Slide 1


Slide 2

Material de apoio: dinâmica
 1ª

Lei de Newton - lei da inércia


partícula livre me massa m e velocidade v (t )

move-se com velocidade constante
move-se com momento linear constante


v (t )  v  constante


 
p(t )  mv (t)  mv  p  constante

 2ª

Lei de Newton - conceito de Força


taxa de variação de p (t ) iguala a resultante das forças

aplicadas

dp ( t )
dt


 F (t )

Dimensões : MLT-2
Unidades SI : N (Newton)


Slide 3

Material de apoio: dinâmica
 3ª

Lei de Newton - lei da acção-reacção

 2
F2 1



F12   F21
Força que a partícula 2
exerce na partícula 1
Ponto de aplicação: partícula 1


F1 2
1

Força que a partícula 1
exerce na partícula 2
Ponto de aplicação: partícula 2


Slide 4

Material de apoio: dinâmica


1ª Lei de Newton para um sistema de partículas
um sistema isolado tem um momento linear constante
N


P (t )   pi (t )  constante
i 1



2ª Lei de Newton para um sistema de partículas

taxa de variação de P (t )iguala soma das resultantes das
forças externas aplicadas a cada uma das partículas

dP
dt


(t )   Fiext (t )
N

i 1

forças externas ao sistema


  Fij  0
N

N

i 1 j 1
j i

pela Lei da
accção/reacção

forças internas ao sistema


Slide 5

Material de apoio: dinâmica
 Dinâmica de uma partícula


dp (t )
 F (t )
dt



F (t )  ma (t )
Lei Fundamental da Dinâmica

decomposição nas componentes tangencial e normal





F (t )  FT (t )  FN (t )  FT (t )uT (t )  FN (t )u N (t )
FT (t )  maT  m

FN (t )  maN  m

componente tangencial
responsável pela variação do
módulo da velocidade

dv
dt

v(t )

2

 (t )

componente normal
responsável pela variação da
direcção e sentido da velocidade


Slide 6

Material de apoio: dinâmica
 Dinâmica

de uma partícula

se a componente tangencial da resultante das forças
for nula
FT (t )  maT  m

dv

0

dt

a partícula descreve uma trajectória com velocidade de
norma constante
se a componente tangencial da resultante das forças
for nula
FN (t )  maN  m

v(t )

2

 (t )

0

a partícula descreve uma trajectória rectilínea


Slide 7

Material de apoio: dinâmica


Momento angular da uma partícula
 relativamente a O


 de uma partícula com r (t ) e p (t )





L (t )  r (t )  p (t )  mr (t )  v (t )

Dimensões : ML2T-1
Unidades SI : kgm2s-1


v (t )

S

ux


r (t )


uz

O


uy


L (t )

perpendicular a


r (t )

e


v (t )


Slide 8

Material de apoio: dinâmica


Momento angular
 taxa de variação de

dL(t )


 r (t ) 


dp(t )

dt


L (t )



 r (t )  F (t )

dt

vector posição da partícula e
do ponto de aplicação da
resultante das força

dL(t )




 r (t )  F (t )  N (t )

resultante das
forças aplicadas
à partícula

momento da força relativamente a O

dt

 Momento

angular conserva-se:


 F (t )  0  partícula livre


 r (t )  F (t )  0  forças centrais

Dimensões : ML2T-2
Unidades SI : Nm


Slide 9

Material de apoio: dinâmica


Momento angular de um sistema de partículas
relativamente a O
de um sistema de N partículas com


ri (t ) e pi (t )

i  1, N

2

1

N-1

3
i 

S

ux

vi


uz


uy

O


L (t ) 


ri


 Li (t ) 
N

i 1

N

N



 ri (t )  pi (t ) 
i 1

N



 mi ri (t )  vi (t )
i 1


Slide 10

Material de apoio: dinâmica
 Momento angular de uma sistema de partículas

taxa de variação de L (t )


assumindo forças internas centrais rij (t )  Fij (t )  0

dL
dt

S

ux

N



 N iext (t )   ri (t )  Fiext (t )
N


(t )   N iext (t )


uz

N

i 1


uy

i 1

soma dos momentos, relativamente a O, de todas
as forças externas

O

 Momento



i 1


 Fi
N

i 1

angular conserva-se:
 sistema isolado
(t )  0

ext


  Ni
N

i 1

ext

(t )  0


Slide 11

Material de apoio: dinâmica


Forças de atrito (despreza-se a dimensão do objecto)
opõem-se sempre ao movimento
corpo em repouso
intensidade a
 aumentar
N

y

Fa t


F

s

x


P





P   N  F   Fat
s

intensidade de Fa t cresce com
a

s
intensidade de F





R  P  N  F  Fat  0
s

imediatamente antes do corpo entrar em movimento,
a intensidade da força de atrito estático é máxima

Fat

s


Fat


 Fat

s max

s max

  s

 
N ux

s - coeficiente de atrito estático


Slide 12

Material de apoio: dinâmica


Forças de atrito (despreza-se a dimensão do objecto)
opõem-se sempre ao movimento
corpo em movimento

N

Fa t

k



P  N 


a

k


F


P

Fat

k

 k



F  Fat

 
N ux








R  P  N  F  Fat
k



 F  Fat  ma
k


Fat

k


 Fat

s



coeficiente de atrito cinético

k  s


Slide 13

Material de apoio: dinâmica
Forças de resistência
opõem-se sempre ao movimento
objectos pequenos a cair com velocidades pequenas
y
através de um fluido



Coeficiente – depende das propriedades
do meio e da forma do objecto


FR


v


P



FR (t )  bv (t )





R (t )  P  FR (t )   mg  bv(t )  u y  ma (t )




t1 : FR (t1 )   P  R (t1 )  0  a  0


m
FR (t1 )   P  vT  v(t1 ) 
g
b

b


t 
mg 
v(t ) 
1 e m 

b 



velocidade terminal


Slide 14

Material de apoio: dinâmica


Forças de resistência
opõem-se sempre ao movimento
objectos grandes a cair no ar (paraquedistas em queda livre,…)

y

D – coeficiente de arrastamento, depende do
meio e do objecto

A


FR


v


P

  densidade do meio


1
2
A - área da secção do objecto na
FR (t )  DAv (t )u y
direcção do movimento
2




1


2
R (t )  P  FR (t )    mg  DAv (t )  u y  ma (t )
2






t1 : FR (t1 )   P  R (t1 )  0  a  0



FR (t1 )   P  vT  v (t1 ) 

velocidade terminal

2mg
DA


Slide 15

Material de apoio: dinâmica


Referenciais não inerciais
P
S

y

S’ y’

A


A-

aceleração de S’relativamente a S

,
r (t )


r (t )


rO, (t )

O’

z’

x’

 ,
t t

,



r (t )  r (t )  rO ' (t )



,
v (t )  v (t )  V (t )

 ,


a (t )  a (t )  A(t )

O

x
z

S’- referencial não inercial

S – referencial inercial




R(t )  FI (t )  ma ' (t )



R (t )  ma (t )

resultante das forças aplicadas

força de inércia



FI (t )   mA(t )

não validade das leis de Newton 
introdução das forças de inércia


Slide 16

Material de apoio: dinâmica


Referenciais não inerciais

S

S’

FI


T




A-


A


P

aceleração de S’relativamente a S

S – referencial inercial





R(t )  P  T  ma (t )  mA


forças aplicadas

tg 

massa move-se

com A

A
g

S’- referencial não inercial





R(t )  P  T  FI  ma ' (t )  0

força de inércia:  mA







massa em repouso em
S’




P  T  mA

Com introdução da
força de inércia em S’
obtem-se a mesma
equação em S e S’


Slide 17

Material de apoio: dinâmica


Referenciais não inerciais

S


N



S’



- velocidade angular de rotação de S’, fixo à mesa
rodante, em torno de eixo dos zz


T 

r
v

S – referencial inercial




R (t )  P  N  T (t )


P



v 
 ma (t )  mA(t )  m
u N (t )
r



 m    r (t ) 
2

S’- referencial não inercial

massa em repouso em S’







R(t )  P  N  T (t )  FI  ma ' (t )  0

força de inércia:

2

v 
 mA   m
uN
r



força centrífuga





2



v 
P  N  T (t )  m
u N (t )
r

Com introdução da
força de inércia em S’
obtem-se a mesma
equação em S e S’


Slide 18

Material de apoio: dinâmica


Nota sobre a conservação do momento linear

dP
dt



(t )   Fiext (t )  Fext (t )
N



i 1

resultante das forças externas

 dPx
 dt (t )  Fext x (t )

 dPy
(t )  Fext y (t )

 dt
 dPz
(t )  Fext z (t )

 dt

momento linear conserva-se nas direcções em que a resultante das
forças externas for nula

Ex:

 dPx
 dt (t )  0  Px  constante



 dPy
Fext (t )  F (t )u y  
(t )  Fext y (t )  0  Py  constante
 dt
 dPz
(t )  0  Pz  constante

 dt


Slide 19

Material de apoio: dinâmica


Nota sobre a conservação do momento angular

dL
dt



(t )   N iext (t )  N ext (t )
N



i 1

momento resultante das forças externas

 dL x
 dt (t )  N ext x (t )

 dL y
(t )  N ext y (t )

 dt
 dLz
(t )  N ext z (t )

 dt

momento angular conserva-se nas direcções em que o momento
resultante das forças externas for nulo

Ex:

 dL x
 dt (t )  N ext x (t )  0  L x  constante



 dL y
Fext (t )  N (t )u x  
(t )  0  L y  constante
 dt
 dLz
(t )  0  Lz  constante

 dt