x x0 x
~y
y
y
0
X’
x’
y0
0’
j
0 i
x0
~
x
x X
~
X
~~
Относительно O X Y
поворачиваем на угол α и
получаем новую систему
координат O’X’Y’
~
x x cos y sin
~
y x sin y cos
Итак:
x x cos y sin x 0
y x sin y cos y 0