Transcript Решения треугольников
Slide 1
Slide 2
Нажатием мышки выберите нужную тему.
Теорема косинусов
Теорема синусов
Соотношение между углами треугольника и
противолежащими сторонами
Решения треугольников
Тест
Slide 3
Теорема 1. Квадрат любой стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон без
удвоенного произведения этих сторон на косинус угла
между ними.
C
!
A
B
BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos α
!
Далее
Slide 4
C
Следствие
C
Квадрат стороны
треугольника
равен сумме
квадратов двух
других сторон «±»
A
B
удвоенное
D
D
A
B
произведение
Угол - острый
Угол - тупой
одной из них на CD – высота
CD – высота
проекцию другой.
AD – проекция стороны AC Знак «+»надо AD – проекция стороны AC на
продолжение стороны AB.
на сторону AB.
брать, когда
противолежащий cos (180 - ) = –cos
cos = AD/AC
угол тупой, а знак cos (180 - ) = AD / AC = –cos
«-», когда угол AD= – AC cos
AD = AC cos
острый.
BC ² = AB ² + AC ² – 2AB AD
BC ² = AB ² + AC ² + 2AB AD
Далее
Slide 5
Решение задач - пример № 1.
Дано:
AC = 5 м
Решение:
BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos
AB = 6 м
BC ² = 6 ² + 5 ² - 2 6 5 0,6
cos = 0,6
BC ² = 36 + 25 - 36
Найти:
BC - ?
C
BC ² = 25
BC = 25
5
BC = 5
A
?
6
B
Ответ: 5 м.
Далее
Slide 6
Решение задач - пример № 2.
Дано:
AC = 5 м
AB = 6 м
BC = 7 м
Решение:
BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos
cos = (AB ² + AC ² - BC ²) / 2AB AC
cos = (6 ² + 5 ² - 7 ²) / 2 6 5
Найти:
cos - ?
C
cos = (36 + 25 - 49) / 60
cos = 0,2
5
7
Ответ: 0,2 .
A
6
B
Далее
Slide 7
Решение задач - пример № 3.
Дано:
Решение:
BC = 4 м
BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos
AC = 5 м
BC ² = AB ² + AC ² – 2AB AD
AB = 6 м
Найти:
AD - ?
BD - ?
AD = (AB ² + AC ² – BC ² ) / 2AB
AD = (6 ² + 5 ² – 4 ² ) / 2 6
AD = (36 + 25 – 16 ) / 12
AD = 3,75
C
5
BD = AB - AD
A
BD = 6 – 3,75 = 2,25
6
Ответ: AD = 3,75 м; BD = 2,25 м.
4
D
B
Возврат в меню
Slide 8
Теорема 2. Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов.
C
γ
b
A
C
a
b
β
c
B
γ
a
β
A c
B
! a/sin = b/sin β = c/sin γ !
Далее
Slide 9
Решение задач - пример № 1.
Дано:
ABC
AC = b
, γ
точка B
недоступна
Найти:
AB - ?
Решение:
b / sin β = AB / sin γ
AB = b sin γ / sin β
AB = b sin γ / sin (180 – ( + γ))
B
AB = b sin γ / sin ( + γ)
A
Ответ: b sin γ / sin ( + γ)
γ
b
C
Далее
Slide 10
Решение задач - пример № 2.
Дано:
= 45°
β = 60°
a=3м
Найти:
b-?
Решение:
a/sin =b/sin β
b= a sin β/ sin
b = 3 sin 60° / sin 45°
B
b = 3 (3 / 2) / (1 / 2 )
b = 3 6 / 2
c
β
a
A
b
C
Ответ: 3 6 / 2
Возврат в меню
Slide 11
Теорема 3. В треугольнике против большего угла
лежит большая сторона, а против большей стороны
лежит больший угол.
C
a
C
b
a
b
β
A
B
!
β
A
Если > β, то a > b
B
!
Далее
Slide 12
Решение задач - пример № 1.
Дано:
ABC -
Решение:
B
A = C > 60°
равнобедренный
Значит, A + C > 120°
A = C > 60°
B = 180° - (A + C) <60°
Найти:
Что больше AC
или AB?
Следовательно в ABC
A
B – наименьший.
C
Тогда, согласно соотношению между
углами треугольника и его сторонами,AC
– наименьшая сторона.
Ответ: AC
Slide 13
Решение задач - пример № 2.
Дано:
Решение:
AC = 18 см Так как AB > AC, то C > B
AB = 20 см То есть С > 50°
B = 50°
Найти:
Тогда B + C > 100°
A = 180° - (B + C) > 80°
Каким
A - острый
является
А –
острым,
Ответ: A - острый. A
прямым или
тупым?
B
20
50°
?
C
18
Возврат в меню
Slide 14
Решение задач - пример № 1.
Дано:
Решение:
a = 20 см γ = 180° - (β + )
= 75 °
β = 60°
γ = 180° - (75° + 60°) = 45°
a / sin = b / sin β = c / sin γ
β
с
a
γ
b
Найти:
b = a (sin β / sin γ)
γ-?
b = 20 (sin 60° / sin 75°) 20 (0,866 / 0,966) 17,9
b-?
c = a (sin γ / sin )
c-?
c = 20 (sin 45° / sin 75°) 20 (0,7 / 0,966) 14,6
Ответ: 45°; 17,9 см; 14,6 см.
Далее
Slide 15
Дано:
a=7м
Решение задач - пример № 2.
Решение:
a
c = a ² + b ² - 2 a b cos γ
b = 23 м
γ = 130°
Найти:
- ?
β - ?
c-?
c
β
γ
c = 49 + 529 – 2 7 23 (- 0,643) 28
b
cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c
cos = (529 + 784 – 49) / 2 23 28 0,981
11°
β =180° - ( + γ) = 180° - (11° + 130°) 39°
Ответ: 28 см; 39°; 11°.
Далее
Slide 16
Решение задач - пример № 3.
Дано:
a = 7 см
b = 2 см
c = 8 см
Найти:
- ?
β - ?
γ - ?
Решение:
cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c
β
c
cos = (4 + 64 – 49) / 2 2 8 0,981
54°
cos β = (a ² + c ² - b ²) / 2 a c
cos β = (49 + 64 – 4) / 2 7 8 0,973
β 13°
a
γ
b
γ 180° - ( + β) = 180° - (54° + 13°) = 113°
Ответ: 54°; 13°; 113°.
Далее
Slide 17
Решение задач - пример № 4.
Дано:
Решение:
a = 12 см a / sin = b / sin β = c / sin γ
β
c
b = 5 см sin β = (b / a) sin
= 120° sin β = (5 / 12) 0,866 0,361
β1 21° и β2 159°, так как
Найти: тупой, а в треугольнике может быть только
один тупой угол, то β 21°.
c-?
β - ?
γ - ?
a
γ
b
γ 180° - ( + β) = 180° - (120° + 21°) = 39°
c = a (sin γ / sin )
c = 12 (sin 39° / sin 120°) 12 (0,629 / 0,866) 8,69
Ответ: 8,69 см; 21°; 39°.
Далее
Slide 18
Возврат
в меню
Выход
Slide 2
Нажатием мышки выберите нужную тему.
Теорема косинусов
Теорема синусов
Соотношение между углами треугольника и
противолежащими сторонами
Решения треугольников
Тест
Slide 3
Теорема 1. Квадрат любой стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон без
удвоенного произведения этих сторон на косинус угла
между ними.
C
!
A
B
BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos α
!
Далее
Slide 4
C
Следствие
C
Квадрат стороны
треугольника
равен сумме
квадратов двух
других сторон «±»
A
B
удвоенное
D
D
A
B
произведение
Угол - острый
Угол - тупой
одной из них на CD – высота
CD – высота
проекцию другой.
AD – проекция стороны AC Знак «+»надо AD – проекция стороны AC на
продолжение стороны AB.
на сторону AB.
брать, когда
противолежащий cos (180 - ) = –cos
cos = AD/AC
угол тупой, а знак cos (180 - ) = AD / AC = –cos
«-», когда угол AD= – AC cos
AD = AC cos
острый.
BC ² = AB ² + AC ² – 2AB AD
BC ² = AB ² + AC ² + 2AB AD
Далее
Slide 5
Решение задач - пример № 1.
Дано:
AC = 5 м
Решение:
BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos
AB = 6 м
BC ² = 6 ² + 5 ² - 2 6 5 0,6
cos = 0,6
BC ² = 36 + 25 - 36
Найти:
BC - ?
C
BC ² = 25
BC = 25
5
BC = 5
A
?
6
B
Ответ: 5 м.
Далее
Slide 6
Решение задач - пример № 2.
Дано:
AC = 5 м
AB = 6 м
BC = 7 м
Решение:
BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos
cos = (AB ² + AC ² - BC ²) / 2AB AC
cos = (6 ² + 5 ² - 7 ²) / 2 6 5
Найти:
cos - ?
C
cos = (36 + 25 - 49) / 60
cos = 0,2
5
7
Ответ: 0,2 .
A
6
B
Далее
Slide 7
Решение задач - пример № 3.
Дано:
Решение:
BC = 4 м
BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos
AC = 5 м
BC ² = AB ² + AC ² – 2AB AD
AB = 6 м
Найти:
AD - ?
BD - ?
AD = (AB ² + AC ² – BC ² ) / 2AB
AD = (6 ² + 5 ² – 4 ² ) / 2 6
AD = (36 + 25 – 16 ) / 12
AD = 3,75
C
5
BD = AB - AD
A
BD = 6 – 3,75 = 2,25
6
Ответ: AD = 3,75 м; BD = 2,25 м.
4
D
B
Возврат в меню
Slide 8
Теорема 2. Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов.
C
γ
b
A
C
a
b
β
c
B
γ
a
β
A c
B
! a/sin = b/sin β = c/sin γ !
Далее
Slide 9
Решение задач - пример № 1.
Дано:
ABC
AC = b
, γ
точка B
недоступна
Найти:
AB - ?
Решение:
b / sin β = AB / sin γ
AB = b sin γ / sin β
AB = b sin γ / sin (180 – ( + γ))
B
AB = b sin γ / sin ( + γ)
A
Ответ: b sin γ / sin ( + γ)
γ
b
C
Далее
Slide 10
Решение задач - пример № 2.
Дано:
= 45°
β = 60°
a=3м
Найти:
b-?
Решение:
a/sin =b/sin β
b= a sin β/ sin
b = 3 sin 60° / sin 45°
B
b = 3 (3 / 2) / (1 / 2 )
b = 3 6 / 2
c
β
a
A
b
C
Ответ: 3 6 / 2
Возврат в меню
Slide 11
Теорема 3. В треугольнике против большего угла
лежит большая сторона, а против большей стороны
лежит больший угол.
C
a
C
b
a
b
β
A
B
!
β
A
Если > β, то a > b
B
!
Далее
Slide 12
Решение задач - пример № 1.
Дано:
ABC -
Решение:
B
A = C > 60°
равнобедренный
Значит, A + C > 120°
A = C > 60°
B = 180° - (A + C) <60°
Найти:
Что больше AC
или AB?
Следовательно в ABC
A
B – наименьший.
C
Тогда, согласно соотношению между
углами треугольника и его сторонами,AC
– наименьшая сторона.
Ответ: AC
Slide 13
Решение задач - пример № 2.
Дано:
Решение:
AC = 18 см Так как AB > AC, то C > B
AB = 20 см То есть С > 50°
B = 50°
Найти:
Тогда B + C > 100°
A = 180° - (B + C) > 80°
Каким
A - острый
является
А –
острым,
Ответ: A - острый. A
прямым или
тупым?
B
20
50°
?
C
18
Возврат в меню
Slide 14
Решение задач - пример № 1.
Дано:
Решение:
a = 20 см γ = 180° - (β + )
= 75 °
β = 60°
γ = 180° - (75° + 60°) = 45°
a / sin = b / sin β = c / sin γ
β
с
a
γ
b
Найти:
b = a (sin β / sin γ)
γ-?
b = 20 (sin 60° / sin 75°) 20 (0,866 / 0,966) 17,9
b-?
c = a (sin γ / sin )
c-?
c = 20 (sin 45° / sin 75°) 20 (0,7 / 0,966) 14,6
Ответ: 45°; 17,9 см; 14,6 см.
Далее
Slide 15
Дано:
a=7м
Решение задач - пример № 2.
Решение:
a
c = a ² + b ² - 2 a b cos γ
b = 23 м
γ = 130°
Найти:
- ?
β - ?
c-?
c
β
γ
c = 49 + 529 – 2 7 23 (- 0,643) 28
b
cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c
cos = (529 + 784 – 49) / 2 23 28 0,981
11°
β =180° - ( + γ) = 180° - (11° + 130°) 39°
Ответ: 28 см; 39°; 11°.
Далее
Slide 16
Решение задач - пример № 3.
Дано:
a = 7 см
b = 2 см
c = 8 см
Найти:
- ?
β - ?
γ - ?
Решение:
cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c
β
c
cos = (4 + 64 – 49) / 2 2 8 0,981
54°
cos β = (a ² + c ² - b ²) / 2 a c
cos β = (49 + 64 – 4) / 2 7 8 0,973
β 13°
a
γ
b
γ 180° - ( + β) = 180° - (54° + 13°) = 113°
Ответ: 54°; 13°; 113°.
Далее
Slide 17
Решение задач - пример № 4.
Дано:
Решение:
a = 12 см a / sin = b / sin β = c / sin γ
β
c
b = 5 см sin β = (b / a) sin
= 120° sin β = (5 / 12) 0,866 0,361
β1 21° и β2 159°, так как
Найти: тупой, а в треугольнике может быть только
один тупой угол, то β 21°.
c-?
β - ?
γ - ?
a
γ
b
γ 180° - ( + β) = 180° - (120° + 21°) = 39°
c = a (sin γ / sin )
c = 12 (sin 39° / sin 120°) 12 (0,629 / 0,866) 8,69
Ответ: 8,69 см; 21°; 39°.
Далее
Slide 18
Возврат
в меню
Выход