Slide 1

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 2

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 3

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 4

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 5

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 6

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 7

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 8

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 9

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 10

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 11

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 12

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 13

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 14

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15


Slide 15

КРАСОТА МАТЕМАТИКИ
1х8+1=9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Работа ученицы 10b класса
Кристины Ольт
2009 г.

СОДЕРЖАНИЕ















Введение
Алгоризм: зримая красота математики
Самые красивые математические формулы
Красота математических поверхностей
Фракталы
Фракталы бывают нескольких типов:
Самая крупная группа фракталов –
алгебраические
Оригами
Оригами-это Математика
Вывод
Ccылки

2

О красоте математики написано немало. Авторы видят
ее в гармонии чисел и форм, геометрической
выразительности, стройности математических
формул, решении задач различными способами, в
изяществе математических доказательств, в порядке,
богатстве приложений, универсальности
математических методов. Под понятие красоты
подводится широкий спектр различных объектов от
схем зверушек, составленных из отрезков, до
представления красивого объекта моделью,
3
удовлетворяющей требованиям изоморфизма,
простоты и неожиданности.

АЛГОРИЗМ: ЗРИМАЯ КРАСОТА
МАТЕМАТИКИ


Алгоризм – от слова «алгоритм». Алгоритм - это
детальный рецепт выполнения какого-либо
действия для достижения определенного
результата. Сегодня алгоритмы окружают нас
повсеместно: человек предоставляет машинам
выполнение механических действий, дабы
высвободить больше времени на творчество и
интеллектуальную деятельность. Алгоритмические
процедуры выполняются и цифровыми
инструментами, используемыми при создании
произведений искусства.
4

САМЫЕ КРАСИВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ
Большинство ученых назвали самой красивой
формула Пифагора, которая изначально
воспринималась как выражение принципа
космической эволюции.
 Звание красивейшей получила также
формула Эйлера, известного своим
стремлением ввести красоту в науку.
«Некоторые математики обращали внимание,
что в ней «собрались все», т.е. все самые
замечательные математические числа, и
единица таит в себе бесконечности! — это
имеет глубокий философский смысл»,


5

КРАСОТА МАТЕМАТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТЕЙ

Все, разумеется, строили в
школе графики, до
невозможности проклиная
училку по геометрии. Так
вот, если кто-то помнит, то
впервые с понятиями
бесконечности в
изображении графиков
фукнций народ столкнулся
ещё там, когда описывался
простейший график в виде
прямой, бесконечной по
протяженности. Следом за
ней пошла гипербола график функции y = 1/x,
бесконечно
приближающаяся к осям
координат.

6

ФРАКТАЛЫ






Описать структуру фрактала можно на примере
береговой линии: издали она имеет вид кривой, однако
при приближении у кривой появляются другие
неровности, и сколько не приближай взгляд, кривая
никак не исчезает. На той же основе и были созданы
фрактальные графики.
Слово фрактал образовано от латинского fractus и в
переводе означает "состоящий из фрагментов". Оно было
предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для
обозначения нерегулярных, но самоподобных структур,
которыми он занимался.

Фракталы очень просто строить самому, задав конечный
предел интеграции. Для этого сейчас специально пишут
программы, в зависимости от желаний можно создать
самые различные изображения, цветные, непонятные,
шокирующие.

7

/

ФРАКТАЛЫ БЫВАЮТ НЕСКОЛЬКИХ
ТИПОВ:

Самые простые из них - геометрические, как
кривая Коха. Фракталы этого класса самые
наглядные. В двухмерном случае их получают
с помощью некоторой ломаной (или
поверхности в трехмерном случае), называемой
генератором. За один шаг алгоритма каждый
из отрезков, составляющих ломаную,
заменяется на ломаную-генератор, в
соответствующем масштабе. В результате
бесконечного повторения этой процедуры,
получается геометрический фрактал.
Кривая
 Рассмотрим один из таких фрактальных
Коха
объектов - триадную кривую Коха. Построение
кривой начинается с отрезка единичной длины
- это 0-е поколение кривой Кох.


8

САМАЯ КРУПНАЯ ГРУППА
ФРАКТАЛОВ - АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.






Самое известное из них - множество Мандельборта, самое
красивое из всего, созданного точными науками. Если кому-то
что-то это скажет, формула множества Мандельброта
записывается так: Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C
Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение
бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки
имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе
множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в
бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за
пределами множества, уходят в бесконечность через несколько
итераций (белый фон).
Еще одним известным классом фракталов являются
стохастические фракталы, которые получаются в том случае,
если в итерационном процессе случайным образом менять какиелибо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие
на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые
линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются
при моделировании рельефа местности и поверхности моря.
9

10

ОРИГАМИ
Оригами - это искусство бумажной пластики,
родившееся в Японии. Несмотря на то, что сама
бумага появилась в Китае, именно в Японии
догадались складывать из нее удивительные по
своей красоте фигурки. Может быть, свою роль здесь
сыграло и то, что по-японски слова "бумага" и "бог"
очень похожи.
 Слово оригами складывается из двух иероглифов:
ори - "бумага" и ками - "складывание".


11

ОРИГАМИ-ЭТО
МАТЕМАТИКА


«Разверните фигурку оригами и посмотрите на
складки – вы увидите лишь обилие
многоугольников, соединенных друг с другом. В
сложенном виде оригами представляет собой
многогранник, фигуру с множеством плоских
поверхностей, а когда фигура разложена и
показаны все складки, мы, математики, называем
ее двухмерным множеством. Если предположить,
что произведение оригами является множеством,
можно открыть немало интересного. Именно это
побудило меня заняться оригами», - рассказывает
дизайнер оригами Адзума Хидэаки.

12

В этой спирали нет прямых углов,
типичных для классического оригами:
в каждом треугольнике есть угол,
размер которого составляет более 90
градусов. Адзума говорит, что
структура спирали основывается на
математическом принципе «изменения
Фурье», в связи с чем он назвал ее
«Convolution», то есть «искривление».

13

ВЫВОД
Я

узнала очень много нового полезного,
интересного о красоте математике.
Формула Пифагора и формула Эйлера
считаются наиболее красивыми в
математике. Раньше я с этой темой ни
когда не сталкивалась. Я выбрала эту
тему потому что она оказалась для меня
наиболее увлекательной.

14

CCЫЛКИ:
http://www.doodoo.ru/news-3209.html
 http://mat.1september.ru/2002/43/no43_1.htm
 http://www.render.ru/books/show_book.php?book
_id=507
 HTTP://WWW.NEWSLAND.RU/NEWS/DETAIL/ID/33804
3/CAT/37/
 http://www.log-in.ru/articles/56/
 http://webjapan.org/nipponia/nipponia41/ru/feature/feature
09.ht
 http://log-in.ru/articles/526/


15