Slide 1

Fyzika pre geológov
a aplikovaných
geofyzikov
Úvodný kurz pre
poslucháčov geológie a
aplikovanej geofyziky
- 1 -


Slide 2

1. Základné pojmy mechaniky:

Mechanika - skúma pohybové stavy telies (kinematika) a ich príčiny (dynamika):
Pojem vzťažnej sústavy – zvyčajne pravouhlá (kartézska) - (x, y, z)
niekedy (z praktického hľadiska) – výhodnejšia iná, napr. sférická - (r, , )

Sférická sústava súradníc v 3 – rozm.priestore
r, θ, 

Kartézska sústava súradníc v 3 - rozm.priestore
x, y, z

- 2 -


Slide 3

Kinematické veličiny - dráha x(t) , rýchlosť v(t) , zrýchlenie a(t) - vektory

všeobecne:
rýchlosť - zmena dráhy v čase (1.časová derivácia)
zrýchlenie - zmena rýchlosti v čase (2.časová derivácia dráhy)
Pohyb rovnomerne zrýchlený (napr. voľný pád – približne) so zrýchlením a :

Tiažové zrýchlenie na povrchu Zeme
(približne):
9,7803 m . s – 2 (na rovníku)

Jednotky:
rýchlosť - m . s – 1
zrýchlenie - m . s

- 2

9,8322 m . s
- 3 -

– 2 (na póloch)


Slide 4

Pohyb po zakrivenej trajektórii (uvažujeme zatiaľ v rovine):
rýchlosť - smer dotyčnice (tangenty) k trajektórii
zrýchlenie - obecný smer, rozložíme na 2 (navzájom kolmé) zložky:
tangenciálne (T) v smere dotyčnice - zmena absolútnej
hodnoty (veľkosti) rýchlosti;
normálové (N) v kolmom smere (v rovine dráhy) – zmena
smeru rýchlosti;
(v prípade pohybu po priestorovej krivke sú dve normály (N1 , N2), ktoré
spolu s dotyčnicovým vektorom (T) tvoria tzv. Frenetov trojhran).

- 4 -


Slide 5

Rozklad zrýchlenia (a) na zložku
tangenciálnu a normálovú (T je
jednotkový vektor v smere dotyčnice):

▲
Pri rovnomernom otáčavom pohybe po
kružnici je tangenciálne zrýchlenie
nulové – obvodová rýchlosť si udržiava
rovnakú veľkosť.

Dotyčnicový vektor T a v nasledujúcom
okamihu je (T + ΔT) – zmena smeru o
uhol ΔΘ, čiže zmena dotyčnicového
vektora o ΔT

Vo všeobecnosti je normálové zrýchlenie an = - (v2 / ρ) . n , kde v je veľkosť rýchlosti telesa,
ρ je polomer krivosti dráhy v danom bode a n je vektor vonkajšej normály k dráhe v danom
bode (preto je vo vzorčeku znamienko mínus). Je kolmý na dotyčnicu v danom bode a
smeruje tak, že oblúk krivky je na opačnej strane dotyčnice.
- 5 -


Slide 6

Sila – jednotky:
Jednotkou sily je 1 Newton (N) - je to sila, ktorá telesu o hmotnosti 1 kg udelí
zrýchlenie 1 m . s – 2 (v smere pôsobiacej sily).
► Keďže sila (aj zrýchlenie) sú vektory, pre ich skladanie a rozklad platia tie isté
geometrické poučky pre súčet, prípadne rozdiel vektorov. Často je ale v kinematike
nutné najprv aplikovať rovnobežný prenos vektora (viď odstredivé zrýchlenie).
► Ak charakterizujeme zmenu pohybového stavu telesa pôsobením sily, treba brať do
úvahy nielen veľkosť sily, ale aj čas, po ktorý pôsobí. To reflektuje fyzikálna veličina
označovaná ako impulz sily (I). Je to vektor – v prípade sily konštantnej v čase bude
mať smer tejto sily a veľkosť rovnú súčinu veľkosti sily a času jej pôsobenia.
V prípade sily premennej v čase je to zložitejšie – impulz vypočítame integrovaním
sily podľa času. Je to veličina viazaná na časový interval (pôsobenia sily).
▼
Okamžitý pohybový stav telesa charakterizuje jeho hybnosť (p)
– súčin hmotnosti a rýchlosti.
▼

I

 F dt

Impulz sily je rovný zmene hybnosti telesa za
dobu pôsobenia sily - (1.veta impulzová)
- 6 -

p  mv


Slide 7

Newtonove zákony pohybu:
1. zákon (zákon zotrvačnosti): Teleso zotrváva v pokoji alebo rovnomernom

priamočiarom pohybe, ak nie je donútené vonkajšou silou tento stav zmeniť.
2. zákon (zákon sily): Sila pôsobiaca na teleso mu udeľuje zrýchlenie, ktorého

veľkosť je daná podielom veľkosti sily ( | F |) a hmotnosti telesa (m). Smer
zrýchlenia je totožný so smerom pôsobiacej sily.
3. zákon (zákon akcie a reakcie): Telesá na seba pôsobia vždy vzájomne,

dvojicami síl rovnakej veľkosti a opačného smeru.
Vzťažné sústavy, v ktorých Newtonove zákony platia, označujeme ako inerciálne
(inertia = zotrvačnosť). Vzťažné sústavy, v ktorých tomu tak nie je, označujeme ako
neinerciálne – zvyčajne ide o otáčavé sústavy, v ktorých sa prejavujú tzv. zdanlivé
(fiktívne) sily. Toto označenie nie je celkom korektné (žiaľ, zaužívané), nakoľko takéto
sily môžu mať (aj mávajú) veľmi reálne dôsledky (napr. sila odstredivá). Znamená to,
že nemožno udať nijaké teleso ako zdroj takejto „zdanlivej“ sily.
Aj vzťažné sústavy na povrchu našej Zeme sú de facto neinerciálne (rotácia Zeme!).
Našťastie je rotácia Zeme pomalá a zdanlivé sily ňou spôsobené sú veľmi malé – napr.
odstredivá sila alebo sila Coriolisova. V bežnom živote ich nevnímame.
- 7 -


Slide 8

Coriolisova sila - je dôsledkom rotácie našej Zeme. Ak sme na severnej pologuli a teleso
sa pohybuje na juh, „prichádza“ do miest, ktorých obvodová rotačná rýchlosť je väčšia akú
malo teleso v počiatočnom bode – teda trocha „zaostáva“ a pri pohľade smerom pohybu sa
odchyľuje vpravo (k západu). Pri pohybe telesa smerom na sever je to opačne.
Ak budeme na južnej polguli, všetko prebieha symetricky – obrátene.
Rotácia Zeme

Teleso na severnej pologuli
hodené na juh sa odchýli
vpravo

Na južnej polguli teleso
hodené na sever sa odchýli
vľavo

V bežnom živote Coriolisovu silu nepozorujeme
– často tradované tvrdenie, že podľa smeru víru
napr. pri vypúšťaní vody z vane poznáme, či sme
na severnej alebo južnej polguli, je nezmysel.
Bolo by to možné iba pri ideálne horizontálnom
dne nádoby a absolútnom kľude hladiny.
Napriek tomu má Coriolisova sila veľký význam
v meteorológii a náuke o prúdení v oceánoch.
Určuje smery prúdenia vzduchu okolo tlakových
níží a výší, ako aj prevládajúce smery morských
prúdov.

Veľké rieky tečúce zo severu na juh majú zvyčajne pravé
(západné) brehy strmšie ako ľavé (východné). Je to tiež výsledok
dlhodobého pôsobenia Coriolisovej sily.
Smery víru okolo tlakovej níže
(na severnej pologuli)

- 8 -


Slide 9

Predchádzajúce vysvetlenie Coriolisovej sily (Coriolisovho zrýchlenia) súhlasí s realitou
iba v niektorých zjednodušených prípadoch (pohyb v horizontálnej rovine) – nie je úplne
korektné.
Coriolisovo zrýchlenie je obecne dôsledok transformácie vektora zrýchlenia z inerciálnej
(nerotujúcej) vzťažnej sústavy do rotujúcej:

a C  2Ω  v

Vzťah medzi vektormi - vektorový súčin

Ω je vektor uhlovej rýchlosti rotácie (rovnobežný s rotačnou osou),
v je vektor rýchlosti telesa v rotujúcej sústave ac ┴ Ω , ac ┴ v
Smery prúdenia
vzduchových hmôt
(idealizované) ako
◄
dôsledok Coriolis.
efektu

Ak sú tieto dva vektory
rovnobežné (teleso sa pohybuje v
smere rotačnej osi) ► ac = 0

!

- 9 -

[ matematické odvodenie napr.
kniha Obetková V., Mamrillová
A., Košinárová A.: „Teoretická
mechanika“, Alfa Bratislava
1990, ods. 3.8, str. 141 - 147]


Slide 10

Zaujímavý príklad:

simulácia gravitácie na kozmickej stanici odstredivou silou
◄ na kozmickej stanici tvaru prstenca (toroidu) s vonkajším
polomerom 15 m by pri jednej otočke za 8 sekúnd by rotácia
spôsobovala odstredivé zrýchlenie práve 1 g (ako na povrchu
Zeme).

Rotácia vesmírnej stanice môže
nahradiť na jej palube gravitáciu

Pohyb loptičky a ruky videný
z bodu mimo stanice:

Ak v takejto situácii vyhodíte do
výšky 2 m zvisle „hore“ (na stred
otáčania stanice) loptičku, spadne
Vám nie k nohám, ale asi 1,6 m ►
„do boku“ – pretože dráha loptičky
je už porovnateľná s polomerom
otáčania. Pre posádku by takéto
„efekty“ boli asi nie veľmi príjemné.

rýchlosť
vrhu lopty

Smer
pohybu
stanice

Coriolisovo
zrýchlenie
Odstredivé zrýchl.

stred
rotácie

◄ takto by sa javil pohyb (loptičky aj vrhajúceho) v sústave
inerciálnej (nerotujúcej so stanicou). Dráha loptičky je zelená.
hod lopty

Dráha vrhajúcej
ruky (15,7 m.s-1)

dráha lopty (16,7 m.s-1)

- 10 -


Slide 11

Ťažisko telesa (barycentrum, hmotný stred):
Pre sústavu dvoch hmotných bodov platí, že ťažisko sústavy sa nachádza na ich spojnici a
delí ich vzdialenosť v nepriamom pomere hmotností bodov (je bližšie k väčšej hmotnosti):
◄

CM = center of mass

Pre sústavu n hmotných bodov (i-tý bod má hmotnosť mi a polohový vektor ri ) platí:

(polohový vektor ťažiska) – pre všeobecné teleso integrovaním

U symetrických telies nájdeme ťažisko pomocou tabelovaných vzťahov, u zložitejších
telies možno spočítať približne – alebo experimentálne (vážením).
Veta o pohybe ťažiska: ťažisko telesa sa pohybuje tak ako hmotný bod s
celkovou hmotnosťou telesa pri pôsobení rovnakej sily (síl).
- 11 -


Slide 12

Moment sily a moment hybnosti:
Moment sily vzhľadom na určitý bod kvantifikuje otáčavý účinok danej sily na teleso
upevnené (otočne) v danom bode – (napr. moment udávaný výrobcom motora, alebo
prípustný moment pri uťahovaní skrutiek).
Pre hmotný bod je daný súčinom veľkosti sily a dĺžky kolmice z daného bodu na
smer pôsobenia sily (ak smer sily daným bodom prechádza, moment je nulový).

◄
jednoduché
príklady na moment
sily (otáčavý moment)

- 12 -


Slide 13

Moment hybnosti („impulzmoment“) hmotného bodu vztiahnutý na určitý stred je daný
súčinom hybnosti bodu (m . v) a dĺžky kolmice spustenej z tohto stredu na vektor
rýchlosti hmotného bodu :
(vektorový súčin !)
Ak sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi, má vektor momentu hybnosti smer tejto osi ,
lebo vektory rýchlosti všetkých bodov telesa, ako aj ich polohové vektory vzhľadom na
stredy otáčaní ležia v rovinách kolmých na os otáčania.
Časová zmena momentu hybnosti telesa (získame ju ako totálnu deriváciu vektora
rýchlosti podľa času) sa rovná momentu pôsobiacej sily (síl), lebo derivovaním podľa
času z výrazu (m . Vi ) dostaneme (m . ai ) - čiže silu Fi .
Platí preto zákon zachovania momentu hybnosti: ak na teleso (alebo sústavu telies)
nepôsobia vonkajšie sily, jeho (jej) moment hybnosti sa nemení.
Určitú opatrnosť vyžaduje aplikácia predošlých viet na teleso s premennou hmotnosťou
počas pohybu (napr. aktívny pohyb rakety, kedy zmena hmotnosti môže byť veľmi značná).
- 13 -


Slide 14

Precesný pohyb zotrvačníka (rotujúceho telesa) pôsobením „bočných“ síl – síl so
zložkami kolmými na os rotácie:

Ak je rotačná os zotrvačníka
odchýlená od vertikály –
potom moment dvojice síl
►
(gravitačnej a reakcie podložky)
vyvoláva precesný pohyb osi

Rotačný
moment

Smer
precesie

Smer
rotácie
Moment sily
gravitácie
pôsobí precesiu

Túto vlastnosť zotrvačníka využívame v bežnom živote – pri bicyklovaní alebo jazde na
motocykli, a to tým výraznejšie, čím rýchlejšie ideme. Zotrvačníkmi sú v tomto prípade
kolesá a precesný uhol (uhol precesného kužela) je tým menší, čím rýchlejšia je rotácia.
Naučený vodič vyrovnáva precesné momenty automaticky pohybmi riadidiel.
Ďalším príkladom je rotácia delových striel alebo striel z ručných zbraní – bočné sily,
napr. od vetra, ovplyvňujú pohyb strely podstatne menej – vyvolávajú iba precesiu, ktorá
síce o niečo zvyšuje odpor vzduchu, ale os strely si udržiava pôvodný smer.
- 14 -


Slide 15

Príklad - precesia zemskej osi:
Zem je vlastne obrovský zotrvačník. Účinkom gravitácie Mesiaca a Slnka („bočné“ sily) jej
os vykonáva precesný pohyb po povrchu symbolického kužeľa, ktorého os je kolmá na
ekliptiku (rovinu obehu Zeme okolo Slnka) a vrcholový uhol je približne 47o (2 x 23,5o ).
Tento jav objavil už v antickom Grécku okolo r. 150 pred Kristom astronóm Hipparchos.
Úplnú otočku vykoná zemská rotačná os za 25780 rokov.
Vega (budúca
Severka roku
14000)

Polárka (dnešná Severka)

Dnes sa nebeský severný pól nachádza v blízkosti
Polárky – avšak okolo roku 14000 bude „Polárkou“
jasná hviezda Vega, až napokon okolo r. 27800 sa
vráti k našej dnešnej Polárke.
▼

Precesia
zemskej
osi

- 15 -


Slide 16

Newtonov gravitačný zákon:

Isaac Newton
(1643 – 1727)
Jeho základné dielo
„Philospohiae
Naturalis Principia
Mathematica“
vyšlo r.1687

Oproti silám elektrickým, ktoré môžu byť
príťažlivé aj odpudivé, gravitačné sily sú
iba príťažlivé. Preto gravitácia, ktorá
je v mikrosvete zanedbateľná, vo Vesmíre
je rozhodujúcou silou.
Gravitácia je sila centrálna – pôsobí vždy smerom
spojnice ťažísk (hmotných stredov) oboch telies.
Hodnotu konštanty G (niekedy býva označovaná κ)
určil prvýkrát Henry Cavendish pomocou torzných
váh - schéma jeho experimentu na ďalšej stránke ►
- 16 -


Slide 17

Určenie G torznými váhami
(Henry Cavendish - 1798).
Napriek pokroku meracej
techniky je táto konštanta
dodnes najmenej presne určenou
fyzikálnou konštantou – iba na 4
desatinné miesta.
Presné merania sú veľmi
obťažné a náročné. V astronómii
a kozmonautike (výpočty dráh)
sa pracuje so súčinmi (G . M),
kde M je hmotnosť príslušného
telesa (napr. Zeme). Hodnoty
týchto súčinov sú známe s oveľa
vyššou presnosťou.

Kremenné vlákno ►

- 17 -


Slide 18

Keplerove zákony pohybu planét:
Kepler bol prvý, ktorý opustil
filozofický predpoklad kružníc
ako dokonalých dráh nebeských
telies, považovaný vtedy za
samozrejmosť. Toto „zväzovalo
ruky“ Kopernikovi.

1.zákon: Planéty sa pohybujú okolo Slnka po
elipsách, v ktorých ohnisku je Slnko.

za rovnaký čas =
rovnaká plocha

Johannes Kepler
(1571 - 1630)

2.zákon: (zákon stálej plošnej rýchlosti)
sprievodič planéty (úsečka
spájajúca ju so Slnkom) opíše
◄
za rovnaký čas rovnakú plochu
(čím ďalej je teleso od Slnka, tým pomalšie sa
pohybuje)
- 18 -


Slide 19

P1

2

2
2

P



R
R

3
1
3
2

Príklad: planéty Zem a Jupiter. Obežná doba
Jupitera je 11,86 roku (11,86-násobok obežnej
doby Zeme), veľká polos jeho dráhy (oproti
Zemi) je 5,2-krát väčšia. Malo by teda platiť:
(5,2) 3 = (11,86) 2
čo, v súlade s 3. Keplerovým zákonom, platí.

3.zákon: druhé mocniny obežných dôb (P1, 2) sú v rovnakom pomere
ako tretie mocniny veľkých polosí dráh (R1, 2) – pre každú
dvojicu telies obiehajúcich okolo toho istého centrálneho
telesa.
Johannes Kepler formuloval tieto zákony na základe viac ako 20-ročných pozorovaní
planét, ktoré vykonal Tycho de Brahe so svojími spolupracovníkmi empiricky – bez
teoretického zdôvodnenia.
Až Isaac Newton dokázal, že vyplývajú (sú dôsledkom) gravitačného zákona.
V skutočnosti sú pohyby planét zložitejšie, nakoľko síce gravitačné pôsobenie Slnka na
každú z nich je rozhodujúce, ale vzájomné gravitačné pôsobenie medzi planétami nie je
úplne zanedbateľné – pri presných výpočtoch musí byť uvažované.
- 19 -


Slide 20

Pohyb telesa v gravitačnom poli na malé vzdialenosti:
na malé vzdialenosti (do ~ 10 – 20 km) možno gravitačné pole Zeme považovať za
priestorovo homogénne – čiže zanedbať, že smery gravitanej sily v rôznych bodoch nie
sú rovnobežné (lebo smerujú do ťažiska Zeme) a zanedbať pokles gravitačnej sily s
výškou nad povrchom Zeme (podľa Newtonovho zákona).
Vtedy možno povedať, že vrhnuté (alebo vystrelené) teleso sa pohybuje po
oblúku paraboly (samozrejme pri zanedbaní odporu vzduchu) a platia známe
vzorce pre volný pád a šikmý vrh známe zo strednej školy.

◄ stroboskopický záber šikmo
hodenej lopty, odrazenej od podlahy.
◄ „parabolické“ oblúky sú vlastne
malé časti oblúkov elíps. Tie sú v

blízkosti vrcholov od parabol na
„nerozoznanie“.
Keby sme Zem nahradili jej celkovou
hmotnosťou sústredenou v ťažisku, lopta
by opisovala (veľmi excentrickú)
eliptickú dráhu okolo neho.

- 20 -


Slide 21

Príklad – rôzne prípady šikmého vrhu (na malú vzdialenosť) pod odlišnými uhlami
(spolu s odpovedajúcimi vzťahmi pre horizontálne (X) a vertikálne (Y) zložky
zrýchlenia (a), rýchlosti (v) a dráhy (X, resp. Y).
Jednotlivé body zobrazujú polohy telesa v rovnako časovo posunutých
(ekvidistantných) časových okamihoch.

- 21 -


Slide 22

V prípade pohybu na vzdialenosti porovnateľné s veľkosťou Zeme a väčšie, dráhou telesa
v centrálnom gravitačnom poli (ktorého zdrojom je iba jedno ďalšie teleso) môže byť iba
kuželosečka (elipsa, parabola alebo hyperbola) – záleží na počiatočnej rýchlosti (parabola je
hraničný prípad).
Kuželosečky:

Kružnica

- 22 -


Slide 23

Energia, práca, výkon:
Ak sila pôsobí na teleso po určitej dráhe, koná prácu. Uplatňuje sa iba zložka sily v smere
dráhy - sila pôsobiaca kolmo na smer dráhy telesa prácu nekoná.
Preto máme vo výraze pre prácu skalárny súčin vektorov sily F a dráhy s: A = F . s
Energia je fyzikálna veličina charakterizujúca teleso alebo sústavu telies, pričom jej
zmena sa rovná práci touto sústavou vykonanou alebo spotrebovanou.
Energia aj práca majú rovnaký fyzikálny rozmer - N . m = J (joule) – jednotka práce
Formy energie sú veľmi rozmanité. V mechanike najčastejšie pracujeme s pojmami
energie kinetickej (pohybovej) a energie potenciálnej (polohovej).
Kinetickú energiu telesa o hmotnosti m, pohybujúceho sa rýchlosťou v, určuje vzťah:

Ek 

1
2

mv

2

Túto energiu spotrebujeme, ak teleso urýchlime z kľudu na
rýchlosť v. Naopak sa uvoľní – prejde do iných foriem energie –
ak teleso pohybujúce sa touto rýchlosťou zastavíme.

Ak sa teleso nachádza v silovom poli (napr. gravitačnom) možno hovoriť o jeho polohovej
energii , ktorá sa uvoľní, resp. spotrebuje, ak toto teleso premiestnime tam, kde kladieme
polohovú energiu rovnú nule (napr. povrch Zeme).
- 23 -


Slide 24

Vo fyzike rozlišujeme potenciálne silové polia, v ktorých sa pohybom telesa po
uzavretej dráhe nijaká práca nevykoná ani nespotrebuje – napr. pole gravitačné alebo
elektrické (elektrostatické).
Ale napr. pole magnetické nie je potenciálne – „našťastie“, ináč by nefungovali
elektrické motory ani generátory. V nich je premena energie spojená s obehom
elektrických nábojov (vo vodičoch) po uzavretých krivkách.
V gravitačnom poli Zeme (v blízkosti jej povrchu) je potenciálna energia telesa hmotnosti
m daná vzťahom E = m . g. h , kde g je gravitačné zrýchlenie a h zmena výšky.
V prípade práce (zmeny energie) je tiež dôležité, za aký čas bola práca
vykonaná alebo spotrebovaná.
To vyjadruje fyzikálna veličina výkon = práca za jednotku času.
Jednotkou je J . s -1 = W (watt).

Pri niektorých krátkotrvajúcich procesoch (zväčša explozívneho charakteru) môže byť
výkon obrovský, ale uvoľnená energia až tak nie – napríklad bleskový výboj: výkon až
1011 W (čo je výkon niekoľkých stovák priemerných elektrární dokopy), ale vzhľadom
na trvanie výboja – desiatky μsec – je uvoľnená energia rádu 107 J, čo zodpovedá
približne celodennému svieteniu jedinej 100 W žiarovky – teda nič mimoriadne.
- 24 -


Slide 25

Moment zotrvačnosti:
Táto mechanická veličina charakterizuje energiu rotujúceho telesa. Ak sústava bodov s
hmotnosťami mi rotuje uhlovou rýchlosťou ω okolo pevnej osi, a vzdialenosť každého
bodu od osi je ri, potom kinetická energia rotácie sústavy je:

kde I je moment zotrvačnosti sústavy bodov vzhľadom na danú os – podľa vzťahu:
Pre spojité teleso musíme súčet nahradiť integrovaním. U telies
homogénnych a symetrických sú momenty zotrvačnosti udávané
v tabuľkách.
Dôležité ale je, že moment zotrvačnosti telesa závisí na polohe rotačnej osi.

Výraz pre kinetickú energiu rotácie (hore) je analogický
výrazu pre kinetickú energiu translačného pohybu ►
iba namiesto postupnej rýchlosti v vystupuje uhlová
rýchlosť ω a úlohu hmotnosti m hrá moment
zotrvačnosti I.
- 25 -


Slide 26

Krasokorčuliarka pripažením zníži svoj moment

zotrvačnosti (okolo zvislej osi). Keďže kinetická
energia rotácie sa zachováva – zvýši sa uhlová rýchlosť.

Moment zotrvačnosti sa zníži, lebo väčší podiel hmotnosti
jej tela sa presunie bližšie k osi rotácie.
Na obrázku vpravo máme ďalší zaujímavý príklad:

Dve telesá na obrázku majú rovnakú
hmotnosť – pohybujú sa po
naklonenej rovine, trenie a odpor
vzduchu zanedbajme.
Ktoré sa bude pohybovať rýchlejšie?

Prstenec má – oproti valcu – dvojnásobný moment zotrvačnosti k ose symetrie (väčší
podiel hmotnosti je ďalej od osi!). Keďže celkový prírastok energie na rovnakej dráhe
musí byť rovnaký, u prstenca sa väčší podiel energie „spotrebuje“ na roztočenie a teda
menej „zostane“ na urýchlovanie - prstenec sa bude pohybovať pomalšie.
- 26 -

▼


Slide 27

Vlastnosti látok v plynnom skupenstve:
Z hľadiska fyzikálneho popisu je plynné skupenstvo najjednoduchšie. Budeme sa opierať
o molekulárne - kinetickú teóriu ideálnych plynov (plynov za „nie príliš vysokých“ to upresníme – tlakov a teplôt). Ide o klasickú (nie kvantovú!) teóriu, ktorej základné
predpoklady sú:
► molekuly plynov (základné stavebné častice) považujeme za dokonale pružné
guľky

► pohybujú sa náhodne všetkými smermi

► ich rozmery sú veľmi malé oproti ich priemerným vzdialenostiam
► okrem priamých, dokonale pružných zrážok, na seba nepôsobia
(ako „biliárové gule“)
Pre fyzikálny popis stavu určitého množstva ideálneho plynu – v rámci našej teórie –
postačujú tri stavové veličiny:
■ tlak p
■ teplota T (v absolútnej – Kelvinovej – stupnici) ■ objem V
(keďže objem plynu určuje priestor mu dostupný (nádoba) a hmotnosť plynu, berieme do
úvahy dohodnuté hmotnostné množstvo – zvyčajne 1 mól).
- 27 -


Slide 28

Zjednodušená predstava o pohybe molekúl v ideálnom plyne:
► tlak plynu - súhrnný účinok nárazov molekúl na steny nádoby
► teplota plynu – miera strednej rýchlosti pohybu molekúl
Stavové veličiny nie sú nezávislé – spája ich určitý vzťah

pV  NkT
kde k je Boltzmannova konštanta =
1,381 . 10 – 23 J . K -1

■ rozmery molekúl malé vôči ich priemerným vzdialenostiam
■ molekuly v stálom náhodnom (chaotickom) pohybe

■ zrážky molekúl sú dokonale pružné (elastické)
■ ustálený pohyb (prúd plynu) sa superponuje na ich pohyb náhodný

- 28 -


Slide 29

Stavová rovnica ideálneho plynu pre jeho hmotnostné množstvo n mólov:

pV  nRT
R je univerzálna plynová konštanta:

R = 8,314 J . K -1. mol

-1

Univerzálna preto, lebo platí pre ľubovolný plyn aj zmes plynov, bez ohľadu na chemické
zloženie, ak uvažujeme hmotnostné množstvo v móloch (v prípade zmesi treba uvažovať
priemernú molekulárnu hmotnosť).
◄ Ludwig Boltzmann (1844 – 1906) zakladateľ termodynamiky a
štatistickej fyziky. Prvý odvodil konštantu v stavovej rovnici – pre
prípad, že hmotnostné množstvo plynu uvažujeme cez počet
molekúl (spojitosť s tzv. Avogadrovým číslom).
Veličina k = 1,381 . 10-23 J . K-1 sa označuje ako Boltzmannova
konštanta. Obrazne povedané, „preniká“ celou modernou fyzikou.
- 29 -


Slide 30

Absolútna (termodynamická alebo Kelvinova) stupnica teplôt je zavedená tak,
že v jej nulovom bode – tzv. absolútna nula teploty – by sa akýkoľvek pohyb molekúl v
ideálnom plyne zastavil. Nemožno ju dosiahnúť v konečnom čase – 3.veta termodynamická.
Platí:

0 K =

- 273,16 ° C

◄ Lord Kelvin, občianskym menom William Thomson (1824 –
1907) – význačný anglický fyzik. Zanechal trvalú stopu nielen
vo fyzike, ale zaoberal sa veľmi úspešne aj elektrotechnikou a
strojárstvom. Bol o.i. mimoriadne zručný experimentátor.
Zaslúžil sa aj o prvé úspešné káblové telegrafické spojenie medzi
Amerikou a Anglickom (16.8.1858 si prezident USA J. Buchanan a
kráľovná Viktória vymenili prvýkrát pozdravné telegramy).

Za celoživotné dielo bol povýšený do šľachtického stavu.

Termodynamická stupnica teplôt je odvodená na základe teplotnej rozťažnosti plynov:
Teplotná rozťažnosť pevných látok aj kvapalín - malá a závislá na druhu látky (chem. zložení)
plynov – výrazne väčšia a nezávislá na druhu plynu.
Pri teplote 0 K by mal objem každého plynu klesnúť na nulu a pohyb molekúl by sa mal
zastaviť. Prirodzene to nie je možné – nastupujú kvantové efekty. Absolútna teplotná
stupnica (termodynamická) je ale definovaná a platí.
- 30 -


Slide 31

James Clerk Maxwell (1831 – 1879) – významný anglický fyzik. Je všeobecne známy
skôr svojou epochálnou teóriou elektromagnetického poľa, na ktorej stojí celá moderná
elektrotechnika a telekomunikačná technika, ale jeho príspevok k termodynamike je práve
tak významný – budeme hovoriť o Maxwellovom rozdelení rýchlostí molekúl plynu ►

◄ J.C.Maxwell s manželkou Katherine (a psíkom) –
(1869 - jedna z prvých fotografií v Anglicku vo
verejnom fotoateliéri).
O.i. odvodil štatistické rozloženie rýchlostí molekul v
ideálnom plyne - Maxwellovo rozdelenie rýchlostí: ▼
Vodorovná os – rýchlosť
molekúl plynu (príklad –
vzduch);
Zvislá os – pomerné
zastúpenie (podiel
počtu) molekúl;

Červená a modrá krivky
sú pre odlišné teploty
(modrá pre vyššiu).

- 31 -


Slide 32

Deje v plynoch a p – V diagram:
Podľa toho, či niektorá zo stavových veličín (p, V alebo T) zostáva konštantná, rozoznávame:
► dej izobarický - pri stálom tlaku - možné „praktické prevedenie“ na obrázku: ▼
► dej izochorický (izometrický) - pri stálom objeme (uzavretá
nádoba)
► dej izotermický - pri stálej teplote
Veľmi dôležitý je v termodynamike dej adiabatický – ak nenastáva
výmena tepelnej energie medzi plynom a okolím. To možno zaistiť buď
- dokonalou tepelnou izoláciou alebo tým, že:
- dej prebehne tak rýchlo, aby bol prestup tepla z alebo do plynu takmer
zanedbateľný.

- 32 -


Slide 33

Vysvetlenie k tabuľke na predchádzajúcej stránke:
Index A zodpovedá počiatočnému stavu, index B konečnému.
Veličina U značí zmenu vnútornej energie plynu, veličina Q zmenu tepelnej energie (teplo plynom prijaté
alebo mu odobraté) a veličina W predstavuje mechanickú prácu na plyne vykonanú (mechanickú prácu
na plyne vykonanú (+) alebo plynom odovzdanú (-).
Prvá veta termodynamická hovorí, že prírastok ΔU = súčtu prírastkov (zmien) (ΔQ + ΔW)

Znázornenie dejov v plynoch pomocou p – V diagramov:
Dej izochorický a izobarický:

Dej izotermický:

- 33 -


Slide 34

Všetky 3 veličiny (p, V, T) naraz možno
ukázať iba na 3-D grafu v axonometrii:

Dej adiabatický:

Izotermy
Adiabatická
expanzia

Vo výraze p = C / V γ je veličina γ tzv. adiabatický exponent, ktorý sa rovná pomeru
merných (špecifických) tepiel plynu pri stálom tlaku cp a stálom objeme cV ( γ = cp / cV )
Obrázok vpravo ukazuje, ako pri adiabatickej expanzii teplota plynu klesá, teda
pohybujeme sa smerom k izotermickej krivke (hyperbola) pre nižšiu teplotu.
Adiabatická krivka je strmšia ako izotermická.
Plocha na p – V diagrame zodpovedá energii (pri deji uvoľnenej alebo spotrebovanej).
- 34 -


Slide 35

Merné teplá plynov pri stálom tlaku cp a pri stálom objeme cV sa líšia (u kvapalín a pevných
látok prakticky nie, preto u nich uvádzame jedinú hodnotu merného tepla). Ak zohrievame
plyn pri stálom tlaku, musíme mu umožniť expanziu. Pri nej plyn koná dodatočnú prácu, ktorú
musí dodať tepelný zdroj. Je preto cp > cV

Hodnota adiabatického exponentu (niekedy sa označuje ako Poissonov koeficient) závisí iba
na molekulárnej štruktúre plynu (počtu atómov v molekule).
Základné vety termodynamiky. Deje vratné a nevratné:
► 1.veta termodynamická (v podstate zákon zachovania energie aplikovaný v termodynamike):
nemôže existovať zariadenie (stroj), ktorý by trvale konal prácu bez zmeny vnútornej
energie (napr. celkovej energie pohybu molekúl) alebo energie okolia (tzv. perpetuum
mobile 1.druhu).

► 2.veta termodynamická: nemôže existovať zariadenie (stroj), trvale konajúci
prácu iba „na účet“ trvalého ochladzovania nejakého telesa. Ekvivalentná
formulácia: samovoľne môže teplo (tepelná energia) prechádzať iba z telesa
teplejšieho na chladnejšie, nikdy opačne (dôležité je slovo „samovoľne“). Také
zariadenie by sa označovalo ako „perpetuum mobile 2.druhu“.
► 3.veta termodynamická: absolútnu nulu teploty nie je možné dosiahnuť nijakým
termodynamickým procesom v konečnom čase (tzv. Nernstov teorém).
- 35 -


Slide 36

Tepelné stroje, ich účinnosť. Carnotov cyklus.

Tepelné stroje (zariadenia premieňajúce tepelnú energiu na mechanickú prácu) tvoria bez
zveličovania základ modernej civilizácie. Historicky prvý bol parný stroj, pri zlepšovaní
ktorého boli precizované termodynamické vzťahy a zákony.
Ale aj spaľovací motor, parné a plynové turbíny sú tepelné stroje. Je pravdou, že v
modernej spoločnosti sa čo raz viac využíva energia elektrická, túto ale vyrábame iba
pomocou tepelných strojov (aj vodnú elektráreň možno – svojím spôsobom – považovať za
„tepelný stroj“, lebo vyparovanie vody do atmosféry, jej kondenzácia a prúdenie v riekach sa deje na
účet tepelnej energie zo Slnka). Získavať elektrinu veľkochovom elektrických rýb by bolo problematické.
Prvý, tzv. “atmosférický“ parný stroj skonštruoval Thomas
Newcomen r. 1712. Používal sa iba na čerpanie vody z anglických
baní. Jeho účinnosť bola veľmi malá, pracoval pomaly, ale pre
uvedený účel to postačovalo. Ventily pre vodu a paru sa ovládali
ručne, ale už r.1713 mladý učeň Humphrey (nie Harry!) Potter
dostal nápad ich ovládať „automaticky“ pohybom piestu.

Všeobecne sa v Anglicku a neskôr inde rozšíril až parný stroj
zdokonalený Jamesom Wattom (1736 – 1819). Vo Wattovom
stroji para tlačila na piest striedavo z obidvoch strán, stroj mal
odstredivý regulátor otáčok a Watt neskôr konštruoval
dvojvalcové stroje s kľudnejším chodom. Prvý rýchlobežný
stroj postavil r. 1774 a v spolupráci s továrnikom Matthewom
Boultonom začala komerčná výroba parných strojov podľa
Wattových patentov r. 1776. Roku 1800 Watt svoje patenty
venoval verejnosti.

- 36 -


Slide 37

James Watt (1736 – 1819) sa dožil mohutného a víťazného nástupu
parných strojov. V roku 1800, keď sa dobrovoľne vzdal patentových
práv, už v celom Anglicku fungovalo viac ako 1500 jeho strojov.
Na sklonku života mu bolo ponúknuté povýšenie do šľachtického
stavu, čo s vďakou odmietol.

Na obrázku vpravo je presná (a fungujúca !)
kópia Wattovho stroja z roku 1788. Je v ►
technickom múzeu Henryho Forda v Dearbornu
v USA. Výkon stroja bol 10 „koňských síl „ (v
dobových jednotkách) , točil 50 otáčok za min.

Parné stroje dobývali dopravu (lokomotívy, parolode), využívali sa aj v poľnohospodárstve
(stacionárne stroje) a ďalej sa zlepšovali. Napriek technickým a technologickým úpravám a
zdokonaleniam však účinnosť zostávala na pomernej nízkej hodnote okolo 12 – 15 %. Vec
objasnil roku 1824 ►►

- 37 -


Slide 38

francúzsky vynálezca (armádny dôstojník – na ►
obrázku v uniforme kadeta prestížnej dôstojníckej
školy) Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796 – 1832).
Žiaľ, zomrel 36-ročný v Paríži počas cholerovej
epidémie. Jeho synovec, Marie Françoise Carnot, bol
v rokoch 1887 – 1894 francúzskym prezidentom.
Skonštruoval matematický model (Carnotov cyklus),
ktorým dokázal, že existuje neprekročiteľná hranica
účinnosti tepelného stroja, ktorá je daná iba pomerom
absolútnych teplôt tzv. ohrievača TH (pracovného
plynu do stroja vstupujúceho) a tzv. chladiča TC
(plynu opúšťajúceho stroj - jeho pracovný priestor ).

Táto účinnosť η je daná Carnotovým vzťahom:
W je užitočná mechanická energia
ktorú môžeme zo stroja získať;
QH je tepelná energia za rovnaký
čas do stroja vstupujúca
Akýmkoľvek technickým zdokonaľovaním stroja sa k tejto hranici možno iba priblížiť.

- 38 -


Slide 39

Carnotov cyklus:
Carnotova max.účinnosť:

Úsek 1 – 2 : adiabatická kompresia (bez prívodu tepla), teplota plynu sa zvýši z T1 na T2
Úsek 2 – 3 : izotermická expanzia pri teplote T2 (pre jej udržanie treba dodávať tepelnú energiu Q2)

Úsek 3 – 4 : adiabatická expanzia (bez prívodu tepla), teplota plynu poklesne z T2 na T1
Úsek 4 – 1 : izotermická kompresia pri teplote T1 (pre jej udržanie treba odviesť tepelnú energiu Q1)
Vo forme mechanickej práce možno získať najviac rozdiel tepelných energií (Q2 - Q1) .
Cyklus môže prebiehať aj opačným smerom (chladnička, tepelné čerpadlo) – vtedy musíme
mechanickú prácu do systému dodávať.

- 39 -


Slide 40

Oproti iným formám energie – súvisiacim s usporiadaným pohybom častíc, napr. elektrický
prúd – predstavuje tepelná energia chaotický – neusporiadaný – pohyb molekúl látky. Preto
je, obrazne povedané „menej ušľachtilá“ a nemožno ju nijakému telesu odobrať úplne.
► Tlak vo valci stroja možno snadno zmerať manometrom, práve tak ako objem pracovného
priestoru je úmerný polohe piestu. Možno teda na reálnom stroji jeho pracovný cyklus v p – V
diagramu vykresliť – dostaneme tzv. indikátorový diagram stroja – viď obrázok získaný počas
skúšok:
▼ (diagram je otočený o 180◦)
Steam admission starts =
Exhaust port opens =
% of piston stroke =
Terminal pressure =
Back pressure =
Steam cutoff =

para začína vstupovať do valca
otvorenie výfuku
% zdvihu piestu
tlak vo valci pri otvorení výfuku
tlak okolia
uzavretie vstupu pary

Horná úvrať - max.tlak ►

Koniec plnenia

začiatok
plnenia

expanzia ►

výfuk
▼
◄ dol.úvrať

atm.tlak
nulový tlak - vákuum

Objem (v % zdvihu piestu)

- 40 -


Slide 41

Historická zaujímavosť: absolútne najväčšie a najvýkonnejšie klasické parné stroje postavila
v rokoch 1910 – 1911 firma Harland & Wolff z Belfastu pre známy parník Titanic. ▼
Na obrázku vpravo je presný model stroja: ►
Titanic mal dva takéto stroje po 4 valce - jeden
vysokotlaký, jeden stredotlaký a dva nízkotlaké
(para cez ne prúdila postupne). Celý stroj bol 10
m vysoký a vážil približne 1000 ton.
Priemery valcov boli v poradí – 1,35 m, 2,1 m a
2,43 m, zdvih bol spoločný – 1,87 m.
Pri menovitom výkone 16000 koňských síl, čo je
11700 kW, otáčali priamo lodnou skrutkou 76
otáčok za minútu.
Do vysokotlakých valcov vstupovala para pod
tlakom približne 1,5 MPa (14,8 atmosfér). Paru
vyrábalo 29 veľkých kotlov, čo si vyžadovalo
„armádu“ 174 kuričov, ktorí pracovali v priamo
vražednom tempe (museli sa striedať po hodine).
Kúrilo sa uhlím, spotreba (pri menovitom výkone
na jeden stroj) bola 35 ton za hodinu – každý kurič
musel za hodinu „obslúžiť“ vyše 400 kg uhlia.

Značná zotrvačnosť pohyblivých častí mala nevyhnutne za následok, že akékoľvek zmeny
rýchlosti strojov vyžadovali dlhší čas – čo aj napomohlo tragickému záveru prvej (a
poslednej) plavby.
- 41 -


Slide 42

Nasledujúce dobové fotografie dávajú predstavu o skutočnej veľkosti strojov Titanicu:
Kľukový hriadeľ stroja uložený v spodnej časti
lôžka (z pochopiteľných príčin sa montáž stroja
vykonávala priamo vo vnútri lodného trupu):

▼

Teleso jedného valca stroja (v oválnom hrdle pre
výstup pary je vidieť hlava robotníka). Valce boli
vlastne dva – hlavný valec (s väčším priemerom)
a valec pre šúpä (prívod pary striedavo z
obidvoch strán piesta): ▼

- 42 -


Slide 43

Parné turbíny:
Parná turbína je dnes najvýznamnejší tepelný stroj – hoci si to väčšinou neuvedomujeme!
Približne 80% svetovej výroby elektrickej energie zaisťujú generátory poháňané parnými
turbínami.
Princíp činnosti je jednoduchý – para o vysokom tlaku a teplote
(dnes sú hranice okolo 15 MPa – 150 atmosfér – a + 600oC ),
prúdi medzi rotorovými a statorovými lopatkami a časť energie
odovzdáva rotoru.
▼
Činnosť dvoch základných usporiadaní turbín ukazuje obrázok.
◄ Impulzné a reaktívne
usporiadanie sa líši tým, či
„trysky“ – teda časti stroja, v
ktorých, obrazne povedané,
„vymieňame“ tlak za rýchlosť
– čiže energiu potenciálnu za
kinetickú - sú pevné alebo
pohyblivé.
Na dolných grafoch vidíme
schematický priebeh tlaku a
rýchlosti pary pozdĺž osi
otáčania turbíny.

- 43 -

▲ Časť rotora parnej turbíny,
doteraz najvýkonnejšej na
svete, s výkonom 1750 MW.
Výrobok francúzskej firmy
ALSTOM – 4 takéto turbíny
pracujú vo francúzskej
elektrárni Flamanville.


Slide 44

„Otcom“ parnej turbíny je anglický inžinier, geniálny konštruktér Charles Algernon Parsons
(1854 – 1931). Roku 1911 bol za zásluhy povýšený do šľachtického stavu.
▼
Hlavnou výhodou turbíny - oproti klasickým piestovým strojom – je
výhradne rotačný pohyb všetkých pohyblivých častí (neexistencia
vratného pohybu). Odpadajú kľuky, ojnice apod.
Určitou nevýhodou (najmä u veľkých strojov) je zotrvačnosť rotora,
ktorá nedovoľuje rýchle zmeny otáčok (výkonu). Preto sa neuplatnili
ľahké turbíny napr. v automobiloch (hoci majú oproti tradičnému
spaľovaciemu motoru podstatne vyššiu účinnosť).
Parsons zostrojil prvú pokusnú turbínu v r.1884. Už predtým ju ponúkol
(ale iba vo forme výkresov) anglickej admiralite ako perspektívny pohon lodí
– bol odmietnutý.
Kúpil starú vyradenú jachtu a so spolupracovníkmi
ju vybavil parnou turbínou. Dal jej meno Turbinia a
roku 1897 – na slávnostnej námornej prehliadke pri
diamantovom výročí kráľovnej Viktórie – vplával
medzi ozrutné vojnové lode a kľučkoval pomedzi
ne viac ako dvojnásobnou rýchlosťou (32,5 uzla
čiže 60 km . h -1 – vtedajšie bojové lode dosahovali
sotva polovičnú rýchlosť).
Admiralita rýchlo zmenila názor a odvtedy začali
vojnové lode vybavovať iba turbínovým pohonom.
Ten sa po čase presadil aj v civilnom loďstve.

- 44 -


Slide 45

Zábery prvých parných turbín:
◄ Prvá Parsonsova turbína z roku 1884 (fungovala
na dielenskom stole).

◄ Takto Parsons so spolupracovníkmi vyrábal diely
turbíny použitej na jachte „Turbinia“.

- 45 -


Slide 46

Parné turbíny významne zdokonalil švédský inžinier Carl Gustaf de Laval (1845 – 1913), ktorý
vhodným tvarovaním lopatiek dosiahol prúdenie pary medzi nimi nadzvukovou rýchlosťou. Založil
spoločnosť na výrobu turbín a elektrických generátorov, ktorá existuje dodnes pod označením ABB.
Snímok ukazuje (dnes múzejný exponát) rotor jednej z dvoch turbín poháňajúcich hrdinský
poľský torpédoborec „Wichor“, ktorý sa vyznamenal počas II. svetovej vojny.
Vidíme dva rotory na spoločnom hlavnom hriadeli – zmysel zakrivenia lopatiek bol na nich opačný,
para vstupovala z obidvoch strán (koncov) a odchádzala stredom.

- 46 -


Slide 47

Keď hovoríme o parných turbínach, pripomeňme si nášho rodáka, slovenského inžiniera
Aurela Stodolu:
Aurel Stodola (11.5.1859 Liptovský Mikuláš - 25.12.1942 Zürich, Švajčiarsko)
1877 - začal študovať strojné inžinierstvo v Zürichu na polytechnike
1884 - s vyznamenaním ukončil štúdia v Paríži
od 1892 - docent, neskôr profesor na ETH (Eidgenössische Technische
Hochschule v Zürichu, vedúci katedry konštrukcie a stavby
tepelných strojov;
úzko spolupracuje s firmou Brown, Boveri et Cie., ktorá bola
prvým výrobcom parných turbín na kontinente (mimo Anglicka)
1903 - prvé vydanie jeho základného diela „Die Dampfturbinen“
(1140 strán)
1924 - vychádza už 6.vydanie, kniha bola preložená do 4 jazykov
1931 - vzdáva sa profesorského miesta a vedenia katedry, ale pokračuje
v spolupráci s horeuvedenou firmou na zdokonaľovaní turbín.
Bol tiež priekopníkom automatickej regulácie strojov a
teórie aj praxe servomechanizmov.
Pod jeho vedením sa na ETH Zürich vybudovali rozsiahle
laboratóriá a skúšobne strojov.

- 47 -


Slide 48

Správa z tlače o úspešných skúškach spaľovacej
(plynovej) turbíny o výkone 4000 kW, ktorú
skonštruoval Prof. Stodola a vyrobila firma
Brown-Boveri v roku 1939.
▼

▲
Titulný list 4. nemeckého vydania
Stodolovej knihy z roku 1910.
- 48 -


Slide 49

Reálne plyny:
Za vysokých tlakov (stredné vzájomné vzdialenosti molekúl plynu už nie sú podstatne väčšie
ako rozmery molekúl), alebo vysokých teplôt (priemerné rýchlosti molekúl sú značné), resp.
v oboch situáciách – sa plyny už nesprávajú podľa jednoduchej stavovej rovnice p.V
p.V==R.T
R.T
Podobné správanie plynov pozorujeme aj „na opačnej strane“
pri nízkych teplotách – v blízkosti bodu varu danej látky, keď
sa blížime kondenzácii.
Na grafe vidíme časť p – V diagramu uhlovodíku ►
Izopentánu. Izotermické krivky (značené teplotou v K)
zodpovedajú pre T > 220 K ideálnym (hyperboly). Pri
nižších teplotách sa akosi „deformujú“ – objavujú sa
vodorovné úseky, na ktorých tlak nezávisí od objemu.

To zodpovedá tzv. fázovým prechodom, kedy
môžu koexistovať dve skupenstvá (plyn a kvapalina).
Kvapaliny sú takmer nestlačiteľné – objem
nezávisí na tlaku – izotermy „idú“ zvisle.

V tejto oblasti už existuje
iba kvapalina
►

Na vodorovných úsekoch izoterm sa mení pomerný podiel
plynu a kvapaliny. Izoterma, na ktorej sa začne objavovať
vodorovný úsek, je kritická izoterma. Prislúcha jej kritická
teplota TK a vodorovnému úseku kritický tlak pK .

- 49 -

Plyn + kvap.


Slide 50

Stavová rovnica pre reálne plyny (van der Waalsova):
Odvodil ju holandský fyzik Johannes Diderik van der Waals (1837 – 1923; v roku 1910
získal Nobelovu cenu za fyziku). Trvale pôsobil na amsterdamskej univerzite. ▼

P  a   
n
V

2

V
n

 b   RT

Veličiny p, V, R, T sú nám už známe zo stavovej rovnice ideálneho
plynu, n je počet mólov plynu. Parametre a, b sú charakteristické pre
každý plyn a získajú sa z experimentu – meraním.
Van der Waalsova rovnica vcelku presne popisuje správanie reálnych plynov. Dodatočné
parametre a aj b fyzikálne vystihujú jednak to, že molekuly majú vlastný objem, teda objem
plynu nikdy nemôže klesnúť presne na nulu (parameter b). Parameter a rešpektuje vplyv síl
medzi molekulami na malých vzájomných vzdialenostiach (nazývané van der Waalsove sily).
- 50 -


Slide 51

Vstupujeme teraz do sveta fázových prechodov - čiže zmien skupenstiev. Na obrázku je
výsek p – V diagramu kysličníka uhličitého (CO2), ktorý možno previesť do skupenstva
kvapalného (skvapalniť) tlakom okolo 7 MPa (70 atm.) pri izbovej teplote.
oblasť 1 - plyn sa správa ako
ideálny;
krivka 2 – hranica kondenzácie
(v zelenej oblasti sú
súčasne prítomné
plyn aj kvapalina);

kritický bod

krivka 3 - kritická izoterma;
oblasť 4 - tzv. nadkritická
oblasť p – V grafu

Pri teplotách T > TK nad teplotou
kritickou nie je možné skvapalniť
plyn iba zvyšovaním tlaku (kedysi
sa hovorilo o tzv. „permanentných
plynoch“). Plynné skupenstvo pod

oblasť kondenzácie

kritickou teplotou (T < TK )
označujeme para.

objem (cm 3)

- 51 -


Slide 52

Pojmom fáza označujeme skupenstvo (bez ohľadu na to, či ide o chemické indivíduum alebo
zmes). Hovoríme o plynnej, kvapalnej alebo pevnej fáze.
Gibbsovo fázové pravidlo:

F je počet stupňov voľnosti (freedom).
čiže voľných parametrov (p, V, T)
◄ C počet chemických individuí (čistých
látok – components)
P je počet fáz (skupenstiev – phase)

F C P2

Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903), jeden z prvých teoretických fyzikov v USA.
▼
Pôsobil 9 rokov ako profesor matematiky a
fyziky na Yaleskej univerzite – bez platu – a
existoval iba vďaka súkromným lekciám. Až
potom mu univerzita poskytla skromný plat.
Ako kuriozitu možno uviesť, že v jeho čase vedenie
univerzity celkom vážne označovalo ako hlavnú príčinu
neuspokojivej kvality výuky to, že vraj „profesori
namiesto učenia píšu knihy !“

Roku 1875 zdôvodnil horeuvedené fázové
pravidlo v základnom diele „Základy štatistickej ►
mechaniky“. Bola to prvá kniha tohto druhu v USA.

- 52 -


Slide 53

Fázový diagram jednoduchej látky (chemického indivídua) čiže p – T diagram:
► topenie
◄ tuhnutie

p

► vyparovanie
◄ kondenzácia

T – trojný bod, v ktorom môžu koexistovať
trvale všetky tri skupenstvá
C – kritický bod, nad teplotou ktorého nemôže
existovať skupenstvo kvapalné
Krivky vyznačujú fázové rozhrania – fázové
prechody. Ide o fázové prechody 1.druhu
pri ktorých sa uvoľňuje alebo spotrebúva
tepelná energia – známe skupenské teplo
(latentné), spojené napr. s prestavbou

kryštálovej mriežky.

sublimácia

T

Hranica pevná látka – kvapalina môže mať buď
kladný (doprava - ako na obr.) alebo záporný
(doľava) sklon, podľa toho, či látka pri tuhnutí
objem zmenšuje (väčšina látok) či zväčšuje
(napr. voda).

Podľa Clausius-Clapeyronovho pravidla taká zmena tlaku, ktorá má rovnaký zmysel ako
zmena objemu pri fázovom prechode, tento prechod „uľahčuje“ a naopak.

dP
dT



L
TV

Na ľavej strane je sklon fázovej hranice, L je skupenské teplo prechodu,
T je teplota prechodu a ΔV je pomerná zmena objemu pri prechode.
Napr. bod topenia ľadu tlakom klesá (korčuľovanie !)

- 53 -


Slide 54

Existujú aj fázové prechody 2. druhu, pri ktorých sa tepelná energia nespotrebúva ani
neuvoľňuje, ale dochádza (pri teplote prechodu) k skokovej zmene merného tepla látky. Je
to napr. ferromagnetický prechod, alebo supravodivý prechod. Nezaoberáme sa nimi.
Anomália vody:
V tzv. homologickom rade zlúčenín typu H2 X ( X = prvok VI.
skupiny Mendelejevovej tabuľky) sa voda vymyká svojimi
fyzikálnymi vlastnosťami: body topenia (►), body varu

Body topenia:

(vpravo dole) a kritické body (▼).

Voda je – oproti svojím homológom – kvapalná v širokom rozsahu
teplôt (0o až +100oC). Je to vďaka tzv. vodíkovým mostíkom, lebo s
kyslíkom ako najľahším prvkom VI. skupiny sa tvoria veľmi ľahko.
Je to veľmi dôležité v biochémii a pre existenciu života – ak by
„anomália vody“ nebola, bola by kvapalná iba v rozsahu teplôt
~ mínus 65o až mínus 90oC (ako na červených grafoch pre typ XH4).
Kritické teploty:

Ľahký izotop vodíka (1H1) je
akoby „jedenapol“ mocný –
vďaka kvantovému efektu
môže (okrem hlavnej väzby)
vytvoriť ďalšiu (slabšiu)
väzbu s iným – ľahkým –
atómom (napr. práve s
atómom kyslíka)

Molekulová hmotnosť

Molekulová hmotnosť

Body varu:

Molekulová hmotnosť

- 54 -


Slide 55

Alotrópia – alotropické prechody. Fázový diagram vody v širšom rozsahu teplôt.

Alotropické (u prvkov), resp. polymorfné (u zlúčenín) prechody – dôležité
pre mineralógiu a geofyziku (!) – sú spojené s prestavbou kryštálovej
štruktúry pevnej látky pri zmene teploty, príp. tlaku (skupenstvo sa ale nemení).
Asi najznámejším prípadom je uhlík (diamant, grafit, fullerit), ale aj síra, cín, a veľa

minerálov !

Poznatky o alotrópii môžu byť naozaj životne
dôležité. Príkladom je situácia Napoleónovej armády
v agresii proti Rusku (1812), kedy sa za silného

mrazu „samovoľne“ súčiastky pušiek a gombíky
na uniformách rozpadali na prášok - na vine bol
alotropický prechod cínu („sivý“ a „biely“ cín),
alebo nešťastná výprava Angličana Roberta Falcona
Scotta k južnému pólu (1912), keď sa petrolej

(palivo pre variče) v zaspájkovaných kanistroch
uložených v skladoch pozdĺž trasy „záhadne
strácal – odparoval“. Na spiatočnej ceste polárny
oddiel neustále trpel zimou a hladom, čo vyústilo
do tragédie. Príčina tá istá – bola použitá pájka s
vysokým obsahom cínu (teplota prechodu u
cínu je okolo – 35 °C).

- 55 -


Slide 56

◄ Ako príklad máme na obrázku
fázový diagram vody v oblasti vyšších
tlakov (počínajúc 10 Mpa, čo
zodpovedá 100 atmosfér). Modrou
farbou je vyznačená oblasť
kvapalného skupenstva, rímske číslice
vyznačujú rôzne polymorfné
modifikácie ľadu (líšia sa štruktúrou
kryštálovej mriežky, hustotou a i. – v
literárnom spracovaní napr. sci-fi román
Kurta Vonneguta „Ľad deväť“).

Vpravo je tiež časť fázového diagramu vody - osi p
a T sú prehodené (os p má byť správne v MPa).
Náš „bežný“ ľad s hexagonálnou štruktúrou mriežky
je označený ako „Ice I“.
►

- 56 -

Náš ľad


Slide 57

Fázové diagramy dvojzložkových (binárnych) sústav:
Sú veľmi dôležité v mineralógii, geochémii a geofyzike všeobecne. Rozoznávame dva
základné typy:

Diagram 1.druhu – eutektický:

Dve chemické indivídua (A, B) majú – každé v
čistom stave - body topenia TA, TB .
Zistíme, že s rastúcim podielom jednej zložky
(povedzme B) teplota topenia zmesi klesá podľa
čiary označenej „liquidus“, ale iba do bodu „e“.
Pri tomu zodpovedajúcom zložení má zmes
najnižšiu možnú teplotu topenia – tzv. eutektikum.
Ak sa ďalej zvyšuje podiel zložky B, teplota
topenia zmesi začne rásť.
Pod čiarou označenou „solidus“ je už zmes iba v
pevnom skupenstve a obsahuje „premiešané“
kryštáliky čistých zložiek A aj B samostatne - ich
priemerná veľkosť záleží na rýchlosti chladnutia.
Pri chladnutí taveniny povedzme s 20% zložky A ,
ako náhle pretneme čiaru liquidusu, začnú tuhnúť
kryštáliky A. Kvapalná fáza sa obohacuje zložkou
B, až dôjdeme do eutektického bodu. Podobne ak
vyjdeme zo stavu s prevahou zložky B.

- 57 -


Slide 58

Typickým prípadom je fázový diagram sústavy Sn - Pb:

tekutý cín aj olovo

kryštáliky olova
+ tavenina

Kryštáliky cínu
+ tavenina

cín aj olovo v pevnom stave

Stúpajúce hmotnostné percento cínu

Zmesi (zliatiny) olova a cínu sa široko využívajú ako „mäkké pájky“. Jednotlivé línie v
skutočnosti nie sú úsečky – sú mierne zakrivené – ale podstatu veci to nemení.
- 58 -


Slide 59

Diagram 2.druhu – tuhý roztok:
Ide o diagram zmesi albit (kremičitan
sodno-hlinitý) + anorthit (kremičitan
vápenato-hlinitý). Tieto látky vytvárajú
tuhý roztok , v ktorom sú jednotlivé ióny
doslova „premiešané“ až v molekulárnom
meradle.
Vidíme opäť čiary „solidus“ a „liquidus“, ktoré
oddeľujú oblasti výhradne kvapalného a
výhradne pevného skupenstva, ale v žltej
oblasti medzi nimi sa (okrem taveniny)
vyskytujú iba kryštály tuhého roztoku s
postupne sa meniacim (pri chladnutí)
chemickým zložením.

Červená čiara 1 – 2 – 3 – 4 znázorňuje
postup chladnutia roztopenej zmesi 30%
albitu a 70% anorthitu. Zastúpenie
obidvoch zložiek v kryštáloch tuhého
roztoku sa počas chladnutia plynule mení
pozdĺž úsečky 2 – 3.

- 59 -


Slide 60

V prípade, že zložky A, B binárnej zmesi môžu vytvárať jednu (alebo viacero)
chemických zlúčenín, sú fázové diagramy podstatne zložitejšie.
Príkladom môže byť fázový diagram sústavy Fe – C (železo – uhlík), ktorý je obrazne
povedané „denným chlebom“ v oceliarstve a priemyselnej metalurgii:
Diagram je kreslený iba do podielu
6,67% uhlíka (zliatiny s vyšším
obsahom C už nemajú praktický
význam).
Jednotlivé zlúčeniny – karbidy
železa – majú menné označenie,
väčšinou podľa metalurgov, ktorí
ich prví identifikovali a
preskúmali.
Pozor – teploty na diagrame vľavo sú v
stupňoch Fahrenheita (°F)!

Samotné čisté železo (Fe) má štyri
alotropické modifikácie,
označované α, β, γ a δ – železo,
ktoré sú stabilné v rôznych
intervaloch teplôt.

- 60 -


Slide 61

Trojzložkové (ternárne) fázové diagramy:
V mineralógii sa často vyšetrujú vlastnosti sústav z troch zložiek (chemických indivíduí) A, B a C.
Takýto diagram by musel byť priestorový, ale možno využiť fakt, že súčet pomerných
zastúpení všetkých troch zložiek musí dať 100%. Zmes akéhokoľvek zloženia zobrazíme
bodom vnútri rovnostranného trojuholníka (tzv. Gibbsov trojuholník):
▼

Vedľa seba máme 3 binárne diagramy – zmesí A
– B, B – C a C – A.
►
Postavíme ich „zvisle“ nad stranami trojuholníka.

◄ Kompozíciou troch
binárnych diagramov
nad Gibbsovým
trojuholníkom dostaneme v
projekcii diagram
ternárny.

Ternárny diagram zostrojíme nad Gibbsovým
trojuholníkom. Jeho vrcholy zobrazujú čisté
zložky A, B, C. Jednoznačné zobrazenie zmesi
vnútorným bodom je možné na základe vety o
súčte výšok v trojuholníku. Na kolmej (zvislej)
osi je vynášaná teplota.

►

Na ďalších obrázkoch uvidíme niekoľko
príkladov.

←

- 61 -

Gibbsov trojuholník


Slide 62

Postup konštrukcie diagramu (v prípade, že
všetky tri dvojice východzích látok tvoria
binárne eutektiká) je na obrázku vpravo
►
(horizontálne „vrstovnice“ sú pre rôzne teploty).

Ternárne eutektikum

◄ Fázový diagram sústavy MgO - Al2 O3 – SiO2
je mimoriadne dôležitý v technológii výroby
porcelánu a žiaruvzdornej keramiky.
Tenkými čiarami s číslami sú vyznačené
„vrstevnice“ teploty (v °C).

- 62 -


Slide 63

Štruktúra a vlastnosti látok pevných:
► látky kryštalické: jednotlivé stavebné častice (molekuly, ióny, ...) sú rozmiestnené v
uzloch pravidelnej štruktúry („kryštálovej mriežky“), respektíve
v blízkosti uzlov (tepelný pohyb!). Vyskytujú sa ako:

kryštalický
(kremeň)

▼

SiO2

amorfný
(sklo)

▼

● monokryštalické: javia usporiadanú štruktúru aj navonok
(makroskopicky) - napr. niektoré minerály
Typickou vlastnosťou je anizotropia –
odlišné fyzikálne vlastnosti v
rôznych smeroch
● polykryštalické: tvoria ich drobné (10 - 2 - 10 – 3 mm) zrnká,
ktoré sú samé o sebe monokryštály, ale ich
priestorové usporiadanie je chaotické –
typické pre kovy

► látky amorfné: nevykazujú ani v mikroskopickej mierke usporiadanú štruktúru.
Z anorganických látok napr.: tuhé roztoky ako sklo, keramika,
čiastočne polyméry (plasty), v istom zmysle zliatiny kovov.
Z látok organických: biopolyméry, tkanivá, drevo apod.
- 63 -


Slide 64

Väzby v pevných látkach:

Existencia pevného skupenstvá je daná tým, že – za určitých podmienok! – usporiadaná
sústava častíc má – ako celok – nižšiu energiu ako ich chaotický zhluk. Aby sa tak stalo,
musia medzi stavebnými časticami látky pôsobiť väzbové sily.
Sú 4 základné typy väzieb v pevných látkach (hoci v nijakej látke nevystupujú „v čistom
stave“, vždy sa uplatňujú – v rôznom stupni - všetky):

►
►
►
►

iónová
kovalentná
kovová
väzba disperznými silami (van der Waalsove sily, vodíkové mostíky)
kovová

◄ obrázok ukazuje prechodové typy väzieb pre rôzne
chemické prvky (vľavo) a zlúčeniny. „Čisté“ typy
väzieb zodpovedajú vrcholom trojuholníka (pre
prvky Cl a I prirodzene máme na mysli skupenstvo
pevné).

MnO2

kovalentná

iónová

- 64 -


Slide 65

Iónová väzba:
uplatňuje sa iba u zlúčenín, najčastejšie prvkov „z opačných koncov periodickej tabuľky“.
„školským“ príkladom je NaCl.
Vľavo ► je veľmi schematický „rez“ kryštálom NaCl. Každý ión je
obkolesený v najbližšom susedstve šiestimi (pozor, treba uvažovať
priestorovo!) iónmi opačnej polarity, preto NaCl tvorí kubické
kryštály.

„Rez“ kryštálom NaCl:

Látky s väzbami tohto typu sú charakterizované tvrdosťou, vysokým
bodom topenia, veľmi nízkou tepelnou a takmer nulovou
elektrickou vodivosťou (izolanty).

Ionizačná energia Na - elektronegativita Cl

◄ energetický diagram pre dva samostatné atómy sodíka a

Nulová energia
zodpovedá vzdialeným
atómom Na a Cl

r0 = rovnovážna vzdialenosť
(minimum energie)

chlóru. Na vodorovnej osi je vzdialenosť ich jadier, na osi
zvislej – ich vzájomná potenciálna energia (oproti prípadu
ich veľkej vzájomnej vzdialenosti).
Ak potenciálna energia so vzdialenosťou rastie – ide o
príťažlivé sily, ak so vzdialenosťou klesá – odpudivé.

Prvý prípad vidíme pre r > r0 (coulombovské sily),
druhý pre r < r0 (jadrové odpudivé sily).
Pre r = r 0 sú tieto sily v rovnováhe.

- 65 -


Slide 66

Kovalentná väzba:
Nastáva u prvkov „zo stredu“ periodickej tabuľky, resp. u zlúčenín prvkov z jej „blízkych“
skupín. Príklady prvkov: C (diamantová štruktúra), Si, Ge – u zlúčenín: oxidy, sirníky ,
napr. SiO2 , ZnS a podobné. Vždy je prítomná väčšia či menšia „prímes“ iónovej väzby.
Tetraedrická („elementárna bunka“ tvorí štvorsten ) ►
štruktúra - napr. diamant, kremík, α - cín (sivý) a iné každý atóm má práve štyroch najbližších „susedov“.

▼ Kovalentná väzba môže byť vysvetlená iba pomocou
kvantovej teórie. Názorne (ale iba približne) si možno
predstaviť zdieľanie elektrónového páru dvomi atómami
(ako keby obaja „obiehali“ okolo dvoch jadier).
◄ Príklad molekuly metánu
(CH4). Kovalentnou väzbou
sú viazané aj dvojatómové
molekuly plynov (N2, O2 ,Cl2
aj vodík H2).
Kovalentne viazané pevné látky sa vyznačujú podobnými vlastnosťami ako
látky viazané iónovo – tvrdosť, vysoký bod topenia, z elektrického hľadiska
sú izolanty.
val. elektrón od uhlíka
val.elektrón od vodíka

- 66 -


Slide 67

Kvantovo - mechanickú teóriu kovalentnej väzby (ktorá aj kvantitatívne vysvetlila
vlastnosti príslušných látok) vypracoval dvojnásobný nositeľ Nobelovej ceny
Linus Pauling (1901 – 1994). Predchodcami v tejto oblasti fyziky aj chémie boli:

Gilbert Newton Lewis (1875 – 1946) a Irvin Langmuir (1881 – 1957).
▼
Linus Pauling získal Nobelovu cenu za chémiu (1954) a za mier (1962).
Počas II.svetovej vojny kategoricky odmietol účastniť sa na vývoji
jadrových zbraní, hoci mu to bolo ponúknuté.
Po vojne verejne vystupoval proti militarizmu, skúškam jadrových
zbraní a za ich úplný zákaz.
Počas jednej verejnej prednášky o jadrovej fyzike (roku 1946) uviedol správnu
(približnú) hodnotu hmotnosti plutónia potrebnej pre jadrovú bombu (tzv. „kritické
množstvo“ ~ 7 ÷ 10 kg). Ihneď po prednáške bol predvedený na FBI a agent sa ho
prísne opýtal: „kto Vám povedal, aké je toto množstvo ?“ (údaj bol v tých časoch
„prísne tajný“). Pauling sa usmial a odpovedal: „Nikto. Približne som si to spočítal“.

V kvantovej chémii sa hovorí o „prekryve
vlnových funkcií“, v dôsledku čoho bude
energia molekuly → (na obrázku vpravo ►)
nižšia – vznikne stabilný útvar. Na základe
Paulingových výpočtov boli vysvetlené
vlastnosti veľkého počtu látok a ich štruktúra.

▲
dva atómy s „elektrón.oblakmi“

- 67 -

▲
prekryv

▲
kovalentne viazaná molekula


Slide 68

Tetraedrická elementárna bunka Si a GaAs:

„Plošne centrovaná“ elementárna bunka Cu
(kovy) a kryštálovo príbuzných látok - akoby
dve bunky uhlopriečne posunuté a „vložené
do seba“.

Pevný kremík (Si) má elementárnu bunku v
tvare štvorstena (vľavo), kde v ťažisku sa
nachádza jeden atóm, ktorý je viazaný
štyrmi kovalentnými väzbami na
najbližších susedov.
Podobne elementárna bunka zlúčeniny
GaAs (vpravo – významný materiál pre
elektroniku) obsahuje jeden atóm gália,
obkolesený štyrmi atómami arzénu, čo sa
periodicky opakuje, takže celkovo je počet
atómov Ga a As rovnaký. Ich väzby sú tiež
kovalentné.
◄ veľa kovov (Al, Ag, Au, Cu, Pb, aj iné)
majú elementárnu bunku ako tzv. plošne
centrovanú kubickú – jednotlivé atómy sú
vo vrcholoch kocky (8) + v stredoch jej stien
(6). V prípade zlúčenín je štruktúra často
vytváraná dvomi takýmito bunkami navzájom
uhlopriečne posunutými.
Tým prichádzame ku kovovej väzbe ►

- 68 -


Slide 69

Kovová väzba:
Je veľmi príbuzná kovalentnej, s tým rozdielom, že
valenčné elektróny „nezostávajú“ pri svojich katiónoch,
ale vytvoria tzv. „elektrónové more“ a pohybujú sa v
kryštálovej mriežke takmer voľne.
To sprostredkuje vysokú elektrickú aj tepelnú
vodivosť kovov.

Sila kovových väzieb sa veľmi líši podľa druhu kovu
Preto aj mechanické a termické vlastnosti kovov sú
veľmi rozdielne:
na jednom „póle“ napríklad ortuť (Hg):
bod topenia mínus 38,8 °C
(pri izbovej teplote kvapalná) ►
bod varu + 629 °C
na „druhom póle“ wolfrám (W):
bod topenia + 3422 °C
bod varu + 5560 °C
Práve tak mechanické vlastnosti – porovnajme
napr. mäkký hliník alebo olovo s tvrdým titánom.
Aj hustoty sú veľmi odlišné – napr. lítium (Li) – kov s
najnižšou hustotou 0,53 g.cm -3 (polovina vodnej) oproti
osmiu (Os) s najvyššou známou hustotou 22,61 g.cm -3.

- 69 -

e - = delokalizovaný (voľný) elektrón
+ = katión kovu


Slide 70

Väzba disperznými silami:
Tieto väzby sú podstatne slabšie ako predchádzajúce. Napriek tomu majú mimoriadnu

dôležitosť v biochémii – a pre existenciu života všeobecne. Navyše veľmi rýchlo klesajú
so vzdialenosťou – „krátkodosahové“ sily (oproti povedzme elektrostatickým – coulombovským).
Ich podstatou sú dipól – dipólové interakcie medzi molekulami. Atómy, resp. molekuly sú navonok
elektroneutrálne, ale „ťažiská“ kladného a záporného náboja v nich nemusia byť totožné – vznikajú
elektrické dipóly (dva rovnaké náboje opačnej polarity v istej vzdialenosti).
▼
Elektrické dipóly môžu byť indukované (vybudené
prítomnosťou ďalšej blízkej molekuly alebo atómu)
alebo permanentné (trvale v molekule prítomné).

Prvý prípad – indukované dipóly - van der Waalsove
sily (označenie disperzné, pretože sú zodpovedné za
disperziu svetla v látkach, čiže zmenu optických
vlastností, napr. indexu lomu, s vlnovou dĺžkou
svetelného – elektromagnet. žiarenia).

priťahovanie
„oblaka“ nábojov
kladný a záporný

Typické prípady – inertné plyny v pevnom skupenstve (veľmi nízke
body topenia), uhľovodíky (napr. parafín), iné molekulárne kryštály.
Často viažu zložité molekuly (organických zlúčenín). Sú rozhodujúce
pre vlastnosti a štruktúru termoplastov.
Druhý prípad (permanentné dipóly) – vodíkové mostíky (ďalšia str.)

- 70 -

atómy neónu (inertný
plyn) na seba pôsobia
slabými disperznými
silami

„oblaka“
nábojov


Slide 71

Vodíkové mostíky:
Vodík (máme na mysli ľahký izotop 1H1) je formálne jednomocný, ale môže okrem „hlavnej“ väzby byť
navyše slabo viazaný na atóm výrazne elektronegatívneho prvku (napr. O, N, F, niekedy S). Je teda v
istom zmysle „jeden a pol“ mocný, ako to znázorňuje obrázok napravo ►
Väzby tohto druhu („vodíkové mostíky“) spoluurčujú vlastnosti
a štruktúru vody v pevnom aj kvapalnom skupenstve
(„anomália vody“- str.54). Sú mimoriadne dôležité v zložitých
bioorganických molekulárnych systémoch (napr. DNA, RNA ..)
◄ znázornenie väzieb medzi
molekulami aminokyselín
vodíkovými mostíkmi.
To má zásadný význam
pre štruktúry enzýmov, DNA
a veľa biologicky aktívnych
molekúl a ich agregátov.

▲
Väzby cez vodíkové mostíky sú slabé –
preto biomolekuly a biopolyméry strácajú
svoje vlastnosti už pri pomerne nízkych
teplotách – u bielkovín už okolo + 50 °C
dochádza k nevratnej degradácii a
strate biologickej aktivity.

Fragment štruktúry vody (H2O) ►
červene – atómy kyslíka
svetlé – atómy vodíka
bodkované – „vodíkové
mostíky“

- 71 -


Slide 72

Mechanické vlastnosti pevných látok:
Sily, pôsobiace na pevné telesá, vyvolávajú ich deformácie, prípadne aj porušenia. V najjednoduchšom
prípade tzv. jednoosového namáhania je vzťah medzi mechanickým napätím (sila na jednotku plochy,
najčastejšie ťah alebo tlak) a deformáciou daný jednoduchou formou Hookovho zákona:

  E

pre prípad osového ťahu (dlhá tyč):

L 

F
EA

▲
σ predstavuje mechanické napätie, ε je relatívna deformácia.
Veličina E je tzv. Youngov modul (v ťahu), ktorý
charakterizuje vlastnosti materiálu (udáva sa v Pa).
Existuje aj modul pružnosti v šmyku.

L



L

E

▲
tenká tyč dĺžky L a prierezu A je
naťahovaná silou F. Predĺži sa o
ΔL, čiže relatívna deformácia
(relatívne predĺženie) je (ΔL / L).

V obecnom prípade sú mechanické napätie a deformácia veličiny nielen vektorové, ale dokonca
tenzorové (závislé na dvojici indexov). Sila určujúca napätie môže byť rozložená na komponentu
kolmú na plochu (normálová – ťah alebo tlak) a rovnobežnú s ňou (tangenciálna – šmyk). Napätie a
deformácia nemusia byť (a väčšinou ani nie sú) rovnobežné. Preto je vzťah medzi nimi podstatne
zložitejší – charakterizovaný nie iba skalárnou veličinou E, ale tzv. tenzorom elasticity:

 ij 

c
kl

ijkl

 kl

Lineárny Hookov zákon platí iba do istej
hranice, závislej na materiálu, o ktorý ide

(porovnajme povedzme sklo a gumu) ►

- 72 -


Slide 73

Pôsobenie jednoosového namáhania na materiál („trhacie skúšky“):
napätie
σ

◄ Typický priebeh závislosti ε

na

σ:

1234-

max. napätie pre daný materiál
medza úmernosti
porušenie materiálu
oblasť nevratných deformácií
a „plastického spevnenia“
5 - oblasť „plastického tečenia“
(deformácia pokračuje aj po odstránení
napätia)

relatívna deformácia ε

základná
dĺžka L0

Skúšky materiálov jednoosovým namáhaním ►
sa vykonávajú na špeciálnych „trhacích strojoch“.
Záznamy z týchto skúšok sú veľmi dôležité pre
posudzovanie a hodnotenie vlastností
najrôznejších materiálov.

- 73 -


Slide 74

Ukážka obrovského testovacieho stroja, ktorý môže predmety o dĺžke až 14 m zaťažovať silami do
2500 ton (25 MN) pre priemyselné skúšky. Prirodzene na výrobkoch takýchto rozmerov sa skúšky
nerobia „až do porušenia“, iba sa sníma (tenzometrami) závislosť deformácií na priložených silách.

◄ Pre rôzne materiály majú grafy závislosti ε na σ
veľmi odlišné priebehy:

σ

A – materiál pevný, ale veľmi krehký
B - pevný materiál, viac deformovateľný ako A
C - typické pre bežné konštrukčné materiály
D - materiál mäkký, poddajný

ε
- 74 -


Slide 75

Príčiny mechanického porušenia pevných látok ? – dva základné problémy:
■ ak by príčinou porušenia bolo „pretrhnutie“ väzieb v makroskopickom objeme kryštálovej
mriežky – musela by byť pevnosť tuhých látok ~ 100 – krát vyššia ako v skutočnosti (teda
o 2 rády) – čo ukáže jednoduchý výpočet (kiež by tomu tak bolo!);
■ poznáme veľa príkladov, keď vcelku nepatrná prísada iného prvku (kovu) do základného
kovu drasticky zmení jeho pevnosť a mechanické vlastnosti všeobecne.
Porovnajme mäkký čistý hliník a dural (prísada 3 – 4 % Cu a okolo 1 % Mg),
alebo hliník a silumin (hlavná prísada 4 – 6 % Si),
alebo mäkké čisté železo a oceľ (prísada 0,2 – 1,6 % C).
Ako môže malé množstvo prímesi – navyše rozptýlenej náhodne v kryštálovej mriežke
základného kovu – tak markantne zmeniť jeho vlastnosti ?

Príčina – defekty kryštálovej mriežky:
Defekty vznikajú zákonite – lebo znižujú ceľkovú
energiu mriežky = nie je možné ich odstrániť
úplne.
◄

„neobsadený“ uzol v mriežke – tzv. vakancia

Príklad defektu typu „vakancia“ je na obrázku.

Mechanické napätie sa koncentruje v blízkosti defektov –
tie sa môžu v mriežke pohybovať - „preskakovať“ – pri
určitom kritickom napätí vznikajú mikrotrhliny, zväčšujú
sa, až dôjde k makroskopickému porušeniu.
Porušenie je teda kumulatívny proces (veľmi rýchly).

- 75 -


Slide 76

Práve „cudzie“ atómy v kovovej mriežke môžu – za istých okolností – „zachycovať, resp. brzdiť“
pohyb defektov. Tým je vznik a kumulácia mikrotrhlín sťažená = materiál bude pevnejší.
Pre informáciu:

rýchlosť šírenia mikrotrhlín v kovoch je značná – 2 až 10 km . s -1 !

Defekty ovplyvňujú nielen mechanické, ale aj elektrické vlastnosti
materiálov. Vypestovať bezdefektové kryštály nie je možné, ale
špeciálnymi postupmi sa dajú získať kryštály s veľmi malým počtom
defektov.
V polovodičovom priemysle sa – ako polotovary pre výrobu
integrovaných obvodov, optoelektronických prvkov a solárnych
článkov – pripravujú monokryštály kremíka (Si) o priemere až 300
mm s veľmi malou koncentráciou defektov.
Časť (okraj) kremíkového monokryštálu
- vidíme stopy po otáčaní v rotačnej peci.
Proces prípravy (“ťahanie“) z
►
roztaveného kremíka (bod topenia Si je +
1414°C) je veľmi pomalý – trvá 30 až
40 hodín.

Bez takýchto monokryštálov – a
hlavne bez ľudí, ktorí vymysleli a
pripravili ich výrobu – by sme nemali
osobné počítače, mobily a veľa iného.

- 76 -

Na obrázku je stroj (piecka)
pre výrobu monokryštálov Si
▼


Slide 77

Ďalšie príklady a niektoré typy defektov v kryštáloch:
lineárna dislokácia – akoby „dodatočná“ ►
retiazka atómov bola „vklinená“ do mriežky
na určitom mieste. Takáto dislokácia môže
byť aj plošná.

◄ „špirálová dislokácia“ –
akoby sa v istom mieste
vytvárali „schodíky“ pri
postupe z jednej mriežkovej
roviny na ďalšiu

„intersticiálny defekt“ – je defekt bodový ►
atóm v „mimouzlovej polohe“ môže byť
buď „domáci“ alebo „hosť“, čiže iného
prvku ako je základný materiál. Práve takéto
defekty slúžia ako „pasce“ pre defekty iného
typu
(napr. lineárne).

- 77 -

Intersticiálny atóm môže byť buď
„domáci“ alebo „hosť“, podľa
druhu


Slide 78

Celá problematika defektov v kryštáloch je podstatne zložitejšia.
Tvorí základ pre dôležité technické odvetvie – lomovú a únavovú mechaniku, ktoré
skúmajú vplyvy značných alebo dlhotrvajúcich, prípadne cyklických mechanických napätí
na materiály (hlavne kovy a zliatiny, ale aj stavebné hmoty, plasty a iné).

Priekopníkom a zakladateľom týchto
disciplín bol anglický letecký
inžinier Alan Arnold Griffith (1893
– 1963) ▼

Únavový lom a následné
oddelenie stabilizačnej
plochy po štarte spôsobilo
v Japonsku 12.8.1985
haváriu dopravného
lietadla a 520 obetí na
životoch
►

Pracoval v prvých povojnových rokoch na vývoji prvých prúdových
motorov a snažil sa objasniť príčiny ich mimoriadne nízkej životnosti
(10 – 15 hodín sa vtedy považovalo za veľký úspech). Časté lomy
turbínových lopatiek počas letu spôsobovali fatálne havárie.
◄ Rozhodujúci bol jeho objav a zdôvodnenie vzniku plastických zón na
čele vznikajúcej trhliny. Venoval sa tejto problematike do hĺbky a na
jeho práce nadviazali neskôr ďalší.

- 78 -


Slide 79

Prúdenie plynov a kvapalín – aero- a hydrodynamika:
Tekutiny (kvapaliny aj plyny) vykazujú viskozitu - čiže vnútorné trenie. Jednotlivé tenké vrstvy tekutiny
kladú odpor vzájomnému posuvu v smeru rovnobežnom s vrstvami.
Kvantitatívne vyjadruje túto vlastnosť koeficient dynamickej viskozity μ (vyjadruje sa v (Pa . s)):

◄

τ je dotyčnicové napätie (rovnobežné so smerom prúdenia)
(du/dx) je gradient rýchlosti (kolmo na smer prúdenia).

U väčšiny tekutín je koeficient dynamickej viskozity v širokom rozsahu nezávislý na rýchlosti prúdenia.
Hovoríme o tzv. newtonovských kvapalinách.
Existujú tekutiny – niektoré polyméry, ale aj napr. škrob, kečup a iné – ktorých odpor vôči pohybu
(prúdeniu) výrazne závisí na časovej zmene (rýchlosti zmeny) pôsobiacej sily – tzv.
nenewtonovské. Ich správanie je podstatne zložitejšie.
Zaujímavé využitie majú v tzv. „osobnom brnení“ (body armor). Pri prudkom náraze (guľka) sa
správajú takmer ako tuhá látka, pri pomalom pohybe sú poddajné a neobmedzujú osobu ich nosiacu. ▼
Niekedy sa vo výpočtoch pracuje s tzv.
koeficientom kinematickej viskozity,
ktorý je daný vzťahom:

(ρ je hustota kvapaliny)

Táto výbava je ľahká (4,5 kg), ►
ohybná a bezpečne kryje hornú časť tela,
brucho a chrát. Vesta má komôrky
plnené špeciálnymi vláknami a
polymérom – z tesnej blízkosti zadrží
náboj z bežnej pištole (porovnajme vyše
100 kg brnenia stredovekých rytierov).

- 79 -


Slide 80

Vpravo vidíme skúšobný vak naplnený špeciálnym polymérom
s dispergovanými vláknami po výstrele z pištole zo
►
vzdialenosti 2 metre.
Nenewtonovská kvapalina – schématicky znázornená:
kľudový stav:

◄ správanie viskóznych, stlačiteľných a tobôž nie

prudký náraz:

▲ Zmes dvoch zložiek

newtonovských kvapalín sa riadi podstatne zložitejšími
zákonitosťami. U ideálnych kvapalín udáva vzťah medzi
tlakom a rýchlosťou prúdenia jednoduchá Bernoulliho
rovnica (viď ďalej ►). V zložitejších prípadoch platí tzv.
Navier-Stokesove rovnice (tiež uvedieme ďalej ►).
Hoci sú vypracované aproximatívne – a pre praktické
úlohy dostatočne presné metódy ich riešenia – nebol zatiaľ
podaný exaktný dôkaz existencie a hladkosti ich riešenia
v trojrozmernom priestore.
Ústav Clay Mathematical Institute (USA) vypísal v
máji 2000 cenu 1 milión dolárov za takýto dôkaz
(pochopiteľne po schválení komisiou odborníkov).

Je to výzva pre všetkých záujemcov.

- 80 -


Slide 81

Základné zákonitosti prúdenia ideálnej kvapaliny – Bernoulliho rovnica:

p

1
2

 V   gh  constant
2

p je tlak v určitom mieste tekutiny, V je miestna rýchlosť prúdu,
ρ značí hustotu tekutiny, g je tiažové zrýchlenie a h predstavuje
rozdiel výšok vyšetrovaného miesta oproti zvolenej nulovej hladine.
Ak je prúdenie vo vodorovnom smere, posledný člen odpadá.
Pri prúdení nestlačiteľnej (hustota ρ sa nemení) kvapaliny vždy tam, kde sa
prúd urýchľuje, klesá tlak a naopak (Bernoulliho rovnica!). Keďže musí platiť
rovnica kontinuity (prietočné množstvo zostáva pri prúdení konštantné –
kvapalina sa nemôže nikde „hromadiť“ – v zužujúcej sa trubici rýchlosť prúdu
stúpa a tlak klesá. Nie je to nič iné ako “výmena“ práce tlakových síl za
kinetickú energiu (prípadne opačne).
V praxi sa to často využíva (karburátory automobilov, rozprašovače, vývevy a
podobné).
V prúde plynov – ktoré sú výrazne stlačiteľné – hustota ρ je silne závislá na
tlaku, teda je funkciou tlaku ρ (p) – toto približne platí iba ak rýchlosť prúdu je
nižšia ako (miestna) rýchlosť zvuku. V opačnom prípade je paradoxne
plyn urýchlovaný v rozširujúcom sa priereze prúdu.

To využil Carl Gustaf de Laval (◄ list č.46) a dosiahol nadzvukovú rýchlosť
prúdenia medzi lopatkami turbín. Lavalova tryska je bežne ► používaná v
turbínach (tvarovanie lopatiek) a v raketových motoroch.

- 81 -

◄ rovnica vyjadruje zachovanie
energie pre jednotkový objem:
prvý člen = práca tlakovej sily;
druhý člen = kinetická energia
jednotky objemu;
tretí člen = potenciálna energia
v tiažovom poli.

teplota

rýchlosť

tlak
nadzvukové prúdenie


Slide 82

Na obrázku vpravo je raketový motor kozmického raketoplánu NASA ►
(vidno výstupnú, tzv. expanznú – rozširujúcu sa časť trysky (celková dĺžka je
4,2 m). Rýchlosť vytekajúcich spalín dosahuje 4,5 km . s – 1.
Pri prúdení nestlačiteľnej kvapaliny (voda!) môže nastať tzv.
kavitácia – keď rýchlosť natoľko vzrastie, že podľa Bernoulliho
rovnice by miestny tlak musel byť záporný.
Kvapalina nemôže prenášať ťahové napätia – explozívne
vznikajú bubliny (miestny var!).
Kým sa zistila príčina, dochádzalo k „nepochopiteľným“
poškodeniam lodných skrutiek a lopatiek vodných turbín ▼

◄ lodná skrutka pri skúške v

hydrodynamickom tuneli. Biele
stopy koncových bodov lopatiek
(najväčšia obvodová rýchlosť!)
sú zaplnené kavitačnými
bublinami.

pri uzatváraní (kolapse) kavitačných bublín pôsobia na materiál lopatiek
– hoci iba lokálne a krátkodobo – tlaky v tisícoch atmosfér!
na obrázku vpravo vidieť kavitačné poškodenia na vodnej turbíne
►

- 82 -


Slide 83

Navier-Stokesove rovnice (pre informáciu):

ρ - hustota kvapaliny (závislá od
tlaku p !)
p - tlak (tlakové pole)

  vt  v . v    p   .T  f

V - rýchlosť (rýchlostné pole)

T - tenzor napätia v kvapaline (v ňom
▲ tzv. „konvektívne zrýchlenie“
▲
prvý člen na ľavej strane je hustota zotrvačných síl (na jednotku
objemu).
Je to sústava nelineárnych diferenciálnych rovníc, ktorú
možno riešiť iba numericky, pre každý konkrétny prípad.

Laminárne a turbulentné prúdenie:

sú „skryté“ parametre kvapaliny)
f - vektor vonkajších síl
„obrátené“ Δ - operátor gradientu
(vektor, ktorého zložky sú derivácie
objektu podľa súradníc)

▼

obtekanie profilu krídla

◄ neide o propagáciu fajčenia, je
to ukážka laminárneho (dole)
a turbulentného (hore) prúdenia,
(istotne každý pozná).
Aký prípad nastane, určuje tzv.
Reynoldsovo číslo.
▼

- 83 -

▼ turbulentné

← laminárne


Slide 84

Nádherná ukážka laminárneho prúdenia - sútok riek Solimoẽs a Rio Negro v Južnej
Amerike (na tomto sútoku oficiálne začína rieka Amazonka):

◄ letecký snímok
(parník nenarazil na
breh, pláva ďalej v
tmavšej vode).

Vody obidvoch riek sa líšia farbou, čo je dané
odlišným stupňom mineralizácie a obsahom
jemných usadenín. Na vzdialenosť vyše
►
10 km od sútoku je ich rozhranie stále jasne
viditeľné.

- 84 -


Slide 85

► Reynoldsovo číslo - na počesť Osborna Reynoldsa (1842 –
1912). Roku 1868 sa stal prvým profesorom tzv.“inžinierskej
mechaniky“ na univerzite v Manchestri, ktorá ako prvá v Británii
zahájila systematickú výuku inžinierov pre priemysel. Pôsobil tam
do konca života a jeho priekopnícke práce v oblasti dynamiky
kvapalín sa stali svetovo uznávanými.
►

Je to bezrozmerný parameter daný vzťahom:

ρ - hustota prúdiacej tekutiny
V - jej rýchlosť
D - „charakteristický priečný rozmer“ –
kolmý na smer prúdu (napr. rozpätie
krídla, priemer trubice apod.)
μ – koeficient dynamickej viskozity ( ◄ list č.79)

Pri meraniách v aerodynamických tuneloch je
nutné zachovať Reynoldsovo číslo také, ako
na skutočnom telese alebo profile. Púhe
zmenšenie rozmerov modelu - pri zachovaní
zvyšných parametrov prúdenia - poskytne
nesprávne výsledky meraní.

Pri hodnote Reynoldsovho čísla ~ 2000 ÷ 2500 (záleží na drsnosti povrchu obtekaného telesa)
nastáva prechod od laminárneho k turbulentnému prúdeniu – napr. zvyšovaním rýchlosti
prúdu. Nástup turbulencie znamená prenikavé zvýšenie odporu prostredia (energia na vytvorenie a

udržanie vírov) a je preto nežiadúci – nie je ale možné sa mu vo väčšine prípadoch vyhnúť. V istých
prípadoch – napr. keď požadujeme dobré premiešanie prúdiacej zmesi (v chemickom priemysle) je
turbulencia naopak potrebná a dokonca sa umele vyvoláva.

- 85 -


Slide 86

Z čisto teoretického hľadiska je nástup turbulencie – prechod od laminárneho k turbulentnému prúdeniu
– matematicky veľmi obťažný a dosiaľ nie exaktne vyriešený problém (◄ list č.80 dole).
Fyzik Werner Heisenberg (1901 – 1976, Nobelova cena za fyziku 1932 – spolu s E. Schrödingerom a
P. A. M. Diracom) zo žartu hovoril, že až sa stretne s Pánom – Stvoriteľom sveta, poprosí ho o odpoveď
na teóriu turbulentného prechodu.
Obrázky nižšie uvedené znázorňujú turbulentný charakter obtekania valcového telesa v prúde vzduchu.
Vzniknuté víry sú nestacionárne – periodicky vznikajú a zanikajú, sú unášané prúdom a nové
vznikajú. Frekvencia ich vzniku je daná v prvom rade rýchlosťou prúdu.
Zo skúsenosti vieme, že aj pevne ukotvená tyč v prúde vzduchu (vietor !) vibruje, a to aj vtedy, ak
sa rýchlosť prúdu nemení.
▼ farby na obrázku vyjadrujú rýchlosť prúdenia
(červená – najväčšia, modrá – najmenšia). Šípky
ukazujú smery prúdu – vidíme, že pri zadnej
(odtokovej) strane prúd miestami reverzuje (opačný smer).

Theodor von Kármán (1881 – 1963) ►
rodák z Budapešti, väčšinu života pôsobil
v USA. Priekopník nadzvukovej
aerodynamiky a raketovej techniky,
tiež vynikajúci matematik.

Pri obtekaní telies s tupou nábežnou hranou
(na obrázku biely valec vľavo) pri vysokej
rýchlosti prúdu vzniká tzv. „Kármanova
vírová cesta“.
▼

- 86 -


Slide 87

Prípad Tacomského mosta
V júli 1940 bol otvorený vtedy najdlhší oceľový most v USA (bez stredných pilierov) nad úzkym
zálivom na pacifickom pobreží USA pri meste Tacoma (štát Washington). Rozpätie medzi závesnými
piliermi bolo 1820 m.
V zálive často duli silné vetry a zakrátko bolo vidieť, že vtedy sa mostovka zvláštnym spôsobom
prehýba a priečne vykyvuje. Miestni pokrstili most ako „galloping Gertie“. Štyri mesiace po otvorení,
ráno 7.11.1940 (našťastie v tých rokoch ani v USA nebola hustá automobilová premávka, navyše to bolo počas
vojny a benzín bol na prídel - pre zaujímavosť, vtedy bol prídel benzínu na 1 domácnosť a 1 mesiac - 25 litrov) sa
most pri mimoriadne silnom vetre rozkýval natoľko, že sa motoristi báli ho použiť a našiel sa svedok,
ktorý celý vývoj udalostí (asi 3 hodiny) nafotografoval.
Oceľová konštrukcia sa doslova „vlnila“ priečne aj pozdĺžne, až okolo 11 hod. - po silnom poryve
vetra – most skolaboval.
Niekoľko obrázkov na ďalšom liste ukazuje celý prípad ►

Zdalo sa neuveriteľné, že by sa mohutná oceľová konštrukcia, vyrátaná na značné zaťaženie, rozpadla
vplyvom vetra, hoci silného.
Až modelové skúšky v aerodynamickom tuneli (dnes sú pri projektovaní veľkých stavieb
samozrejmosťou) a sprievodné výpočty ukázali, že pri obtekaní mostovky nastala pri určitej rýchlosti
vetra rezonancia = zhoda frekvencií oddeľovania vírov a vlastných mechanických frekvencií
mostovky. Amplitúda kmitov prekročila hranice pružnej deformácie a došlo k porušeniu.

- 87 -


Slide 88

◄ most tesne pred
dokončením

priečne kmity
mostovky
►
(asi o 07:30 hod.)

◄ „skrutné“ kmity
telesa mosta

okamih deštrukcie ►
(11:10 hodín)

Poučenie z tohto prípadu (našťastie k zraneniam ani obetiam na
životoch nedošlo) viedlo k dôslednému skúmaniu vplyvu vetra
na stavebné (aj iné) konštrukcie, vývoju metód výpočtov a
skúšobníctva, vrátane modelovania.

- 88 -

Most bol po vojne znovu postavený
a premávka si vyžiadala roku 1950
stavbu ďalšieho, paralelného.


Slide 89

Aerodynamika – vztlak na krídle lietadla:
■ Ako vzniká vztlaková sila a čo je k tomu treba:
Vztlaková sila je dôsledok 3.
Newtonovho zákona - ako
reakcia na odchýlenie prúdu
pod krídlom smerom dole. Pri
nulovom uhle nábehu vztlak
nevznikne.

Vztlak vzniká podľa Bernoulliho rovnice,
lebo tá je vyjadrením zákona zachovania
energie v prúde. Na hornej strane krídla
prúdi vzduch rýchlejšie – čo je dôsledok
tzv. cirkulačnej zložky rýchlosti prúdu
okolo krídla.

Cirkulačná zložka prúdového
poľa okolo krídla - superponuje
sa na „neporušené“ prúdové
pole (ďaleko od krídla)
▼

Uhol
nábehu

Zložka rýchlosti
prúdu pod krídlom,
smerujúca dolu.

Prúdové čiary

Často tradované vysvetlenie, že molekuly vzduchu, ktoré sa ►
pri nábežnej hrane „rozídu“, sa musia na odtokovej hrane
„stretnúť“ – a že preto prúdi vzduch nad krídlom rýchlejšie - je
fyzikálne nesprávne. Platilo by - a to iba približne – ak by bolo
krídlo obtekané vo vnútri úzkej trubice, ktorá by ho obklopovala.
Obrázok znázorňuje polohy „čiel“ prúdnic v rovnakých časoch.

- 89 -


Slide 90

Vztlaková sila závisí na ploche krídla A, rýchlosti prúdu V, tzv. vztlakovom koeficiente Cl - je daný
tvarom profilu a zisťuje sa meraním). Tento koeficient výrazne závisí na uhle nábehu.
Prirodzene je dôležité, aby krídlo vykazovalo pri čo najväčšom vztlaku čo najnižší odpor prúdu.
Pre veľkosť vztlakovej sily L platí (približný) vzťah:

L  kV AC l
2

◄ veličina k je hustota prostredia
◄ typická závislosť vztlakového
koeficientu na uhle nábehu.
Pri zvyšovaní uhla nábehu vztlak
rastie, ale iba po určitú hranicu.
Pri ďalšom zvyšovaní uhla nábehu
dôjde k „odtrhnutiu prúdnic“ na
hornej strane profilu, tvoria sa víry,
vztlak klesá a odpor prudko stúpa.

Na ďalších listoch - trocha
podrobnejšie o vztlaku, odporu
a ako „sa na to prišlo“ ► ► ►

Uhol nábehu (°)

- 90 -


Slide 91

Fyzikálne korektná teória vzniku vztlakovej sily na krídle je spojená
s dvoma menami:
Nikolaj Jegorovič Žukovskij (1847 – 1921)
►
Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944) ▼
N.J.Žukovskij pôsobil od roku 1872
na Moskovskej univerzite ako
profesor mechaniky a aerodynamiky.
Bol nielen teoretik, robil významné
aerodynamické experimenty a pod
jeho vedením bol roku 1919 v Moskve
postavený veľký aerodynamický tunel,
v ktorom sa premeriavali a testovali
celé časti lietadiel.
Oba pracovali nezávisle, vzájomný kontakt nadviazali až ku koncu
života N. J. Žukovského. Ten už roku 1906 publikoval dve zásadné
práce o vzniku vztlakovej sily na krídle, ktoré vydržali skúšku času.

▲ M.W.Kutta bol v rokoch 1912 – 1935 profesorom
aplikovanej matematiky na univerzite v Stuttgarte. Svetovo
známe a dodnes široko používané sú jeho metódy
numerického riešenia diferenciálnych rovníc, ale živo a
aktívne sa zaujímal o – vtedy vznikajúce – letectvo a riešil
teoretické aj praktické problémy s tím spojené.

- 91 -

Jeho práce vyšli v periodickom zborníku
Moskovskej univerzity, ktorý bol ale
málo známy mimo Rusko. Napriek tomu
vzbudili pozornosť najmä vo Francúzsku
(boli napísané vo francúzštine).
Do značnej miery vďaka týmto prácam
sa práve Francúzsko v rokoch 1908 –
1914 stalo leteckou veľmocou.


Slide 92

Ako je to s odporom, ktorý prostredie kladie pohybu telesa?
Závislosť odporu na rýchlosti obtekania je podstatne zložitejšia, ale pre malé rýchlosti – vo vzduchu
približne do 150 ÷ 200 km za hodinu je približne tiež kvadratická, podľa vzťahu:

Fd 

1
2

v C d A
2

◄ Veličina A je v tomto prípade tzv. „priečny
prierez“ telesa, čiže najväčší prierez kolmý
na smer prúdenia.
Cd (drag = odpor) je tzv.koeficient odporu
(u krídla tiež výrazne závisí na uhle nábehu).

vztlak

◄ Graf ukazuje priebeh koeficientu vztlaku (Cx)
a koeficientu odporu (Cy) pre určitý typ profilu.
Keď začína koeficient vztlaku klesať – pri
veľkom uhle nábehu - koeficient odporu výrazne
stúpa.
Treba si ovšem uvedomiť, že u reálnych
lietadiel nie je jediným zdrojom odporu krídlo
(vztlaku áno).

odpor

Existuje veľmi veľa premeraných a overených
profilov krídel (sú ich celé katalógy). Majú odlišné
grafy vztlakových a odporových koeficientov podľa
uhla nábehu, ale ich obecný charakter (priebeh)
zostáva podobný.

Uhol nábehu

- 92 -


Slide 93

Priekopníci a pionieri letectva – na prvom mieste bratia Wrightovci, ktorí dňa 17.12.1903
uskutočnili prvý preukázateľný a hlavne riaditeľný let „aparátom ťažším ako vzduch“
▼
sa opierali iba o skúsenosti, získané dlhým radom – väčšinou
neúspešných - pokusov a istú „technicko – inžiniersku“
intuíciu - nepoužívali nijakú teóriu.
To nijako nezmenšuje ich zásluhy, ale táto cesta pomerne
rýchlo viedla do „slepej uličky“. Bolo nutné oprieť sa o
teóriu a výpočty.

▲ 1 m 2 plochy krídla prvého stroja
bratov Wrightovcov „niesol“
hmotnosť 6 kg (vztlaková sila).

◄ u moderného dopravného lietadla
(Boeing 747) „nesie“ 1 m
krídla vyše 800 kg !

- 93 -

2

plochy


Slide 94

Obtekanie profilu (schematicky) : podľa starších predstav – a),
▼ cirkulačná zložka rýchlostného poľa – b), správna predstava – c)

S →

Nekonečne veľká
rýchlosť na hrane
Prúdové čiary bez cirkulačnej zložky

◄ Ak by rýchlostné (prúdové) pole nemalo
cirkulačnú zložku, musel by na vrchnej
strane profilu existovať tzv. „stagnation
point“, čiže bod s nulovou tangenciálnou
zložkou rýchlosti (bod S). Časť vrchnej
strany profilu by musela byť obtekaná
„protismerne“ – na ostrej odtokovej hrane
by lokálna rýchlosť prúdu musela byť

nekonečne veľká.

cirkulačná zložka samostatne

◄ vďaka cirkulačnej zložke prúdu je rýchlostné
rýchlostné pole na
odtokovej hrane je
spojité (Kutta –
Žukovského
podmienka)

pole na ostrej odtokovej hrane spojité –
pri prechode od vrchnej na spodnú stranu
profilu (cez hranu) sa lokálne rýchlosť prúdu
nemení. Cirkulačná zložka „má na svedomí“
vyššiu rýchlosť na vrchnej strane profilu
→ podľa Bernoulliho rovnice nižší tlak

Prúdové čiary – ceľkový prúd = súčet a) + b)

- 94 -

→ vzniká vztlaková sila.


Slide 95

◄ Znázornenie cirkulačného obtekania profilu
krídla pri určitom uhla nábehu:
farebne sú vyznačené hodnoty miestnej
rýchlosti prúdu - od zelenej (najvyššia) po
modrú (rýchlosť nabiehajúceho prúdu).

Rozloženie tlaku pozdĺž obtekaného profilu ►
pre rovnakú situáciu ako na obrázku hore –
červená (najnižší tlak) až k modrej (miestny
tlak najvyšší).
Animácia znázorňuje polia pri zmenách uhla nábehu.

- 95 -


Slide 96

Základné pojmy z elektriny a magnetizmu:
Elektrické a magnetické (presnejšie elektromagnetické) pole je samostatná fyzikálna
realita, prejavujúca sa silovými účinkami v látkovom prostredí aj vo voľnom priestore.
Elektrické pole je budené elektrickým nábojom (nábojmi) – bez ohľadu na ich pohybový
stav. Ak sú náboje navzájom nepohyblivé, hovoríme o elektrostatickom poli.
Magnetické pole je budené iba navzájom sa pohybujúcimi elektrickými nábojmi. Osobitný
prípad je pole magnetostatické, budené (nepohyblivými) permanentnými magnetmi (zvláštny stav
látok) , alebo elektrickými nábojmi obiehajúcimi stálou rýchlosťou po uzavretej dráhe.
Akonáhle sú zdroje (náboje) vo vzájomnom pohybe, vždy existuje iba jediné – elektromagnetické
– pole. Delenie na elektrické a magnetické polia samostatne je do značnej miery umelé.
Pri tom – v závislosti na rýchlosti pohybu zdrojov – za určitých okolností vystupuje do popredia
jedna z „Janusových tvárí“ elektromagnetického poľa. Druhá sa niekedy úplne „stráca zo zreteľa“.

F 

q1 q 2

1
4 

0

r

2

◄ Coulombov zákon vyjadruje silu F (jej veľkosť)
akou na seba pôsobia dva bodové náboje –
ich množstvá q1 a q2 vo vzdialenosti r .
Koeficient ε0 zaisťuje rozmerovú konzistentnosť ►
Pozor na podobnosť s Newtonovým gravitačným
zákonom - je tuná malý, ale dôležitý rozdiel !
►

- 96 -


Slide 97

► Existujú elektrické náboje kladné aj záporné. Naprostá väčšina telies okolo nás sú
navonok elektricky neutrálne (lebo obsahujú náboje obidvoch polarít v rovnakom množstve).
Naproti tomu hmotnosť - „gravitačný náboj“ - môže byť iba kladná. Preto vo veľkých
priestorových merítkach (vo Vesmíre .... ) gravitačná sila dominuje, zatiaľ čo v mikrosvete je takmer
zanedbateľná – tam „vládnu“ sily elektromagnetickej povahy.
Elektrické pole dvoch bodových nábojov

Obrázok ukazuje smery (nie pomerné
veľkosti) síl, ktorými pôsobí elektrické
pole – vyvolané bodovým nábojom (+q) v
strede na jednotkový kladný (tiež
bodový) náboj. Vidíme, že sila je
centrálna – tak ako v gravitačnom poli
(◄ viď. list č. 16). ▼

Dva záporné bodové náboje

Dvojica bodových nábojov opačnej polarity

Myslené krivky, dotyčnice ku ktorým udávajú smer súhrnnej sily,
pôsobiacej v poli na bodový elektrický náboj, sú známe siločiary.
Tak ako gravitačné pole, aj pole elektrické je potenciálové.
Silu pôsobiacu na el. náboj v tomto poli možno vyjadriť ako
gradient potenciálu (= skalárna funkcia polohy).

Gravitačný potenciál (g . h) má rozmer (m 2 . s -2), čiže kvadrát
rýchlosti (= energia na jednotku hmotnosti). V elektrickom poli
udávame potenciál vo Voltoch (V) – je to energia na jednotku
náboja (jednotkou množstva náboja je Coulomb = C).
Elektrické napätie je rozdiel potenciálov daného bodu a (dohodnutého)
miesta s nulovým potenciálom (môže to byť povrch Zeme) – potom je
elektrické napätie analógiou „nadmorskej výšky“.

- 97 -


Slide 98

Magnetické pole nie je potenciálové. V potenciálovom poli sa „obehom“ telesa po uzavretej dráhe
(slučke) nijaká energia ani nezíska, ani ju netreba vynaložiť ( ◄ viď list č. 24) .
Ak by aj magnetické pole bolo potenciálové, nefungovali by ani elektrické motory, ani generátory a pod.
Neexistovali by ani elektromagnetické vlny.

Magnetické pole pôsobí silou iba na pohybujúci sa elektrický náboj podľa Lorentzovho vzťahu:

F  q[ E  v  B ]
V elektrickom poli je smer sily F rovnaký ako smer
intenzity elektrického poľa E.

◄ prvý člen je sila, ktorou pôsobí na
náboj q elektrické pole intenzity E,
druhý člen udáva silu, ktorou na ten
istý náboj pôsobí magnetické pole s
indukciou B

V magnetickom poli tvoria smery rýchlosti pohybu náboja v, indukcie magnetického poľa B a sily F
pravouhlý trojhran – na obrázku ▼
Náboj v homogénnom
magnetickom poli s
indukciou B bude
►
opisovať kruhový oblúk,
resp.kružnicu.
Smer zakrivenia závisí
od polarity náboja.
Indukčné čiary smerujú
kolmo na rovinu obrázku.

- 98 -


Slide 99

◄ „Elektrónový lúč“ (zväzok urýchlených
elektrónov) na ktorý pôsobí magnetické
pole, v zriedenom plyne vyvoláva
svetielkovanie molekúl plynu – jeho dráha
je viditeľná.

Farebná TV obrazovka – schematicky:

▼

A – „elektrónové delo“, B – sklená banka (vákuum), C –
urýchľovací systém, D – tienidlo s trojicami luminoforov
rôznych farieb,
E – trojica elektrónových lúčov vychyľovaných magnetickým
poľom, F – tzv..“maska“ zaisťujúca dopad zodpovedajúcich
lúčov na luminofory „správnej“ farby.
Magnetické pole vytvárajú vychyľovacie cievky –
nenakreslené.

Lorentzovu silu využívame doslova „každý večer v
každej domácnosti“ – v televíznej obrazovke ►
(pokiaľ už nemáte plazmový televízor).
Rýchlo sa meniace magnetické pole, generované
prúdom vo vychyľovacích cievkach, pohybuje
elektrónovým lúčom po tienidle v dvoch kolmých
smeroch, čím sa vytvára viditeľný obraz.
V bežnom televízore (s vákuovou obrazovkou)
dopadajú elektróny na tienidlo rýchlosťou rádu
20.000 km . s -1 (naozaj dvadsať tisíc kilometrov
za sekundu!).

- 99 -


Slide 100

Náboj, ktorý je v istej súradnej sústave v kľude, môže byť v pohybe vzhľadom na inú súradnú
sústavu. Znamená to, že pri prechode medzi dvomi súradnými sústavami – navzájom sa pohybujúcimi
– sa musia elektrické a magnetické pole transformovať navzájom,
pretože tie isté polia musia na rovnaký náboj pôsobiť rovnakou
silou, nezávisle na tom, v akej súradnej sústave dej popisujeme.
Už táto úvaha ukazuje, že delenie polí na „elektrické“ a „magnetické“ je do značnej
miery umelé – jedinou fyzikálnou realitou je pole elektromagnetické. Iba z dôvodov
didaktických je vhodné hovoriť samostatne o elektrických a magnetických poliach.

Táto úvaha nasmerovala mladého Alberta Einsteina (1879 – 1955)
na cestu, ktorá ho priviedla k formulácii a zdôvodneniu teórie
relativity, tvoriacej základ modernej fyziky – a mnohokrát v praxi
potvrdenej. Napriek úsiliu nespočetných „vyvracačov“ – objavujú
sa aj v súčasnosti! – je tento základ pevný a nespochybniteľný. ►
Nasledujúca otázka: čo je vlastne zdrojom magnetického poľa?
Samostatné „magnetické náboje“ („severný“ a „južný“ – analogicky k elektrickým nábojom
kladným a záporným) neexistujú.
Poznáme síce permanentné magnety (osobitný stav látky) – ale to sú magnetické dipóly
(nijakým mechanickým delením permanentného magnetu nemožno „osamostatniť“ severný a južný pól).

◄ známy pokus, zviditeľňujúci indukčné čiary (siločiary) budené
permanentným magnetom, pomocou železných pilín.

- 100 -


Slide 101

Faradayov indukčný zákon:

 

d B
dt

◄ ε predstavuje elektromotorickú silu (je schopná
uvádzať el. náboje – ak sú prítomné – do pohybu).
Číselne sa rovná elektrickému napätiu.

ΦB

je magnetický tok = súčin magnetickej indukcie B
a plochy S, cez ktorú indukčné čiary prechádzajú ▼
plocha S

Smer pohybu

Smer pohybu

◄ rozhodujúca je premenlivosť v čase (časová derivácia)
Modré sú indukčné čiary magnetického poľa budeného
permanentným magnetom (na obrázku).
Ak bude magnet vôči slučke vodiča v kľude, indukcia
nenastane.

- 101 -


Slide 102

Ampèrov zákon:
Na obrázku sú znázornené ►
indukčné čiary (vždy uzavreté –
4. Maxwellova rovnica) ►list č.105
obkolesujúce prúd I.

Integrálna forma:

Diferenciálna forma:

B
.
d
l


I
0
enc


  B  0J

Ľavá strana je súčet (integrál) magnetickej
indukcie B pozdĺž (uzavretej) krivky C –
berie sa do úvahy zložka B v tangenciálnom
smere (skalárny súčin B. dl).
Pravá strana je celkový prúd Ienc slučkou
„obkolesený“ , vynásobený permitivitou
vákua μ0 (fyzikálna konštanta = 4 . π. 10 -7
Henry . m -1). Prúd Ienc berieme ako skalár.

Vľavo je rotor vektora magnet. indukcie B
(diferenciálny operátor, definujúci vírovú
zložku poľa magnetickej indukcie B na
danom mieste.
Vektor J na pravej strane predstavuje
prúdovú hustotu (A . m -2) – čiže vektor
prúdu prechádzajúci plôškou naň kolmou
jej plochou delený. Rovnosť je vektorová.

C

- 102 -


Slide 103

Biot –Savartov zákon:
dB = príspevok indukcie B

diferenciálna forma:

dB 

 0 Id l  r
4

r

2

od prúdového elementu
(I . dL) vodiča
►

r = vektor od prúdového
elementu I k bodu, kde
príspevok indukcie dB
počítame
►
◄ v menovateli je kvadrát
vzdialenosti týchto
bodov

Biot – Savartov zákon (Jean – Baptiste Biot a Félix Savart ~ 1820)
umožňuje vypočítať v ľubovoľnom bode magnetickú indukciu B, ktorá
je budená ľubovoľným prúdom (sústavou prúdov) v priestore.
Typickou aplikáciou Biot –Savartovho zákona je napr. výpočet poľa dlhej cievky (solenoidu), alebo
aj komplikovanejších konfigurácií vodičov.

- 103 -


Slide 104

Maxwellove rovnice:
J. C. Maxwell zjednotil rôzne zákony elektromagnetizmu – Ampèrov, Biot-Savartov, Gaussov
(vyjadruje vzťah medzi elektrickým nábojom q a tokom vektora elektrického posunutia (polarizácie) D cez plochu,
ktorá náboj obklopuje) a Faradayov – do kompaktnej a elegantnej sústavy 4 diferenciálnych
rovníc prvého rádu.

Keby zostalo pri tom, bola by to viac-menej iba matematická formalita.
Maxwell ale pochopil a odvodil, že magnetické pole (magnetickú indukciu B) budí nielen „vodivý“
prúd I, ale aj tzv. prúd posuvný = časová zmena vektora elektrického posunutia (polarizácie) D.

V matematickom vyjadrení to znamená, že pravú stranu diferenciálnej formy Ampèrovho
zákona (◄ list č. 102 vpravo) je treba doplniť výrazom (dD / dt) , čiže časovou deriváciou
vektora elektrickej polarizácie, do tvaru:

H  J

D
t

◄ oproti vzťahu na liste č. 102 je vľavo vektor
intenzity magnetického poľa H, preto vpravo
odpadá konštanta μ0.

Tento „nepatrný doplnok“ má ďalekosiahlé dôsledky: teraz je možné formulovať pre
intenzity elektrického a magnetického poľa vo voľnom priestore E a H samostatné
diferenciálne rovnice druhého rádu – tzv. vlnové rovnice – ktoré popisujú šírenie vĺn, v
tomto prípade elektromagnetických.

Diferenciálne rovnice prvého rádu nemôžu popisovať vlnové procesy (šíriace sa vlny).

- 104 -


Slide 105

Maxwellove rovnice v diferenciálnej forme:
Definujú vzťahy medzi vektormi intenzít elektrického a magnetického poľa E a H a vektormi D a B
(elektrickej polarizácie a magnetickej indukcie), ktoré určujú polia v látkovom prostredí.
Vzťahy medzi vektormi E a D (na jednej strane) a medzi vektormi H a B sú určené fyzikálnymi
parametrami látkového prostredia, v ktorom polia riešíme.
Okrem toho, pre riešenie polí musíme mať určené tzv. okrajové a počiatočné podmienky – tým sa
v rámci tohto kurzu nezaoberáme.

 .D  

◄ 1. Maxwellova rovnica – Gaussov zákon elektrostatiky
(zákon zachovania elektrického náboja)

2. Maxwellova rovnica – Faradayov indukčný zákon ►

 .B  0

E  

B
t

◄ 3. Maxwellova rovnica – „neexistencia magnetických
nábojov“

►

4. Maxwellova rovnica - Ampèrov zákon
(s Maxwellovým „doplnkom“)

- 105 -

H  J

D
t


Slide 106

Všetko bohatstvo elektromagnetických javov – aj optických – je obsiahnuté
v týchto 4 rovniciach.
Maxwellove rovnice možno napísať aj v ekvivalentnej – integrálnej – forme (pre stručnosť
neuvádzame). Diferenciálna forma popisuje vzťahy medzi bodovými hodnotami vektorov polí, zatiaľ čo
integrálna forma uvádza do súvisu ich „priemerné“ hodnoty v makroskopických oblastiach priestoru.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Elektrické a magnetické vlastnosti látok:
Z hľadiska elektrickej vodivosti rozdeľujeme látky na:
■ vodiče
- obsahujú voľne (takmer voľne) pohyblivé prenášače náboja, a to väčšinou elektróny
(v kovoch) alebo ióny (v kvapalných alebo roztopených elektrolytoch - využitie
napr. pri galvanickom pokovovaní, alebo pri výrobe hliníka elektrolýzou);
■ izolanty
- elektrické náboje sú v nich pevne viazané – látky nemôžu viesť elektrický prúd, ale
sú elektricky polarizovateľné;
■ polovodiče - v absolútne čistom stave sú izolanty, ale už nepatrná prímes iných prvkov (napr.
fosforu alebo bóru do kremíku ako základného materiálu) výrazne (o 5 – 6 rádov)
zvýši ich vodivosť.

Podľa magnetických vlastností rozoznávame látky :
■ diamagnetické , resp. ■ paramagnetické - sú veľmi slabo magneticky polarizovateľné,
líšia sa znamienkom indukovanej polarizácie;
■ ferromagnetické - sú veľmi silne magneticky polarizovateľné. Z čistých prvkov to
sú Fe, Ni, Co a Gd a celý rad zliatín . Ferromagnetický stav je možné vysvetliť iba na základe
kvantovej teórie (tzv. kooperatívny efekt). Majú veľmi rozsiahle a dôležité technické využitie.

- 106 -


Slide 107

◄ mikroštruktúra ferromagnetického materiálu:
oblasti mikroskopických rozmerov,
zmagnetizované v jednom smere
(domény);

účinkom externého magnet.
poľa sa ferromagnetická
látka spolarizuje - domény
(mikroskopické oblasti s

bez prítomnosti vonkajšieho poľa sú
smery magnetizácie jednotlivých domén
rozložené chaoticky - ak pôsobí vonkajšie
magnetické pole, začína prevažovať ich
orientácia do jeho smeru - až do stavu
nasýtenia (saturácie).

rovnakou magnetizáciou sa orientujú
v smere ext. poľa

Magnetické
domény sú
chaoticky
rozložené –
látka nie je
polarizovaná

Ferromagnetický stav zaniká pri teplote
nad tzv. Curieho bodom (pre čisté Fe - 941 K).

vonkajšie
magnetic.
pole

mag. indukcia

Závislosť magnetickej indukcie B na intenzite
magnetického poľa H je u dia- a paramagnetic.
látok prísne lineárna.
U látok ferromagnetických má zložitý
priebeh – tzv. hysterézna slučka
►
Pri zvyšovaní intenzity magnetického poľa H
sa látka polarizuje spočiatku výrazne (indukcia B
sa zväčšuje prudko), ďalej menej výrazne, až
nastane magnetické nasýtenie (saturácia) – látka
dosiahla najväčší možný stupeň polarizácie.

koercitívna sila

Intenzita mag. poľa

- 107 -

Saturácia


Slide 108

Stručný historický prehľad vývoja znalostí
a využitia elektromagnetických javov:
V súčasnosti snáď nijaká iná súčasť fyziky nepreniká doslova každodenný život v každom okamihu
tak ako elektromagnetizmus.
Nezabúdajme preto na tých, ktorí – často popri nepochopeniu a výsmechu „širšej verejnosti“
toto pre nás pripravili !
Pripomeňme aspoň niektorých z tých, ktorí postupne vybudovali teórie
javov – čo otvorilo ďalším cestu k praktickému využitiu:
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

Hans Christian Ørsted (1777 – 1851) – dánsky fyzik

►
roku 1820 ako prvý zaregistroval magnetické účinky elektrického
prúdu - vychyľovanie magnetky pri prietoku prúdu (z batérie) blízkym
vodičom.
Do tých čias boli elektrické a magnetické javy chápané ako totálne
osobitné úkazy, ktoré nemajú nič spoločné.
Venoval sa aj chémii a bol prvý, kto pripravil (v laboratóriu) čistý
kovový hliník (Al). Aj dosť dlho po ňom bola cena kovového hliníka
vyššia ako cena striebra – prvý jedálenský servis z hliníka bol darovaný
rodine francúzskeho cisára Napoleona III. (až roku 1886 objav lacného
spôsobu výroby hliníka Paulom Héroultom vo Francúzsku a Charlesom
Martinom Hallom v USA otvoril cestu jeho širokému využitiu).

- 108 -


Slide 109

André Marie Ampère (1775 -1836) – pôsobil v Paríži ►
objavil a zdôvodnil (Ampèrov zákon) silové pôsobenie magnetického
poľa na vodič pretekaný prúdom – teda mechanické účinky elektrického
prúdu, resp. im vybudeného magnetického poľa.

Michael Faraday (1791 – 1867) – začínal ako učeň v
knihárstve, neskôr sa stal asistentom význačného chemika Humphry
Davyho (ako 20-ročný začal navštevovať jeho prednášky - Davy si
mládenca povšimol a rozpoznal jeho nadanie). Pomohol mu v
odbornom raste a Faraday začal neskôr pracovať samostatne.
Venoval sa hlavne elektrickým a magnetickým javom, ale aj chémii.
▼

◄ trvalé miesto v histórii mu patrí vďaka objavu elektromagnetickej
indukcie (Faradayov indukčný zákon). Na rozdiel od Ørstedova
javu – ktorý je stacionárny – magnetické pole indukuje vo vodiči
elektromotorickú silu (napätie) iba ak je časovo premenné.
Viacerí experimentátori pred Faradayom hľadali „obrátený Ørstedov
efekt“, čiže vybudenie elektrického napätia magnetickým poľom, ale
bez úspechu, lebo predpokladali tento jav tiež ako stacionárny.
Keď sa stal (1824) členom Kráľovskej spoločnosti (vtedajšia obdoba
Akadémie vied), medzi jeho členské povinnosti patrilo uskutočniť raz do
týždňa prednášku pre širšiu verejnosť (vstup bol voľný), ktorá musela
byť sprevádzaná názorným experimentom.
►

- 109 -


Slide 110

Faradayove prednášky boli v Londýne veľmi
populárne a sála bola zvyčajne plná už dlho
pred začiatkom – ako by to bolo dnes ?? ►
Prednášky konal pravidelne až do roku 1860
a vynechal iba jediný raz – pre chorobu.

Príprave týchto prednášok a experimentov
venoval Faraday mimoriadnu pozornosť –
v publiku bývali nielen ľudia z „vyšších
vrstiev“, ale aj chudobnejší (Michael Faraday
pravidelne podporoval deti z chudobnejších rodín a
veľkému počtu z nich pomohol získať vzdelanie. Bol
hlboko veriaci kresťan nielen formálne, ale celým
spôsobom života). Bol šťastne ženatý, ale deti nemal.

Na jednej prednáške predviedol prvý „predobraz“ elektromotora – medené koliesko, sčasti ponorené do ortuti, sa
otáčalo, keď zapojil elektrický prúd z batérie (tzv. „Voltovho stĺpa“, čo bol vynález Humphryho Davyho, ktorý bol
priekopníkom elektrochémie a elektrolýzy – v čom jeho bývalý asistent Michael Faraday úspešne pokračoval).
Jeden poslucháč – šľachtic – arogantne poznamenal: „Vážený pán, je to zaujímavé, čo nám tu
predvádzate, ale nikdy to nebude mať iné využitie ako hračka pre deti“.
Faraday mu zakontroval: „Aké toto bude mať využitie – teraz neviem. Ale s určitosťou viem,

že Vaši potomkovia z toho budú raz vyberať dane“.

- 110 -


Slide 111

◄ princíp Faradayovho pokusu (1831) s predobrazom elektromotora
zelené koliesko zasahovalo do nádobky s ortuťou ako kontakt
(treba dodať, že v jeho časoch sa bežne robili aj v miestnostiach dlhotrvajúce
experimenty s ortuťou v otvorených nádobách!)
(je zaujímavé, že ešte aj dnes – po 157 rokoch ! – funkcia podobného
zariadenia, tzv. „unipolárneho motora, prípadne generátora“
vyvoláva nedorozumenia a pochybnosti o správnosti fyzikálnych základov
elektriny a magnetizmu).
Vždy však ide o principiálne nepochopenie týchto zákonitostí, pri
správnom chápaní je celá záležitosť už dávno úplne jasná.

James Clerk Maxwell (1831-1879) ▼
Zakladateľ teórie elektromagnetického poľa (slávne Maxwellove
rovnice) – viď list č. 31. Predpovedal existenciu elektromagnetických vĺn

a rozpracoval ich teóriu.
Na základe experimentálne zistených hodnôt – permitivity vákua (ε0) a
permeability vákua (μ0) určil teoretickú hodnotu rýchlosti ich šírenia vo
voľnom priestore.
Vtedy už bola približne známa rýchlosť svetla vo vákuu (roku 1676 stanovil ju
- dosť presne, na 214.000 km. s -1 (v dnešných jednotkách) - dánsky astronóm
Olaf Römer (1644 – 1710) z pozorovaní periodických zmien okamihov, kedy
nastávali vzájomné zákryty jasných satelitov planéty Jupiter.

J.C.Maxwell vyslovil odvážny predpoklad, že svetlo sú
elektromagnetické vlny. Experimentálneho potvrdenia sa nedožil (Heinrich
Hertz 1887 – 1888) - list č. 116 ►

- 111 -


Slide 112

Berend Wilhelm Feddersen (1832 – 1918)
►
Pôsobil ako univerzitný profesor v Lipsku. V rokoch 1859 –
1862 sériou veľmi
experimentov
dokázal
veľmipremyslených
premyslených
pokusov
kmitavý (oscilačný) charakter iskrového výboja v obvode s
kapacitou a indukčnosťou – čo na základe úvah o zachovaní
energie predpovedal (roku 1847) Herrmann von Helmholtz.

V experimentoch pokračoval a bol vlastne „na krôčik“ blízko k
objavu elektromagnetických vĺn. To však zostalo vyhradené

Heinrichu Hertzovi.

▼ Originálne schéma jeho experimentu:
Kondenzátor („leydenská fľaša“) vpravo bol
pripojený na galvanický článok vľavo (W) cez
prerušovacie kontakty (g – g’) ovládané zubmi
kolesa na zvislej osi dole. Hrubá zvislá doska (A)
niesla bubon s prevodovým súkolesím (vľavo – c)
roztáčaný regulovaným zostupom závažia (vľavo).
Na spoločnej osi s kolesom prerušovača bolo
zvislé rovinné zrkadielko, ktoré vykonávalo až
100 otáčok za sekundu.
Svetelný lúč od iskry (iskrište p – p’) po
odrazu od rotujúceho zrkadielka dopadal na
fotografickú platňu (P). Táto časť prístroja
bola na masívnej oceľovej doske (G) pre
potlačenie vibrácií. Celý experiment prebiehal
samozrejme v tmavej komore.
Pri každom prerušení aj zopnutí kontaktov g – g’
preskočila iskra, ktorej svetelná stopa – rozvinutá
v čase – sa zaznamenala na platni.
►

- 112 -


Slide 113

Pri otáčaní zrkadla 100 otáčok za sekundu (6000 za minútu) sa odrazený lúč
odchýlil o 1° približne za 28 μs. Pri vzdialenosti medzi osou zrkadla a
fotografickou platňou ~ 70 cm sa svetelná stopa na platni posunula o 1 cm
približne za 22 mikrosekúnd.

Dnešným jazykom povedané, aparát Prof. Feddersena možno považovať za
akýsi „fotografický osciloskop“.
▼ Prúd v iskrovom výboji má charakter tlmených kmitov – viď obrázky▼
◄ Počas každého výboja
prebiehajú kmity postupne
sa zmenšujúcej amplitúdy, až
zaniknú. Ich frekvencia je
určená indukčnosťou (L) a
kapacitou (C) podľa
Thomsonovho vzťahu (viď
ďalší list ►). Tlmenie
(rýchlosť poklesu amplitúdy)
určuje ohmický odpor (R)
celého obvodu.

začiatky výbojov:
▼

▼

▲
Jedna z originálnych fotografií
Prof. Feddersena (časová os ide
odhora dole – foto je otočené o 90°).

Na základe historických údajov o Feddersenovom pokuse je možné
odhadnúť kapacitu (Leydenská fľaša) na ~ 10 -9 F (1000 pF) a
indukčnosť (spojovacie vodiče) na ~ 5 . 10 -6 H (5 μH). Tomu by
zodpovedala vlastná frekvencia ~ 2,2 MHz, čiže doba jednoho kmitu
okolo 0,5 μs. Na jeho platni by to predstavovalo posun stopy o ~ 0,2 mm,
čo bolo pri vtedajšej fotografickej technike (a dosiahnuteľnom zaostrení
stopy) mimo možnosť rozlíšenia. Napriek tomu je charakter výboja ako
postupnosti tlmených kmitov zreteľne viditeľný a mimo pochybnosť.

- 113 -

Zreteľne vidno, ako svetlým
zakriveným pásikom na ľavej
strane odpovedajú tmavé miesta
vpravo a naopak – výboj vyžaruje
odlišne z kladnej a zápornej
elektródy.
Zakrivenie „pásikov“ sa prejavuje
vďaka zvislému smeru iskier – lúč bol
pohybom zrkadla „rozmietaný“ vo
vodorovnej rovine.


Slide 114

▼

Joseph John Thomson (1856 – 1940) – významný fyzik, objav elektrónu (1904)
Jeho zásluhy sú mnohoraké – bol vynikajúci fyzik – teoretik, ale aj mimoriadne zručný
experimentátor. Pochádzal zo sociálne slabších pomerov (nie je v osobnom vzťahu s
Williamom Thomsonom, neskorším Lordom Kelvinom - viď list č.30 - ide o zhodu mien).

Ako študent v Cambridge sa umiestnil 2. v poradí (tzv. „Second Wrangler“) u
veľmi prísnej záverečnej skúšky z matematiky (predstihol ho iba Joseph Larmor –
tiež neskorší významný fyzik a Nobelovský laureát) a dostal hodnotné štipendium
pre pokračovanie v štúdiu.
V roku 1906 J. J. Thomson získal Nobelovu cenu za fyziku. Stál u zrodu dodnes
známej a prestížnej Cavendish Laboratory – súčasti univerzity v Cambridge.
► Pre výpočet frekvencie vlastných kmitov (f) v elektrickom
rezonančnom obvode zloženom z indukčnosti (L) a kapacity
(C) sa používa (za predpokladu nízkeho tlmenia, teda malého
ohmického odporu) Thomsonov vzťah:
(tento vzťah ale odvodil William Thomson, neskorší Lord
Kelvin)

f 


2



Cavendish Laboratory „vychovala“ za 85 rokov
(1904 – 1989) 29 Nobelovských laureátov !
▼ (pamätná doska k 100.výročiu)

1
2

LC

Frekvencia f - v Hz, indukčnosť L – v H (Henry),
kapacita C – vo F (Farad).

- 114 -


Slide 115

Zachovaná pôvodná aparatúra Prof. J. J. Thomsona,
pomocou ktorej dokázal (1904) existenciu elektrónu a
určil jeho základné fyzikálne parametre (náboj e a
hmotnosť m). Dnešné označenie „elektrón“ zaviedol
írsky fyzik G. J. Stoney. ▼

▲ Originálna fotografia Prof. J. J. Thomsona pri práci v
laboratóriu (podľa výroku Wilhelma Conrada Röntgena
bol v tých časoch „zlatý vek fyziky“, keď pre zásadné
objavy stačilo ako laboratórne vybavenie: výveva,
galvanometer, lanko a pečatný vosk, plus zručný
mechanik a fúkač skla).

Vyčerpaná „Thomsonova trubica“:
►
zväzok elektrónov (pôvodne označované ako „katódové
lúče“) emitovaný katódou (vľavo) sa vychyluje
elektrickým poľom (napätie sa privádzalo na pomocné
elektródy A, B), prípadne magnetickým poľom budeným
vonkajšími cievkami (nenakreslené). Na tienítku (S) bolo
možné merať výchýlenie „elektrónového lúča“.
Bola to vlastne predchodkyňa dnešných obrazoviek, aj
keď účel bol iný.

- 115 -


Slide 116

Heinrich Rudolf Hertz (1857 – 1894) ►
Pracoval na univerzite v Karlsruhe, kde aj získal profesúru fyziky.
Na základe štúdia Maxwellových prác začal experimentovať s
elektromagnetickými vlnami (budil ich iskrovými výbojmi z
induktora – preto sa veľmi dlho rádiový prenos signálov nazýval
„iskrová telegrafia“). Aj stále používaný nemecký výraz pre rozhlas
(der Rundfunk) je toho istého pôvodu (der Funke = iskra).
Práce začal v roku 1885 a na prelome 1887 – 1888 sa mu prvý
krát podarilo preukázať existenciu elektromagnetických
vĺn – pracoval s vlnovými dĺžkami okolo 1 – 2 m.
Postupne overil ich vlastnosti (priečne vlny), lom, odraz, polarizáciu –
všetko v úplnej zhode s Maxwellovou teóriou.
vysielacia anténa ►
(dva listy z plechu)

batéria

Iskrový vysielač

Prijímač

◄ ako prijímač slúžila slučka z medeného drôtu, prerušená malou
(asi 0,5 mm) medzerou. V jednej miestnosti asistent zapínal
induktor vysielača, v zatemnenej miestnosti na druhom konci
chodby Hertz sledoval silnou lupou preskakovanie nepatrných
iskričiek v medzere prijímajúcej slučky. Overil aj závislosť
„intenzity príjmu“ na naladení – zmenami rozmerov vysielacej
antény a prijímacej slučky. Tak boli preukázané elmg. vlny.

Žiaľ, Heinrich Hertz zomrel iba 37- ročný počas epidémie.

- 116 -


Slide 117

Joseph Henry (1797 – 1878)

►

Jeden z prvých fyzikov – elektrotechnikov v USA. Objavil a využil
samoindukciu – magnetické pole, budené časovo premenným prúdom
vo vodiči, indukuje (Faradayov zákon !) napätie (elektromotorickú
silu) nielen v „susedných“ vodičoch, ale aj vo vodiči samotnom (ten je
teda súčasne zdrojom aj „receptorom“ magnetického poľa – Lenzov
zákon).

▼

Oliver Heaviside (1850 – 1925)
◄ zaslúžil sa o matematický aparát teorie elmg. poľa a elektrodynamiky.
Patril k priekopníkom rádiotechniky, na sklonku života na základe
fyzikálnych dôvodov predpovedal existenciu ionosféry (elektricky
vodivých vrstiev vysoko nad Zemou) a – spolu s A.Kennelym – ju aj
nepochybne experimentálne preukázal. Ionosféra sa (najmä v anglosaskej
literatúre) dlho nazývala „Kennely – Heavisidova vrstva“.
Vehementne popieral existenciu „éteru“ – aj Maxwell a iní totiž postulovali akési
materiálne prostredie, vypĺňajúce celý Vesmír, ako prenášač elmg. vĺn – hovorilo sa,
že elmg. vlny sú akoby „akustické vlny“ v tomto „éteri“. Vlastnosti „éteru“ síce
vychádzali veľmi protirečivé, ale táto predstava sa aj po presvedčivom
experimentálnom vyvrátení (Michelson, Morley 1887) ešte dlho udržiavala.
Heavisideovi
Heavisideovi jeho
jeho názory
názory vyniesli
vyniesli ostrú
ostrú nepriazeň
nepriazeň niektorých
niektorých jeho
jeho starších
starších kolegov.
kolegov.

- 117 -


Slide 118

Nikola Tesla (1856 – 1943)

►

Geniálny elektrotechnik - vynálezca (srbskej národnosti, ale takmer
celý odborný život pôsobil v USA). Najprv spolupracoval so známym

T. A. Edisonom, s ktorým sa neskôr rozišiel – pre spor o využívaní
jednosmerného či striedavého prúdu. Vývoj dal za pravdu Teslovi.
Edison sa, žiaľ, znížil k posunutiu pôvodne čisto technického sporu do osobnej
roviny, ale v starobe vyhlásil, že za najväčší omyl svojho života považuje to, že sa
rozišiel s Teslom.
Nikola Tesla sa, žiaľ, nie veľmi staral o ekonomickú stránku svojej činnosti.
Niektorí draví priemyselníci (George Westinghouse) z jeho patentov rozprávkovo
profitovali, ale sám Tesla nikdy nezbohatol, skôr naopak.

Nikolovi Teslovi vďačíme za rozmach elektrifikácie, elektrickej
trakcie (v doprave) a za prienik elektriny do bežného života
všeobecne, a to predovšetkým pre nasledujúce:

■ všeobecné používanie striedavého prúdu : možnosť transformácie napätia,
spolupráce generátorov v rozsiahlych sieťach (vzájomná synchronizácia –
v jednosmerných sieťach obidvoje nemožné);
■ vynález trojfázového rozvodu a točivého magnetického poľa : umožňuje
konštrukciu a stavbu motorov a generátorov aj mimoriadne veľkých výkonov

bez nutnosti prívodov k pohybujúcim sa častiam strojov (u jednosmerných motorov
a generátorov nemožné).

- 118 -


Slide 119