Transcript Cónicas en apolonio
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CÓNICAS EN APOLONIO
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Slide 3
APOLONIO DE PERGA
APORTES
OBRAS PERDIDAS
TRATADO DE CÓNICAS
DEFINICIONES
Slide 4
¿QUIÉN FUE ?
Nació
en Perga en Pamfilia (Sur Asia
Menor) ¿262-192? A.C.
Epoca helenística ( Euclides,
Arquímedes y Apolonio)
Siglo
de oro
Slide 5
Astrónomo
Esquema
Libros:
y geómetra
de “Tetradas”
“Reparto Rápido”, ”Tesoro
de análisis”
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Secciones
en una razón dada
Secciones
en una área dada
Secciones
determinadas
Tangencias
Inclinaciones
Lugares
planos
Slide 7
Apolonio hace un tratado
de las cónicas en ocho
libros:
Fundamentación
Profundización
Slide 8
I. Trata de la generación de las tres
secciones y sus propiedades.
II. Teoría de los diámetros
conjugados y de las tangentes.
III. Teoremas para construcción de
lugares sólidos y determinación de
límites.
IV. Intersección de las cónicas entre sí
y con el círculo.
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V. Estudia segmentos máximos y
mínimos respecto a una cónica.
VI. Investiga las secciones cónicas
iguales y semejantes.
VII. Proposiciones relativos a los
diámetros de las secciones cónicas
VIII. Problemas sobre cónicas ¿?
Slide 10
CONO
DIÁMETRO
VÉRTICE
EJE
EJE CONJUGADO
PARÁMETRO, ABSCISA
Slide 11
Propiedad fundamental en la
construcción de las cónicas
Apolonio demuestra que en la parábola el cuadrado de
la ordenada es igual al producto del parámetro y la
abscisa, mientras que en la hipérbola es mayor y en la
elipse es menor.
Slide 12
Slide 13
PROPOSICIÓN 11
Cortando un cono por un plano que pase
por el eje y por otro que corte a la base
según una perpendicular a la base del
triángulo en dónde el diámetro de la
sección es paralelo a uno de los lados del
triángulo, se obtiene la sección cónica
parábola, en la que el cuadrado de la
ordenada es igual que el producto del
parámetro y la abscisa.
Slide 14
PARÁBOLA
Para la construcción se debe tener en cuenta:
Proposición 3-I
Proposición 4
Slide 15
PROPOSICIÓN 3-I
Un cono de vértice el punto A y
base el círculo BG, cortado por un
plano que pase por A, determinará
en la superficie cónica las rectas AB
y AG y el base la recta BG.
Entonces se dice que ABG es un
triángulo.
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PROPOSICIÓN 4-I
Una superficie cónica de vértice A
y base el círculo BG, al ser cortada
por un plano paralelo al del círculo
BG se tiene como intersección la
línea DE, que es una circunferencia
de centro en el eje de la superficie.
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PARÁBOLA
Por construcción Apolonio
establece la longitud
del parámetro teniendo en
cuenta la siguiente
proporción: (1-)
ZT
ZA
BG
2
AB * AG
BG
AB
*
BG
AG
Slide 18
PARÁBOLA
Por propiedad del círculo
se tiene(4-):
KL
2
LM * LN
Por construcción:
DE BG
ZT ZH
ZH // AG
KL // DE
MN // BG
Slide 19
PARÁBOLA
Debido a las relaciones de
paralelismo y ángulos congruentes
se obtienen los siguientes
triángulos semejantes:
AMN ABG ZML
y por el teorema de
proporcionalidad aplicado a
AMN y ZML, resulta:
BG
AB
MN
AM
ML
ZM
LN
AZ
Slide 20
PARÁBOLA
De la proporción anterior se toma:(2-)
BG
AB
LN
BG
AB * LN
AZ
AZ
De la semejanza de los triángulos anteriores
también resultan las siguientes proporciones (3-)
BG
AG
MN
NA
ML
LZ
BG
AG * ML
LZ
Slide 21
PARÁBOLA
Reemplazando (2-) y (3-) en (1-), se obtiene (5-):
ZT
ZA
LN
*
ML
AZ
LZ
Ahora reemplazando (4-) en (5-), tenemos
ZT
ZA
KL
2
AZ * LZ
Slide 22
PARÁBOLA
De la igualdad anterior resulta:
KL ZT * ZL
2
Slide 23
PROPOSICIÓN 14
Cortando dos superficies cónicas
opuestas por el vértice por un
plano que no pase por el eje se
tendrá en cada superficie una
sección llamada hipérbola
Slide 24
Características….
El diámetro de ambas secciones será la misma.
Los parámetros de las rectas trazadas ordenadamente
al diámetro y paralelas a la situada en el cono serán
iguales.
El eje transverso de la figura será la recta que une los
vértices de las dos secciones.
Estas secciones se llaman opuestas.
Slide 25
En esta proposición Apolonio por primera vez
considera como una sola curva a las dos ramas.
Se consideran las ramas semejantes y
congruentes en la proposición 16 del libro VI
Para la construcción se debe tener en cuenta:
Proposición 4-I
Elementos XI-16
Elementos XI-3
Proposición 12-I
Slide 26
PROPOSICIÓN 4-I
Sea una superficie cónica de
vértice A, y BG la
circunferencia que recorre
la recta para describirla
y si se traza un plano paralelo
a BG, entonces la circunferencia
va a tener centro en el eje AZ .
(ZAH va a ser el eje de la
superficie).
Slide 27
ELEMENTOS 16-XI
Si un plano interseca a dos planos
paralelos, entonces la intersección
consiste en dos rectas paralelas.
Slide 28
ELEMENTOS 3-XI
La intersección de dos planos es
una recta.
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PROPOSICIÓN 12-I
Construcción de una hipérbola
“sencilla”.
El cuadrado de la
ordenada es mayor al
rectángulo cuyos lados son
el parámetro y la abscisa.
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PROPOSICIÓN 12-I
Cuando Apolonio construye la
hipérbola lo hace de manera tal
que:
ZT
ZL
KA
2
KB * KG
Slide 31
Secciones Opuestas
NTEM es el diámetro
EW=TV
ET es el lado transverso de ambas
secciones
Slide 32
Secciones Opuestas
DZ es paralela a HK ,
PO es paralela a BG (Euclides XI,16) .
LAR es el eje de la superficie
(Prop. 4-I)
Debido a los planos que cortan el
cono y por las paralelas establecidas
anteriormente se puede deducir que
PO HK y que BG DZ.
Slide 33
Secciones Opuestas
El plano que pasa por el
eje corta a las secciones en
M y N, en T y E; por tanto estos
puntos pertenecen a ese plano.
Y estos puntos también están en
el plano HKDZ.
Entonces los puntos pertenecen
a una misma recta (Euclides XI,3)
Slide 34
Secciones Opuestas
TV NM y EW NM
Por tanto EW es el parámetro de
las trazadas ordenadamente a la
EM y ET por definición
de hipérbola es denominado
el lado transverso de la figura.
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Secciones Opuestas
Como AQP ASG y
QAO SAP, entonces
QA
QP
QA
SA
y
SG
QO
Por tanto
SA
2
SG * SB
QA
2
QP * QO
SA
SB
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Secciones Opuestas
Y al construir las hipérbolas ya se
había deducido que
ET
EW
SA
2
SB * SG
y ET
QA
TV
QO * QP
entonces:
ET
EW
2
ET
TV
por tanto EW = TV
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PROPOSICIÓN 13
Cortando un cono por un plano
que pase por el eje y por otro
no paralelo ni en sentido
contrario que cumple ciertas
características se obtiene la
sección cónica elipse, en la que
el cuadrado de la ordenada es
menor que el producto del
parámetro y la abscisa.
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ELIPSE
Por construcción Apolonio
establece la longitud
del parámetro teniendo en
cuenta la siguiente
proporción: (1)
ED
ET
KA
2
KB * KG
KA
KB
*
KA
KG
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ELIPSE
Por propiedad del círculo
se tiene: (2)
LM
2
MP * MR
Por construcción:
AK // EH
PR // BG
ET // MN // DQ
Slide 40
ELIPSE
Debido a las relaciones de
paralelismo y ángulos congruentes
se obtienen los siguientes
triángulos semejantes:
ABK EBH EPM
KA
KB
HE
HB
ME
MP
Slide 41
ELIPSE
AGK DGH DRM
KA
KG
HD
HG
MD
MR
De las proporciones
anteriormente
establecidas se tiene:(3)
KA * KA
KB * KG
ME * MD
MP * MR
Slide 42
ELIPSE
Sustituyendo en (1), (2) y (3) se obtiene:
ED
ET
ME
MP
*
MD
ME * MD
MR
LM
2
Despejando lo anterior tenemos:(4)
LM
2
ME * MD * ET
ED
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ELIPSE
Por otro lado tenemos
los siguientes
triángulos semejantes:
DET DMV
Por tanto: (5)
ED
ET
MD
MV
MV
MD * ET
ED
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ELIPSE
Sustituyendo
(5) en (4), tenemos:
LM
2
MV * ME
CÓNICAS EN APOLONIO
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APOLONIO DE PERGA
APORTES
OBRAS PERDIDAS
TRATADO DE CÓNICAS
DEFINICIONES
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¿QUIÉN FUE ?
Nació
en Perga en Pamfilia (Sur Asia
Menor) ¿262-192? A.C.
Epoca helenística ( Euclides,
Arquímedes y Apolonio)
Siglo
de oro
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Astrónomo
Esquema
Libros:
y geómetra
de “Tetradas”
“Reparto Rápido”, ”Tesoro
de análisis”
Slide 6
Secciones
en una razón dada
Secciones
en una área dada
Secciones
determinadas
Tangencias
Inclinaciones
Lugares
planos
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Apolonio hace un tratado
de las cónicas en ocho
libros:
Fundamentación
Profundización
Slide 8
I. Trata de la generación de las tres
secciones y sus propiedades.
II. Teoría de los diámetros
conjugados y de las tangentes.
III. Teoremas para construcción de
lugares sólidos y determinación de
límites.
IV. Intersección de las cónicas entre sí
y con el círculo.
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V. Estudia segmentos máximos y
mínimos respecto a una cónica.
VI. Investiga las secciones cónicas
iguales y semejantes.
VII. Proposiciones relativos a los
diámetros de las secciones cónicas
VIII. Problemas sobre cónicas ¿?
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CONO
DIÁMETRO
VÉRTICE
EJE
EJE CONJUGADO
PARÁMETRO, ABSCISA
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Propiedad fundamental en la
construcción de las cónicas
Apolonio demuestra que en la parábola el cuadrado de
la ordenada es igual al producto del parámetro y la
abscisa, mientras que en la hipérbola es mayor y en la
elipse es menor.
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PROPOSICIÓN 11
Cortando un cono por un plano que pase
por el eje y por otro que corte a la base
según una perpendicular a la base del
triángulo en dónde el diámetro de la
sección es paralelo a uno de los lados del
triángulo, se obtiene la sección cónica
parábola, en la que el cuadrado de la
ordenada es igual que el producto del
parámetro y la abscisa.
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PARÁBOLA
Para la construcción se debe tener en cuenta:
Proposición 3-I
Proposición 4
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PROPOSICIÓN 3-I
Un cono de vértice el punto A y
base el círculo BG, cortado por un
plano que pase por A, determinará
en la superficie cónica las rectas AB
y AG y el base la recta BG.
Entonces se dice que ABG es un
triángulo.
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PROPOSICIÓN 4-I
Una superficie cónica de vértice A
y base el círculo BG, al ser cortada
por un plano paralelo al del círculo
BG se tiene como intersección la
línea DE, que es una circunferencia
de centro en el eje de la superficie.
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PARÁBOLA
Por construcción Apolonio
establece la longitud
del parámetro teniendo en
cuenta la siguiente
proporción: (1-)
ZT
ZA
BG
2
AB * AG
BG
AB
*
BG
AG
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PARÁBOLA
Por propiedad del círculo
se tiene(4-):
KL
2
LM * LN
Por construcción:
DE BG
ZT ZH
ZH // AG
KL // DE
MN // BG
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PARÁBOLA
Debido a las relaciones de
paralelismo y ángulos congruentes
se obtienen los siguientes
triángulos semejantes:
AMN ABG ZML
y por el teorema de
proporcionalidad aplicado a
AMN y ZML, resulta:
BG
AB
MN
AM
ML
ZM
LN
AZ
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PARÁBOLA
De la proporción anterior se toma:(2-)
BG
AB
LN
BG
AB * LN
AZ
AZ
De la semejanza de los triángulos anteriores
también resultan las siguientes proporciones (3-)
BG
AG
MN
NA
ML
LZ
BG
AG * ML
LZ
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PARÁBOLA
Reemplazando (2-) y (3-) en (1-), se obtiene (5-):
ZT
ZA
LN
*
ML
AZ
LZ
Ahora reemplazando (4-) en (5-), tenemos
ZT
ZA
KL
2
AZ * LZ
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PARÁBOLA
De la igualdad anterior resulta:
KL ZT * ZL
2
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PROPOSICIÓN 14
Cortando dos superficies cónicas
opuestas por el vértice por un
plano que no pase por el eje se
tendrá en cada superficie una
sección llamada hipérbola
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Características….
El diámetro de ambas secciones será la misma.
Los parámetros de las rectas trazadas ordenadamente
al diámetro y paralelas a la situada en el cono serán
iguales.
El eje transverso de la figura será la recta que une los
vértices de las dos secciones.
Estas secciones se llaman opuestas.
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En esta proposición Apolonio por primera vez
considera como una sola curva a las dos ramas.
Se consideran las ramas semejantes y
congruentes en la proposición 16 del libro VI
Para la construcción se debe tener en cuenta:
Proposición 4-I
Elementos XI-16
Elementos XI-3
Proposición 12-I
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PROPOSICIÓN 4-I
Sea una superficie cónica de
vértice A, y BG la
circunferencia que recorre
la recta para describirla
y si se traza un plano paralelo
a BG, entonces la circunferencia
va a tener centro en el eje AZ .
(ZAH va a ser el eje de la
superficie).
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ELEMENTOS 16-XI
Si un plano interseca a dos planos
paralelos, entonces la intersección
consiste en dos rectas paralelas.
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ELEMENTOS 3-XI
La intersección de dos planos es
una recta.
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PROPOSICIÓN 12-I
Construcción de una hipérbola
“sencilla”.
El cuadrado de la
ordenada es mayor al
rectángulo cuyos lados son
el parámetro y la abscisa.
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PROPOSICIÓN 12-I
Cuando Apolonio construye la
hipérbola lo hace de manera tal
que:
ZT
ZL
KA
2
KB * KG
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Secciones Opuestas
NTEM es el diámetro
EW=TV
ET es el lado transverso de ambas
secciones
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Secciones Opuestas
DZ es paralela a HK ,
PO es paralela a BG (Euclides XI,16) .
LAR es el eje de la superficie
(Prop. 4-I)
Debido a los planos que cortan el
cono y por las paralelas establecidas
anteriormente se puede deducir que
PO HK y que BG DZ.
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Secciones Opuestas
El plano que pasa por el
eje corta a las secciones en
M y N, en T y E; por tanto estos
puntos pertenecen a ese plano.
Y estos puntos también están en
el plano HKDZ.
Entonces los puntos pertenecen
a una misma recta (Euclides XI,3)
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Secciones Opuestas
TV NM y EW NM
Por tanto EW es el parámetro de
las trazadas ordenadamente a la
EM y ET por definición
de hipérbola es denominado
el lado transverso de la figura.
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Secciones Opuestas
Como AQP ASG y
QAO SAP, entonces
QA
QP
QA
SA
y
SG
QO
Por tanto
SA
2
SG * SB
QA
2
QP * QO
SA
SB
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Secciones Opuestas
Y al construir las hipérbolas ya se
había deducido que
ET
EW
SA
2
SB * SG
y ET
QA
TV
QO * QP
entonces:
ET
EW
2
ET
TV
por tanto EW = TV
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PROPOSICIÓN 13
Cortando un cono por un plano
que pase por el eje y por otro
no paralelo ni en sentido
contrario que cumple ciertas
características se obtiene la
sección cónica elipse, en la que
el cuadrado de la ordenada es
menor que el producto del
parámetro y la abscisa.
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ELIPSE
Por construcción Apolonio
establece la longitud
del parámetro teniendo en
cuenta la siguiente
proporción: (1)
ED
ET
KA
2
KB * KG
KA
KB
*
KA
KG
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ELIPSE
Por propiedad del círculo
se tiene: (2)
LM
2
MP * MR
Por construcción:
AK // EH
PR // BG
ET // MN // DQ
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ELIPSE
Debido a las relaciones de
paralelismo y ángulos congruentes
se obtienen los siguientes
triángulos semejantes:
ABK EBH EPM
KA
KB
HE
HB
ME
MP
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ELIPSE
AGK DGH DRM
KA
KG
HD
HG
MD
MR
De las proporciones
anteriormente
establecidas se tiene:(3)
KA * KA
KB * KG
ME * MD
MP * MR
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ELIPSE
Sustituyendo en (1), (2) y (3) se obtiene:
ED
ET
ME
MP
*
MD
ME * MD
MR
LM
2
Despejando lo anterior tenemos:(4)
LM
2
ME * MD * ET
ED
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ELIPSE
Por otro lado tenemos
los siguientes
triángulos semejantes:
DET DMV
Por tanto: (5)
ED
ET
MD
MV
MV
MD * ET
ED
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ELIPSE
Sustituyendo
(5) en (4), tenemos:
LM
2
MV * ME