Transcript Cinemática del movimiento esférico:ángulos y rotaciones de Euler
Slide 1
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
DEFINICIÓN
Un sólido rígido posee movimiento esférico respecto de un sistema
de referencia, S1, cuando se mueve de forma que uno de sus puntos
permanece fijo en S1.
• La rótula esférica es una forma
habitual de materializar un movimiento esférico.
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 1
Slide 2
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
• Otra forma de conseguir un movimiento
esférico es utilizar suspensiones como
las que se emplean en algunos montajes de giróscopos.
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 2
Slide 3
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Velocidades y aceleraciones
Al existir un punto fijo permanentemente, el
segundo invariante es nulo y el e.i.r. pasa por el
punto fijo en todo instante.
El torsor cinemático en el punto fijo se reduce a
la rotación instantánea ω.
La velocidad y aceleración de un punto genérico
son:
siendo O el punto fijo.
Los axoides fijo y móvil son conos con vértice
común en el punto fijo (conos de Poinsot).
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 3
Slide 4
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Movimiento esférico de triedros
Suelen adoptarse las siguientes hipótesis:
• Punto fijo, O, origen de S1
(sistema de ref. cartesiano y ortogonal)
• S, sistema de ref. cartesiano y ortogonal
solidario del sólido rígido (σ).
• O, origen de S.
De esta forma, el movimiento de
σ respecto de S1 es el mismo que
el del triedro móvil (S) respecto
del triedro fijo (S1).
z1
z
σ
y1
O
x1
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
x
AMSP Transp. 4
Slide 5
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Posición relativa entre dos triedros con vértice común
Para establecer la posición de S (triedro móvil)
respecto de S1 (triedro fijo) pueden utilizarse los
ángulos de Euler:
• ángulo de precesión
• ángulo de nutación θ
(que se lee “fi”)
(que se lee “zeta” o “zeta griega”)
• ángulo de rotación propia ψ (que se lee “psi”)
En las figuras siguientes se ilustran estos ángulos y cómo
permiten pasar desde la posición de S coincidente con S1
a una posición arbitraria de S.
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 5
Slide 6
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Posición inicial: S coincide con S1
z1 z
O
y1
y
x1
x
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 6
Slide 7
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Ángulo de precesión:
z1
z
Primer giro:
alrededor de Oz
y1
O
x1
x
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 7
Slide 8
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Ángulo de nutación:
z1
Segundo giro:
alrededor de Ox
θ
y1
O
x1
x
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 8
Slide 9
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Ángulo de rotación propia: ψ
z1
Tercer giro:
alrededor de Oz
ψ
θ
O
x1
y1
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 9
Slide 10
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Ángulos de Euler
z1
Sobre cada una de las rectas que
que han sido posiciones transitorias de algún eje coordenado, se
definen unos sentidos mediante
los vectores unitarios indicados.
ψ
u
θ
El más significativo de los tres
es el vector n que orienta la
línea de nodos (L.N.).
O
u1
y1
x1
L.N.
n
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 10
Slide 11
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Triedro de Euler
z1
Además de los triedros fijo y móvil
considerados, también se utiliza el
triedro de Euler que no es rígido
ni ortogonal.
ψ
Se representa en verde en la figura.
La línea de nodos, intersección de
los primeros planos coordenados
(móvil y fijo) queda orientada positivamente por
u
θ
O
L. N.
x1
u1
y1
u1
n
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 11
Slide 12
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
z1
Definiciones
ψ
u
θ
O
x1
Es importante recordar
u1
y1
L.N.
n
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 12
Slide 13
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
MATRICES de PASO
Cada uno de los giros que constituyen una etapa para alcanzar la posición genérica del sistema móvil respecto del
del sistema fijo, viene definido por una matriz ortogonal,
3x3, que notamos para cada etapa mediante el ángulo respectivo:
Las matrices son las siguientes:
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 13
Slide 14
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
k1
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
u1
j1
i1 n
k θ k1
n
u
θ
u1
ψ
u
ψ
k
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
n
AMSP Transp. 14
Slide 15
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
MATRIZ GENERAL
La matriz total que relaciona ambos sistemas es:
Como la matriz total y las matrices parciales son ortogonales,
las matrices inversas coinciden con las transpuestas por lo que:
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 15
Slide 16
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
ROTACIÓN INSTANTÁNEA Y SUS
COMPONENTES
La rotación ω del sólido (triedro móvil) respecto del
sistema fijo (triedro fijo) es un vector que, en general,
varía en el tiempo en ambos triedros y también en la
base de Euler.
Esto determina que, en general, las componentes de
ω varíen en el tiempo en cada una de las tres bases.
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 16
Slide 17
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
ROTACIONES de EULER
Las componentes de ω en la base de Euler
conocen como rotaciones de Euler y se denominan:
se
z1
nutación,
precesión,
ψ
rotación propia,
θ
Estas rotaciones se emplean en
numerosas aplicaciones técnicas:
giróscopos, robots y manipulado
res, sólidos libres (aviones, saté- x1
lites, cohetes,..), etc.
L.N.
u
O
u1
y1
n
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 17
Slide 18
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
RELACIÓN entre las COMPONENTES de
ω en DISTINTAS BASES
La relación entre las componentes en las bases ortonormales se obtiene
a partir de las matrices ya definidas, en la forma:
La relación entre las anteriores y las rotaciones de Euler determinan
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 18
Slide 19
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
SINGULARIDADES
Cuando el ángulo de nutación es 0º o 180º
la línea de nodos queda indeterminada y z1 z
también los otros ángulos y rotaciones
de Euler. La posición del sistema móω ?
vil S no resulta completamente definida respecto al sistema fijo S1 por
y1
medio de los ángulos de Euler.
O
Esta singularidad es evitable
?
x1 x
al considerar el movimiento
no en un instante sino durante un intervalo temporal. La indeterminación se resuelve, en general, atendiendo a la continuidad de las rotaciones de Euler en el transcurso del movimiento.
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 19
Slide 20
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Los ángulos de Euler en la mano
Animación
EULER
Cálculos
EULER
(applet preparado por el prof. J.M. Díaz de la Cruz)
(hoja de cálculo elaborada por el prof. A.M. Sánchez Pérez)
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 20
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
DEFINICIÓN
Un sólido rígido posee movimiento esférico respecto de un sistema
de referencia, S1, cuando se mueve de forma que uno de sus puntos
permanece fijo en S1.
• La rótula esférica es una forma
habitual de materializar un movimiento esférico.
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 1
Slide 2
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
• Otra forma de conseguir un movimiento
esférico es utilizar suspensiones como
las que se emplean en algunos montajes de giróscopos.
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 2
Slide 3
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Velocidades y aceleraciones
Al existir un punto fijo permanentemente, el
segundo invariante es nulo y el e.i.r. pasa por el
punto fijo en todo instante.
El torsor cinemático en el punto fijo se reduce a
la rotación instantánea ω.
La velocidad y aceleración de un punto genérico
son:
siendo O el punto fijo.
Los axoides fijo y móvil son conos con vértice
común en el punto fijo (conos de Poinsot).
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 3
Slide 4
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Movimiento esférico de triedros
Suelen adoptarse las siguientes hipótesis:
• Punto fijo, O, origen de S1
(sistema de ref. cartesiano y ortogonal)
• S, sistema de ref. cartesiano y ortogonal
solidario del sólido rígido (σ).
• O, origen de S.
De esta forma, el movimiento de
σ respecto de S1 es el mismo que
el del triedro móvil (S) respecto
del triedro fijo (S1).
z1
z
σ
y1
O
x1
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
x
AMSP Transp. 4
Slide 5
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Posición relativa entre dos triedros con vértice común
Para establecer la posición de S (triedro móvil)
respecto de S1 (triedro fijo) pueden utilizarse los
ángulos de Euler:
• ángulo de precesión
• ángulo de nutación θ
(que se lee “fi”)
(que se lee “zeta” o “zeta griega”)
• ángulo de rotación propia ψ (que se lee “psi”)
En las figuras siguientes se ilustran estos ángulos y cómo
permiten pasar desde la posición de S coincidente con S1
a una posición arbitraria de S.
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 5
Slide 6
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Posición inicial: S coincide con S1
z1 z
O
y1
y
x1
x
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 6
Slide 7
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Ángulo de precesión:
z1
z
Primer giro:
alrededor de Oz
y1
O
x1
x
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 7
Slide 8
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Ángulo de nutación:
z1
Segundo giro:
alrededor de Ox
θ
y1
O
x1
x
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 8
Slide 9
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Ángulo de rotación propia: ψ
z1
Tercer giro:
alrededor de Oz
ψ
θ
O
x1
y1
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 9
Slide 10
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Ángulos de Euler
z1
Sobre cada una de las rectas que
que han sido posiciones transitorias de algún eje coordenado, se
definen unos sentidos mediante
los vectores unitarios indicados.
ψ
u
θ
El más significativo de los tres
es el vector n que orienta la
línea de nodos (L.N.).
O
u1
y1
x1
L.N.
n
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 10
Slide 11
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Triedro de Euler
z1
Además de los triedros fijo y móvil
considerados, también se utiliza el
triedro de Euler que no es rígido
ni ortogonal.
ψ
Se representa en verde en la figura.
La línea de nodos, intersección de
los primeros planos coordenados
(móvil y fijo) queda orientada positivamente por
u
θ
O
L. N.
x1
u1
y1
u1
n
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 11
Slide 12
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
z1
Definiciones
ψ
u
θ
O
x1
Es importante recordar
u1
y1
L.N.
n
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 12
Slide 13
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
MATRICES de PASO
Cada uno de los giros que constituyen una etapa para alcanzar la posición genérica del sistema móvil respecto del
del sistema fijo, viene definido por una matriz ortogonal,
3x3, que notamos para cada etapa mediante el ángulo respectivo:
Las matrices son las siguientes:
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 13
Slide 14
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
k1
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
u1
j1
i1 n
k θ k1
n
u
θ
u1
ψ
u
ψ
k
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
n
AMSP Transp. 14
Slide 15
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
MATRIZ GENERAL
La matriz total que relaciona ambos sistemas es:
Como la matriz total y las matrices parciales son ortogonales,
las matrices inversas coinciden con las transpuestas por lo que:
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 15
Slide 16
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
ROTACIÓN INSTANTÁNEA Y SUS
COMPONENTES
La rotación ω del sólido (triedro móvil) respecto del
sistema fijo (triedro fijo) es un vector que, en general,
varía en el tiempo en ambos triedros y también en la
base de Euler.
Esto determina que, en general, las componentes de
ω varíen en el tiempo en cada una de las tres bases.
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 16
Slide 17
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
ROTACIONES de EULER
Las componentes de ω en la base de Euler
conocen como rotaciones de Euler y se denominan:
se
z1
nutación,
precesión,
ψ
rotación propia,
θ
Estas rotaciones se emplean en
numerosas aplicaciones técnicas:
giróscopos, robots y manipulado
res, sólidos libres (aviones, saté- x1
lites, cohetes,..), etc.
L.N.
u
O
u1
y1
n
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 17
Slide 18
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
RELACIÓN entre las COMPONENTES de
ω en DISTINTAS BASES
La relación entre las componentes en las bases ortonormales se obtiene
a partir de las matrices ya definidas, en la forma:
La relación entre las anteriores y las rotaciones de Euler determinan
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 18
Slide 19
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
SINGULARIDADES
Cuando el ángulo de nutación es 0º o 180º
la línea de nodos queda indeterminada y z1 z
también los otros ángulos y rotaciones
de Euler. La posición del sistema móω ?
vil S no resulta completamente definida respecto al sistema fijo S1 por
y1
medio de los ángulos de Euler.
O
Esta singularidad es evitable
?
x1 x
al considerar el movimiento
no en un instante sino durante un intervalo temporal. La indeterminación se resuelve, en general, atendiendo a la continuidad de las rotaciones de Euler en el transcurso del movimiento.
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 19
Slide 20
1026 MECÁNICA I
Cinemática del movimiento esférico
MECANOVA
Tema 5
2006-04-04 Rev. 1
Los ángulos de Euler en la mano
Animación
EULER
Cálculos
EULER
(applet preparado por el prof. J.M. Díaz de la Cruz)
(hoja de cálculo elaborada por el prof. A.M. Sánchez Pérez)
ETSII-UPM Departamento de Física Aplicada a la Ingeniería Industrial
AMSP Transp. 20