Transcript Synthèse de filtres
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Synthèse de filtres numériques
B. David
SI 240, TSMECS
Octobre 2006
Généralités
T. Bilinéaire
RIF à linéaire
1
Slide 2
Généralités
Critères de choix
RIF ou RII ?
RII :
+ : complexité, imitation des filtres analogiques
- : pb d’arrondis de calcul cumulatifs, sensibilité à la représentation finie
des coefficients, phase non linéaire
RIF :
+ : phase exactement linéaire possible, garantie de stabilité, non
cumulation des erreurs de calcul (non récursifs)
- : complexité (par ex. pour traduire des résonances ou pour assurer une
bonne sélectivité)
Oct. 2006
SI240-TSMECS
2
Slide 3
Généralités
Spécifications d’un filtre numérique
Oct. 2006
SI240-TSMECS
3
Slide 4
Généralités
construction empirique d’un filtre passe-bas IIR
on suppose
pour construire la bande atténuée, on place des zéros en 0.1, 0.2...
Magnitude (dB)
0.5.
20
-20
-40
0
Phase (degrees)
Code
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
freqz(N,1,4096,1)
-100
-200
0
Oct. 2006
z = exp(j*2*pi*[0.1 .2
.3 0.4 0.5]);
z = [z conj(z)];
N = poly(z);
0.1
0.2
0.3
Frequency (Hz)
0.4
0.5
SI240-TSMECS
4
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Généralités
construction empirique d’un filtre passe-bas IIR
le filtre n’est pas « plat » dans sa bande passante
on cherche à compenser par le placement d’un pole tel que
Phase (degrees)
Magnitude (dB)
Dénominateur seul
Oct. 2006
40
20
0
-20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.4
0.5
100
0
-100
-200
0
0.1
0.2
0.3
Frequency (Hz)
SI240-TSMECS
5
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Généralités
Magnitude (dB)
construction empirique d’un filtre passe-bas IIR
20
0
-20
-40
Phase (degrees)
0
Oct. 2006
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.4
0.5
0
-100
-200
-300
0
0.1
0.2
0.3
Frequency (Hz)
SI240-TSMECS
6
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Généralités > construction empirique IIR
diagramme poles-zeros typique
o
o
Bande de transition
o
o
o
o
o
o
Oct. 2006
SI240-TSMECS
7
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Synthèse des RII par T.B.
Transformation bilinéaire
Définition et propriétés
Laplace Ha(p) fonction de transfert en H(z) en posant
Transforme
le demi-plan gauche intérieur du C1 (conserve la stabilité)
la droite imaginaire C1
Oct. 2006
SI240-TSMECS
8
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Synthèse des RII par T.B.
Transformation bilinéaire
Plan P
Plan Z
Oct. 2006
SI240-TSMECS
9
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Synthèse des RII par T.B.
Exemple du passe bas du premier ordre
fonction de transfert du type
soit c = 1/.
Ex: Fe = 8000 Hz, fc = 1000 Hz
conduit à choisir la fréquence de coupure du filtre numérique !
on peut par exemple prendre c = 1
conduit à
calcul final
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RII par T.B.
Exemple du passe bas du premier ordre
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RII par T.B.
Exemple : maximalement plat en = 0
Magnitude (dB)
filtre de Butterworth
0
-20 fréquence
Réponse en
-40
2N-1 dérivées
nulles en 0 :
-60
-80
Phase (degrees)
-100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
-50
-100
-150
-200
Frequency (Hz)
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RII par T.B.
Exemple : filtres à ondulations constante
c
1
Filtre elliptique d'ordre 4 (0.1, -20dB, c =0.15)
Filtres elliptiques
0.9
0.8
|H|
forme particulière du gain faisant intervenir des fonctions elliptiques
0.7
condition
sur les fréquences de transition : c A = 1
obtenue0.6itérativement à partir des données initiales c et A
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
A
Oct. 2006
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
fréquence
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF
Synthèse des filtres à RIF
Filtres RIF à phase linéaire
intérêt majeur des RIF : peuvent avoir une phase exactement
linéaire
Définition
propriété : si le support fréquentiel du signal d’entrée est dans la
bande passante (avec HR()=c dans la BP), alors
où xa(t) est la reconstruction parfaite analogique à partir des
échantillons x(n) à la cadence 1.
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Exemple IIR (phase NL) vs FIR à phase lin.
signal d’entrée : SF du carré à 3 composantes
entrée
1.5
elliptique
IIR = filtre
elliptique, RIF à phase lin. à ondulationyconstantes
y rif
même niveaux d’ondulation dans les bp et ba
1
même fréquences de coupure, > fréq. supérieure du spectre d’entrée
amplitude
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
temps discret
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Symétrie de la réponse impulsionnelle
on considère un filtre h(n) causal, réèl, à phase linéaire. Montrer que
est nécessairement un demi-entier, = p/2 p 2 Z
en déduire que HR() est au moins périodique de période 2.
Montrer que d = ej2 vaut 1 ou j.
On pose G(ej2) = HR(2). Etudier les symétries possibles pour g(n).
Montrer la relation
interpréter le résultat en terme de suréchantillonnage. En déduire la
valeur de p en fonction de la longueur N de la RI.
Oct. 2006
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Cas longueur impaire, entier
si d=1 : G est paire, réelle g est paire et réelle.
type I
g(n)
1
0.5
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
g(n-p)
1
0.5
h(n)
0
-15
1
0.5
0
-15
temps discret
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Cas longueur paire, demi-entier
si d=1 : G est paire, réelle g est paire et réelle.
type II
g(n)
1
0.5
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
g(n-p)
1
0.5
h(n)
0
-15
1
0.5
0
-15
temps discret
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Cas longueur impaire, entier
si d=j : G est impaire, réelle g est impaire et imaginaire.
type III
d g(n)
1
0
-1
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
d g(n-p)
1
0
h(n)
-1
-15
1
0
-1
-15
temps discret
Oct. 2006
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Cas longueur paire, demi-entier
si d=j : G est impaire, réelle g est impaire et imaginaire.
type IV
d g(n)
1
0
-1
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
d g(n-p)
1
0
h(n)
-1
-15
1
0
-1
-15
temps discret
Oct. 2006
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
En résumé
Type I
N impair
symétrique
-
Type II
N pair
symétrique
H(-1) = 0
Type III
N impair
anti-sym.
H(0)=
H(-1) = 0
Type IV
N pair
anti-sym.
Oct. 2006
H(0) = 0
SI240-TSMECS
Passe-bas
Passe-Haut
Passe-Bande
Passe-bas,
Passe-bande
Différentiateur,
Transformateur
de Hilbert,
Passe-bande
Différentiateur,
Transformateur
de Hilbert,
Passe Haut
21
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Filtres spéciaux
lié au facteur j dans la réponse en fréquence des types III et IV.
Différentiateur : réalise une approximation de l’opérateur différentiel
en temps, dans le domaine fréquentiel :
Transformateur de Hilbert. Soit H la réponse en fréquence du filtre
linéaire tel que
H: x(n) → x_h(n)
H: cos(20 n) → sin(20 n), 8 0 2 [-0.5 0.5]
Déterminer la fonction H(ej2) pour 2 ]-0.5 0[ U ]0 0.5[. Préciser
ensuite sa valeur aux points 0 et 0.5
En déduire l’intérêt présenté par les types III et IV pour réaliser le
filtre H.
Signal analytique. Soit le filtre H_a: x(n) → x_a(n) = x(n)+j x_h(n).
x_a(n) est le signal analytique associé au signal réel x(n).
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire > filtres spéciaux
Différentiateur : exemple
0.5
x
y dx/dt
0
-0.5
0
20
40
60
80
100
120
140
n
3
10
0
|H|
H
2
-10
1
0
-20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
h = remez(11,[0 0.49]*2,[0 2*pi*.49],'d');
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire > filtres spéciaux
Transformateur de Hilbert : exemple
2
x(n)=cos(20 n)
1
xh
0
-1
-2
0
20
40
60
n
20
80
100
120
0
0
-20
H
|H|
dB
-20
-40
-60
-40
-80
-100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
fréquence réduite
-60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
h = remez(60,2*[.01 .25 .3 .5],[1 1 0 0],[1 10],'h');
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF
Synthèse : méthodes pour les RIF
méthode de la fenêtre : permet de comprendre le compromis à
atteindre entre le niveau d’ondulation et la largeur de transition
méthode d’optimisation sous contrainte, notion de « filtre propre »
méthode d’optimisation par minimisation de la norme L1 d’une fonction
d’erreur pondérée.
Oct. 2006
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Synthèse à fenêtre
Algorithme simple :
inversion de Hidéal
troncature symétrique multiplication par une fenêtre finie
décalage pour rendre le filtre causal
Donne nécessairement type I ou III (N impair)
Exemple :
j2)
H
(e
i
j2
soit Hi(e
) ci-contre
calculer hi(n)
en déduire h(n) par troncature
rectangulaire de longueur 2P-1,
P = 4.
Représenter H(ej2)
Oct. 2006
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c
0.5
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Synthèse à fenêtre : Gibbs et transition
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Slide 28
Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Optimisation de la synthèse à Fenêtre
Fenêtre paramétrable de Kaiser
qques pb liés à la méthode à fenêtre
ajuster indépendamment le niveau d’ondulation en bande coupée et la
largeur de transition
le niveau d’ondulation est le même en bande coupée et passante
fenêtre de Kaiser
dépend d’un paramètre qui ajuste 2 en bande atténuée
on joue ensuite sur la longueur du filtre pour la bande de transition
longueur N =2M+1, I0 : fonction de Bessel modifiée de 1ere espèce
Oct. 2006
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Optimiser la fenêtre sous contrainte
Prolates sphéroïdes
on cherche à maximiser l’énergie en bande passante sous
contrainte unitaire, i.e.
on cherche
sous contrainte
montrer que ce pb peut se ramener à la maximisation de la forme
quadratique
sous la contrainte hH h = 1, avec
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Optimiser la fenêtre sous contrainte
Prolates sphéroïdes et filtres propres
terme général de R :
définie positive (Réelle symétrique)
algorithme de calcul
1. calcul de R
2. décomposition aux valeurs propres
3. h = vecteur propre unitaire associé à la plus grande valeur propre
extension : contrainte en minimisation d’erreur quadratique sur les
différentes bandes → filtres propres.
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF > optimisation sous contrainte
Exemple
0.35
0.3
0.25
h(n)
Magnitude (dB)
50
0
0.15
0.1
0.05
-50
0
0
-100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 0.3
Frequency (Hz)
0.35
0.4
0.45
0.5
100
Phase (degrees)
0.2
10
20
n
30
40
clear all
nu0 = 0.05; % freq de coupure
N = 33 ;
% longueur du filtre
n = 0:N-1;
0
L1 = sincard(2*pi*nu0*n)
R = nu0*toeplitz(L1);
[V,lambda]=eig(R,'nobalance');
lambda = diag(lambda);
ind = find(lambda==max(lambda));
-100
-200
-300
-400
0
0.05
Oct. 2006
0.1
0.15
0.2
0.25 0.3
Frequency (Hz)
0.35
0.4
0.45
0.5
h = V(:,ind);
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Méthodes itératives : principe
rappel : la forme de la rf =
on cherche à minimiser le maximum d’une erreur pondérée
soit
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF > méthodes itératives
illustration de l’erreur pondérée (Chebychev)
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF > méthodes itératives
algorithme d’échange (remez)
Sur un exemple de type I (N impair, symétrique)
Montrer que la réponse zéro-phase s’écrit sous la forme
On en déduit qu’on peut encore l’écrire sous la forme d’un
polynôme en c() = cos(2) soit :
qui admet une dérivée =0
en 0 et P-1 autres maxima
algorithme d’échange :
0: init : on réparti dans B les candidats au max en prenant les bords
1: a l’aide d’une interpolation, on calcule les coeffs du polynome
2: on recalcule les candidats comme les max du polynome
3: si non convergence de l’erreur, retour à 1:
Oct. 2006
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF > méthodes itératives
algorithme d’échange (remez)
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse de filtres numériques
B. David
SI 240, TSMECS
Octobre 2006
Généralités
T. Bilinéaire
RIF à linéaire
1
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Généralités
Critères de choix
RIF ou RII ?
RII :
+ : complexité, imitation des filtres analogiques
- : pb d’arrondis de calcul cumulatifs, sensibilité à la représentation finie
des coefficients, phase non linéaire
RIF :
+ : phase exactement linéaire possible, garantie de stabilité, non
cumulation des erreurs de calcul (non récursifs)
- : complexité (par ex. pour traduire des résonances ou pour assurer une
bonne sélectivité)
Oct. 2006
SI240-TSMECS
2
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Généralités
Spécifications d’un filtre numérique
Oct. 2006
SI240-TSMECS
3
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Généralités
construction empirique d’un filtre passe-bas IIR
on suppose
pour construire la bande atténuée, on place des zéros en 0.1, 0.2...
Magnitude (dB)
0.5.
20
-20
-40
0
Phase (degrees)
Code
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
freqz(N,1,4096,1)
-100
-200
0
Oct. 2006
z = exp(j*2*pi*[0.1 .2
.3 0.4 0.5]);
z = [z conj(z)];
N = poly(z);
0.1
0.2
0.3
Frequency (Hz)
0.4
0.5
SI240-TSMECS
4
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Généralités
construction empirique d’un filtre passe-bas IIR
le filtre n’est pas « plat » dans sa bande passante
on cherche à compenser par le placement d’un pole tel que
Phase (degrees)
Magnitude (dB)
Dénominateur seul
Oct. 2006
40
20
0
-20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.4
0.5
100
0
-100
-200
0
0.1
0.2
0.3
Frequency (Hz)
SI240-TSMECS
5
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Généralités
Magnitude (dB)
construction empirique d’un filtre passe-bas IIR
20
0
-20
-40
Phase (degrees)
0
Oct. 2006
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.4
0.5
0
-100
-200
-300
0
0.1
0.2
0.3
Frequency (Hz)
SI240-TSMECS
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Généralités > construction empirique IIR
diagramme poles-zeros typique
o
o
Bande de transition
o
o
o
o
o
o
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RII par T.B.
Transformation bilinéaire
Définition et propriétés
Laplace Ha(p) fonction de transfert en H(z) en posant
Transforme
le demi-plan gauche intérieur du C1 (conserve la stabilité)
la droite imaginaire C1
Oct. 2006
SI240-TSMECS
8
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Synthèse des RII par T.B.
Transformation bilinéaire
Plan P
Plan Z
Oct. 2006
SI240-TSMECS
9
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Synthèse des RII par T.B.
Exemple du passe bas du premier ordre
fonction de transfert du type
soit c = 1/.
Ex: Fe = 8000 Hz, fc = 1000 Hz
conduit à choisir la fréquence de coupure du filtre numérique !
on peut par exemple prendre c = 1
conduit à
calcul final
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RII par T.B.
Exemple du passe bas du premier ordre
Oct. 2006
SI240-TSMECS
11
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Synthèse des RII par T.B.
Exemple : maximalement plat en = 0
Magnitude (dB)
filtre de Butterworth
0
-20 fréquence
Réponse en
-40
2N-1 dérivées
nulles en 0 :
-60
-80
Phase (degrees)
-100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0
-50
-100
-150
-200
Frequency (Hz)
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RII par T.B.
Exemple : filtres à ondulations constante
c
1
Filtre elliptique d'ordre 4 (0.1, -20dB, c =0.15)
Filtres elliptiques
0.9
0.8
|H|
forme particulière du gain faisant intervenir des fonctions elliptiques
0.7
condition
sur les fréquences de transition : c A = 1
obtenue0.6itérativement à partir des données initiales c et A
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
A
Oct. 2006
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
fréquence
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF
Synthèse des filtres à RIF
Filtres RIF à phase linéaire
intérêt majeur des RIF : peuvent avoir une phase exactement
linéaire
Définition
propriété : si le support fréquentiel du signal d’entrée est dans la
bande passante (avec HR()=c dans la BP), alors
où xa(t) est la reconstruction parfaite analogique à partir des
échantillons x(n) à la cadence 1.
Oct. 2006
SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Exemple IIR (phase NL) vs FIR à phase lin.
signal d’entrée : SF du carré à 3 composantes
entrée
1.5
elliptique
IIR = filtre
elliptique, RIF à phase lin. à ondulationyconstantes
y rif
même niveaux d’ondulation dans les bp et ba
1
même fréquences de coupure, > fréq. supérieure du spectre d’entrée
amplitude
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
50
100
150
200
250
300
350
400
temps discret
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SI240-TSMECS
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Symétrie de la réponse impulsionnelle
on considère un filtre h(n) causal, réèl, à phase linéaire. Montrer que
est nécessairement un demi-entier, = p/2 p 2 Z
en déduire que HR() est au moins périodique de période 2.
Montrer que d = ej2 vaut 1 ou j.
On pose G(ej2) = HR(2). Etudier les symétries possibles pour g(n).
Montrer la relation
interpréter le résultat en terme de suréchantillonnage. En déduire la
valeur de p en fonction de la longueur N de la RI.
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Cas longueur impaire, entier
si d=1 : G est paire, réelle g est paire et réelle.
type I
g(n)
1
0.5
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
g(n-p)
1
0.5
h(n)
0
-15
1
0.5
0
-15
temps discret
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Cas longueur paire, demi-entier
si d=1 : G est paire, réelle g est paire et réelle.
type II
g(n)
1
0.5
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
g(n-p)
1
0.5
h(n)
0
-15
1
0.5
0
-15
temps discret
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Cas longueur impaire, entier
si d=j : G est impaire, réelle g est impaire et imaginaire.
type III
d g(n)
1
0
-1
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
d g(n-p)
1
0
h(n)
-1
-15
1
0
-1
-15
temps discret
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Cas longueur paire, demi-entier
si d=j : G est impaire, réelle g est impaire et imaginaire.
type IV
d g(n)
1
0
-1
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
15
d g(n-p)
1
0
h(n)
-1
-15
1
0
-1
-15
temps discret
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
En résumé
Type I
N impair
symétrique
-
Type II
N pair
symétrique
H(-1) = 0
Type III
N impair
anti-sym.
H(0)=
H(-1) = 0
Type IV
N pair
anti-sym.
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H(0) = 0
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Passe-bas
Passe-Haut
Passe-Bande
Passe-bas,
Passe-bande
Différentiateur,
Transformateur
de Hilbert,
Passe-bande
Différentiateur,
Transformateur
de Hilbert,
Passe Haut
21
Slide 22
Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire
Filtres spéciaux
lié au facteur j dans la réponse en fréquence des types III et IV.
Différentiateur : réalise une approximation de l’opérateur différentiel
en temps, dans le domaine fréquentiel :
Transformateur de Hilbert. Soit H la réponse en fréquence du filtre
linéaire tel que
H: x(n) → x_h(n)
H: cos(20 n) → sin(20 n), 8 0 2 [-0.5 0.5]
Déterminer la fonction H(ej2) pour 2 ]-0.5 0[ U ]0 0.5[. Préciser
ensuite sa valeur aux points 0 et 0.5
En déduire l’intérêt présenté par les types III et IV pour réaliser le
filtre H.
Signal analytique. Soit le filtre H_a: x(n) → x_a(n) = x(n)+j x_h(n).
x_a(n) est le signal analytique associé au signal réel x(n).
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire > filtres spéciaux
Différentiateur : exemple
0.5
x
y dx/dt
0
-0.5
0
20
40
60
80
100
120
140
n
3
10
0
|H|
H
2
-10
1
0
-20
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-30
0
0.1
0.2
0.3
0.4
h = remez(11,[0 0.49]*2,[0 2*pi*.49],'d');
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Synthèse des RIF > RIF à phase linéaire > filtres spéciaux
Transformateur de Hilbert : exemple
2
x(n)=cos(20 n)
1
xh
0
-1
-2
0
20
40
60
n
20
80
100
120
0
0
-20
H
|H|
dB
-20
-40
-60
-40
-80
-100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
fréquence réduite
-60
0
0.1
0.2
0.3
0.4
h = remez(60,2*[.01 .25 .3 .5],[1 1 0 0],[1 10],'h');
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Synthèse des RIF
Synthèse : méthodes pour les RIF
méthode de la fenêtre : permet de comprendre le compromis à
atteindre entre le niveau d’ondulation et la largeur de transition
méthode d’optimisation sous contrainte, notion de « filtre propre »
méthode d’optimisation par minimisation de la norme L1 d’une fonction
d’erreur pondérée.
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Synthèse à fenêtre
Algorithme simple :
inversion de Hidéal
troncature symétrique multiplication par une fenêtre finie
décalage pour rendre le filtre causal
Donne nécessairement type I ou III (N impair)
Exemple :
j2)
H
(e
i
j2
soit Hi(e
) ci-contre
calculer hi(n)
en déduire h(n) par troncature
rectangulaire de longueur 2P-1,
P = 4.
Représenter H(ej2)
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c
0.5
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Synthèse à fenêtre : Gibbs et transition
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Optimisation de la synthèse à Fenêtre
Fenêtre paramétrable de Kaiser
qques pb liés à la méthode à fenêtre
ajuster indépendamment le niveau d’ondulation en bande coupée et la
largeur de transition
le niveau d’ondulation est le même en bande coupée et passante
fenêtre de Kaiser
dépend d’un paramètre qui ajuste 2 en bande atténuée
on joue ensuite sur la longueur du filtre pour la bande de transition
longueur N =2M+1, I0 : fonction de Bessel modifiée de 1ere espèce
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Optimiser la fenêtre sous contrainte
Prolates sphéroïdes
on cherche à maximiser l’énergie en bande passante sous
contrainte unitaire, i.e.
on cherche
sous contrainte
montrer que ce pb peut se ramener à la maximisation de la forme
quadratique
sous la contrainte hH h = 1, avec
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Optimiser la fenêtre sous contrainte
Prolates sphéroïdes et filtres propres
terme général de R :
définie positive (Réelle symétrique)
algorithme de calcul
1. calcul de R
2. décomposition aux valeurs propres
3. h = vecteur propre unitaire associé à la plus grande valeur propre
extension : contrainte en minimisation d’erreur quadratique sur les
différentes bandes → filtres propres.
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF > optimisation sous contrainte
Exemple
0.35
0.3
0.25
h(n)
Magnitude (dB)
50
0
0.15
0.1
0.05
-50
0
0
-100
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 0.3
Frequency (Hz)
0.35
0.4
0.45
0.5
100
Phase (degrees)
0.2
10
20
n
30
40
clear all
nu0 = 0.05; % freq de coupure
N = 33 ;
% longueur du filtre
n = 0:N-1;
0
L1 = sincard(2*pi*nu0*n)
R = nu0*toeplitz(L1);
[V,lambda]=eig(R,'nobalance');
lambda = diag(lambda);
ind = find(lambda==max(lambda));
-100
-200
-300
-400
0
0.05
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0.1
0.15
0.2
0.25 0.3
Frequency (Hz)
0.35
0.4
0.45
0.5
h = V(:,ind);
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF
Méthodes itératives : principe
rappel : la forme de la rf =
on cherche à minimiser le maximum d’une erreur pondérée
soit
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF > méthodes itératives
illustration de l’erreur pondérée (Chebychev)
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF > méthodes itératives
algorithme d’échange (remez)
Sur un exemple de type I (N impair, symétrique)
Montrer que la réponse zéro-phase s’écrit sous la forme
On en déduit qu’on peut encore l’écrire sous la forme d’un
polynôme en c() = cos(2) soit :
qui admet une dérivée =0
en 0 et P-1 autres maxima
algorithme d’échange :
0: init : on réparti dans B les candidats au max en prenant les bords
1: a l’aide d’une interpolation, on calcule les coeffs du polynome
2: on recalcule les candidats comme les max du polynome
3: si non convergence de l’erreur, retour à 1:
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Synthèse des RIF > synthèse des RIF > méthodes itératives
algorithme d’échange (remez)
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