Slide 1

Математический анализ
Раздел: Определенный интеграл

Тема: Интегралы, зависящие от параметра
Лектор Пахомова Е.Г.

2011 г.


Slide 2

§6. Интегралы, зависящие от параметра
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть Dℝn + 1 , D = {(x, y1, y2 , …, yn) | a  x  b , ci  yi  di },
z = f(x, y1, y2 , …, yn) – определена и непрерывна в D .
Придадим переменным y1, y2 , …, yn конкретные значения:
y1 = y10 , y2 = y20 , …, yn = yn0 (где ci  yi0  di )

Рассмотрим функцию z = f(x, y10, y20 , …, yn0) = (x)
Имеем: (x) – непрерывна на [a;b] ,
 (x) – интегрируема на [a;b].
Пусть a,b[a;b] . Вычислим
b

b

  ( x ) dx  

a

 ôóíêöèÿ

f ( x , y 10 , y 20 ,  , y n 0 ) dx

a 

     

çàâèñèò îò y10 , y 20 , , y n 0
, çàäàííàÿ
íà D1 {( y1 , y 2 , , y n ) | c i  y i  d i }


Slide 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Заданная на множестве
D1 = {(y1, y2 , …, yn) | ci  yi  di }ℝn
функция n переменных
b

F ( y1 , y 2 ,  , y n ) 



a

f ( x , y 1 , y 2 ,  , y n ) dx

 

const

называется интегралом, зависящим от параметров.
Переменные y1, y2 , …, yn называются параметрами.
Для простоты изложения будем далее рассматривать интегралы,
зависящие от одного параметра.
Получившиеся результаты естественным образом будут
переноситься на случай интегралов от любого конечного
числа параметров.


Slide 4

ТЕОРЕМА 1 (о непрерывности интеграла, зависящего от параметра).
Пусть z = f(x,y) непрерывна в прямоугольнике
D = {(x, y) | a  x  b , c  y  d }
и a,b[a;b].
b
Тогда функция F ( y ) 



f ( x , y ) dx

непрерывна на [c;d] .

a

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ТЕОРЕМА 2 (о предельном переходе по параметру под знаком
интеграла).
Пусть z = f(x,y) непрерывна в прямоугольнике
D = {(x, y) | a  x  b , c  y  d }
и a,b[a;b], y0[c;d] .
Тогда
b
b
lim

y  y0

F ( y )  lim

y  y0



a

f ( x , y ) dx 

 ylim
 y

a

f ( x , y ) dx .
0


Slide 5

ТЕОРЕМА 3 (о дифференцировании интеграла по параметру).
Пусть функции z = f(x,y) и f y ( x , y ) непрерывны в прямоугольнике D = {(x, y) | a  x  b , c  y  d } и a,b[a;b].
b

Тогда функция F ( y ) 
причем



f ( x , y ) dx дифференцируема на [c;d],

a

b

F ( y ) 



f y ( x , y ) dx

a

Формула (1) называется правилом Лейбница.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

(1)


Slide 6

ТЕОРЕМА 4 (о непрерывности интеграла, зависящего от
параметра в случае переменных пределов интегрирования).
Пусть z = f(x,y) непрерывна в прямоугольнике
D = {(x, y) | a  x  b , c  y  d } ,
a(y) и b(y) непрерывны на [c;d] , причем
a  a(y)  b , a  b(y)  b , y[c;d] .
b ( y)

Тогда функция

F ( y) 



f ( x , y ) dx

a ( y)

непрерывна на [c;d] .


Slide 7

ТЕОРЕМА 5 (о дифференцировании интеграла по параметру в
случае переменных пределов интегрирования).
Пусть функции z = f(x,y) и f y ( x , y ) непрерывны в прямоугольнике
D = {(x, y) | a  x  b , c  y  d } ,
a(y) и b(y) дифференцируемы на [c;d] , причем
a  a(y)  b , a  b(y)  b , y[c;d] .
b ( y)

Тогда функция
[c;d] , причем

F ( y) 



f ( x , y ) dx

дифференцируема на

a ( y)

b ( y)

F ( y ) 



f y ( x , y ) dx  f ( b ( y ), y )  b  ( y )  f (a ( y ), y )  a  ( y ) .

a ( y)


Slide 8

2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть z = f(x,y) непрерывна в области
D = {(x, y) | a  x  + , c  y  d }
и a[a;+).
Функция



F ( y) 



a

f ( x , y ) dx

(2)

называется несобственным интегралом, зависящим от
параметра.
F(y) определена на некотором подмножестве Y[c;d],
состоящем из значений y , при которых интеграл (2) –
сходится.
D[F(y)] называют областью сходимости интеграла (2).


Slide 9

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственный интеграл (2) называют
правильно сходящемся на множестве Y[c;d] , если существует такая функция (x) , что
1) | f(x,y) |  (x) , yY , x[a;+) ;


2)

  ( x ) dx

a

– сходится.

Говорят:
«интеграл
(2)
несобственным интегралом».

мажорируется

сходящимся

ТЕОРЕМА 6 (о непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра).
Пусть z = f(x,y) непрерывна в области
D = {(x, y) | a  x  + , c  y  d }
и a[a;+).
Если интеграл (2) сходится правильно на множестве Y[c;d] ,
то он является на Y непрерывной функцией.


Slide 10

ТЕОРЕМА 7 (о дифференцировании несобственного интеграла
по параметру).
Пусть функции z = f(x,y) и f y ( x , y ) непрерывны в области
D = {(x, y) | a  x  + , c  y  d }
и a[a;+).

Если несобственный интеграл  f y ( x , y ) dx
сходится пра

a

вильно на множестве Y[c;d] , то функция F ( y ) 
дифференцируема на Y и справедлива формула



d 

F ( y ) 
f
(
x
,
y
)
dx

dy  
 a






a

f y ( x , y ) dx .



a

f ( x , y ) dx


Slide 11

3. Эйлеровы интегралы
Эйлеровы интегралы – два интеграла зависящих от параметра,
специального вида.
1) Эйлеровым интегралом II рода (-функцией) называется
интеграл вида

G(x) 

t

x 1

e

t

dt .

0

СВОЙСТВА -функции:
а) G(x) определена при x > 0 .
б) G(x + 1) = x  G(x) – формула понижения (или функциональное уравнение).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно


Slide 12

в) если 0 < x < 1 , то справедлива формула дополнения:
G ( x )  G (1  x ) 



sin  x

.

1
Из формулы дополнения, при x  , получаем: G   
2
2
1

г) если nℕ , то справедливы равенства:
G(n) = (n – 1)!

и

1  ( 2 n  1) !!

G n   

n
2

2

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно






Slide 13

2) Эйлеровым интегралом I рода (b-функцией) называется
интеграл вида
1
B ( x, y ) 

t

x 1

 (1  t )

y 1

dt .

0

СВОЙСТВА b-функции:
а) B(x,y) определена в полуплоскости x > 0 , y > 0 .
б) B(x,y) = B(y,x) .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

в) Справедливо равенство:


1

B ( x, y ) 

t
0

x 1

 (1  t )

y 1

dt 


0

z

x 1

(1  z )

x y

dz .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно


Slide 14

г) связь b-функции и -функции:
B ( x, y ) 

G( x)  G( y)
G(x  y)

.

Из этой формулы, в частности, следует, что при 0 < x < 1
B ( x ,1  x ) 


sin  x

.