נתונה טבעת מעגלית , בעלת רדיוס ,a הטעונה באופן אחיד במטען חיובי .+Q מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים . ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר.
Download ReportTranscript נתונה טבעת מעגלית , בעלת רדיוס ,a הטעונה באופן אחיד במטען חיובי .+Q מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים . ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר.
Slide 1
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 2
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 3
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 4
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 5
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 6
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 7
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 8
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 9
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 10
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 11
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 12
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 13
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 14
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 15
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 16
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 17
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 18
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 19
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 20
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 21
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 22
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 23
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 2
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 3
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 4
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 5
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 6
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 7
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 8
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 9
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 10
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 11
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 12
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 13
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 14
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 15
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 16
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 17
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 18
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 19
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 20
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 21
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 22
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K
Slide 23
נתונה טבעת מעגלית ,בעלת רדיוס ,aהטעונה באופן
אחיד במטען חיובי .+Q
מרכז הטבעת נמצאת בראשית הצירים.
ציר הסימטריה של הטבעת הינו ציר .x
Q+
a
+
x
+
+
יש לחשב את השדה החשמלי על ציר הסימטריה של
הטבעת כפונקציה של המרחק xממרכז הטבעת.
Q+
a
+
x
+
+
מאחר והטבעת היא לא מטען נקודתי ,עלינו
לחלק את הטבעת ליחידות אורך קטנות מאוד,
כך שכל יחידה כזאת תחשב כמטען נקודתי.
המטען dqהנו
המטען ביחידת
האורך הקטנה.
dq
+
+
a
+
Q
+
+
נפעיל את עיקרון הסופרפוזיציה
ונבדוק מהי תרומת השפעתו של כל אלמנט מטען dq
על השדה במרחק xממישור הטבעת.
dq
Q+ +
a
+
x
+
+
d E e lc
עכשיו נתבונן על מטען נקודתי dqנוסף הנמצא בדיוק
מול המטען הראשון.
גם הוא משפיע על השדה בנקודה
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
)dE elc (1
מאחר וגודל המטען שווה והמרחק מהנקודה שווה ,נקבל
כי עוצמת השדה שווה מצד כל מטען .לכן נקבל כי
בציר הניצב רכיבי השדה מתאפסים והשדה השקול
שנוצר מזוג המטענים הקטנים יהיה מכוון על ציר x
לכיוון החיובי ,כמתואר בתרשים.
dq
Q+ +
) d E elc ( 2
x
a
+
+
+
dE
d E e lc 2 2 d E X
e lc 1
)dE elc (1
למעשה הטבעת מורכבת מאוסף זוגות של מטענים
נקודתים אשר כל זוג גורם לבטל את הרכיב הנציב.
בסופו של דבר יש לסכום את כל רכיבי השדות בציר x
E total dE X
x
Q+
a
+
+
+
נחזור אל אותו מטען נקודתי ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בציר . X
d E e lc ( x ) d E e lc co s
dq
Q+ +
a
x
+
+
+
dE elc
שדה שיוצר מטען נקודתי חיובי
d E e lc K
dq
r
2
K
Q+ +
dq
x a
2
r
2
x a
2
2
a
+
x
+
+
x
את קוסינוס הזווית נחשב מגיאומטריה
x
2
2
x a
2
x a
cos
2
Q+ +
r
a
+
x
+
x
+
נציב את הביטויים שקיבלנו ונמצא ביטוי לרכיב השדה
בכיוון ציר xשתורם אלמנט מטען אחד.
x
dq
) (x a
2 1 .5
2
x
K
2
x a
2
dq
2
x a
dq
Q+ +
a
x
+
+
) d E elc ( x
+
2
d E e lc ( x ) K
עכשיו נסכום את כל רכיבי השדות
E total dE elc ( x ) ( K
E total K
x
(x a )
2
2 1.5
dq
(x a )
2
2 1.5
x)
dq
את כל הקבועים ניתן
להוציא כגורם משותף
Q
+
a +
+
+
E to ta l d E e lc ( x )
x
E to ta l K
E to ta l K
Q
x
(x a )
2
2 1 .5
dq
Qx
נשאר לסכום את
אלמנטי המטען
שסכומם נותן את
מטען הטבעת
(x a )
2
+
a +
+
+
2 1 .5
E to ta l d E e lc ( x )
x
קיבלנו ביטוי עבור השדה השקול שמפעילה טבעת על
ציר הסימטריה שלה ,במרחק Xממישור הטבעת.
קשר זה נכון לכל , xחיובי או שלילי
Qx
) (x a
2 1.5
) E to ta l d E e lc ( x
x
2
+
a +
+
+
E total K
Q
מתוך הקשר שקיבלנו אנו רואים שכאשר x=0
מתקבל E=0
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
+
a +
x
+
+
Q
נשרטט גרף המתאר את תלות הכוח בהעתק מנש"מ.
Qx
) (x a
2 1.5
2
E total K
E total
X
ניתן לראות שהפונקציה מקבלת ערך מכסימלי.
נגזור את הפונקציה כדי למצוא היכן מתקבל הכח המכסימלי.
Qx
) (x a
2 1.5
E total
X
2
E total K
E K
Qx
(x a )
2
2 1.5
Q ( x a )
2
E K
2 1 .5
x(x a )
2
(x a )
2
Q(x a )
2
E K
נגזרת של מנה
2
0 .5
2
3
(a 2 x )
2
(x a )
2
2
2
3
2
0 .5
3 x
נשווה את הביטוי לאפס ונקבל היכן מקבלת
הפונקציה ערך מכסימלי
) (a 2 x
2
0
2
3
0 .5
) Q(x a
2
2
) (x a
2
2
a
2
2
E K
a
2
x
E total K
Qx
(x a )
2
2 1.5
E total
x
2
a
2
x
2
2
a
X
כאשר ( x>>aאבל לא שואף לאינסוף).
2
קיבלנו ביטוי המזכיר לנו
את השדה של מטען
נקודתי ,כלומר במרחק
רב מהטבעת נוכל
להתייחס אליה כמטען
נקודתי "המרוכז"
במרכזה.
) (x a
2 1.5
2
+
x
E total
Q
X
+
2
Q
a
+
2
Qx
+
+
x a x
2
E total K
E x a K