Slide 1


Slide 2


Slide 3

Definiţie: Se numeşte înălţime în triunghi
distanţa de la un vârf al triunghiului de la latura
opusă.
Obs: Orice triunghi are 3 înălţimi.
Teoremă:
Înălţimile unui triunghi sunt concurente într-un
punct H numit ortocentru triunghiului.


Slide 4

...că ortocentrul unui triunghi dreptunghic este
A
vârful unghiului drept.
M

Fie ∆ ABC dreptunghic în A.
d(A,BC) = ADAD┴BC B D
AD-înălţimea corespunzătoare ipotenuzei;
d(C,AB) = AC, d(B,AC) = AB 
AD, AB şi AC- înălţimi în ∆ABC
AD∩AB∩AC={A} A ortocentrul ∆ABC

N

C


Slide 5

Stabilim o relaţie între lungimile laturilor
unui triunghi dreptunghic şi lungimea înălţimii
corespunzătoare ipotenuzei.
Plecăm de la aria unui triunghi dreptunghic.
Se ştie că

A 

A

bh
2

 În ∆ABC dreptunghic în A avem:

M

B

AB  AC
2



BC  AD



c1  c 2

2

c1  c 2  ip  h  h 

2
c1  c 2
ip



N
D
ip  h

2

C




Slide 6


Slide 7

Determinaţi aria şi lungimea ipotenuzei unui triunghi
dreptunghic ştiind că lungimile catetelor sunt 6 cm şi 8 cm,
iar mediana corespunzatoare ipotenuzei are lungimea 5 cm.
Dem:

A ABC 

AB  AC
2



6 8

 24 cm

2

A

AD mediana corespunzătoare ipotenuzei
BC = 2AD, adică BC =10cm.
8

6
4

C

D

B


Slide 8

Determinaţi lungimea ipotenuzei unui triunghi
dreptunghic ştiind că lungimile catetelor sunt 12cm
şi 9 cm iar înălţimea corespunzătoare ipotenuzei are
lungimea de 7,2cm.
Dem:
Am demonstrat că produsul lungimilor catetelor este egal cu
produsul dintre lungimile ipotenuzei şi înălţimii
corespunzătoare acesteia 

ip 

c1  c 2
h



12  9
7 ,2

 15 cm


Slide 9

Fie H ortocentrul unui triunghi ABC.Demonstrati că:
a) dacă ABCeste echilateral, atunci (HA)=(HB)=(HC)
b)dacă (HA)=(HB)=(HC), atunci  ABC este echilateral

A

Dem:
Fie AA`, BB` şi CC` înălţimile ABC.
a) ABC echilateral  H = G centru de greutate
C`
şi (AA`) ≡( BB`) ≡ (CC`)
B`
H
AH=2/3AA`; BH=2/3BB`<; CH=2/3CC`
 (HA) ≡ (HB) ≡ (HC).
b) (HA)=(HB)=(HC)
C
B
A`
H este centrul cercului circumscris ABC.
Din ipoteză H este ortocentrul ABC  ABC echilateral.


Slide 10

Fie Δ ABC dreptunghic cu m(A)=900 , (AD) înălţime,
DЄ(BC), iar M şi N mijloacele catetelor (AB) şi respectiv (AC).
Demonstraţi că :
a) ΔMAD isoscel; b) ΔNAD isoscel; c) DN┴ AB
Dem:
a) ΔBAD dreptunghic, (MD) mediana corespunzătoare
ipotenuzei MD = ½AB = AM  ΔMAD isoscel.
A
b) se demonstrează analog cu punctul a).
c) ΔMAD isoscel  N
ΔNAD isoscel  Din (1) şi (2)
 m(B
D
DN┴ AB.

C


Slide 11


Slide 12


Slide 13