Transcript ammortamenti
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RIMBORSO DI UN
PRESTITO
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Rimborso di un prestito
• Un prestito, o mutuo, presenta una sola entrata
monetaria iniziale (capitale preso a prestito) seguita da
una (rimborso globale finale) o più uscite monetarie
(rimborsi parziali).
• Le modalità mediante le quali un prestito può essere
rimborsato, o ammortizzato, si distinguono in:
rimborso globale finale
rimborso globale con interessi periodici
rimborso graduale o ammortamento
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TIPOLOGIA
rimborso globale finale
Capitale e interessi vengono restituiti alla scadenza.
(in genere utilizzato per prestiti di breve durata).
rimborso globale con interessi periodici
Capitale restituito alla scadenza, interessi periodici.
Gli interessi I1, I2, ..., In, maturati nei vari periodi, vengono corrisposti
periodicamente, in via anticipata o posticipata, mentre il capitale S viene
rimborsato integralmente alla scadenza. Tipico per prestiti a scadenza
medio - lunga.
rimborso graduale o ammortamento
Capitale e interessi restituiti periodicamente.
Consiste nella corresponsione periodica degli interessi e restituzione
graduale del capitale. Tipico per prestiti a scadenza medio - lunga.
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Rimborso globale finale
Nel regime ad interesse semplice
M S (1 it )
Nel regime ad interesse composto
M S (1 i )
t
Nel regime ad interesse anticipato, all’epoca
iniziale il debitore riceve l’importo
S M Mdt M (1 dt )
dove d è il tasso di sconto periodale.
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Rimborso globale con interessi
periodici
• Nel rimborso globale con interessi periodici, il
debitore riceve all’epoca iniziale il capitale S
preso a prestito, da rimborsarsi in un’unica
soluzione alla scadenza con versamento
periodico degli interessi Ik sull’intero importo S al
tasso periodale di interesse i o di sconto d.
iS
Ik
dS
per k 1, 2 ,..., n
( per interessi
per k 0 ,1,..., n 1
post. )
( per interessi
ant. )
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Rimborso globale con interessi
periodici
• Pertanto, gli esborsi totali alle varie
scadenze risultano, per pagamenti
posticipati degli interessi
iS
S iS (1 i ) S
per k 1, 2 ,..., n 1
per k n
e, per pagamenti anticipati degli interessi,
dS
S
per k 0 ,1, 2 ,..., n 1
per k n
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Ammortamento
L’importo di ciascuna rata Rk è costituito da:
• quota capitale, Ck) destinata alla restituzione
(parziale o totale) della somma mutuata,
• quota interesse, Ik) che remunera il capitale
effettivamente disponibile nel periodo
considerato:
Rk C k I k
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Schema di un piano di
ammortamento
Epoca
k
Rata di
rimborso
Rk
Quota
capitale
Ck
Quota
inter
Ik
Debito
residuo
Dk
Debito
estinto
Ek
0
1
2
...
...
...
…
...
...
...
...
...
S
...
...
0
...
...
...
n
...
...
...
…
...
...
...
0
...
S
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GRANDEZZE CARATTERISTICHE
• Epoca k
Indicata con t0, t1, ..., tn (o più semplicemente con 0, 1, ..., n,
nel caso di rendite periodiche equintervallate) corrisponde ai
tempi in cui vengono effettuati i pagamenti.
• Rata di rimborso Rk
Si indica con Rk (k = 0, 1, 2,..., n) e rappresenta la somma da
corrispondere periodicamente da parte del debitore.
• Quota capitale Ck
Si indica con Ck (k = 1, 2, ..., n) e rappresenta la quota con cui
viene rimborsato, all’epoca k, il capitale mutuato S.
• Quota interesse Ik
Si indica con Ik (k = 1, 2,...., n) in caso di pagamenti posticipati
(anticipati) e rappresenta gli interessi, maturati tra l’epoca k –
1 e k sul debito residuo Dk – 1(Dk), ossia sulle quote capitale
non ancora rimborsate all’epoca k – 1.
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GRANDEZZE CARATTERISTICHE
• Debito residuo Dk
Si indica con Dk (k = 0, 1, 2, ..., n) e indica, con
riferimento all’epoca k, la parte di debito, in termini di
quote capitale Ck, (k = 0, 1, 2, ..., n) ancora da
rimborsare a tale epoca.
All’epoca iniziale, quando viene concesso il prestito S, il
debito residuo sarà uguale all’intero ammontare del
capitale prestato perché non si è ancora provveduto a
rimborsare alcuna quota capitale.
• Debito estinto Ek
Si indica con Ek (k = 0, 1, 2, ..., n) e indica, con
riferimento all’epoca k, la parte di debito, in termini di
quote capitali Ck (k = 0, 1, 2, ..., n), già rimborsata a tale
epoca.
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RELAZIONI FONDAMENTALI
• Ogni quota interesse (posticipata) è proporzionale al debito
residuo del periodo precedente secondo il tasso periodale di
interesse i.
I k iD k 1
• La rata è la somma di quota capitale e quota interesse
Rk C k I k
• Debito estinto e debito residuo in k>0:
k
k
Ek
C
i 1
i
Dk S Ci
i 1
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RELAZIONI FONDAMENTALI
• Debito estinto e debito residuo in t=0 e t=n:
D0 S , E0 0
D n 0, E n S
• Ogni quota capitale va a diminuire il debito
residuo e a incrementare il debito estinto.
D k D k 1 C k , E k E k 1 C k
• La somma del debito estinto e di quello residuo rimane
costante per ogni epoca k e pari al capitale iniziale.
Ek Dk S
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RELAZIONI FONDAMENTALI
Condizione di chiusura elementare del piano di
rimborso: la somma delle quote capitale è uguale al
capitale preso a prestito S.
Ck S
Condizione di chiusura finanziaria del piano di
rimborso o condizione di equità: la somma dei valori
attuali delle rate è uguale al capitale preso a prestito S.
Rk
1 i
k
S
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Tipi particolari di ammortamento
• Americano: il capitale finale è costituito in
modo progressivo su un fondo collaterale
Francese: le rate sono costanti
Italiano: le quote capitale sono costanti
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Ammortamento americano
• L’ammortamento di tipo americano prevede:
• un’operazione di rimborso globale con
interessi periodici calcolati al tasso periodale i;
• Un’operazione di costituzione di capitale che,
tramite versamenti complementari Q, consenta
all’epoca n di scadenza del prestito, di poter
disporre di un capitale di importo pari
all’ammontare S del prestito, sulla base del
tasso i, (solitamente inferiore a i).
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Ammortamento americano
• Il debitore, all’epoca k (< n) subisce un esborso complessivo:
Sk = iS + Qk
- interessi iS corrisposti periodicamente e posticipatamente al
creditore al tasso di interesse periodale i,
- quota di costituzione Qk
• Inoltre, alla scadenza finale n:
R n iS S
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Ammortamento americano
• nel caso di versamenti posticipati di importo costante Q,
capitalizzati in regime composto al tasso periodale i’,
dovrà valere:
Qs n i S
• Quindi il versamento periodale sarà pari a:
S k Si S
n |i '
AMMORTAMENTO A DUE TASSI: tasso i di
remunerazione per l’operazione di rimborso prestito e
tasso i' di accumulazione
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Esempio
• La tabella seguente mostra un piano di
ammortamento americano di un prestito di
Euro 100.000 ammortizzabile in 10 anni
• i = 12% e i' =10%.
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ESEMPIO
Anno
Quote
interessi
Debito
residuo
Versamento
Fondo
Esborso
0
0
100.000
0
0
0
1
12.000
100.000
6.274,50
6.274,50
18.274,50
2
12.000
100.000
6.274,50
13.176,50
18.274,50
3
12.000
100.000
6.274,50
20.768,70
18.274,50
4
12.000
100.000
6.274,50
29.120,10
18.274,50
5
12.000
100.000
6.274,50
38.306,60
18.274,50
6
12.000
100.000
6.274,50
48.411,80
18.274,50
7
12.000
100.000
6.274,50
59.527,50
18.274,50
8
12.000
100.000
6.274,50
71.754,80
18.274,50
9
12.000
100.000
6.274,50
85.204,80
18.274,50
10
12.000
0
6.274,50
99.999,80
18.274,50
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AMMORTAMENTO FRANCESE
• L’ammortamento di tipo francese, o a rata
costante o progressivo, prevede che, a fronte
del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale,
il debitore corrisponda n rate posticipate di
ammortamento alle varie scadenze, in modo tale
che le rate siano tutte di uguale importo R.
• L’importo R delle rate è determinato in base al
principio di equivalenza finanziaria, ovvero
mediante l'uguaglianza dei valori attuali
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AMMORTAMENTO FRANCESE
S Ra n |i
n |i
1
R S n |i
a n |i
Relazioni notevoli:
C k 1 C k iC k C k (1 i )
Le quote capitale crescono
geometrica di ragione (1 + i)
C 1 S n |i Si S n |i
C k C 1 (1 i )
E k S
n |i s k |i
D k Ra n k |i
k 1
S
n |i (1 i )
k 1
in
progressione
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Esempio
La tabella seguente mostra un piano di
ammortamento francese di un prestito di
Euro 100000 ammortizzabile in 10 anni al
tasso annuo di interesse i = 12%.
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ESEMPIO
C1=Sn|i
Ck=C1(1+i)k-1
Rk=Sn|i
Ck =Rk-Ik
Ik=iDk-1
Dk=Dk-1-Ck
Ek=Ek-1+Ck
Anno
Rata
Quota capitale
Quota interesse Debito residuo
Debito
estinto
0
0
0
0
100.000
0
1
17.698,40
5.698,40
12.000,0
94.301,60
5.698,40
2
17.698,40
6.382,20
11.316,2
87.919,40
12.080,60
3
17.698,40
7.148,10
10.550,3
80.771,30
19.228,70
4
17.698,40
8.005,80
9.692,60
72.766,50
27.234,50
5
17.698,40
8.966,50
8.731,90
63.799.00
36.201.00
6
17.698,40
10.042,5
7.655,90
53.765,60
46.243,50
7
17.698,40
11.247,6
6.450,80
42.508,90
57.491,10
8
17.698,40
12.597,3
5.101,10
29.911,60
70.088,40
9
17.698,40
14.109,0
3.598,40
15.802,60
84.197,40
10
17.698,40
15.802,1
1.896,30
0,50
99.999,50
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Relazione tra piano di ammortamento
francese e americano
• L’ammortamento americano non prevede, a differenza
dell’ammortamento francese, un effettivo rimborso
graduale del capitale mutuato, ma una serie di
versamenti su un fondo collaterale, atti a costituire, alla
scadenza, il capitale necessario al rimborso totale del
prestito.
L’esborso periodico costante, dato dalla somma della quota
interessi e della quota di costituzione del capitale mutuato risulta
uguale a quello previsto per un corrispondente piano di
ammortamento francese qualora sia i = i.
S k Si S n |i S ( i n |i ) S n |i
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Ammortamento italiano
• L’ammortamento di tipo italiano, o uniforme, prevede
che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca
iniziale, il debitore corrisponda le rate di ammortamento
di importo variabile alle varie scadenze, in modo che le
quote capitale siano di uguale importo.
• Nell’ammortamento di tipo italiano, all’epoca iniziale il
debitore prende a prestito la somma S convenendo il
rimborso della stessa mediante il versamento delle rate
alle rispettive scadenze in modo tale che sia:
C 1 C 2 ... C n Q
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Ammortamento italiano
• affinché sia soddisfatta la condizione elementare
di chiusura:
n
S C k nQ
k 1
Q
S
n
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Relazioni notevoli
• Debito residuo e debito estinto variano in
progressione aritmetica rispettivamente di
ragione -Q e Q
D k S kQ S
E k kQ k
S
n
nk
n
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Relazioni notevoli
Le quote interessi e le rate decrescono in progressione
aritmetica di ragione -iQ;
I k iD k 1 iQ n ( k 1)
I k 1 iD k iQ n k
I k 1 I k iQ
Rk Q I k
R k 1 R k iQ
R k 1 Q I k 1
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Esempio
• La tabella seguente mostra un piano di
ammortamento italiano di un prestito di
Euro 100.000 ammortizzabile in 10 anni al
tasso annuo di interesse i = 12%.
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ESEMPIO
Rk=Ck +Ik
Dk=Dk-1-Ck
Ik=iDk-1
Ck =S/10
Ek=Ek-1+Ck
Anno
Rata
Quota
capitale
Quota interesse
Debito residuo
Debito estinto
0
0
0
0
100.000
0
1
22.000
10.000
12.000
90.000
10.000
2
20.800
10.000
10.800
80.000
20.000
3
19.600
10.000
9.600
70.000
30.000
4
18.400
10.000
8.400
60.000
40.000
5
17.200
10.000
7.200
50.000
50.000
6
16.000
10.000
6.000
40.000
60.000
7
14.800
10.000
4.800
30.000
70.000
8
13.600
10.000
3.600
20.000
80.000
9
12.400
10.000
2.400
10.000
90.000
10
11.200
10.000
1.200
0
100.000
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Usufrutto e nuda proprietà
• ogni rata è la somma di due componenti:
- remunerazione del debito residuo (la quota interesse)
- parziale rimborso del debito residuo (la quota capitale)
• Può accadere che queste due componenti debbano
essere valutate separatamente.
(es. estinzione anticipata del debito e la corresponsione
di interessi e quote capitale vada a soggetti diversi)
• Si definisce usufrutto il valore attuale delle quote
interesse ancora da corrispondere e nuda proprietà il
valore attuale delle analoghe quote capitale.
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Usufrutto e nuda proprietà
• La somma Vs, all’epoca s, che il debitore deve
corrispondere al creditore è uguale al valore
attuale delle rate ancora da rimborsare,
calcolato ad un tasso i convenuto.
Vs
Vs
n
R jv
js
j s 1
n
j s 1
C j I j v
V s U s Ps
js
n
C
j s 1
j
v
js
n
I
j s 1
j
v
js
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Estinzione anticipata di un
prestito
• Nel caso particolare dell'ammortamento francese:
V s R a ns
|i '
R
1 (1 i ' )
(ns)
i'
se i due tassi coincidono, il valore di riscatto che il debitore
deve corrispondere al creditore è uguale al debito residuo.
V s R a ns R
|i
1 (1 i )
i
(n s)
Ds
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Estinzione a epoca intermedia
Se l’estinzione avviene in un’epoca intermedia
V s f R a n s |i ' (1 i ' )
f
R
1 (1 i ' )
i'
• Se i = i', si ha
R
1 (1 i )
i
(n s)
(1 i )
f
D s (1 i )
f
(ns)
(1 i ' )
f
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esempio
• Un prestito di Euro 60000 deve essere rimborsato
mediante 20 pagamenti annuali costanti posticipati al
13%. La rata d’ammortamento è Euro 8541,20.
• Quattro mesi dopo il pagamento della sesta rata si
richiede il riscatto del debito che viene concesso al tasso
annuo del 12%.
R 8 . 541 , 20 ,
s 6 , f 4 / 12 ,
n 20 ,
V 6 ( 4 / 12 ) 8 . 541 , 20 a
14
| 0 ,12
(1 0 ,12 )
4 / 12
i 0 ,12
58.792
Se il riscatto viene concesso al tasso del 13%, si ha
V 6 ( 4 / 12 ) 8 . 541 , 20 a
14
| 0 ,13
(1 0 ,13 )
4 / 12
56 . 069
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Esercizio 1
• Un debito di 10000 Euro è rimborsabile secondo
rate costanti in 10 anni al tasso dell’8%.
Determinare la rata, quota capitale e quota
interesse e il debito residuo all’anno 4.
S R a10|0 ,08
R=1490,3
C 4 C1 (1 i ) S 10|0 ,08 (1 i ) 869, 57
3
I4=R-C4=620,73
D 4 R a 6|0 ,08 6889, 457
3
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Esercizio 2
• Un debito di 48000 Euro sarà rimborsato in 8
anni con ammortamento italiano al tasso di
interesse annuo del 8%. Determinare la quota
capitale la rata e l’ammontare del debito residuo
all’anno 5.
C=48000/8=6000
D5=48000-5*6000=18000
I5=0,08*D4=0.08*24000=1920
R5=7920
Slide 38
Esercizio 3
• Calcolare l’ammontare del
versamento annuale, della rata
e del fondo di costituzione
all’anno 5 di un prestito di Euro
50.000 ammortizzabile in 10
anni con ammortamento
americano al tasso i = 12% e i'
=10%.
I=i*S=0.12*50.000=6000
C=S/s10|0,1=3137,27
R=C+I=6000+3137,27=9137,27
F5=Cs5|0,1=19153,35
interesse
quota cap
rata
fondo
1
6000
3137,27
9137,27
3137,27
2
6000
3137,27
9137,27
6588,266
3
6000
3137,27
9137,27
10384,36
4
6000
3137,27
9137,27
14560,07
5
6000
3137,27
9137,27
19153,35
6
6000
3137,27
9137,27
24205,95
7
6000
3137,27
9137,27
29763,81
8
6000
3137,27
9137,27
35877,47
9
6000
3137,27
9137,27
42602,48
10
6000
3137,27
9137,27
50000
Slide 39
esercizi
• ACD: cap.7 es.7.1, 7.4, 7.16, 7.18, 7.21
• BC: cap.3 es.3,4,7,10
RIMBORSO DI UN
PRESTITO
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Rimborso di un prestito
• Un prestito, o mutuo, presenta una sola entrata
monetaria iniziale (capitale preso a prestito) seguita da
una (rimborso globale finale) o più uscite monetarie
(rimborsi parziali).
• Le modalità mediante le quali un prestito può essere
rimborsato, o ammortizzato, si distinguono in:
rimborso globale finale
rimborso globale con interessi periodici
rimborso graduale o ammortamento
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TIPOLOGIA
rimborso globale finale
Capitale e interessi vengono restituiti alla scadenza.
(in genere utilizzato per prestiti di breve durata).
rimborso globale con interessi periodici
Capitale restituito alla scadenza, interessi periodici.
Gli interessi I1, I2, ..., In, maturati nei vari periodi, vengono corrisposti
periodicamente, in via anticipata o posticipata, mentre il capitale S viene
rimborsato integralmente alla scadenza. Tipico per prestiti a scadenza
medio - lunga.
rimborso graduale o ammortamento
Capitale e interessi restituiti periodicamente.
Consiste nella corresponsione periodica degli interessi e restituzione
graduale del capitale. Tipico per prestiti a scadenza medio - lunga.
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Rimborso globale finale
Nel regime ad interesse semplice
M S (1 it )
Nel regime ad interesse composto
M S (1 i )
t
Nel regime ad interesse anticipato, all’epoca
iniziale il debitore riceve l’importo
S M Mdt M (1 dt )
dove d è il tasso di sconto periodale.
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Rimborso globale con interessi
periodici
• Nel rimborso globale con interessi periodici, il
debitore riceve all’epoca iniziale il capitale S
preso a prestito, da rimborsarsi in un’unica
soluzione alla scadenza con versamento
periodico degli interessi Ik sull’intero importo S al
tasso periodale di interesse i o di sconto d.
iS
Ik
dS
per k 1, 2 ,..., n
( per interessi
per k 0 ,1,..., n 1
post. )
( per interessi
ant. )
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Rimborso globale con interessi
periodici
• Pertanto, gli esborsi totali alle varie
scadenze risultano, per pagamenti
posticipati degli interessi
iS
S iS (1 i ) S
per k 1, 2 ,..., n 1
per k n
e, per pagamenti anticipati degli interessi,
dS
S
per k 0 ,1, 2 ,..., n 1
per k n
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Ammortamento
L’importo di ciascuna rata Rk è costituito da:
• quota capitale, Ck) destinata alla restituzione
(parziale o totale) della somma mutuata,
• quota interesse, Ik) che remunera il capitale
effettivamente disponibile nel periodo
considerato:
Rk C k I k
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Schema di un piano di
ammortamento
Epoca
k
Rata di
rimborso
Rk
Quota
capitale
Ck
Quota
inter
Ik
Debito
residuo
Dk
Debito
estinto
Ek
0
1
2
...
...
...
…
...
...
...
...
...
S
...
...
0
...
...
...
n
...
...
...
…
...
...
...
0
...
S
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GRANDEZZE CARATTERISTICHE
• Epoca k
Indicata con t0, t1, ..., tn (o più semplicemente con 0, 1, ..., n,
nel caso di rendite periodiche equintervallate) corrisponde ai
tempi in cui vengono effettuati i pagamenti.
• Rata di rimborso Rk
Si indica con Rk (k = 0, 1, 2,..., n) e rappresenta la somma da
corrispondere periodicamente da parte del debitore.
• Quota capitale Ck
Si indica con Ck (k = 1, 2, ..., n) e rappresenta la quota con cui
viene rimborsato, all’epoca k, il capitale mutuato S.
• Quota interesse Ik
Si indica con Ik (k = 1, 2,...., n) in caso di pagamenti posticipati
(anticipati) e rappresenta gli interessi, maturati tra l’epoca k –
1 e k sul debito residuo Dk – 1(Dk), ossia sulle quote capitale
non ancora rimborsate all’epoca k – 1.
Slide 10
GRANDEZZE CARATTERISTICHE
• Debito residuo Dk
Si indica con Dk (k = 0, 1, 2, ..., n) e indica, con
riferimento all’epoca k, la parte di debito, in termini di
quote capitale Ck, (k = 0, 1, 2, ..., n) ancora da
rimborsare a tale epoca.
All’epoca iniziale, quando viene concesso il prestito S, il
debito residuo sarà uguale all’intero ammontare del
capitale prestato perché non si è ancora provveduto a
rimborsare alcuna quota capitale.
• Debito estinto Ek
Si indica con Ek (k = 0, 1, 2, ..., n) e indica, con
riferimento all’epoca k, la parte di debito, in termini di
quote capitali Ck (k = 0, 1, 2, ..., n), già rimborsata a tale
epoca.
Slide 11
RELAZIONI FONDAMENTALI
• Ogni quota interesse (posticipata) è proporzionale al debito
residuo del periodo precedente secondo il tasso periodale di
interesse i.
I k iD k 1
• La rata è la somma di quota capitale e quota interesse
Rk C k I k
• Debito estinto e debito residuo in k>0:
k
k
Ek
C
i 1
i
Dk S Ci
i 1
Slide 12
RELAZIONI FONDAMENTALI
• Debito estinto e debito residuo in t=0 e t=n:
D0 S , E0 0
D n 0, E n S
• Ogni quota capitale va a diminuire il debito
residuo e a incrementare il debito estinto.
D k D k 1 C k , E k E k 1 C k
• La somma del debito estinto e di quello residuo rimane
costante per ogni epoca k e pari al capitale iniziale.
Ek Dk S
Slide 13
RELAZIONI FONDAMENTALI
Condizione di chiusura elementare del piano di
rimborso: la somma delle quote capitale è uguale al
capitale preso a prestito S.
Ck S
Condizione di chiusura finanziaria del piano di
rimborso o condizione di equità: la somma dei valori
attuali delle rate è uguale al capitale preso a prestito S.
Rk
1 i
k
S
Slide 14
Tipi particolari di ammortamento
• Americano: il capitale finale è costituito in
modo progressivo su un fondo collaterale
Francese: le rate sono costanti
Italiano: le quote capitale sono costanti
Slide 15
Ammortamento americano
• L’ammortamento di tipo americano prevede:
• un’operazione di rimborso globale con
interessi periodici calcolati al tasso periodale i;
• Un’operazione di costituzione di capitale che,
tramite versamenti complementari Q, consenta
all’epoca n di scadenza del prestito, di poter
disporre di un capitale di importo pari
all’ammontare S del prestito, sulla base del
tasso i, (solitamente inferiore a i).
Slide 16
Ammortamento americano
• Il debitore, all’epoca k (< n) subisce un esborso complessivo:
Sk = iS + Qk
- interessi iS corrisposti periodicamente e posticipatamente al
creditore al tasso di interesse periodale i,
- quota di costituzione Qk
• Inoltre, alla scadenza finale n:
R n iS S
Slide 17
Ammortamento americano
• nel caso di versamenti posticipati di importo costante Q,
capitalizzati in regime composto al tasso periodale i’,
dovrà valere:
Qs n i S
• Quindi il versamento periodale sarà pari a:
S k Si S
n |i '
AMMORTAMENTO A DUE TASSI: tasso i di
remunerazione per l’operazione di rimborso prestito e
tasso i' di accumulazione
Slide 18
Esempio
• La tabella seguente mostra un piano di
ammortamento americano di un prestito di
Euro 100.000 ammortizzabile in 10 anni
• i = 12% e i' =10%.
Slide 19
ESEMPIO
Anno
Quote
interessi
Debito
residuo
Versamento
Fondo
Esborso
0
0
100.000
0
0
0
1
12.000
100.000
6.274,50
6.274,50
18.274,50
2
12.000
100.000
6.274,50
13.176,50
18.274,50
3
12.000
100.000
6.274,50
20.768,70
18.274,50
4
12.000
100.000
6.274,50
29.120,10
18.274,50
5
12.000
100.000
6.274,50
38.306,60
18.274,50
6
12.000
100.000
6.274,50
48.411,80
18.274,50
7
12.000
100.000
6.274,50
59.527,50
18.274,50
8
12.000
100.000
6.274,50
71.754,80
18.274,50
9
12.000
100.000
6.274,50
85.204,80
18.274,50
10
12.000
0
6.274,50
99.999,80
18.274,50
Slide 20
AMMORTAMENTO FRANCESE
• L’ammortamento di tipo francese, o a rata
costante o progressivo, prevede che, a fronte
del capitale S preso a prestito all’epoca iniziale,
il debitore corrisponda n rate posticipate di
ammortamento alle varie scadenze, in modo tale
che le rate siano tutte di uguale importo R.
• L’importo R delle rate è determinato in base al
principio di equivalenza finanziaria, ovvero
mediante l'uguaglianza dei valori attuali
Slide 21
AMMORTAMENTO FRANCESE
S Ra n |i
n |i
1
R S n |i
a n |i
Relazioni notevoli:
C k 1 C k iC k C k (1 i )
Le quote capitale crescono
geometrica di ragione (1 + i)
C 1 S n |i Si S n |i
C k C 1 (1 i )
E k S
n |i s k |i
D k Ra n k |i
k 1
S
n |i (1 i )
k 1
in
progressione
Slide 22
Esempio
La tabella seguente mostra un piano di
ammortamento francese di un prestito di
Euro 100000 ammortizzabile in 10 anni al
tasso annuo di interesse i = 12%.
Slide 23
ESEMPIO
C1=Sn|i
Ck=C1(1+i)k-1
Rk=Sn|i
Ck =Rk-Ik
Ik=iDk-1
Dk=Dk-1-Ck
Ek=Ek-1+Ck
Anno
Rata
Quota capitale
Quota interesse Debito residuo
Debito
estinto
0
0
0
0
100.000
0
1
17.698,40
5.698,40
12.000,0
94.301,60
5.698,40
2
17.698,40
6.382,20
11.316,2
87.919,40
12.080,60
3
17.698,40
7.148,10
10.550,3
80.771,30
19.228,70
4
17.698,40
8.005,80
9.692,60
72.766,50
27.234,50
5
17.698,40
8.966,50
8.731,90
63.799.00
36.201.00
6
17.698,40
10.042,5
7.655,90
53.765,60
46.243,50
7
17.698,40
11.247,6
6.450,80
42.508,90
57.491,10
8
17.698,40
12.597,3
5.101,10
29.911,60
70.088,40
9
17.698,40
14.109,0
3.598,40
15.802,60
84.197,40
10
17.698,40
15.802,1
1.896,30
0,50
99.999,50
Slide 24
Relazione tra piano di ammortamento
francese e americano
• L’ammortamento americano non prevede, a differenza
dell’ammortamento francese, un effettivo rimborso
graduale del capitale mutuato, ma una serie di
versamenti su un fondo collaterale, atti a costituire, alla
scadenza, il capitale necessario al rimborso totale del
prestito.
L’esborso periodico costante, dato dalla somma della quota
interessi e della quota di costituzione del capitale mutuato risulta
uguale a quello previsto per un corrispondente piano di
ammortamento francese qualora sia i = i.
S k Si S n |i S ( i n |i ) S n |i
Slide 25
Ammortamento italiano
• L’ammortamento di tipo italiano, o uniforme, prevede
che, a fronte del capitale S preso a prestito all’epoca
iniziale, il debitore corrisponda le rate di ammortamento
di importo variabile alle varie scadenze, in modo che le
quote capitale siano di uguale importo.
• Nell’ammortamento di tipo italiano, all’epoca iniziale il
debitore prende a prestito la somma S convenendo il
rimborso della stessa mediante il versamento delle rate
alle rispettive scadenze in modo tale che sia:
C 1 C 2 ... C n Q
Slide 26
Ammortamento italiano
• affinché sia soddisfatta la condizione elementare
di chiusura:
n
S C k nQ
k 1
Q
S
n
Slide 27
Relazioni notevoli
• Debito residuo e debito estinto variano in
progressione aritmetica rispettivamente di
ragione -Q e Q
D k S kQ S
E k kQ k
S
n
nk
n
Slide 28
Relazioni notevoli
Le quote interessi e le rate decrescono in progressione
aritmetica di ragione -iQ;
I k iD k 1 iQ n ( k 1)
I k 1 iD k iQ n k
I k 1 I k iQ
Rk Q I k
R k 1 R k iQ
R k 1 Q I k 1
Slide 29
Esempio
• La tabella seguente mostra un piano di
ammortamento italiano di un prestito di
Euro 100.000 ammortizzabile in 10 anni al
tasso annuo di interesse i = 12%.
Slide 30
ESEMPIO
Rk=Ck +Ik
Dk=Dk-1-Ck
Ik=iDk-1
Ck =S/10
Ek=Ek-1+Ck
Anno
Rata
Quota
capitale
Quota interesse
Debito residuo
Debito estinto
0
0
0
0
100.000
0
1
22.000
10.000
12.000
90.000
10.000
2
20.800
10.000
10.800
80.000
20.000
3
19.600
10.000
9.600
70.000
30.000
4
18.400
10.000
8.400
60.000
40.000
5
17.200
10.000
7.200
50.000
50.000
6
16.000
10.000
6.000
40.000
60.000
7
14.800
10.000
4.800
30.000
70.000
8
13.600
10.000
3.600
20.000
80.000
9
12.400
10.000
2.400
10.000
90.000
10
11.200
10.000
1.200
0
100.000
Slide 31
Usufrutto e nuda proprietà
• ogni rata è la somma di due componenti:
- remunerazione del debito residuo (la quota interesse)
- parziale rimborso del debito residuo (la quota capitale)
• Può accadere che queste due componenti debbano
essere valutate separatamente.
(es. estinzione anticipata del debito e la corresponsione
di interessi e quote capitale vada a soggetti diversi)
• Si definisce usufrutto il valore attuale delle quote
interesse ancora da corrispondere e nuda proprietà il
valore attuale delle analoghe quote capitale.
Slide 32
Usufrutto e nuda proprietà
• La somma Vs, all’epoca s, che il debitore deve
corrispondere al creditore è uguale al valore
attuale delle rate ancora da rimborsare,
calcolato ad un tasso i convenuto.
Vs
Vs
n
R jv
js
j s 1
n
j s 1
C j I j v
V s U s Ps
js
n
C
j s 1
j
v
js
n
I
j s 1
j
v
js
Slide 33
Estinzione anticipata di un
prestito
• Nel caso particolare dell'ammortamento francese:
V s R a ns
|i '
R
1 (1 i ' )
(ns)
i'
se i due tassi coincidono, il valore di riscatto che il debitore
deve corrispondere al creditore è uguale al debito residuo.
V s R a ns R
|i
1 (1 i )
i
(n s)
Ds
Slide 34
Estinzione a epoca intermedia
Se l’estinzione avviene in un’epoca intermedia
V s f R a n s |i ' (1 i ' )
f
R
1 (1 i ' )
i'
• Se i = i', si ha
R
1 (1 i )
i
(n s)
(1 i )
f
D s (1 i )
f
(ns)
(1 i ' )
f
Slide 35
esempio
• Un prestito di Euro 60000 deve essere rimborsato
mediante 20 pagamenti annuali costanti posticipati al
13%. La rata d’ammortamento è Euro 8541,20.
• Quattro mesi dopo il pagamento della sesta rata si
richiede il riscatto del debito che viene concesso al tasso
annuo del 12%.
R 8 . 541 , 20 ,
s 6 , f 4 / 12 ,
n 20 ,
V 6 ( 4 / 12 ) 8 . 541 , 20 a
14
| 0 ,12
(1 0 ,12 )
4 / 12
i 0 ,12
58.792
Se il riscatto viene concesso al tasso del 13%, si ha
V 6 ( 4 / 12 ) 8 . 541 , 20 a
14
| 0 ,13
(1 0 ,13 )
4 / 12
56 . 069
Slide 36
Esercizio 1
• Un debito di 10000 Euro è rimborsabile secondo
rate costanti in 10 anni al tasso dell’8%.
Determinare la rata, quota capitale e quota
interesse e il debito residuo all’anno 4.
S R a10|0 ,08
R=1490,3
C 4 C1 (1 i ) S 10|0 ,08 (1 i ) 869, 57
3
I4=R-C4=620,73
D 4 R a 6|0 ,08 6889, 457
3
Slide 37
Esercizio 2
• Un debito di 48000 Euro sarà rimborsato in 8
anni con ammortamento italiano al tasso di
interesse annuo del 8%. Determinare la quota
capitale la rata e l’ammontare del debito residuo
all’anno 5.
C=48000/8=6000
D5=48000-5*6000=18000
I5=0,08*D4=0.08*24000=1920
R5=7920
Slide 38
Esercizio 3
• Calcolare l’ammontare del
versamento annuale, della rata
e del fondo di costituzione
all’anno 5 di un prestito di Euro
50.000 ammortizzabile in 10
anni con ammortamento
americano al tasso i = 12% e i'
=10%.
I=i*S=0.12*50.000=6000
C=S/s10|0,1=3137,27
R=C+I=6000+3137,27=9137,27
F5=Cs5|0,1=19153,35
interesse
quota cap
rata
fondo
1
6000
3137,27
9137,27
3137,27
2
6000
3137,27
9137,27
6588,266
3
6000
3137,27
9137,27
10384,36
4
6000
3137,27
9137,27
14560,07
5
6000
3137,27
9137,27
19153,35
6
6000
3137,27
9137,27
24205,95
7
6000
3137,27
9137,27
29763,81
8
6000
3137,27
9137,27
35877,47
9
6000
3137,27
9137,27
42602,48
10
6000
3137,27
9137,27
50000
Slide 39
esercizi
• ACD: cap.7 es.7.1, 7.4, 7.16, 7.18, 7.21
• BC: cap.3 es.3,4,7,10