Vorlesung Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik W1332 Fakultät für Wirtschaftswissenschaften W. Dangelmaier Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik Inhalt 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Einführung: Worum geht es hier? System Modell Modellierung von.
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Vorlesung
Grundlagen der computergestützten
Produktion und Logistik
W1332
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
W. Dangelmaier
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Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Einführung: Worum geht es hier?
System
Modell
Modellierung von Gegenständen
Strukturmodelle (Gebildestruktur)
Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)
Produktion
Digitale Fabrik
Planung von Produktionssystemen
Wirtschaftlichkeitsrechnung
Prüfungen
Slide 3
3. Modell
Modell
... Ein Modell ist ein bewusst konstruiertes Abbild der Wirklichkeit, das auf der
Grundlage einer (Gegenstands-) Struktur-, Funktions- oder Verhaltensanalogie zu
einem entsprechenden Original von einem Subjekt eingesetzt bzw. genutzt wird, um
eine bestimmte Aufgabe lösen zu können, deren Durchführung mittels direkter
Operation am Original zunächst oder überhaupt nicht möglich bzw. unter den
gegebenen Bedingungen zu aufwendig oder nicht zweckmäßig ist...
Verwendungszweck
Darstellen von Ideen, Zusammenhängen
Erklären eines Tatbestandes
Gewinnen von Einsichten in das Verhalten des Systems
Vorraussagen über das Verhalten eines Systems
Optimieren von Systemstruktur, -verhalten und/oder -funktion
Slide 4
3. Modell
Modellbildung
Ein Modell stellt kein möglichst vollständiges Abbild der Realität dar, sondern
enthält zur Reduktion von Aufwand und Komplexität gemäß Modelldefinition und
-zweck nur die zu untersuchenden Gesichtspunkte
Strukturanalogie
... liegt vor, wenn die Abbildung eines Systems auf ein Modell insbesondere die
Struktur dieses Systems korrekt wiedergibt ...
Verhaltensanalogie
... liegt vor, wenn die Abbildung eines Systems auf ein Modell insbesondere das
Verhalten dieses Systems korrekt wiedergibt ...
Funktionsanalogie
... liegt vor, wenn die Abbildung eines Systems auf ein Modell insbesondere die
Funktionsweise dieses Systems korrekt wiedergibt ...
Slide 5
3. Modell
Modell „Overhead“
Lichtquelle
Folie
Spiegel
Funktionsmodell:
Zusammenwirken der Subsysteme
Leinwand
Strom
Abluft
Folie
Bild
Verhaltensmodell:
Zusammenhalten von Input und Output
Strukturmodell: Ordnung der Subsysteme
Slide 6
3. Modell
Modellklassifikation
Die Modellklassifikation hilft a priori, also vor der Modellierung, deren Ziel und
damit auch die anzuwendenden Methoden und Vorgehensweisen zu
konkretisieren. Nach der Reihenfolge ihres Auftretens bzw. ihrer Verwendung bei
der Systemmodellierung lassen sich folgende Modellklassen unterscheiden:
Modellklasse: Gedankliche Modelle
Gedankliche Modelle sind die notwendige Zwischenstufe, die von jedem realen
System zu dessen modellartiger Darstellung durchschritten werden muss.
Sie sind somit der Ausgangspunkt jeder schöpferischen Modellkonstruktion.
Slide 7
3. Modell
Modellklasse: Verbale Systembeschreibungen
Verbale Systembeschreibungen sind Abbildungen mit Hilfe von sprachlichen
und/oder graphischen Symbolen...
Beschreibungsmodelle
beschreiben empirische Erscheinungen ohne Erklärung oder Analyse
Erklärungsmodelle
beschreiben Ursachen, Zusammenhänge und liefern Hypothesen
Entscheidungsmodelle
erleichtern Bestimmung optimaler Handlungsweisen der in einem
Erklärungsmodell gewonnenen Erkenntnisse auf einen Anwendungsbereich
Slide 8
3. Modell
Modellklasse: Gegenständliche Modelle
Gegenständliche Modelle liefern eine Systembeschreibung mittels räumlicher
Objekte
Objektbeschreibungen
Darstellung spezieller (statischer) Eigenschaften (Designstudie)
Strukturmodelle
Darstellung struktureller Eigenschaften (Molekülaufbau)
Verhaltensmodelle
Darstellung des Systemverhaltens (Windkanalmodelle)
Funktionsmodelle
Darstellung der Systemfunktionen (Eisenbahnanlage)
Slide 9
3. Modell
Modellklasse: Formale Modelle
Will man ein System in seiner Struktur, seinem Verhalten oder seiner Funktion
optimieren, so macht dies einen Formalismus erforderlich.
Systembeschreibungen folgen hier einem a priori definiertem Formalraum
Objektbeschreibungen
Darstellung spezieller (statischer) Eigenschaften: Technische Zeichnung nach
DIN-Norm, Beschreibung eines Objektes mit Finite Elemente Methode
Strukturmodelle
Darstellung struktureller Eigenschaften: 3D-Objekt als Topologie, Graphen,
Tabellen
Verhaltensmodelle
Darstellung des Systemverhalten: Modelle von Reglern, PPS-System zur
Mengenplanung und Minimierung des Bestands
Funktionsmodelle
Darstellung einer Systemfunktion: NC-Programm zur Optimierung von
Werkzeugbewegungen oder der Bewegung eines Fördergeräts
Slide 10
3. Modell
Modellklasse: Operative Modelle
Beispiel: Travelling-Salesman-Problem
Zielfunktion:
N
2
1
N
d
ij
4
3
j
j
x ij MIN
dij 1
2
3
4
xij 1
2
3
4
1
-
9
2
3
1
0
0
1
0
2
9
-
1
2
2
0
0
0
1
3
2
1
-
8
3
0
1
0
0
(jeder Knoten hat genau eine eingehende 4 3 2 8
Distanzmatrix
Kante)
-
4
1
0
0
0
i
j
Gleichgewichtsbedingungen:
N
x ij e j 1; j 1,2,..., N
i
i
i
Lösungsmatrix
N
x
ij
a i 1; i 1,2,..., N
2
4
j
(jeder Knoten hat genau eine ausgehende Kante)
Randbedingung Xij = 0 oder 1
1
3
Slide 11
3. Modell
Merkmale
Der Modellbegriff lässt sich durch drei Merkmale beschreiben:
Abbildungsmerkmal
Ein Modell ist immer Abbild eines Originals. Die Abbildung wir durch eine
Zuordnung zwischen den Eigenschaften des Modells und des Originals
realisiert.
Verkürzungsmerkmal
Nur relevante Eigenschaften des Originals werden erfasst.
Pragmatik
Ein Modell wird immer nur innerhalb gewisser Zeitspannen zu einem ganz
bestimmten Zweck für ein Original eingesetzt.
Slide 12
3. Modell
Aufgabe Modell oder nicht? – Äußere Verwandtschaft täuscht ...
Fall 1: Modelleisenbahn
Fall 2: Simulation mit Modellbaukasten & EDV-Systemen
Fall 3: Hooke‘sche Feder und Gummiband
Fall 4: Anordnung von Abteilungen
Förderentfernungen
Fördermengen
Förderleistungen
N
V .
A
B
C
D
E
N
V .
A
B
C
D
E
N
V .
A
B
C
D
E
A
x
2
4
3
5
A
x
5
3
0
0
A
x
10
12
0
0
B
2
x
2
2
3
B
0
x
1
0
4
B
0
x
2
0
12
C
4
2
x
3
2
C
0
0
x
3
1
C
0
0
x
9
2
D
3
2
3
x
5
D
0
0
0
x
3
D
0
0
0
x
15
E
5
3
2
5
x
E
0
0
0
0
x
E
0
0
0
0
x
Diskutieren Sie, für welchen Anwendungsfall/Zweck ein solches Modell eingesetzt
werden kann.
Slide 13
3. Modell
1
2
3
4
5
6
7
U
1
0
87
23
0
0
0
0
0
110
2
0
0
101
0
0
30
0
0
131
3
0
19
0
83
14
20
0
0
136
4
0
0
12
0
94
0
6
0
112
5
0
25
0
29
0
38
16
0
108
6
0
0
0
0
0
0
88
0
88
7
10
0
0
0
0
0
0
100
110
U
100
0
0
0
0
0
0
0
100
110
131
136
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108
88
110
100
895
Matrix A Transportmengen
Slide 14
3. Modell
1
2
3
4
5
6
7
1
0
10
19
23
23
17
7
2
10
0
12
14
10
13
11
3
19
12
0
9
14
15
18
4
23
14
9
0
6
16
29
5
23
18
14
6
0
13
19
6
17
13
15
16
13
0
10
7
7
11
18
29
19
10
0
Matrix B Transportdistanzen
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3. Modell
1
2
3
4
5
6
7
1
0
870
437
0
0
0
0
2
0
0
1212
0
0
390
0
3
0
228
0
747
256
300
0
4
0
0
108
0
564
0
174
5
0
450
0
174
0
494
304
6
0
0
0
0
0
0
880
7
70
0
0
0
0
0
0
70
1548
1757
921
820
1184
1358
U
U
Matrix C Transportleistungen
7658
Slide 16
3. Modell
Transportdistanzen im Direktverkehr
Abt. 3
Abt. 2
Abt. 1
19
12
9
14
10
15
29
6
13
19
13
Abt. 4
7
Abt. 5
10
Abt. 6
Abt. 7
Slide 17
3. Modell
Transportdistanzen im Ringverkehr
Abt. 3
Abt. 2
(12)
Abt. 1
(10)
(9)
(7)
(6)
Abt. 4
(13)
Abt. 5
(10)
Abt. 6
Abt. 7
Slide 18
3. Modell
Fall 5: Ermitteln der optimalen Auslegung
Einfache mathematische Modelle
• Analytisches Lösen des Modells
• Extremwert – Berechnung („geschlossene Lösung“)
• Heuristische (Näherungs-)Verfahren
Dreidimensionale und komplizierte mathematische Modelle
• Lösung durch experimentelles Betreiben des Modells (Simulation)
• „Keine“ Hilfe für die Lösungssuche
• Nur Aufzeigen der Auswirkungen von gewählter Struktur, Dimensionierung
und Steuerung auf Leistungsfähigkeit
– Durchlaufzeit
– Durchsatz
– Leistungsgrad
– Stillstandszeit
Slide 19
3. Modell
Simulation mit „Fischer-Technik“-Modell
• Hohe Anschaulichkeit
• Hohe Genauigkeit
Geeignet als Funktions-/Demonstrationsmodell
•
•
•
•
Kurzer Simulationszeitraum
Nicht ausreichende Aussagebasis
Mangelnde Änderungsfreundlichkeit
Mangelnde Richtigkeit
Weniger geeignet für die Konzeptionsphase
Slide 20
3. Modell
Rechner-unterstützte Simulationen
• Experimentelles Betreiben eines mathematischen Modells eines
Produktionssystems auf einer Rechenanlage
• Geringe Anschaulichkeit
Weniger geeignet als Funktions-/Demonstrationsmodell
•
•
•
•
•
„Beliebig“ langer Simulationszeitraum
„Beliebig“ umfassende Aussagebasis
Hohe Änderungsfreundlichkeit
Hohe Genauigkeit
Richtigkeit nur von Datenqualität abhängig
Unentbehrlich für die Konzeptionsphase
Slide 21
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Diese Planungsaufgabe geht von folgenden Annahmen aus:
1. Alternativproduktion: Zu produzieren sind mehrere Erzeugnisse, die auf mehreren
Produktionsstufen mehrere Gebrauchsfaktoren gemeinsam nutzen.
2. Gegebene Absatzhöchstmengen je Erzeugnis
3. Die Gebrauchsfaktoren einer Produktionsstufe sind identisch. Sie können daher
mit ihrem Kapazitätsangebot summarisch betrachtet werden.
4. Konstante Absatz- und Beschaffungspreise je Produkteinheit
5. Unbeschränkte Beschaffungsmöglichkeiten für Verbrauchsfaktoren
6. Keine Verluste auf den Produktionsstufen
7. Keine Lagerhaltung
8. Deterministische Größen
Slide 22
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Zielsetzung ist die Gewinn- oder Deckungsbeitragsmaximierung bzw. in bestimmten
Entscheidungssituationen als äquivalente Zielsetzung die Kostenminimierung.
• mehrere Engpass-Produktionsstufen (Standardansatz)
Eine Produktionsstufe repräsentiert hier bspw. eine Produktionslinie, aber auch eine
Werkstatt („Dreherei“). Über die Reihenfolge, in der die Produktionsstufen von einem
Produkt durchlaufen werden, wird hier nichts ausgesagt (quasi „parallel“). Damit bleibt
die Organisationsform offen.
Variablen
xi zu produzierende Anzahl der Einheiten von Erzeugnis i
Slide 23
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Parameter
IPF
Menge der Erzeugnisse;
IPS
Menge der Produktionsstufen;
ar
Kapazität der Produktionsstufe r
bir
Produktionskoeffizient: Beanspruchung der Produktionsstufe r durch die
Herstellung einer Einheit von Erzeugnis i
Xi
Absatzhöchstmenge: Anzahl der Einheiten von Erzeugnis i, die im
Planungszeitraum höchstens verkauft werden kann
pi
Nettoerlös von Erzeugnis i
ki
Grenzkosten (proportionale Kosten) je Einheit von Erzeugnis i
kir
Grenzkosten von Erzeugnis i auf Produktionsstufe r
ki
n
PS
k ir
r 1
Slide 24
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
n
Maximiere z
PF
(p
i
k i )x i
unter den Bedingungen
i1
r I
PS
n
:
PF
b ir x i a r
Kapazitätsbedingungen
i 1
r I
PF
: xi Xi
Absatzbedingungen
r I
PF
: xi 0
Nichtnegativitätsbedingungen
Slide 25
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Beispiel
Produkt I und II werden aus demselben Rohstoff und auf den gleichen Anlagen A, B
hergestellt:
Bedarf pro Stück
Prod. I
Prod. II
Verfügbarkeit in
diesem Monat
Rohstoff (kg)
2
1
110
Masch‘Std. auf A
4
1
160
Masch‘Std. auf B
2
2
200
Welche Mengen von Prod. I bzw. II sollen in diesem Monat produziert werden, damit
der Gewinn maximal ausfällt?
Gewinn (€/Stück)
Prod. I
Prod. II
Ziel:
120
40
maximal
Slide 26
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Antwort:
25 Stück Prod. I
60 Stück Prod. II
erzielbarer Gewinn € 5.400,00
Prod. II
150
100
50
50
100
Prod. I
Slide 27
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
•
mehrere Engpass-Produktionsstufen / Feste Reihenfolge der
Produktionsstufen / Verluste auf allen Produktionsstufen
Die Annahmen 3 und 6 werden aufgehoben. Auf jeder Produktionsstufe r gibt es
Verluste. Anders als im Standardansatz wird von einer festen Reihenfolge
ausgegangen und der Ausschuss stufenweise berücksichtigt.
Variablen
xijr
Anzahl der Einheiten, die von der Erzeugnisklasse i auf der
Produktionsstufe r mit dem Gebrauchsfaktor j zu bearbeiten ist. Die Menge
der Gebrauchsfaktoren einer Produktionsstufe r ist IrGF
xi
Anzahl der Einheiten, die von der Erzeugnisklasse i abgesetzt wird
Slide 28
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Parameter
nPS
Anzahl der Produktionsstufen; mit nPS wird die dem Erzeugnis zugeordnete
Produktionsstufe bezeichnet
bijr
Produktionskoeffizient
ajr
Kapazität des Gebrauchsfaktors j auf der Produktionsstufe r
cijr
Ausschusskoeffizient
kvi
verfahrensunabhängige Grenzkosten
kijr
verfahrensabhängige Grenzkosten, die für die Erzeugnisklasse i auf der r-ten
Produktionsstufe bei Einsatz des Gebrauchsfaktors j anfallen
Die Produktionskosten je Erzeugnis variieren in Abhängigkeit von den eingesetzten
Gebrauchsfaktoren auf den verschiedenen Produktionsstufen. Zusätzlich fallen je
Erzeugnis gebrauchsfaktorunabhängig mengenproportionale Kosten (z.B.
Einzelkosten des Vertriebs) an.
Slide 29
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
n
PS
v
Maximiere z ( p i k i ) x i k ijr x ijr
iI
PF
iI
PF
r 1 jIrGF
unter den Bedingungen
GF
j Ir , r 1,..., n
PS
:
iI
i I
PF
, r 1,..., n
PF
1 : c ijr x ijr x i, j,r 1
PS
GF
jIr
i I
PF
PS
:
n
c ijr
PS
n
x ijr
xi
GF
jIr
i I
PF
i I
PF
: xi Xi
GF
, j Ir
Kapazitätsbedingungen
b ijr x ijr a jr
: x ijr 0; i I; x i 0
GF
jIr 1
Mengenkontinuitätsbedingungen (I)
Mengenkontinuitätsbedingungen (II)
Absatzbedingungen
Nichtnegativitätsbedingungen
Slide 30
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
•
Berücksichtigung von Fremdleistung sowie Fremdbezug oder Verkauf von
Produkten
Anzahl der Einheiten, die von der Erzeugnisklasse i auf der
F
x ir
Produktionsstufe r fremdbearbeitet wird
Anzahl der Einheiten, die von der Erzeugnisklasse i mit dem Zustand der
Z
x ir
Produktionsstufe r zugekauft wird
V
Anzahl der Einheiten, die von der Erzeugnisklasse i nach Bearbeitung auf
x ir
der Produktionsstufe r als Zwischenprodukt verkauft wird
F
k ir
Kosten für die Fremdbearbeitung der Erzeugnisklasse i für
Produktionsstufe r
Z
k ir
V
p ir
Fremdbezugskosten für die Beschaffung von Erzeugnisklasse i mit dem
Zustand der Produktionsstufe r
Erlös für den Verkauf der Erzeugnisklasse i mit dem Zustand der
Produktionsstufe r
Slide 31
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Auf Produktionsstufe r - 1 müssen die auf Produktionsstufe r zu bearbeitenden und die
für die Fremdbearbeitung vorgesehenen Produktmengen der Erzeugnisklasse i
bearbeitet werden.
Für die Bearbeitung auf Produktionsstufe r +1 stehen die auf Produktionsstufe r
bearbeiteten verwertbaren Produktmengen, die fremdbearbeiteten Produktmengen und
die fremdbezogenen Produktmengen der Erzeugnisklasse i zur Verfügung, während
die nach Produktionsstufe r als Produkte zu verkaufenden Produktmengen nicht auf
Produktionsstufe r + 1 zu bearbeiten sind.
Slide 32
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Maximiere z ( p i k iv ) x i k ijr x ijr k Fir x Fir
iI
PF
iI
PF
PF
r I
PS
1
iI
r I
Z
k ir
Z
x ir
PS
iI
PF
n
PS
GF
jIr
iI
PF
r I
PS
V
V
p ir x ir
r 1
unter den Bedingungen
i I
PF
, r 2,..., n
PS
: c i, j,r 1 x i, j,r 1 x ijr x ir
F
GF
GF
jIr 1
jIr
Mengenkontinuitätsbedingungen (I)
i I
PF
,r I
PS
: c i, j,r x i, j,m x i,r x i,r x i,r x i, j,r 1
F
GF
jIr
Z
V
GF
jIr 1
Mengenkontinuitätsbedingungen (II)
Slide 33
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
i I
PF
,r I
i I
PF
,r I
V
Absatzbedingungen
PS
: x ir X ir
PS
: x ir , x ir , x ir 0
F
V
Z
V
Nichtnegativitätsbedingungen
Slide 34
3. Modell - Mengenplanung
Bei den im Anschluss dargestellten Modellformulierungen sind mehrere
unterschiedliche Vorgänge/Lose bzw. Produkte auf demselben, begrenzt verfügbaren
Gebrauchsfaktor (Maschine) so einzuplanen, dass die für jeden Zeitabschnitt
feststehende Nachfrage (der gegebene Bruttobedarf) nach den einzelnen Produkten
ohne Nachlieferungen und unter Einhaltung der Kapazitätsrestriktionen erfüllt werden
kann. Die Planungsaufgabe besteht in der Bestimmung der einzelnen Produktionsmengen für jeden diskreten Zeitabschnitt eines endlichen Planungszeitraums, für
die die Summe aus Rüstkosten, variablen Produktionskosten und (linearen)
Lagerhaltungskosten minimal wird.
Variablen
xit
Produktionsmenge für Produkt i in Zeitabschnitt t
BiT
Bestand für Produkt i am Ende von Zeitabschnitt t
rüs
it
Rüstindikator für Produkt i im Zeitabschnitt t
pdn
it
Produktionsindikator für Produkt i im Zeitabschnitt t
Slide 35
3. Modell - Mengenplanung
Es seien
Parameter
IPF
Menge der Produkte bzw. der Produktindizes, i = {1, ..., nPF}
TP
gemischtes Zeitmodell mit der Menge der Zeitabschnitte bzw. deren Indizes,
t=
{1, …, nt} und der Menge der Zeitpunkte T = {0, …, nt}: t = T für das Ende
eines
Zeitabschnitts
(Planungshorizont)
bit
Bedarf für Produkt i in Zeitabschnitt t
at
verfügbare Kapazität in Zeitabschnitt t
bi
Produktionskoeffizient für Produkt i
rüs
Rüstkosten für Produkt i
ki
stk
k it
Stückkosten für Produkt i in Zeitabschnitt t
lag
ki
Lagerkostensatz für Produkt i
Bi0
Anfangsbestand für Produkt i
sht
B iT
Sicherheitsbestand für Produkt i am Ende von Zeitabschnitt t
Slide 36
3. Modell - Mengenplanung
Die grundlegende Form der Big-Bucket-Modelle ist das Capacitated Lot Sizing
Problem (CLSP). Bei diesem Ansatz wird die zeitliche Aufeinanderfolge der einzelnen
Produktionslose innerhalb eines Zeitabschnitts nicht abgebildet. Daher können auch
keine reihenfolgeabhängigen Rüstzeiten zwischen den unterschiedlichen
Erzeugnissen berücksichtigt werden.
Das CLSP lässt sich wie folgt formulieren:
(k i
rüs
rüs
it
stk
k it
lag
x it k i
B iT )
i, t
u. B. d. N.
i I
PF
, t, T TP :
t, T TP :
B iT B i, t 1 x it b it
(CLSP, 1)
b i x it a t
(CLSP, 2)
i
i I
PF
, t, T TP :
x it ( b it ) it
rüs
(CLSP, 3)
t
i I
PF
, t, T TP :
x it 0 , B iT B iT
sht
i I
PF
, t, T TP :
it
rüs
{ 0 ,1}
(CLSP, 4)
(CLSP, 5)
Slide 37
3. Modell - Mengenplanung
Die wesentlichsten Vertreter der Small-Bucket-Modelle sind das Continous Setup
Lotsizing Problem (CSLP), das Discrete Lot Sizing and Scheduling Problem
(DLSP) sowie das Proportional Lot Sizing and Scheduling Problem (PLSP), die
sich dadurch unterscheiden, dass das CSLP und das DSLP die Herstellung nur eines
Erzeugnisses je Zeitabschnitt erlaubt, während beim PLSP davon ausgegangen wird,
dass sowohl vor als auch nach einer Umrüstung innerhalb desselben Zeitabschnitts
produziert werden kann. Insofern stellt das PLSP eine Verallgemeinerung des DLSP
dar.
Da bei diesen Modellen die Reihenfolge der herzustellenden Erzeugnisse bekannt ist,
können auch reihenfolgeabhängige Rüstzeiten berücksichtigt werden. Und da die
Zeitabschnitte relativ kurz sind, ermöglichen diese Modelle eine Losgrößenplanung, die
im Prinzip (nahezu) optimale Durchlaufzeiten liefern kann.
Slide 38
3. Modell - Mengenplanung
Das Continous Setup Lotsizing Problem (CSLP) geht von der Einschränkung aus,
dass auf der betrachteten Maschine in jedem Zeitabschnitt höchstens eine
Produktsorte produziert werden kann und ein Wechsel der Verbrauchsfaktorklasse/ein
Sortenwechsel folglich nur jeweils zu Beginn eines neuen Zeitabschnitts erlaubt ist.
Die Produktionsmengen desselben Produkts in einer oder mehreren direkt
aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten können dann zu einem Los zusammengefasst
werden, für das nur einmal, nämlich im jeweils ersten Zeitabschnitt, Rüstkosten zu
berechnen sind, während der Rüstzustand über die gesamte Folge von
Auflagezeitabschnitten fortdauert („continous setup“).
Slide 39
3. Modell - Mengenplanung
Mit den wie zuvor definierten Symbolen lässt sich für das CSLP das folgende Modell
formulieren:
Minimiere
(k i
rüs
rüs
max 0 , it
rüs
stk
i, t 1 k it
lag
x it k i
B iT )
i, t
u. B. d. N.
i I
PF
, t, T TP :
t, T TP :
B iT B i,T 1 x it b it
(CSLP, 1)
rüs
it 1
(CSLP, 2)
i
(CSLP, 3)
i I
PF
, t, T TP :
b i x it a t it
rüs
i I
PF
, t, T TP :
x it 0 , B iT B iT
i I
PF
, t, T TP :
it
sht
rüs
{ 0 ,1}
(CSLP, 4)
(CSLP, 5)
Slide 40
3. Modell - Mengenplanung
Die wesentliche Prämisse des Discrete Lotsizing and Scheduling Problem (DLSP)
ist, dass die Produktion einer Sorte immer über ganze Zeitabschnitte laufen muss,
so dass die in einem Zeitabschnitt hergestellte Menge demnach entweder nur Null sein
kann oder der vollen Periodenleistung entspricht („Alles-oder-nichts-Produktion“).
Daraus ergibt sich, dass die zu bestimmenden Losgrößen stets ganzzahlige Vielfache
einer jeweils produktabhängigen Basisproduktionsmenge wi darstellen müssen und
somit nun auf bestimmte diskrete Werte eingeschränkt sind, während beim CSLP
kontinuierliche Entscheidungsmöglichkeiten für die Auflagelänge bestehen und die
Kapazität des Auslaufzeitabschnitts eines Loses daher u. U. nur teilweise verplant wird.
Slide 41
3. Modell - Mengenplanung
Das DLSP reduziert die Entscheidung für einen Zeitabschnitt auf die Frage, ob
produziert werden soll oder nicht, so dass die Produktionsmengen direkt von den
Indikatorvariablen abhängen und gemäß xit = wi ∙ it ersetzt werden können.
wi := Höchstmenge von Produkt i pro Zeitabschnitt.
Da beim DLSP grundsätzlich von Zeitabschnitten mit einheitlichem Kapazitätsbedarf
ausgegangen wird, muss für alle t gelten, dass at = a.
Man erhält die folgende Formulierung:
min
rüs
(k i
i, t
rüs
max 0, it
rüs
stk
i, t 1 k it
rüs
w i it
lag
ki
B iT )
Slide 42
3. Modell - Mengenplanung
u. B. d. N.
i I , t , T TP :
B iT B i,T 1 w i it b it
(DSLP, 1)
t , T TP :
(DSLP, 2)
PF
rüs
it
rüs
1
i
i I , t , T TP :
B iT B iT
(DSLP, 3)
i I , t , T TP :
it { 0 ,1}
(DSLP, 4)
PF
PF
sht
rüs
Slide 43
3. Modell - Mengenplanung
Das Proportional Lotsizing and Scheduling Problem (PLSP) geht davon aus, dass
je Zeitabschnitt maximal 1 Produktwechsel vollzogen wird. Der Rüstzustand wird aus
dem vorherigen Zeitabschnitt übernommen.
Dieses Modell ermöglicht, falls die Kapazität eines Zeitabschnitts nicht voll durch die
Produktion eines Produktes verbraucht wird, die Produktion eines zweiten Produktes.
Das PLSP soll den Fall modellieren, bei dem ein Los über mehrere Zeitabschnitte
hinweg produziert wird. Rüstkosten fallen nur einmal zu Beginn der Produktion mit der
Vorbereitung der Ressource für das betreffende Produkt an. Das muss nicht der
Zeitabschnitt sein, in dem mit der Produktion begonnen wird, sondern kann u. U. auch
schon vorher (Ende des vorherigen Zeitabschnitts) passieren.
Neben den üblichen (binären) Rüstvariablen benötigt man eine zusätzliche Variable,
die den Rüstzustand der Ressource am Ende eines Zeitabschnitts wiedergibt.
Slide 44
3. Modell - Mengenplanung
Minimiere
(k i
rüs
k
rüs
max 0 , it
stk
it
lag
x it k i
B it )
i, t
u. B. d. N.
i I
PF
, t, T TP :
t, T TP :
B iT B i,T 1 x it b it
(PLSP, 1)
rüs
it 1
(PLSP, 2)
i
(PLSP, 3)
it 2
t, T TP :
i
i I
PF
(PLSP, 4)
b i x it a t
, t, T TP :
(PLSP, 5)
i
i I
PF
i I
PF
, t, T TP :
x iT 0 , B iT
, t, T TP :
rüs
it
sht
B iT
{ 0 ,1}
1, wenn x it 0
it
0 , sonst
rüs
it
0 , wenn it , i, t 1 1
(PLSP, 6)
(PLSP, 7)
(PLSP, 8)
Slide 45
3. Modell - Mengenplanung
Das folgende Bild zeigt ein Beispiel mit 3 Produkten und 10 Zeitabschnitten. In der
obersten Zeile sind die Rüstzustände (Produktnummer) am Anfang des
Zeitabschnitts angegeben. Die Zahlen in den Balken sind die Wertepaare „Rüstzeit +
Bearbeitungszeit“. Die Rüstzeiten sind jeweils 10.
Slide 46
3. Modell - Zuordnungsprobleme
1 : N-Probleme (Knapsack-Problem)
Eine Menge von Elementen soll so gebildet werden, dass eine Zielfunktion maximiert
und gleichzeitig eine gegebene Randbedingung eingehalten wird. Das KnapsackProblem lässt sich dementsprechend als
n
p
i
x i max
i1
unter den Bedingungen
n
q
i1
i
xi
Schranke; x i { 0 ,1};1 1,..., n
formulieren. i ist dabei die Laufvariable der betrachteten Elemente, pi der Zielertrag
und qi der Ertrag hinsichtlich der gegebenen Schranke.
Praktische Beispiele sind alle Auswahlprobleme, bei denen die zu wählenden
Alternativen mit unterschiedlicher Gewichtung in Zielfunktion und Bedingung
eingehen. Gelöst werden kann das Knapsack-Problem mittels Branch-and BoundMethode.
Slide 47
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : N-Probleme
N:N-Probleme ordnen in der Regel eine gegebene Menge von Elementen (an),
indem eine zweite bereits geordnete Menge als Ordnungsbegriff verwendet wird.
Das lineare Zuordnungsproblem ordnet den Elementen einer eindimensionalen
Grundmenge I die Elemente einer ebenfalls eindimensionalen Menge J zu.
Das lineare Zuordnungsproblem lässt sich wie folgt formulieren:
n
n
c
i1
ij
x ij min
j1
unter den Bedingungen
n
x
i1
n
ij
1; i 1,..., n; x ij 1; j 1,..., n; x ij { 0 ,1}; i, j 1,..., n
j1
Slide 48
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Praktische Beispiele des linearen Zuordnungsproblems sind z. B. die Zuordnung von
n Tätigkeiten zu n Werkern, wobei jede Tätigkeit genau einem Werker zugeordnet
wird und jeder Werker nur genau eine Tätigkeit bearbeitet. Die Zuordnung von
Artikeln zu Lagerplätzen ist ebenfalls eine solche Aufgabenstellung. Dieses Problem
ist auch als Heiratsproblem bekannt.
Grundsätzlich können für das lineare Zuordnungsproblem die Verfahren zur Lösung
des klassischen Transportproblems angewandt werden.
Slide 49
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Zweistufiges Distributionsproblem
Es werden folgende Annahmen getroffen:
Es existieren m Produktionsstandorte und n Nachfragepunkte. Vom Ort h
(h = 1, ..., m) werden bh Mengeneinheiten bezogen, an Ort j (j = 1, ..., n)
gj Mengeneinheiten geliefert.
p Auslieferungslager sollen so auf q mögliche Orte (𝑞 ≥ 𝑝) gesetzt werden, dass
die Lagerungs- und Transportkosten minimiert werden. Die Anzahl p ist zu
ermitteln.
Bei der Lagerung am möglichen Standort i entstehen Fixkosten KF und variable
Kosten KVi. Am möglichen Standort i können maximal ci Mengeneinheiten gelagert
werden.
Die Transportkosten sind proportional zur Entfernung und proportional zum
Transportaufkommen. Sie seien KThi vom Lieferort h zum Lagerstandort i und KTij
vom Lagerstandort i zum Nachfragepunkt j. Bei Direktbelieferung vom
Produktionsstandort h zum Nachfragepunkt j betragen die Transportkosten KThj.
Slide 50
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Zweistufiges Distributionsproblem
Variablen
Xij
Vom Ort i zum Ort j gelieferte Menge
Parameter
KThi Transportkosten der 1. Stufe
Kfi
Fixkosten der Lagerung
KVi
Variable Kosten der Lagerung/Transportkosten der 2. Stufe
bi
vom Ort i bestellte Menge
gj
vom Ort j gelieferte Menge
ci
Kapazität von Lagerstandort i
Slide 51
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Damit ergibt sich folgendes Modell:
Minimiere
m
q
KT
q
hi
x hi
h 1 i1
KF
q
i
yi
i1
(KV
i1
unter den Nebenbedingungen
q
m
x
hj
h 1
x
ij
x
hj
g j ; j 1,..., n
h 1
m
n
hi
h 1
x
j1
m
h 1
b h ; h 1,..., m
m
i1
b
hi
i1
q
x
x
n
h
g
j1
j
ij
; i 1,..., q
n
j1
m
i
KT ij ) x ij
n
KT
h 1 j1
hj
x hj
Slide 52
3. Modell - Zuordnungsprobleme
n
x
ij
c i y i ; j 1,..., n
j1
yi = 0, falls kein Lager am Standort i errichtet wird, sonst yi = 1; i = 1, …, q.
x hi 0 ; x ij 0 ; x hj 0 ; h 1,..., m ; i 1,..., q; j 1,..., n
Gängige Heuristiken sind Drop- oder Add-Algorithmen zur Zuordnung von
Bedarfsorten zu Auslieferungslagern. Bekanntestes Verfahren ist hier der AddAlgorithmus nach Kühn-Hamburger.
Slide 53
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Beispiel für eine mit dem
Kuhn-Hamburger-Algorithmus
berechnete N:M Zuordnung
Slide 54
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Abtaktung von Fließlinien
Die Planung einer getakteten Einprodukt-Fließlinie wird bei den Simple Assembly
Line Balancing Problemen (SALB) auf die Zuordnung der n vorhandenen
Arbeitsvorgänge zu den einzelnen Stationen reduziert, wobei (technologische)
Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Arbeitsvorgängen berücksichtigt werden.
Dabei gehen alle SALB-Modelle von den folgenden Annahmen aus:
Das einzige Produkt wird in n Arbeitsvorgängen, die unteilbar vorliegen,
hergestellt. Das Produktionsverfahren ist fest vorgegeben.
Jeder der auszuführenden Arbeitsvorgänge j = {1, …, n} besitzt eine fest
vorgegebene Bearbeitungszeit tj.
Die Reihenfolge der einzelnen Arbeitsvorgänge ist unveränderbar und durch einen
gerichteten Vorranggraphen GV= (KN, KA, t) festgelegt.
Ein Vorranggraph GV = (KN, KA, t) ist ein gerichteter zyklenfreier Graph mit einer
Menge KN = {1, ..., n} von Knoten, einer Kantenmenge KA {(i, j) i, j KN} und
einem Vektor t N von Bewertungen.
Slide 55
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Abtaktung von Fließlinien
• Alle Stationen besitzen dieselbe Taktzeit. Diese kann freigewählt werden, darf aber
nicht durch die dort auszuführenden Arbeitsvorgänge überschritten werden.
• Es existiert eine fixe Anstoßrate. Damit ist die Dauer zwischen dem Auflegen zweier
Produkteinheiten für die gesamte Produktionsdauer unveränderbar.
• Alle Stationen sind hinsichtlich der eingesetzten Potentialfaktoren gleich
ausgestattet. Dabei dürfen die Potenzialfaktoren nicht zwischen den einzelnen
Stationen verschoben werden.
• Alle Stationen sind nur einfach vorhanden. Es ist nicht möglich, dieselbe Station
noch einmal parallel dazu neu zu installieren, um auf diese Weise eine verbesserte
Leistungsabstimmung zu ermöglichen.
Slide 56
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Abtaktung von Fließlinien
• Es existieren keinerlei Restriktionen hinsichtlich der Zuordnung von
Arbeitsvorgängen zu Stationen. Grundsätzlich kann jeder Arbeitsvorgang zu jeder
Station zugeordnet werden kann, wenn die anderen Nebenbedingungen dies
zulassen. Auch bestehen neben den Vorrangbeziehungen keinerlei zusätzliche
Einschränkungen, die die wählbare Reihenfolge der Arbeitsvorgänge am Fließband
beeinträchtigen.
• Es gibt keine Möglichkeit, ein Produkt während der Produktion vom Band zu
nehmen und in einem Puffer zwischenzulagern.
Slide 57
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Abtaktung von Fließlinien
Das Standard-Maximum-Problem, das z. B. bei der Zuteilung von Rohstoffen zu
Produktionsprozessen oder Erzeugnissen vorliegt, besteht aus:
1. einer linearen Zielfunktion, deren Maximum bestimmt werden soll,
2. mindestens einer linearen Restriktion der Form 𝑎𝑖 𝑥𝑖 ≤ 𝑏 (mit 𝑏 ≥ 0)
3. den Nicht-Negativitätsbedingungen für jede vorkommende Variable.
Dem entspricht das mathematische Modell:
1. 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 → 𝑚𝑎𝑥!
2. 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏2
…
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚
3. 𝑥1 ≤ 0, 𝑥2 ≥ 0, … , 𝑥𝑛 ≥ 0
𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅
Slide 58
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
Beim Simplex-Algorithmus werden Zielfunktion und Restriktionen in das SimplexTableau übertragen, wo
1. das Ungleichungssystem der Restriktionen durch Einführung so vieler
Schlupfvariablen, wie Restriktionen vorhanden sind, vergrößert (hier um die
Schlupfvariablen 𝑥𝑛+1 , … , 𝑥𝑛+𝑚 ) und zum Gleichungssystem umgeformt und
2. die Zielfunktion entsprechend ergänzt wird.
Diese Schlupfvariablen bezeichnen die nicht genutzte bzw. eingesetzte Menge eines
jeweiligen Rohstoffes. Pro Restriktion wird eine Schlupfvariable definiert. Für die
Schlupfvariablen gilt die Nicht-Negativitätsbedingung. Anschließend wird durch
Iteration eine eindeutige Lösung ermittelt.
Slide 59
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
Beispiel: Maximiere 𝑍 = 𝑥𝑖 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 unter Beachtung der Restriktionen
5𝑥𝑖 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 ≤ 12
2𝑥𝑖 + 6𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 ≤ 18
2𝑥𝑖 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 ≤ 15
mit 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 ≥ 0, 𝑥4 ≥ 0
Dieses Ungleichungssystem wird in das folgende Tableau überführt.
Variablen
Schlupfvariablen
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
Z
RS
5
3
1
1
1
0
0
0
12
2
6
2
4
0
1
0
0
18
2
1
2
1
0
0
1
0
15
-1
-2
-3
-4
0
0
0
1
0
Simplextableau (1)
Slide 60
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
Aus diesem ersten Simplextableau ist schon eine erste Lösung ablesbar, nämlich die
zu den Basisvariablen x5, x6, x7 gehörende Basislösung x5 = 12, x6 = 18, x7 = 15 und
damit zwangsläufig die Nicht-Basis-Variablen x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0 und somit Z
= 0.
Zur Simplex-Iteration gehören folgende Schritte:
1. Wahl der Pivot-Spalte
Als Pivot-Spalte wird diejenige Spalte gewählt, die den absolut größten negativen
Koeffizienten aufweist (hier: x4 mit dem Koeffizienten -4). Sind keine negativen
Koeffizienten in der Zielfunktion mehr enthalten, ist das Maximum erreicht, und
der Simplex-Algorithmus ist abgeschlossen.
Slide 61
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
2.
Wahl der Pivot-Zeile
Als Pivot-Zeile wird die Zeile mit kleinstem Qi gewählt, wobei Qi wie folgt erklärt
ist: Qi = pi/qi mit pi = Element der i-ten Zeile in der RS-Spalte und qi = positives
Element der i-ten Zeile der Pivot-Spalte. Zeilen, in denen qi ≤ 0 ist, bleiben
unberücksichtigt. Im obigen Beispiel ist Q1 = 12, Q2 = 4, 5, Q3 = 15, die PivotZeile ist demnach die 2. Zeile.
Sollte die Pivot-Spalte kein positives Element enthalten, ist die Lösung nicht
begrenzt, und der Simplex-Algorithmus ist beendet.
3.
Umrechnung des Tableaus auf eine neue Basislösung
Im Schnittpunkt der Pivot-Spalte und der Pivot-Zeile steht das Pivot-Element. Die
Variable mit dem Pivot-Element wird neue Basis-Variable, indem durch
Zeilenoperation das Pivot-Element zu 1 und alle übrigen Elemente der PivotSpalte zu Nullen umgeformt werden.
Slide 62
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
Z
RS
Qi
5
3
1
1
1
0
0
0
12
12
2
6
2
4
0
1
0
0
18
4,5
2
1
2
1
0
0
1
0
15
15
-1
-2
-3
-4
0
0
0
1
0
-
9/2
3/2
½
0
1
-¼
0
0
7,5
½
3/2
½
1
0
¼
0
0
4,5
3/2
-½
3/2
0
0
-¼
1
0
10,5
1
4
-1
0
0
1
0
1
18
Simplextableau (2)
Slide 63
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
Das letzte Tableau enthält eine verbesserte Basislösung. Bestimmende Variable der
neuen Lösung sind die Variablen mit den Einheits(spalten)vektoren, also x4, x5, x7. Die
Variablen gehen in die neue Lösung ein mit x4 = 4,5, x5 = 7,5 und x7 = 10,5. Alle
übrigen Variablen gehören nicht zur Lösung, sie haben den Wert Null; also x1 = 0, x2 =
0, x3 = 0, x6 = 0. Die Zielfunktion hat nun den Wert 18. Er wird gebildet aus x1 + 2x2 +
3x3 + 4x4 = 18.
Slide 64
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
Z
RS
Qi
9/2
3/2
½
0
1
-¼
0
0
7,5
15
½
3/2
½
1
0
¼
0
0
4,5
9
3/2
-½
3/2
0
0
-¼
1
0
10,5
7
1
4
-1
0
0
1
0
1
18
4
5/3
0
0
1
-1/6
-1/3
0
4
0
5/3
0
1
0
1/3
-1/3
0
1
1
-1/3
1
0
0
-1/6
2/3
0
7
2
11/3
0
0
0
5/6
2/3
1
25
Simplextableau (3)
Slide 65
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
Mit der obigen Iteration ist der Simplex-Algorithmus beendet, da keine negativen
Zahlen in der letzten Zeile mehr auftauchen. Der Lösungsvektor lautet (0, 0, 7, 1, 4, 0,
0). Bedeutend für die Ermittlung sind die Spaltenvektoren der Variablen, die eine
Einheitsmatrix darstellen. Hier sind die Variablen x1, x2, x6 und x7 Null, da sie nicht zu
einer Einheitsmatrix zusammengefasst werden können.
Abschließend wird der Lösungsvektor in die Zielfunktion eingesetzt:
Z = 0 1 + 0 2 + 7 3 + 1 4 = 25
Slide 66
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Eine ganzzahlige Quantifizierung von Beziehungen leistet das Transportproblem und
die auf ihm beruhenden Erweiterungen.
Beim „klassischen“ Transportproblem werden die optimalen Transportzuordnungen
eines homogenen Gutes von nA Angebotsorten (bzw. Lieferorten) zu nB Bedarfsorten
(bzw. Nachfrageorten) gesucht. Zwischenlager werden dabei nicht betrachtet, es
handelt sich also um ein einstufiges Transportproblem. Deshalb müssen bei der hier
vorliegenden Fragestellung alle Standorte von Kunden und Lieferanten z. B. als
Angebotsorte, alle betrieblichen Standorte einschließlich des Standorts q, der gerade
untersucht wird, als Bedarfsorte (oder umgekehrt) betrachtet werden. Aus der Sicht
der Bedarfsorte entstehen nB Einzugsgebiete, die anders als beim Steiner-WeberProblem – begründet durch das begrenzte Angebot – nicht überschneidungsfrei sein
müssen.
Vorgegeben sind die Angebotsmengen meAh; h = 1, 2, ..., nA der nA Angebotsorte,
sowie die Bedarfsmengen meBj; j = 1, 2, ..., nB der nB Bedarfsorte, außerdem die
Transportkosten kThj von den Angebotsorten h zu den Bedarfsorten j.
Slide 67
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Beispiel eines „klassischen“ Transportproblems
Slide 68
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Werden mit mehj die Transportmengen bezeichnet, die von den Orten h zu den Orten j
je Zeitabschnitt transportiert werden, so lässt sich der folgende lineare
Optimierungsansatz aufstellen:
Die Zielfunktion KT (Transportkosten)
n
KT
A
n
B
k
Thj
me
hj
h 1 j1
ist unter den Restriktionen
n
B
me
n
hj
me
Ah
; h 1,..., n
A
und
j1
A
me
h 1
sowie der Nichtnegativitätsbedingung
m hj 0 ; h 1,..., n ; j 1,..., n
A
zu minimieren.
B
hj
me Bj ; j 1,..., n
B
Slide 69
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Als zusätzliche Bedingung für die Existenz einer Lösung muss gelten, dass die Summe
der Angebotsmengen gleich der Summe der Bedarfsmengen ist:
n
A
me
h 1
n
Ah
B
me
Bj
j1
Die exakte Lösung des Transportproblems ist z. B. in [CHAA61, MUME70] beschrieben.
Das dort angegebene Lösungsverfahren geht von einer Ausgangslösung aus, die mit
Hilfe der Nordwestecken-Regel erstellt wird. Diese Lösung wird bewertet, in dem
Veränderungen bei den nicht benutzten Relationen in Höhe von jeweils einer
Mengeneinheit eingeführt werden. Ergeben sich dadurch Verbesserungen, ist die
optimale Lösung noch nicht gefunden.
Die Erprobung anderer Zuordnungen darf keine inkonsistenten Lösungen implizieren.
Daher kann eine von Null verschiedene Transportmenge nicht beliebig eingeführt
werden. Vielmehr erfordert dies ein Nachführen der gesamten Matrix der
Transportmengen.
Slide 70
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Bewertung einer zulässigen Lösung
Slide 71
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Die probeweise Einführung einer Transporteinheit in [OA3 OB1] in der gezeigten
Abbildung erfordert eine Korrektur in [OA3 OB4], diese eine Korrektur in [OA2 OB4], diese
wiederum in [OA2 OB3] usw., bis der gezeigte Weg durchschritten ist. In einem weiteren
Verfahrensschritt wird nun eine verbesserte Lösung erarbeitet, bei der die
Transportbeziehung eingebaut wird, die bei der Bewertung die höchste relative
Verbesserung versprochen hat (größter Kostengradient). Dieser Ablauf wird solange
wiederholt, bis sich keine Verbesserung mehr erzielen lässt (Stepping-StoneAlgorithmus nach Dantzig [DANT74]).
Im folgenden sei ein Beispiel zur exakten Lösung des Transportproblems angegeben
(s. [CHAA61])
Slide 72
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Mengenmäßige Erfordernisse und Transportkosten je Mengeneinheit
Slide 73
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Zur Ausgangslösung mittels Nordwesteckenregel wird beginnend mit [OA1 OB1] in
Richtung [OA3 OB5 ] Bedarf und Angebot verglichen und aufgeteilt. Ist das jeweilige
Angebot größer als der Bedarf des gerade betrachteten Bedarfsort, wird waagerecht,
anderfalls senkrecht vorgegangen. Ist Angebot und Bedarf gleich, wird in der
Diagonalen fortgeschritten.
Erste zulässige Lösung
Slide 74
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Diese erste Lösung verursacht Kosten in Höhe von 251 GE.
Die größte Verbesserung je veränderter Mengeneinheit ergibt sich hier für [OA1 OB4]
(18 GE Ersparnis für 1 Mengeneinheit). Auf dem Weg [OA1 OB4] -> [OA1 OB3] -> [OA1
OB3] -> [OA2 OB4] kann maximal 1 Mengeneinheit von [OA1 OB3] bzw. [OA2 OB4] nach
[OA1 OB4] bzw. [OA1 OB3] bewegt werden.
Es ergibt sich als zweite zulässige Lösung
Slide 75
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Zweite zulässige Lösung mit KT = 233 GE und Bewertung
Slide 76
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Die Lösungen des dritten, vierten und fünften Schritts sind im folgenden gezeigt.
Dritte zulässige Lösung mit KT = 181 GE und Bewertung
Slide 77
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Vierte zulässige Lösung mit KT = 151 GE und Bewertung
Slide 78
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Fünte, optimale Lösung mit KT = 150 GE und Bewertung
Slide 79
3. Modell
Aufgabe 1:
Kann ein Modell immer richtig sein?
Slide 80
3. Modell
Aufgabe 2 - Ausgangssituation
Das Projekt InVorMa betrachtet die Entwicklung und Fertigung von Kleinserien und
Einzelwerkstücken.
Im Rahmen des Entwicklungs- und Fertigungsprozesses werden Aufträge bearbeitet.
Dabei lässt sich zwischen zwei Sorten von Aufträgen unterscheiden:
a)
b)
Geplante Aufträge. Diese externen/internen Aufträge sind längerfristig bekannt.
Sie resultieren in der Regel aus einem Angebot an einen Kunden.
Spontane Aufträge. Diese Aufträge werden kurzfristig bekannt und haben eine
hohe Priorität. Sie resultieren aus notwendigen Nachbesserungen in der
Qualifizierungsphase oder aus dem Service- und Ersatzteilgeschäft.
Slide 81
3. Modell
Der Entwicklungs- und Fertigungsprozess für einen Auftrag besteht aus einer Menge
von Teilprozessen (TP), die in einem Prozessplan (PP) zusammengefasst sind.
• Die einzelnen Teilprozesse des PP folgen einer festen Reihenfolge, teilweise sind
alternative Bearbeitungswege erlaubt.
• TP können voneinander abhängig sein: Bevor ein TP startet, müssen alle
Vorgänger-TP abgeschlossen sein (keine Überlappungen!)
• Jedem TP kann ein frühester Starttermin und ein spätester Endtermin zugeordnet
werden.
• Jeder TP des PP benötigt eine bestimmte Quantität einer bestimmten Menge von
Ressourcen. Nur wenn eine ausreichende Quantität der entsprechenden
Ressource zur Verfügung steht, kann der TP durchgeführt werden.
• Bei der Angabe der benötigten Quantität handelt es sich vor allem bei der
erstmaligen Durchführung eines PP um eine Schätzung; diese kann nach oben
oder nach unten abweichen.
• Am Ende des PP steht der Auslieferungstermin.
Slide 82
3. Modell
Kann der Auslieferungstermin nicht eingehalten werden, so gibt es die Möglichkeit,
Aufträge an externe Firmen zu vergeben. Das ist aber nicht für alle Aufträge
möglich. Die Ressourcen umfassen sämtliche Betriebsmittel sowie das dazugehörige
Personal. Als Ressourcen wurden genannt:
Maschinen
Werkzeuge für die Maschinen
Mitarbeiter (Maschinenbediener, CAM-Entwickler, …)
Aufspannvorrichtungen
Roh- und Kaufteile
Slide 83
3. Modell
Die Verfügbarkeit der Ressourcen kann für bestimmte Zeitintervalle beschränkt oder
ausgeschlossen sein. Dies kann zwei Ursachen haben.
• Im Produktionsprozess kann es zu unvorhergesehenen Störungen kommen.
Diese sind nicht vorhersehbar und können jederzeit auftreten. So können
Werkzeuge oder Maschinen ausfallen oder Mitarbeiter krank werden.
• Im Produktionsprozess kann es zu geplanten Ausfällen kommen. Diese sind im
Vorhinein bekannt, können aber nicht verschoben werden. So können sich
Mitarbeiter Urlaub nehmen oder Maschinen bzw. Werkzeuge müssen gewartet
werden.
Slide 84
3. Modell
Fa. S.
Die Fertigung hat neben älteren Einzelmaschinen (Fräsmaschine, Raboma) 4
Fräsmaschinen: 1 große Zayer und drei Deckelmaho. S. macht ERP mit Navision, hat
CAD, hat CAM, will jetzt mit Navision Leitstand einführen. Keine Werkzeugverwaltung,
keine Parameter für Werkzeuge, alles CNC an der Maschine, Festlegung der Maschine
durch den Menschen. Die ersten Laufzeiten werden geschätzt.
Mit den vier Maschinen können (durchaus üblich) alternative Arbeitspläne erstellt
werden.
Die Fa. S. hätte gerne Zusammenfassung von Aufträgen über dieselben Teile (Kunden-,
Werkstattauftrag), keine Lagerplatzverwaltung, Rüstreihenfolge über unterschiedliche
Teile. Rüstzeiten sind auch die Programmierzeiten.
Die Fa. S. fährt 3-Schicht/5 Tage. Dabei ist die 3. Schicht nicht mit der Früh- und
Spätschicht gleichberechtigt. Ziel ist, in der 3. Schicht in gerüstetem Zustand
durchzufahren. Nachtschicht sind Werker fest, Früh- und Spätschicht wechseln,
geplante Maschinenwartung.
Slide 85
3. Modell
Werkzeuge (Spindeln) werden zwischen den Maschinen geteilt. Da gibt es
„Werkzeugmanagement“. S. denkt über Nullpunktaufspannungen nach, die für alle
Maschinen genutzt werden. Fräser sind mehrfach da, S. berücksichtigt keine
Reststandzeiten, der Werker wechselt selbständig.
Es gibt Aufträge mit und ohne Zeitpuffer, bestimmte Teile sollen nicht bestimmten
Schichten zugeordnet werden. Die Teile sollen 1 Woche vor Montagebeginn fertig sein.
Notfälle haben hohe Priorität. Externe Werkbank. Rückmeldung, wenn Auftrag fertig,
keine Splittung von Aufträgen.
Zeitraster: Minutenraster / Werker meldet sich über Karte an.
Slide 86
3. Modell
Fa. P.
P. baut die Spritzgusswerkzeuge selbst. Demnach sind Erodier- und Fräsmaschinen zu
verplanen: 7 Maschinen DMG, 1 Erodiermaschine, 1364 Werkzeuge im Zugriff. Die
Werkzeuge sind „normale“ Spritzgusswerkzeuge für Arburg-Maschinen. Die Werkzeuge
werden getestet und bemustert. Sie können ggf. mit Umbausätzen auf bis zu 500
Varianten eingestellt werden.
Die Programme für die Maschinen haben Grundmuster bspw. für Bohrung, …,
Bohrmakros, Fräsmakros, kombinierte Makros. Schnittdaten werden aus dem
Werkzeugverwaltungssystem entnommen.
Der Kunde ist immer ein interner Kunde. Jeder AG wird rückgemeldet. Der Montierer
stellt die Komplettierung sicher. Der Werkzeugmontierer richtet in einem Regal einen
Sammelplatz für ein zu montierendes Spritzgusswerkzeug ein. Schadenfälle schiebt der
Fertigungssteuerer persönlich durch.
InVorMa soll CAD/CAM mitbetrachten – es steht auch im Arbeitsplan. Wir sollen uns auf
APO-Schnittstellen einstellen. Der Arbeitsplan soll verfeinert werden, wenn das an die
Heutelinie rückt. Nächtliche Planung. Rückmeldung alle 15 Minuten. Minutengenaue
Rasterung.
Slide 87
3. Modell
2. Aufgabenstellung
Die Ablaufplanung für den Fertigungsprozess findet bisher manuell statt. Dabei werden
die Aufträge mitsamt ihrem PSP sowie die Ressourcen und deren Belegung im ERPSystem (z.B. SAP oder MS Dynamics Nav) abgebildet.
Ziel ist es, die Planung zu automatisieren und an bestimmten Zielkriterien auszurichten.
Dabei sollen folgende Ziele verfolgt werden:
Rüstzeitminimierung. Da unterschiedliche Werkstücke unterschiedliche
Werkzeuge und Aufspannvorrichtungen benötigen entstehen Rüstzeiten beim
Wechsel von einem Auftrag zu einem anderen. Diese können minimiert werden,
indem Aufträge mit gleichen oder teilweise gleichen Werkzeugen nacheinander
bearbeitet werden. An manchen Maschinen fallen beim Wechsel von einem
Werkstück zu einem anderen Werkstück Programmierzeiten an, diese können durch
das Zusammenfassen von Aufträgen für gleiche Werkstücke reduziert werden.
Slide 88
3. Modell
Schichtpräferenzen. Bestimmte Werkstücke sollen nach Möglichkeit nicht in
bestimmten Schichten gefertigt werden. Darüber hinaus sollen in bestimmten
Schichten (Nachtschicht) keine neuen Werkstücke gestartet werden, d.h. im Idealfall
wird der Auftrag in der vorhergehenden Schicht gestartet und läuft in der
entsprechenden Schicht nur weiter.
Minimierung der externen Vergaben. Vergaben an externe Firmen verursachen
Kosten und sollen nach Möglichkeit vermieden werden.
Minimierung der Kapitalbindung. Wenn Aufträge vorgezogen werden, wird
Kapitalbindung verursacht. Diese soll möglichst reduziert werden.
Slide 89
3. Modell
Als mögliche Freiheitsgrade stehen dabei folgende Möglichkeiten zur Verfügung:
Bearbeitungszeitpunkt. Jedem TP kann im Rahmen der Möglichkeiten eine
Schicht zugewiesen werden, in der der TP abgearbeitet werden soll.
Bearbeitungsreihenfolge. Innerhalb einer Schicht kann festgelegt werden, in
welcher Reihenfolge die Aufgaben abzuarbeiten sind.
Verwendete Ressourcen. Falls alternative Ressourcen zur Bearbeitung eines TP
zur Verfügung stehen, muss die zu verwendende Ressource festgelegt werden.
Auswahl alternativer TP. Falls alternative Wege im PSP zur Verfügung stehen,
muss die zu wählende Alternative festgelegt werden.
Vergabe an externe Firmen. Falls Endtermine nicht eingehalten werden können,
soll entschieden werden, welche TP an externe Firmen vergeben werden.
Darüber hinaus sollten folgende Informationen ermittelt werden:
Belegungsplan der Ressourcen. Es soll identifiziert werden, welche Ressourcen
wann durch welchen TP belegt werden.
Slide 90
3. Modell
Die Planung soll nach jedem MRP-Lauf wiederholt werden. Ein MRP-Lauf findet
typischerweise einmal pro Tag während der Nachtschicht statt. Aufgrund der zyklischen
Planung in einem rollierenden Horizont ergeben sich zusätzliche Anforderungen:
Stabilität der kurzfristigen Belegungsplanung. Es sollen möglichst wenige
Änderungen im Nahzeitraum erfolgen, so dass die Pläne für die beteiligten
Mitarbeiter möglichst stabil bleiben.
Absichern gegen Unsicherheiten. Es gibt drei wesentliche Unsicherheitsfaktoren:
Plötzlich auftretende Ressourcenausfälle (Reparatur, Krankheit, …)
Unvorhergesehene Aufträge (Service, Ersatzteil, Qualifizierungsphase)
Schätzfehler für die Bearbeitungszeit (Kapazitätsbelastung der
Ressourcen wurde über- bzw. unterschätzt)
Zur Absicherung gegen diese Unsicherheitsfaktoren werden in der momentanen Praxis
umfangreiche zeitliche Puffer in den PSP integriert. Hier gilt es, durch eine
vorausschauende Planung diese Pufferzeiten (Liegezeiten) zu minimieren ohne die
Robustheit des Systems zu beeinträchtigen.
Slide 91
3. Modell
3. Konzeptionelle Festlegungen
Zeitraster
Ziel ist ein genereller Unternehmens- / Werkstattkalender, auf den
Planungshorizonte
Rückmelde-/Planungszyklen
Aktive/Stillstandszeiten
Schichtkalender
abgebildet werden können. Ggf. ist dieses Zeitmodell (teilweise) aus den jetzt
vorgesehenen Leitständen zu übernehmen (und die InVorMa-Ablaufsteuerung in
diesen Leitstand zu integrieren).
Slide 92
3. Modell
Auch wegen der Verwendung von InVorMa über die Unternehmen S. und P. hinaus,
schlagen wir vor, die Zeitrasterung flexibel zu wählen. Es sollen mindestens zwei
Bereiche differenziert werden:
Ein Kurzfristbereich, in dem die planerischen Vorgaben umzusetzen/zu realisieren
sind und nicht mehr geplant wird. Der Planungszyklus, der angibt, wann und nach
welchem zeitlichen Abstand die Planung wiederholt wird, ist kleiner oder maximal
gleich groß wie dieser Kurzfristbereich. Der Kurzfristbereich sollte aber nicht größer
als eine Woche gewählt werden.
Ein mittelfristiger Bereich, der zur Bildung der Auftragsreihenfolge, der
Rüstoptimierung, der Bereitstellung der Materialien, der Werkzeuge, der
Förderhilfsmittel, Lagerplätze usw. verwendet werden. Ebenso sind hier Losgrößen,
Schichtmodelle und Fremdvorgaben zu nennen.
Slide 93
3. Modell
Kurzfristbereich:
Mittelfristbereich:
Zeiteinheit 0,1 Stunde
Horizont 3 – 5 Arbeitstage
Planungszyklus Schicht
Rückmeldedetaillierung 0,1 Stunde
Zeiteinheit Schicht/Arbeitstag
Horizont ≤ 60 Arbeitstage
Planungszyklus Tag
Slide 94
3. Modell
Ressourcen
Als Ressourcen, die nur in begrenzten Quantitäten zur Verfügung stehen, wollen wir
Menschen
Arbeitsmittel zur Wandlung von Material
Maschinen
Werkzeuge
Werkzeugaufbereitung
Werkzeugvoreinstellung
Instandhaltung
Arbeitsmittel zur Wandlung von Information
Programmiertools
Programmierarbeitsplätze
Arbeitsmittel zur Wandlung von Energie
Arbeitsmittel zur Raumüberbrückung
Fördermittel
Förderhilfsmittel
Slide 95
3. Modell
Arbeitsmittel zur Zeitüberbrückung
Lagerplätze
Lagermittel
Lagerhilfsmittel
Arbeitsmittel zur Wandlung des Zustands
Prüfplätze
Prüfmittel
Arbeitsgegenstände
unterscheiden. Einige dieser Ressourcen stehen 24 h am Tag, 7 Tage in der Woche zur
Verfügung. Für Menschen gilt dies nicht; sie stehen nur im Rahmen ihres
Schichtmodells bereit. Gewisse Maschinen, wie ein Bildschirmarbeitsplatz, sind nur
produktiv, wenn sie mit einem Menschen besetzt sind. Ggf. kann ein Mensch mehrere
Maschinen gleichzeitig bedienen/überwachen. Werkstücke/Materialien müssen für die
Auftragserfüllung bereitgestellt werden, sie sind jedoch nicht Arbeitsmittel, sondern
Arbeitsobjekt.
Slide 96
3. Modell
Im Rahmen des grundsätzlichen Zeitmodells sind also Verfügbarkeiten im Sinne eines
Bestandes zu Zeitpunkten (bspw. Anzahl der Menschen und der Maschinen) und /
oder Verfügbarkeiten im Sinne eines Arbeitspotentials für einen Zeitraum (verfügbare
Anzahl von Arbeitsstunden je Zeitabschnitt) anzugeben.
Für Menschen sind Schichtmodelle vorzusehen.
Slide 97
3. Modell
Qualifikationen
Die einfachste Vorgehensweise besteht darin, einen Teilprozess (TP) einem
Arbeitsmittel und/oder einem Menschen (ein)eindeutig zuzuordnen.
Für alternative Prozesspläne und Teilprozesse bleibt dann genauso wenig Raum wie
für deren situationsabhängige Auswahl. Die Planung beschränkt sich auf die
ausschließliche Festlegung der Bearbeitungsreihenfolge einzelner Aufträge auf
einzelnen Maschinen.
Da wir im Rahmen von InVorMa flexibler sein wollen, gehen wir
von einer Kennzeichnung einzelner Teilprozesse hinsichtlich der für sie
erforderlichen qualitativen Kapazität
von einer optimierenden Zusammenfassung einzelner Teilprozesse zu alternativen
Prozessplänen
von einer Klassifizierung der Leistungsfähigkeit (qualitativ und quantitativ) einzelner
Arbeitsmittel aus.
Slide 98
3. Modell
Um eine rechnerunterstützte Zuordnung von Arbeitsmittel und Arbeitsgegenstand im
Rahmen eines Teilprozesses bzw. eines Prozessplans vornehmen zu können, gehen
wir von einer geeigneten Klassifikation aus. Diese muss Arbeitsgegenstand und
Arbeitsmittel abdecken. Ggf. ergibt sich die klassifizierende Beschreibung der
Anforderungen eines Teilprozesses erst im Rahmen der planerischen Beschreibung
eines Teilprozesses. Vergleichbar müssen bei der Kombination von Menschen und
Maschinen die resultierende Leistungsfähigkeiten konstruktiv kombinierend gestaltet
werden können.
Slide 99
3. Modell
Prozessplan
Prozesspläne werden der Ablaufsteuerung vorgegeben. Wir gehen davon aus, dass ein
Prozessplan komplett abgearbeitet wird und die Ablaufsteuerung keine Prozesspläne
miteinander zu neuen Prozessplänen kombiniert. Die einzige Situation, in der ein
solcher Wechsel möglich sein könnte, ist in der Rückmeldung denkbar, wenn der
Wechsel zu einem anderen Prozessplan und ein definierter Bearbeitungsstand
rückgemeldet wird.
Ein Prozessplan kann beliebig viele Teilprozesse umfassen. Eine Überlappung wird
ausgeschlossen. Alternative Pfade sind zugelassen.
Die Dauer eines Teilprozesses kann zwischen 0,1 Stunden und 240 Stunden betragen.
Während eines Teilprozesses wird ein Arbeitsplatz (als „führendes“ Arbeitsmittel
gekennzeichnet) vollständig in Anspruch genommen. Dies ist für Lagerplätze und
Fördermittel noch zu diskutieren.
Slide 100
3. Modell
Für jeden Teilprozess kann ein frühester Starttermin und ein spätester Endtermin
vorgegeben werden.
Für jeden Auftrag kann ein frühester Starttermin und ein spätester Endtermin
vorgegeben werden.
Für jeden Teilprozess kann
die Dauer explizit
Rüstdauer und Bearbeitungsdauer (je Stück) oder
das Bearbeitungsvolumen in Stunden
angegeben werden.
Es ist festzulegen, ob eine Bearbeitung unterbrochen werden darf. Falls ja, sind die
Bedingungen zu nennen.
Slide 101
3. Modell
Zielsetzungen
Ziele, die üblicherweise zu Zielfunktionen verknüpft werden, sind die Minimierung der
Fertigungskosten, der Rüstkosten und der Kapitalbindungskosten. Das macht nur Sinn,
wenn Zeitanteile, in denen weder gefertigt noch gerüstet wird, auch keine Kosten
verursachen. Wenn aber die Maschine oder der Werker sowieso bezahlt werden
müssen, macht das Bezahlen für das Nichtstun oder das Bezahlen für das unnötige
(Um-)Rüsten einer Maschine keinen großen Unterschied. Also heißt das mit anderen
Worten: wenn wir die Rüstzeiten minimieren (wollen), dann müssen wir auch in der Lage
sein, die Werker nach Hause zu schicken – ohne Fertigungslohn zu bezahlen.
Anders sieht das in einer Engpass-Situation aus: Jede Minute, die nicht gearbeitet und
auf einen Auftrag aufgeschrieben wird, ist verschwendet. Also müssen wir, solange wir
die verfügbaren Ressourcen und die durch sie verursachten Kosten noch gestalten
können, den bestmöglichen Plan mit dem gerade noch machbaren Ressourcenangebot
ermitteln und dann diesen Plan umsetzen.
Slide 102
3. Modell
Auf Störungen/“Eilaufträge“ ist differenziert zu reagieren: Im Umfeld zusätzlicher
Aufträge reagieren wir nach Bestellpunktprinzip, also nachregelnd, auf Aufträge, die aus
irgendwelchen Gründen nicht bearbeitet werden können, reagieren wir nach
Bestellzyklusprinzip.
Während des aktuellen Tages, an dem wir weder mit einer Änderung der Plandaten
noch mit einer geänderten Planung reagieren können, gilt nur eine Größe: Oberstes und
einziges Ziel ist die Gewährleistung der Termin-/Liefertreue im Rahmen des festgelegten
Schichtmodells. Gleichrangig und – wenn keine Störungen vorliegen – gleichbedeutend
ist das Vermeiden weiterer Stillstandszeiten.
In der kurzfristigen Betrachtung gilt nur eines: Die Minimierung der Kosten im Rahmen
der durch die Mittelfristplanung festgelegten Grenzen.
In der Mittelfristplanung gilt analog: Die Minimierung der Kosten im Rahmen der von
außen festgelegten Grenzen.
Beeinflusst werden können in der Regel nicht die Kapitaldienste für die Maschinen. Ob
Maschinen gekauft oder geleast werden, wollen wir hier nicht betrachten.
Slide 103
3. Modell
Beeinflusst werden können
die Kapitalbindungskosten durch die Wahl der Beschaffungstermine (kein s-,QDenken!), die Losgröße und differenzierte Sicherheiten.
die Rüstkosten durch geeignete Auftragsreihenfolgen, vor allem aber durch die
Dimensionierung der Anzahl der Werker, die mit Rüsttätigkeiten (auch CAMArbeitsplätze!) beaufschlagt sind. Hier müssen wir jegliche Leerzeit von Mensch
und Maschine durch geeignete Losgrößen und Auftragsreihenfolgen vermeiden.
die Kosten für die Werker, in dem wir deren Schichtmodelle einschließlich der
Fremdkapazitäten optimieren. Mittelfristig ist die Anzahl der Werker unter Beachtung
deren Qualifikation zu optimieren.
die Materialkosten, in dem wir zu geschickten Zeitpunkten und in einem situativ
günstigen Zustand einkaufen.
die Stillstandszeiten für die Wartung
die Lieferfähigkeit und die Liefertreue durch flexible Schichtmodelle.
Slide 104
3. Modell
Robustheit
In der Materialwirtschaft werden die drei bekannten Risiken unterschieden:
Zugangsrisiken für den Zugang von Material, Abgangsrisiken für die Unwägbarkeit
beim Kunden und Bestandsrisiken für eigene Schlampereien.
Wir orientieren uns an diesen Größen und dehnen die Betrachtung auf alle Arten von
Ressourcen aus:
Haben wir die richtigen Ressourcen zum richtigen Zeitpunkt, in der richtigen
Qualität usw. usw. usw. bestellt/disponiert?
Rufen unsere Kunden / Benötigen wir selbst diese Ressourcen in der geplanten
Art und Weise?
Ist der Bestand an Ressourcen und Qualifikationen richtig geplant und
entsprechen diese Ressourcen dem, was wir brauchen und was wir geplant
haben?
Slide 105
3. Modell
Und dann heißt „robust“: Egal was passiert, wir können unsere Termine ohne
zusätzliche Kosten einhalten. Das heißt zwei Dinge:
Die Ressourcen liegen da, wo sie gebraucht werden.
Zusätzliche Kosten werden verursachungsgerecht verrechnet – ein zusätzliches
Umrüsten trägt der Eilauftrag, nicht die Allgemeinheit, die Fremdkapazität bezahlt
die Maschine, die gerade ausgefallen ist. Vielleicht bekommt sie dann längerfristig
überhaupt keine Aufträge mehr.
Reserven bei einer Einzel-/Kleinserienfertigung können keine Material-/
Produktbestände sein – niemand braucht eine zusätzliche Spritzgussform oder 20
zusätzliche Stempel. Also kann es nur darum gehen, früher, nicht mehr zu produzieren
– ein „Mehr“ ist der sicherste Weg, unnötige Kosten zu produzieren, sogar ohne
Risiko. Aber dieser zeitliche Puffer muss überall eingebaut werden; es nützt nichts,
wenn wir alles 1 Woche „zu früh“ machen, aber einen kritischen Pfad haben, auf dem
dann prompt das Unglück passiert.
Slide 106
3. Modell
Das ist trivial. Weitere Sachverhalte, die wir bei der Planerstellung berücksichtigen
müssen, sind einerseits die Schätzung der Zeiten und andererseits die Platzierung der
Reserven. Wenn wir bspw. eine Woche nur einen Auftrag nach dem anderen auf einer
Maschine einplanen, die wir noch nie gemacht haben und 20 % Mehraufwand
überhaupt nichts Ungewöhnliches sind, dann sind wir selbst am Terminverzug schuld.
Und wenn ein Werker dem anderen den Hammer aus der Hand nimmt, auf der
anderen Seite aber dann zwei Monate alle fehlen, dann haben wir uns auch hier
ähnlich unklug verhalten. Also haben wir ein vernünftiges Maß zu finden, wie wir in
einer Zeit mit vielen neuen/unsicheren Aufträgen möglicherweise trotz größter
Terminnot stabilisierende Faktoren einbauen, Fremdkapazitäten rechtzeitig involvieren
oder auf alternative Prozesspläne umstellen. Und dann bitte vor der Katastrophe
proaktiv mit einem neuen Plan reagieren.
Slide 107
3. Modell
Aufgabenstellung
1.
2.
3.
Welche Aufgaben sind im Rahmen der Entscheidungsfindung zu leisten?
Entwickeln Sie eine mögliche Zielfunktion!
Entwickeln Sie ein mathematisches Modell, das wir für die Festlegung der
Bearbeitungsreihenfolgen und -termine verwenden können!
Slide 108
3. Modell
Aufgabe 3:
Gegeben seien zwei mit einem gespannten Draht verbundene Konservendosen.
Ist das ein „gutes“ Modell zur Erklärung Ihrer Telefonanlage? Was ist Ihrer
Meinung nach der wesentliche Fehler?
Aufgabe 4:
Gegeben sei folgende Rechenaufgabe: „Ein Blumenbeet ist 1,5 m lang. Der
Abstand zwischen 2 Blumen ist 50 cm. Wie viele Blumen stehen in einer Reihe?“
Welches Modell liegt dieser Aufgabe zugrunde?
Slide 109
3. Modell
Aufgabe 5:
In die Produktionsprogrammplanung (siehe Produktionsplanung und -steuerung) wird
neben den 3 Bohrmaschinen ein externer Dienstleister eingeführt, der beliebig viel
Kapazität bereitstellen kann. Die Kosten für die einzelnen Erzeugnisse sind bekannt.
Wie verändert sich das Modell?
Aufgabe 6:
Die Kosten des externen Dienstleisters sind in allen Fällen (alle Erzeugnisse, alle
Bohrmaschinen) niedriger als die Kosten des Unternehmens. Wie verändert sich das
Modell jetzt?
Was heißt das?
Aufgabe 7:
Das „“-Zeichen für die Erzeugnisse E1, E2, E3, E4 wird in „<„ geändert. Was heißt
das? Und was heißt „“?
Slide 110
3. Modell
Aufgabe 8:
Produkt I und Produkt II werden aus demselben Rohstoff und auf denselben Maschinen
hergestellt.
Bedarf pro Stück
Prod. I
Prod. II
Verfügbarkeit in
diesem Monat
Rohstoff (kg)
2
1
110
Masch.‘Std. auf A
4
1
160
Masch.‘Std. auf B
2
2
200
Welche Mengen von Prod. I bzw. Prod. II sollen in diesem Monat produziert werden,
damit der Gewinn maximal ausfällt?
Gewinn (€/Stück)
Prod. I
Prod. II
Ziel:
120
40
maximal
(Antwort: 25 Stück Prod. I; 60 Stück Prod. II, erzielbarer Gewinn € 5.400,00)
Slide 111
3. Modell
Aufgabe 9:
a. Erstellen Sie ein verbales (Sprache + Grafik) Strukturmodell einer Spülmaschine.
Das Modell soll dazu dienen den Wasserfluss im Gerät zu beschreiben.
b. Erstellen Sie ein verbales Verhaltensmodell einer Postfiliale mit 5 Schaltern und
einer gemeinsamen Warteschlange für alle Schalter (bspw. die Filiale in der
Paderborner Liliengasse). Kunden können mitgebrachte Sendungen aufgeben oder
im Laden etwas kaufen. Gehen Sie insbesondere auf das Verhalten der
Warteschlange ein und die Zuordnung von Kunden zu Schaltern.
c. Erstellen Sie ein verbales Funktionsmodell einer gelungenen Silvesterparty.
Beachten Sie die Teilnehmer, den zeitlichen Ablauf, die nötigen Verbrauchs- und
Gebrauchsmittel, den Ort und ggf. die gegenseitigen Abhängigkeiten. Erläutern Sie
Ihre Lösung.
Slide 112
3. Modell
Modellierung
Modellierung ist der Prozess der Überführung eines Realitätsausschnittes in ein
Modell.
Eine Modellierungsmethode ist eine Methode, mit deren Hilfe ein Subjekt einen
bestimmten Typ von Aufgaben löst, indem es ein Modell herstellt
(zweckentsprechend) und zur Informationsgewinnung über das Original benutzt.
Eine Modellierungsmethode umfasst immer Konstrukte mit spezieller Bedeutung
(Semantik), Regeln zur richtigen Benutzung der Konstrukte (Syntax), und eine
Beschreibung zur Vorgehensweise bei der Modellierung.
Slide 113
3. Modell
Fertigungsanlage
Slide 114
3. Modell
Konstrukte zur Erstellung der
Ablaufstruktur (unbewegliche
Elemente)
Slide 115
3. Modell
Eingabe der „beweglichen Elemente“
Slide 116
3. Modell
Walzwerk
Slide 117
3. Modell
Entscheidungstabellen „Verteilen von Stellbock / WWZ-Waage“
Slide 118
3. Modell
Entscheidungstabellen
„Verteilen von Walze /
Verteilen von WWA-Waage“
Entscheidungstabelle
„Verteilen von Pal-Aus“
Slide 119
3. Modell
Entscheidungstabelle
„Verteilen von Pal-Ein“
Entscheidungstabelle „Verteilen von WW-ÜST“
Slide 120
3. Modell
Kriterien zur Methodenauswahl
Benutzereffizienz
Zeitaufwand für Datensammlung und Aufbereitung, sowie Erstellung einer
korrekten Beschreibung.
Benutzerfreundlichkeit
Erlernbarkeit, die Ergonomie und die Unterstützung des Benutzers.
Eindeutigkeit
Inwiefern wird eine bestimmte Beschreibung von verschiedenen Benutzern so
gleich verstanden, das es keine Widersprüche gibt, und alle notwendigen
Informationen bereit stehen.
Flexibilität
Anwendungsbreite bezüglich unterschiedlicher Aufgaben.
Darstellbarkeit
Welche Sichten sind abbildbar? Wie können sie integriert werden?
Slide 121
3. Modell
Kriterien zur Methodenauswahl
Interpretierbarkeit
Anschaulichkeit des erstellten Modells. Abhängig von der Modularität, Umfang
und Redundanz der Beschreibung, Übersichtlichkeit und der erforderlichen
Qualifikation des Benutzers.
Veränderung des Detaillierungsgrades
Verfeinerung der Darstellung ebenso wie ggf. die Zusammenfassung zu
übergeordneten Strukturen.
Manipulierbarkeit
Inwiefern können einzelne Elemente verändert werden, und werden
Abhängigkeiten sichtbar?
Analysierbarkeit
Menge an Methoden, mit denen das Modell untersucht werden kann.
Rechnerunterstützung
Existenz von unterstützenden Software-Tools.
Slide 122
3. Modell
Aufgabe 10:
Zur Modellierung von Produktionssystemen erhalten Sie einen Baukasten
„Fischertechnik“. Diskutieren Sie die Kriterien zur Methodenauswahl.
Aufgabe 11:
a. Beschreiben Sie die wesentlichen Eigenschaften eines Modells
b. Erläutern Sie die Begriffe Abbildungsmerkmal, Verkürzung und Pragmatik.
c. Was bedeutet Struktur- und Verhaltensanalogie?
d. Was ist ein operatives Modell, und über welche Schritte gelangt man zu einem
solchen Modell?
e. Nennen Sie mindestens 5 Kriterien zur Auswahl einer Modellierungsmethode.
f. Gliedern Sie einen handelsüblichen Kompressor-Kühlschrank mit Eisfach in Subund Teilsysteme. Erstellen Sie ein Funktions-, Verhaltens- und Strukturmodell.
g. Systeme lassen sich nach den Kriterien „statisch/dynamisch“ und
„offen/geschlossen“ klassifizieren. Erläutern Sie beide Klassen und geben Sie
jeweils ein Beispiel.
Vorlesung
Grundlagen der computergestützten
Produktion und Logistik
W1332
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
W. Dangelmaier
Slide 2
Grundlagen der computergestützten Produktion und Logistik Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Einführung: Worum geht es hier?
System
Modell
Modellierung von Gegenständen
Strukturmodelle (Gebildestruktur)
Verhaltensmodelle (Prozessstruktur)
Produktion
Digitale Fabrik
Planung von Produktionssystemen
Wirtschaftlichkeitsrechnung
Prüfungen
Slide 3
3. Modell
Modell
... Ein Modell ist ein bewusst konstruiertes Abbild der Wirklichkeit, das auf der
Grundlage einer (Gegenstands-) Struktur-, Funktions- oder Verhaltensanalogie zu
einem entsprechenden Original von einem Subjekt eingesetzt bzw. genutzt wird, um
eine bestimmte Aufgabe lösen zu können, deren Durchführung mittels direkter
Operation am Original zunächst oder überhaupt nicht möglich bzw. unter den
gegebenen Bedingungen zu aufwendig oder nicht zweckmäßig ist...
Verwendungszweck
Darstellen von Ideen, Zusammenhängen
Erklären eines Tatbestandes
Gewinnen von Einsichten in das Verhalten des Systems
Vorraussagen über das Verhalten eines Systems
Optimieren von Systemstruktur, -verhalten und/oder -funktion
Slide 4
3. Modell
Modellbildung
Ein Modell stellt kein möglichst vollständiges Abbild der Realität dar, sondern
enthält zur Reduktion von Aufwand und Komplexität gemäß Modelldefinition und
-zweck nur die zu untersuchenden Gesichtspunkte
Strukturanalogie
... liegt vor, wenn die Abbildung eines Systems auf ein Modell insbesondere die
Struktur dieses Systems korrekt wiedergibt ...
Verhaltensanalogie
... liegt vor, wenn die Abbildung eines Systems auf ein Modell insbesondere das
Verhalten dieses Systems korrekt wiedergibt ...
Funktionsanalogie
... liegt vor, wenn die Abbildung eines Systems auf ein Modell insbesondere die
Funktionsweise dieses Systems korrekt wiedergibt ...
Slide 5
3. Modell
Modell „Overhead“
Lichtquelle
Folie
Spiegel
Funktionsmodell:
Zusammenwirken der Subsysteme
Leinwand
Strom
Abluft
Folie
Bild
Verhaltensmodell:
Zusammenhalten von Input und Output
Strukturmodell: Ordnung der Subsysteme
Slide 6
3. Modell
Modellklassifikation
Die Modellklassifikation hilft a priori, also vor der Modellierung, deren Ziel und
damit auch die anzuwendenden Methoden und Vorgehensweisen zu
konkretisieren. Nach der Reihenfolge ihres Auftretens bzw. ihrer Verwendung bei
der Systemmodellierung lassen sich folgende Modellklassen unterscheiden:
Modellklasse: Gedankliche Modelle
Gedankliche Modelle sind die notwendige Zwischenstufe, die von jedem realen
System zu dessen modellartiger Darstellung durchschritten werden muss.
Sie sind somit der Ausgangspunkt jeder schöpferischen Modellkonstruktion.
Slide 7
3. Modell
Modellklasse: Verbale Systembeschreibungen
Verbale Systembeschreibungen sind Abbildungen mit Hilfe von sprachlichen
und/oder graphischen Symbolen...
Beschreibungsmodelle
beschreiben empirische Erscheinungen ohne Erklärung oder Analyse
Erklärungsmodelle
beschreiben Ursachen, Zusammenhänge und liefern Hypothesen
Entscheidungsmodelle
erleichtern Bestimmung optimaler Handlungsweisen der in einem
Erklärungsmodell gewonnenen Erkenntnisse auf einen Anwendungsbereich
Slide 8
3. Modell
Modellklasse: Gegenständliche Modelle
Gegenständliche Modelle liefern eine Systembeschreibung mittels räumlicher
Objekte
Objektbeschreibungen
Darstellung spezieller (statischer) Eigenschaften (Designstudie)
Strukturmodelle
Darstellung struktureller Eigenschaften (Molekülaufbau)
Verhaltensmodelle
Darstellung des Systemverhaltens (Windkanalmodelle)
Funktionsmodelle
Darstellung der Systemfunktionen (Eisenbahnanlage)
Slide 9
3. Modell
Modellklasse: Formale Modelle
Will man ein System in seiner Struktur, seinem Verhalten oder seiner Funktion
optimieren, so macht dies einen Formalismus erforderlich.
Systembeschreibungen folgen hier einem a priori definiertem Formalraum
Objektbeschreibungen
Darstellung spezieller (statischer) Eigenschaften: Technische Zeichnung nach
DIN-Norm, Beschreibung eines Objektes mit Finite Elemente Methode
Strukturmodelle
Darstellung struktureller Eigenschaften: 3D-Objekt als Topologie, Graphen,
Tabellen
Verhaltensmodelle
Darstellung des Systemverhalten: Modelle von Reglern, PPS-System zur
Mengenplanung und Minimierung des Bestands
Funktionsmodelle
Darstellung einer Systemfunktion: NC-Programm zur Optimierung von
Werkzeugbewegungen oder der Bewegung eines Fördergeräts
Slide 10
3. Modell
Modellklasse: Operative Modelle
Beispiel: Travelling-Salesman-Problem
Zielfunktion:
N
2
1
N
d
ij
4
3
j
j
x ij MIN
dij 1
2
3
4
xij 1
2
3
4
1
-
9
2
3
1
0
0
1
0
2
9
-
1
2
2
0
0
0
1
3
2
1
-
8
3
0
1
0
0
(jeder Knoten hat genau eine eingehende 4 3 2 8
Distanzmatrix
Kante)
-
4
1
0
0
0
i
j
Gleichgewichtsbedingungen:
N
x ij e j 1; j 1,2,..., N
i
i
i
Lösungsmatrix
N
x
ij
a i 1; i 1,2,..., N
2
4
j
(jeder Knoten hat genau eine ausgehende Kante)
Randbedingung Xij = 0 oder 1
1
3
Slide 11
3. Modell
Merkmale
Der Modellbegriff lässt sich durch drei Merkmale beschreiben:
Abbildungsmerkmal
Ein Modell ist immer Abbild eines Originals. Die Abbildung wir durch eine
Zuordnung zwischen den Eigenschaften des Modells und des Originals
realisiert.
Verkürzungsmerkmal
Nur relevante Eigenschaften des Originals werden erfasst.
Pragmatik
Ein Modell wird immer nur innerhalb gewisser Zeitspannen zu einem ganz
bestimmten Zweck für ein Original eingesetzt.
Slide 12
3. Modell
Aufgabe Modell oder nicht? – Äußere Verwandtschaft täuscht ...
Fall 1: Modelleisenbahn
Fall 2: Simulation mit Modellbaukasten & EDV-Systemen
Fall 3: Hooke‘sche Feder und Gummiband
Fall 4: Anordnung von Abteilungen
Förderentfernungen
Fördermengen
Förderleistungen
N
V .
A
B
C
D
E
N
V .
A
B
C
D
E
N
V .
A
B
C
D
E
A
x
2
4
3
5
A
x
5
3
0
0
A
x
10
12
0
0
B
2
x
2
2
3
B
0
x
1
0
4
B
0
x
2
0
12
C
4
2
x
3
2
C
0
0
x
3
1
C
0
0
x
9
2
D
3
2
3
x
5
D
0
0
0
x
3
D
0
0
0
x
15
E
5
3
2
5
x
E
0
0
0
0
x
E
0
0
0
0
x
Diskutieren Sie, für welchen Anwendungsfall/Zweck ein solches Modell eingesetzt
werden kann.
Slide 13
3. Modell
1
2
3
4
5
6
7
U
1
0
87
23
0
0
0
0
0
110
2
0
0
101
0
0
30
0
0
131
3
0
19
0
83
14
20
0
0
136
4
0
0
12
0
94
0
6
0
112
5
0
25
0
29
0
38
16
0
108
6
0
0
0
0
0
0
88
0
88
7
10
0
0
0
0
0
0
100
110
U
100
0
0
0
0
0
0
0
100
110
131
136
112
108
88
110
100
895
Matrix A Transportmengen
Slide 14
3. Modell
1
2
3
4
5
6
7
1
0
10
19
23
23
17
7
2
10
0
12
14
10
13
11
3
19
12
0
9
14
15
18
4
23
14
9
0
6
16
29
5
23
18
14
6
0
13
19
6
17
13
15
16
13
0
10
7
7
11
18
29
19
10
0
Matrix B Transportdistanzen
Slide 15
3. Modell
1
2
3
4
5
6
7
1
0
870
437
0
0
0
0
2
0
0
1212
0
0
390
0
3
0
228
0
747
256
300
0
4
0
0
108
0
564
0
174
5
0
450
0
174
0
494
304
6
0
0
0
0
0
0
880
7
70
0
0
0
0
0
0
70
1548
1757
921
820
1184
1358
U
U
Matrix C Transportleistungen
7658
Slide 16
3. Modell
Transportdistanzen im Direktverkehr
Abt. 3
Abt. 2
Abt. 1
19
12
9
14
10
15
29
6
13
19
13
Abt. 4
7
Abt. 5
10
Abt. 6
Abt. 7
Slide 17
3. Modell
Transportdistanzen im Ringverkehr
Abt. 3
Abt. 2
(12)
Abt. 1
(10)
(9)
(7)
(6)
Abt. 4
(13)
Abt. 5
(10)
Abt. 6
Abt. 7
Slide 18
3. Modell
Fall 5: Ermitteln der optimalen Auslegung
Einfache mathematische Modelle
• Analytisches Lösen des Modells
• Extremwert – Berechnung („geschlossene Lösung“)
• Heuristische (Näherungs-)Verfahren
Dreidimensionale und komplizierte mathematische Modelle
• Lösung durch experimentelles Betreiben des Modells (Simulation)
• „Keine“ Hilfe für die Lösungssuche
• Nur Aufzeigen der Auswirkungen von gewählter Struktur, Dimensionierung
und Steuerung auf Leistungsfähigkeit
– Durchlaufzeit
– Durchsatz
– Leistungsgrad
– Stillstandszeit
Slide 19
3. Modell
Simulation mit „Fischer-Technik“-Modell
• Hohe Anschaulichkeit
• Hohe Genauigkeit
Geeignet als Funktions-/Demonstrationsmodell
•
•
•
•
Kurzer Simulationszeitraum
Nicht ausreichende Aussagebasis
Mangelnde Änderungsfreundlichkeit
Mangelnde Richtigkeit
Weniger geeignet für die Konzeptionsphase
Slide 20
3. Modell
Rechner-unterstützte Simulationen
• Experimentelles Betreiben eines mathematischen Modells eines
Produktionssystems auf einer Rechenanlage
• Geringe Anschaulichkeit
Weniger geeignet als Funktions-/Demonstrationsmodell
•
•
•
•
•
„Beliebig“ langer Simulationszeitraum
„Beliebig“ umfassende Aussagebasis
Hohe Änderungsfreundlichkeit
Hohe Genauigkeit
Richtigkeit nur von Datenqualität abhängig
Unentbehrlich für die Konzeptionsphase
Slide 21
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Diese Planungsaufgabe geht von folgenden Annahmen aus:
1. Alternativproduktion: Zu produzieren sind mehrere Erzeugnisse, die auf mehreren
Produktionsstufen mehrere Gebrauchsfaktoren gemeinsam nutzen.
2. Gegebene Absatzhöchstmengen je Erzeugnis
3. Die Gebrauchsfaktoren einer Produktionsstufe sind identisch. Sie können daher
mit ihrem Kapazitätsangebot summarisch betrachtet werden.
4. Konstante Absatz- und Beschaffungspreise je Produkteinheit
5. Unbeschränkte Beschaffungsmöglichkeiten für Verbrauchsfaktoren
6. Keine Verluste auf den Produktionsstufen
7. Keine Lagerhaltung
8. Deterministische Größen
Slide 22
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Zielsetzung ist die Gewinn- oder Deckungsbeitragsmaximierung bzw. in bestimmten
Entscheidungssituationen als äquivalente Zielsetzung die Kostenminimierung.
• mehrere Engpass-Produktionsstufen (Standardansatz)
Eine Produktionsstufe repräsentiert hier bspw. eine Produktionslinie, aber auch eine
Werkstatt („Dreherei“). Über die Reihenfolge, in der die Produktionsstufen von einem
Produkt durchlaufen werden, wird hier nichts ausgesagt (quasi „parallel“). Damit bleibt
die Organisationsform offen.
Variablen
xi zu produzierende Anzahl der Einheiten von Erzeugnis i
Slide 23
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Parameter
IPF
Menge der Erzeugnisse;
IPS
Menge der Produktionsstufen;
ar
Kapazität der Produktionsstufe r
bir
Produktionskoeffizient: Beanspruchung der Produktionsstufe r durch die
Herstellung einer Einheit von Erzeugnis i
Xi
Absatzhöchstmenge: Anzahl der Einheiten von Erzeugnis i, die im
Planungszeitraum höchstens verkauft werden kann
pi
Nettoerlös von Erzeugnis i
ki
Grenzkosten (proportionale Kosten) je Einheit von Erzeugnis i
kir
Grenzkosten von Erzeugnis i auf Produktionsstufe r
ki
n
PS
k ir
r 1
Slide 24
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
n
Maximiere z
PF
(p
i
k i )x i
unter den Bedingungen
i1
r I
PS
n
:
PF
b ir x i a r
Kapazitätsbedingungen
i 1
r I
PF
: xi Xi
Absatzbedingungen
r I
PF
: xi 0
Nichtnegativitätsbedingungen
Slide 25
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Beispiel
Produkt I und II werden aus demselben Rohstoff und auf den gleichen Anlagen A, B
hergestellt:
Bedarf pro Stück
Prod. I
Prod. II
Verfügbarkeit in
diesem Monat
Rohstoff (kg)
2
1
110
Masch‘Std. auf A
4
1
160
Masch‘Std. auf B
2
2
200
Welche Mengen von Prod. I bzw. II sollen in diesem Monat produziert werden, damit
der Gewinn maximal ausfällt?
Gewinn (€/Stück)
Prod. I
Prod. II
Ziel:
120
40
maximal
Slide 26
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Antwort:
25 Stück Prod. I
60 Stück Prod. II
erzielbarer Gewinn € 5.400,00
Prod. II
150
100
50
50
100
Prod. I
Slide 27
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
•
mehrere Engpass-Produktionsstufen / Feste Reihenfolge der
Produktionsstufen / Verluste auf allen Produktionsstufen
Die Annahmen 3 und 6 werden aufgehoben. Auf jeder Produktionsstufe r gibt es
Verluste. Anders als im Standardansatz wird von einer festen Reihenfolge
ausgegangen und der Ausschuss stufenweise berücksichtigt.
Variablen
xijr
Anzahl der Einheiten, die von der Erzeugnisklasse i auf der
Produktionsstufe r mit dem Gebrauchsfaktor j zu bearbeiten ist. Die Menge
der Gebrauchsfaktoren einer Produktionsstufe r ist IrGF
xi
Anzahl der Einheiten, die von der Erzeugnisklasse i abgesetzt wird
Slide 28
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Parameter
nPS
Anzahl der Produktionsstufen; mit nPS wird die dem Erzeugnis zugeordnete
Produktionsstufe bezeichnet
bijr
Produktionskoeffizient
ajr
Kapazität des Gebrauchsfaktors j auf der Produktionsstufe r
cijr
Ausschusskoeffizient
kvi
verfahrensunabhängige Grenzkosten
kijr
verfahrensabhängige Grenzkosten, die für die Erzeugnisklasse i auf der r-ten
Produktionsstufe bei Einsatz des Gebrauchsfaktors j anfallen
Die Produktionskosten je Erzeugnis variieren in Abhängigkeit von den eingesetzten
Gebrauchsfaktoren auf den verschiedenen Produktionsstufen. Zusätzlich fallen je
Erzeugnis gebrauchsfaktorunabhängig mengenproportionale Kosten (z.B.
Einzelkosten des Vertriebs) an.
Slide 29
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
n
PS
v
Maximiere z ( p i k i ) x i k ijr x ijr
iI
PF
iI
PF
r 1 jIrGF
unter den Bedingungen
GF
j Ir , r 1,..., n
PS
:
iI
i I
PF
, r 1,..., n
PF
1 : c ijr x ijr x i, j,r 1
PS
GF
jIr
i I
PF
PS
:
n
c ijr
PS
n
x ijr
xi
GF
jIr
i I
PF
i I
PF
: xi Xi
GF
, j Ir
Kapazitätsbedingungen
b ijr x ijr a jr
: x ijr 0; i I; x i 0
GF
jIr 1
Mengenkontinuitätsbedingungen (I)
Mengenkontinuitätsbedingungen (II)
Absatzbedingungen
Nichtnegativitätsbedingungen
Slide 30
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
•
Berücksichtigung von Fremdleistung sowie Fremdbezug oder Verkauf von
Produkten
Anzahl der Einheiten, die von der Erzeugnisklasse i auf der
F
x ir
Produktionsstufe r fremdbearbeitet wird
Anzahl der Einheiten, die von der Erzeugnisklasse i mit dem Zustand der
Z
x ir
Produktionsstufe r zugekauft wird
V
Anzahl der Einheiten, die von der Erzeugnisklasse i nach Bearbeitung auf
x ir
der Produktionsstufe r als Zwischenprodukt verkauft wird
F
k ir
Kosten für die Fremdbearbeitung der Erzeugnisklasse i für
Produktionsstufe r
Z
k ir
V
p ir
Fremdbezugskosten für die Beschaffung von Erzeugnisklasse i mit dem
Zustand der Produktionsstufe r
Erlös für den Verkauf der Erzeugnisklasse i mit dem Zustand der
Produktionsstufe r
Slide 31
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Auf Produktionsstufe r - 1 müssen die auf Produktionsstufe r zu bearbeitenden und die
für die Fremdbearbeitung vorgesehenen Produktmengen der Erzeugnisklasse i
bearbeitet werden.
Für die Bearbeitung auf Produktionsstufe r +1 stehen die auf Produktionsstufe r
bearbeiteten verwertbaren Produktmengen, die fremdbearbeiteten Produktmengen und
die fremdbezogenen Produktmengen der Erzeugnisklasse i zur Verfügung, während
die nach Produktionsstufe r als Produkte zu verkaufenden Produktmengen nicht auf
Produktionsstufe r + 1 zu bearbeiten sind.
Slide 32
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
Maximiere z ( p i k iv ) x i k ijr x ijr k Fir x Fir
iI
PF
iI
PF
PF
r I
PS
1
iI
r I
Z
k ir
Z
x ir
PS
iI
PF
n
PS
GF
jIr
iI
PF
r I
PS
V
V
p ir x ir
r 1
unter den Bedingungen
i I
PF
, r 2,..., n
PS
: c i, j,r 1 x i, j,r 1 x ijr x ir
F
GF
GF
jIr 1
jIr
Mengenkontinuitätsbedingungen (I)
i I
PF
,r I
PS
: c i, j,r x i, j,m x i,r x i,r x i,r x i, j,r 1
F
GF
jIr
Z
V
GF
jIr 1
Mengenkontinuitätsbedingungen (II)
Slide 33
3. Modell - Planung des Produktionsprogramms
i I
PF
,r I
i I
PF
,r I
V
Absatzbedingungen
PS
: x ir X ir
PS
: x ir , x ir , x ir 0
F
V
Z
V
Nichtnegativitätsbedingungen
Slide 34
3. Modell - Mengenplanung
Bei den im Anschluss dargestellten Modellformulierungen sind mehrere
unterschiedliche Vorgänge/Lose bzw. Produkte auf demselben, begrenzt verfügbaren
Gebrauchsfaktor (Maschine) so einzuplanen, dass die für jeden Zeitabschnitt
feststehende Nachfrage (der gegebene Bruttobedarf) nach den einzelnen Produkten
ohne Nachlieferungen und unter Einhaltung der Kapazitätsrestriktionen erfüllt werden
kann. Die Planungsaufgabe besteht in der Bestimmung der einzelnen Produktionsmengen für jeden diskreten Zeitabschnitt eines endlichen Planungszeitraums, für
die die Summe aus Rüstkosten, variablen Produktionskosten und (linearen)
Lagerhaltungskosten minimal wird.
Variablen
xit
Produktionsmenge für Produkt i in Zeitabschnitt t
BiT
Bestand für Produkt i am Ende von Zeitabschnitt t
rüs
it
Rüstindikator für Produkt i im Zeitabschnitt t
pdn
it
Produktionsindikator für Produkt i im Zeitabschnitt t
Slide 35
3. Modell - Mengenplanung
Es seien
Parameter
IPF
Menge der Produkte bzw. der Produktindizes, i = {1, ..., nPF}
TP
gemischtes Zeitmodell mit der Menge der Zeitabschnitte bzw. deren Indizes,
t=
{1, …, nt} und der Menge der Zeitpunkte T = {0, …, nt}: t = T für das Ende
eines
Zeitabschnitts
(Planungshorizont)
bit
Bedarf für Produkt i in Zeitabschnitt t
at
verfügbare Kapazität in Zeitabschnitt t
bi
Produktionskoeffizient für Produkt i
rüs
Rüstkosten für Produkt i
ki
stk
k it
Stückkosten für Produkt i in Zeitabschnitt t
lag
ki
Lagerkostensatz für Produkt i
Bi0
Anfangsbestand für Produkt i
sht
B iT
Sicherheitsbestand für Produkt i am Ende von Zeitabschnitt t
Slide 36
3. Modell - Mengenplanung
Die grundlegende Form der Big-Bucket-Modelle ist das Capacitated Lot Sizing
Problem (CLSP). Bei diesem Ansatz wird die zeitliche Aufeinanderfolge der einzelnen
Produktionslose innerhalb eines Zeitabschnitts nicht abgebildet. Daher können auch
keine reihenfolgeabhängigen Rüstzeiten zwischen den unterschiedlichen
Erzeugnissen berücksichtigt werden.
Das CLSP lässt sich wie folgt formulieren:
(k i
rüs
rüs
it
stk
k it
lag
x it k i
B iT )
i, t
u. B. d. N.
i I
PF
, t, T TP :
t, T TP :
B iT B i, t 1 x it b it
(CLSP, 1)
b i x it a t
(CLSP, 2)
i
i I
PF
, t, T TP :
x it ( b it ) it
rüs
(CLSP, 3)
t
i I
PF
, t, T TP :
x it 0 , B iT B iT
sht
i I
PF
, t, T TP :
it
rüs
{ 0 ,1}
(CLSP, 4)
(CLSP, 5)
Slide 37
3. Modell - Mengenplanung
Die wesentlichsten Vertreter der Small-Bucket-Modelle sind das Continous Setup
Lotsizing Problem (CSLP), das Discrete Lot Sizing and Scheduling Problem
(DLSP) sowie das Proportional Lot Sizing and Scheduling Problem (PLSP), die
sich dadurch unterscheiden, dass das CSLP und das DSLP die Herstellung nur eines
Erzeugnisses je Zeitabschnitt erlaubt, während beim PLSP davon ausgegangen wird,
dass sowohl vor als auch nach einer Umrüstung innerhalb desselben Zeitabschnitts
produziert werden kann. Insofern stellt das PLSP eine Verallgemeinerung des DLSP
dar.
Da bei diesen Modellen die Reihenfolge der herzustellenden Erzeugnisse bekannt ist,
können auch reihenfolgeabhängige Rüstzeiten berücksichtigt werden. Und da die
Zeitabschnitte relativ kurz sind, ermöglichen diese Modelle eine Losgrößenplanung, die
im Prinzip (nahezu) optimale Durchlaufzeiten liefern kann.
Slide 38
3. Modell - Mengenplanung
Das Continous Setup Lotsizing Problem (CSLP) geht von der Einschränkung aus,
dass auf der betrachteten Maschine in jedem Zeitabschnitt höchstens eine
Produktsorte produziert werden kann und ein Wechsel der Verbrauchsfaktorklasse/ein
Sortenwechsel folglich nur jeweils zu Beginn eines neuen Zeitabschnitts erlaubt ist.
Die Produktionsmengen desselben Produkts in einer oder mehreren direkt
aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten können dann zu einem Los zusammengefasst
werden, für das nur einmal, nämlich im jeweils ersten Zeitabschnitt, Rüstkosten zu
berechnen sind, während der Rüstzustand über die gesamte Folge von
Auflagezeitabschnitten fortdauert („continous setup“).
Slide 39
3. Modell - Mengenplanung
Mit den wie zuvor definierten Symbolen lässt sich für das CSLP das folgende Modell
formulieren:
Minimiere
(k i
rüs
rüs
max 0 , it
rüs
stk
i, t 1 k it
lag
x it k i
B iT )
i, t
u. B. d. N.
i I
PF
, t, T TP :
t, T TP :
B iT B i,T 1 x it b it
(CSLP, 1)
rüs
it 1
(CSLP, 2)
i
(CSLP, 3)
i I
PF
, t, T TP :
b i x it a t it
rüs
i I
PF
, t, T TP :
x it 0 , B iT B iT
i I
PF
, t, T TP :
it
sht
rüs
{ 0 ,1}
(CSLP, 4)
(CSLP, 5)
Slide 40
3. Modell - Mengenplanung
Die wesentliche Prämisse des Discrete Lotsizing and Scheduling Problem (DLSP)
ist, dass die Produktion einer Sorte immer über ganze Zeitabschnitte laufen muss,
so dass die in einem Zeitabschnitt hergestellte Menge demnach entweder nur Null sein
kann oder der vollen Periodenleistung entspricht („Alles-oder-nichts-Produktion“).
Daraus ergibt sich, dass die zu bestimmenden Losgrößen stets ganzzahlige Vielfache
einer jeweils produktabhängigen Basisproduktionsmenge wi darstellen müssen und
somit nun auf bestimmte diskrete Werte eingeschränkt sind, während beim CSLP
kontinuierliche Entscheidungsmöglichkeiten für die Auflagelänge bestehen und die
Kapazität des Auslaufzeitabschnitts eines Loses daher u. U. nur teilweise verplant wird.
Slide 41
3. Modell - Mengenplanung
Das DLSP reduziert die Entscheidung für einen Zeitabschnitt auf die Frage, ob
produziert werden soll oder nicht, so dass die Produktionsmengen direkt von den
Indikatorvariablen abhängen und gemäß xit = wi ∙ it ersetzt werden können.
wi := Höchstmenge von Produkt i pro Zeitabschnitt.
Da beim DLSP grundsätzlich von Zeitabschnitten mit einheitlichem Kapazitätsbedarf
ausgegangen wird, muss für alle t gelten, dass at = a.
Man erhält die folgende Formulierung:
min
rüs
(k i
i, t
rüs
max 0, it
rüs
stk
i, t 1 k it
rüs
w i it
lag
ki
B iT )
Slide 42
3. Modell - Mengenplanung
u. B. d. N.
i I , t , T TP :
B iT B i,T 1 w i it b it
(DSLP, 1)
t , T TP :
(DSLP, 2)
PF
rüs
it
rüs
1
i
i I , t , T TP :
B iT B iT
(DSLP, 3)
i I , t , T TP :
it { 0 ,1}
(DSLP, 4)
PF
PF
sht
rüs
Slide 43
3. Modell - Mengenplanung
Das Proportional Lotsizing and Scheduling Problem (PLSP) geht davon aus, dass
je Zeitabschnitt maximal 1 Produktwechsel vollzogen wird. Der Rüstzustand wird aus
dem vorherigen Zeitabschnitt übernommen.
Dieses Modell ermöglicht, falls die Kapazität eines Zeitabschnitts nicht voll durch die
Produktion eines Produktes verbraucht wird, die Produktion eines zweiten Produktes.
Das PLSP soll den Fall modellieren, bei dem ein Los über mehrere Zeitabschnitte
hinweg produziert wird. Rüstkosten fallen nur einmal zu Beginn der Produktion mit der
Vorbereitung der Ressource für das betreffende Produkt an. Das muss nicht der
Zeitabschnitt sein, in dem mit der Produktion begonnen wird, sondern kann u. U. auch
schon vorher (Ende des vorherigen Zeitabschnitts) passieren.
Neben den üblichen (binären) Rüstvariablen benötigt man eine zusätzliche Variable,
die den Rüstzustand der Ressource am Ende eines Zeitabschnitts wiedergibt.
Slide 44
3. Modell - Mengenplanung
Minimiere
(k i
rüs
k
rüs
max 0 , it
stk
it
lag
x it k i
B it )
i, t
u. B. d. N.
i I
PF
, t, T TP :
t, T TP :
B iT B i,T 1 x it b it
(PLSP, 1)
rüs
it 1
(PLSP, 2)
i
(PLSP, 3)
it 2
t, T TP :
i
i I
PF
(PLSP, 4)
b i x it a t
, t, T TP :
(PLSP, 5)
i
i I
PF
i I
PF
, t, T TP :
x iT 0 , B iT
, t, T TP :
rüs
it
sht
B iT
{ 0 ,1}
1, wenn x it 0
it
0 , sonst
rüs
it
0 , wenn it , i, t 1 1
(PLSP, 6)
(PLSP, 7)
(PLSP, 8)
Slide 45
3. Modell - Mengenplanung
Das folgende Bild zeigt ein Beispiel mit 3 Produkten und 10 Zeitabschnitten. In der
obersten Zeile sind die Rüstzustände (Produktnummer) am Anfang des
Zeitabschnitts angegeben. Die Zahlen in den Balken sind die Wertepaare „Rüstzeit +
Bearbeitungszeit“. Die Rüstzeiten sind jeweils 10.
Slide 46
3. Modell - Zuordnungsprobleme
1 : N-Probleme (Knapsack-Problem)
Eine Menge von Elementen soll so gebildet werden, dass eine Zielfunktion maximiert
und gleichzeitig eine gegebene Randbedingung eingehalten wird. Das KnapsackProblem lässt sich dementsprechend als
n
p
i
x i max
i1
unter den Bedingungen
n
q
i1
i
xi
Schranke; x i { 0 ,1};1 1,..., n
formulieren. i ist dabei die Laufvariable der betrachteten Elemente, pi der Zielertrag
und qi der Ertrag hinsichtlich der gegebenen Schranke.
Praktische Beispiele sind alle Auswahlprobleme, bei denen die zu wählenden
Alternativen mit unterschiedlicher Gewichtung in Zielfunktion und Bedingung
eingehen. Gelöst werden kann das Knapsack-Problem mittels Branch-and BoundMethode.
Slide 47
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : N-Probleme
N:N-Probleme ordnen in der Regel eine gegebene Menge von Elementen (an),
indem eine zweite bereits geordnete Menge als Ordnungsbegriff verwendet wird.
Das lineare Zuordnungsproblem ordnet den Elementen einer eindimensionalen
Grundmenge I die Elemente einer ebenfalls eindimensionalen Menge J zu.
Das lineare Zuordnungsproblem lässt sich wie folgt formulieren:
n
n
c
i1
ij
x ij min
j1
unter den Bedingungen
n
x
i1
n
ij
1; i 1,..., n; x ij 1; j 1,..., n; x ij { 0 ,1}; i, j 1,..., n
j1
Slide 48
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Praktische Beispiele des linearen Zuordnungsproblems sind z. B. die Zuordnung von
n Tätigkeiten zu n Werkern, wobei jede Tätigkeit genau einem Werker zugeordnet
wird und jeder Werker nur genau eine Tätigkeit bearbeitet. Die Zuordnung von
Artikeln zu Lagerplätzen ist ebenfalls eine solche Aufgabenstellung. Dieses Problem
ist auch als Heiratsproblem bekannt.
Grundsätzlich können für das lineare Zuordnungsproblem die Verfahren zur Lösung
des klassischen Transportproblems angewandt werden.
Slide 49
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Zweistufiges Distributionsproblem
Es werden folgende Annahmen getroffen:
Es existieren m Produktionsstandorte und n Nachfragepunkte. Vom Ort h
(h = 1, ..., m) werden bh Mengeneinheiten bezogen, an Ort j (j = 1, ..., n)
gj Mengeneinheiten geliefert.
p Auslieferungslager sollen so auf q mögliche Orte (𝑞 ≥ 𝑝) gesetzt werden, dass
die Lagerungs- und Transportkosten minimiert werden. Die Anzahl p ist zu
ermitteln.
Bei der Lagerung am möglichen Standort i entstehen Fixkosten KF und variable
Kosten KVi. Am möglichen Standort i können maximal ci Mengeneinheiten gelagert
werden.
Die Transportkosten sind proportional zur Entfernung und proportional zum
Transportaufkommen. Sie seien KThi vom Lieferort h zum Lagerstandort i und KTij
vom Lagerstandort i zum Nachfragepunkt j. Bei Direktbelieferung vom
Produktionsstandort h zum Nachfragepunkt j betragen die Transportkosten KThj.
Slide 50
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Zweistufiges Distributionsproblem
Variablen
Xij
Vom Ort i zum Ort j gelieferte Menge
Parameter
KThi Transportkosten der 1. Stufe
Kfi
Fixkosten der Lagerung
KVi
Variable Kosten der Lagerung/Transportkosten der 2. Stufe
bi
vom Ort i bestellte Menge
gj
vom Ort j gelieferte Menge
ci
Kapazität von Lagerstandort i
Slide 51
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Damit ergibt sich folgendes Modell:
Minimiere
m
q
KT
q
hi
x hi
h 1 i1
KF
q
i
yi
i1
(KV
i1
unter den Nebenbedingungen
q
m
x
hj
h 1
x
ij
x
hj
g j ; j 1,..., n
h 1
m
n
hi
h 1
x
j1
m
h 1
b h ; h 1,..., m
m
i1
b
hi
i1
q
x
x
n
h
g
j1
j
ij
; i 1,..., q
n
j1
m
i
KT ij ) x ij
n
KT
h 1 j1
hj
x hj
Slide 52
3. Modell - Zuordnungsprobleme
n
x
ij
c i y i ; j 1,..., n
j1
yi = 0, falls kein Lager am Standort i errichtet wird, sonst yi = 1; i = 1, …, q.
x hi 0 ; x ij 0 ; x hj 0 ; h 1,..., m ; i 1,..., q; j 1,..., n
Gängige Heuristiken sind Drop- oder Add-Algorithmen zur Zuordnung von
Bedarfsorten zu Auslieferungslagern. Bekanntestes Verfahren ist hier der AddAlgorithmus nach Kühn-Hamburger.
Slide 53
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Beispiel für eine mit dem
Kuhn-Hamburger-Algorithmus
berechnete N:M Zuordnung
Slide 54
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Abtaktung von Fließlinien
Die Planung einer getakteten Einprodukt-Fließlinie wird bei den Simple Assembly
Line Balancing Problemen (SALB) auf die Zuordnung der n vorhandenen
Arbeitsvorgänge zu den einzelnen Stationen reduziert, wobei (technologische)
Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Arbeitsvorgängen berücksichtigt werden.
Dabei gehen alle SALB-Modelle von den folgenden Annahmen aus:
Das einzige Produkt wird in n Arbeitsvorgängen, die unteilbar vorliegen,
hergestellt. Das Produktionsverfahren ist fest vorgegeben.
Jeder der auszuführenden Arbeitsvorgänge j = {1, …, n} besitzt eine fest
vorgegebene Bearbeitungszeit tj.
Die Reihenfolge der einzelnen Arbeitsvorgänge ist unveränderbar und durch einen
gerichteten Vorranggraphen GV= (KN, KA, t) festgelegt.
Ein Vorranggraph GV = (KN, KA, t) ist ein gerichteter zyklenfreier Graph mit einer
Menge KN = {1, ..., n} von Knoten, einer Kantenmenge KA {(i, j) i, j KN} und
einem Vektor t N von Bewertungen.
Slide 55
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Abtaktung von Fließlinien
• Alle Stationen besitzen dieselbe Taktzeit. Diese kann freigewählt werden, darf aber
nicht durch die dort auszuführenden Arbeitsvorgänge überschritten werden.
• Es existiert eine fixe Anstoßrate. Damit ist die Dauer zwischen dem Auflegen zweier
Produkteinheiten für die gesamte Produktionsdauer unveränderbar.
• Alle Stationen sind hinsichtlich der eingesetzten Potentialfaktoren gleich
ausgestattet. Dabei dürfen die Potenzialfaktoren nicht zwischen den einzelnen
Stationen verschoben werden.
• Alle Stationen sind nur einfach vorhanden. Es ist nicht möglich, dieselbe Station
noch einmal parallel dazu neu zu installieren, um auf diese Weise eine verbesserte
Leistungsabstimmung zu ermöglichen.
Slide 56
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Abtaktung von Fließlinien
• Es existieren keinerlei Restriktionen hinsichtlich der Zuordnung von
Arbeitsvorgängen zu Stationen. Grundsätzlich kann jeder Arbeitsvorgang zu jeder
Station zugeordnet werden kann, wenn die anderen Nebenbedingungen dies
zulassen. Auch bestehen neben den Vorrangbeziehungen keinerlei zusätzliche
Einschränkungen, die die wählbare Reihenfolge der Arbeitsvorgänge am Fließband
beeinträchtigen.
• Es gibt keine Möglichkeit, ein Produkt während der Produktion vom Band zu
nehmen und in einem Puffer zwischenzulagern.
Slide 57
3. Modell - Zuordnungsprobleme
N : M-Probleme / Abtaktung von Fließlinien
Das Standard-Maximum-Problem, das z. B. bei der Zuteilung von Rohstoffen zu
Produktionsprozessen oder Erzeugnissen vorliegt, besteht aus:
1. einer linearen Zielfunktion, deren Maximum bestimmt werden soll,
2. mindestens einer linearen Restriktion der Form 𝑎𝑖 𝑥𝑖 ≤ 𝑏 (mit 𝑏 ≥ 0)
3. den Nicht-Negativitätsbedingungen für jede vorkommende Variable.
Dem entspricht das mathematische Modell:
1. 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥𝑛 → 𝑚𝑎𝑥!
2. 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏2
…
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 ≤ 𝑏𝑚
3. 𝑥1 ≤ 0, 𝑥2 ≥ 0, … , 𝑥𝑛 ≥ 0
𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅
Slide 58
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
Beim Simplex-Algorithmus werden Zielfunktion und Restriktionen in das SimplexTableau übertragen, wo
1. das Ungleichungssystem der Restriktionen durch Einführung so vieler
Schlupfvariablen, wie Restriktionen vorhanden sind, vergrößert (hier um die
Schlupfvariablen 𝑥𝑛+1 , … , 𝑥𝑛+𝑚 ) und zum Gleichungssystem umgeformt und
2. die Zielfunktion entsprechend ergänzt wird.
Diese Schlupfvariablen bezeichnen die nicht genutzte bzw. eingesetzte Menge eines
jeweiligen Rohstoffes. Pro Restriktion wird eine Schlupfvariable definiert. Für die
Schlupfvariablen gilt die Nicht-Negativitätsbedingung. Anschließend wird durch
Iteration eine eindeutige Lösung ermittelt.
Slide 59
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
Beispiel: Maximiere 𝑍 = 𝑥𝑖 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 4𝑥4 unter Beachtung der Restriktionen
5𝑥𝑖 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 ≤ 12
2𝑥𝑖 + 6𝑥2 + 2𝑥3 + 4𝑥4 ≤ 18
2𝑥𝑖 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 ≤ 15
mit 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0, 𝑥3 ≥ 0, 𝑥4 ≥ 0
Dieses Ungleichungssystem wird in das folgende Tableau überführt.
Variablen
Schlupfvariablen
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
Z
RS
5
3
1
1
1
0
0
0
12
2
6
2
4
0
1
0
0
18
2
1
2
1
0
0
1
0
15
-1
-2
-3
-4
0
0
0
1
0
Simplextableau (1)
Slide 60
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
Aus diesem ersten Simplextableau ist schon eine erste Lösung ablesbar, nämlich die
zu den Basisvariablen x5, x6, x7 gehörende Basislösung x5 = 12, x6 = 18, x7 = 15 und
damit zwangsläufig die Nicht-Basis-Variablen x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0 und somit Z
= 0.
Zur Simplex-Iteration gehören folgende Schritte:
1. Wahl der Pivot-Spalte
Als Pivot-Spalte wird diejenige Spalte gewählt, die den absolut größten negativen
Koeffizienten aufweist (hier: x4 mit dem Koeffizienten -4). Sind keine negativen
Koeffizienten in der Zielfunktion mehr enthalten, ist das Maximum erreicht, und
der Simplex-Algorithmus ist abgeschlossen.
Slide 61
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
2.
Wahl der Pivot-Zeile
Als Pivot-Zeile wird die Zeile mit kleinstem Qi gewählt, wobei Qi wie folgt erklärt
ist: Qi = pi/qi mit pi = Element der i-ten Zeile in der RS-Spalte und qi = positives
Element der i-ten Zeile der Pivot-Spalte. Zeilen, in denen qi ≤ 0 ist, bleiben
unberücksichtigt. Im obigen Beispiel ist Q1 = 12, Q2 = 4, 5, Q3 = 15, die PivotZeile ist demnach die 2. Zeile.
Sollte die Pivot-Spalte kein positives Element enthalten, ist die Lösung nicht
begrenzt, und der Simplex-Algorithmus ist beendet.
3.
Umrechnung des Tableaus auf eine neue Basislösung
Im Schnittpunkt der Pivot-Spalte und der Pivot-Zeile steht das Pivot-Element. Die
Variable mit dem Pivot-Element wird neue Basis-Variable, indem durch
Zeilenoperation das Pivot-Element zu 1 und alle übrigen Elemente der PivotSpalte zu Nullen umgeformt werden.
Slide 62
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
Z
RS
Qi
5
3
1
1
1
0
0
0
12
12
2
6
2
4
0
1
0
0
18
4,5
2
1
2
1
0
0
1
0
15
15
-1
-2
-3
-4
0
0
0
1
0
-
9/2
3/2
½
0
1
-¼
0
0
7,5
½
3/2
½
1
0
¼
0
0
4,5
3/2
-½
3/2
0
0
-¼
1
0
10,5
1
4
-1
0
0
1
0
1
18
Simplextableau (2)
Slide 63
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
Das letzte Tableau enthält eine verbesserte Basislösung. Bestimmende Variable der
neuen Lösung sind die Variablen mit den Einheits(spalten)vektoren, also x4, x5, x7. Die
Variablen gehen in die neue Lösung ein mit x4 = 4,5, x5 = 7,5 und x7 = 10,5. Alle
übrigen Variablen gehören nicht zur Lösung, sie haben den Wert Null; also x1 = 0, x2 =
0, x3 = 0, x6 = 0. Die Zielfunktion hat nun den Wert 18. Er wird gebildet aus x1 + 2x2 +
3x3 + 4x4 = 18.
Slide 64
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
Z
RS
Qi
9/2
3/2
½
0
1
-¼
0
0
7,5
15
½
3/2
½
1
0
¼
0
0
4,5
9
3/2
-½
3/2
0
0
-¼
1
0
10,5
7
1
4
-1
0
0
1
0
1
18
4
5/3
0
0
1
-1/6
-1/3
0
4
0
5/3
0
1
0
1/3
-1/3
0
1
1
-1/3
1
0
0
-1/6
2/3
0
7
2
11/3
0
0
0
5/6
2/3
1
25
Simplextableau (3)
Slide 65
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Lineare Optimierung
Mit der obigen Iteration ist der Simplex-Algorithmus beendet, da keine negativen
Zahlen in der letzten Zeile mehr auftauchen. Der Lösungsvektor lautet (0, 0, 7, 1, 4, 0,
0). Bedeutend für die Ermittlung sind die Spaltenvektoren der Variablen, die eine
Einheitsmatrix darstellen. Hier sind die Variablen x1, x2, x6 und x7 Null, da sie nicht zu
einer Einheitsmatrix zusammengefasst werden können.
Abschließend wird der Lösungsvektor in die Zielfunktion eingesetzt:
Z = 0 1 + 0 2 + 7 3 + 1 4 = 25
Slide 66
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Eine ganzzahlige Quantifizierung von Beziehungen leistet das Transportproblem und
die auf ihm beruhenden Erweiterungen.
Beim „klassischen“ Transportproblem werden die optimalen Transportzuordnungen
eines homogenen Gutes von nA Angebotsorten (bzw. Lieferorten) zu nB Bedarfsorten
(bzw. Nachfrageorten) gesucht. Zwischenlager werden dabei nicht betrachtet, es
handelt sich also um ein einstufiges Transportproblem. Deshalb müssen bei der hier
vorliegenden Fragestellung alle Standorte von Kunden und Lieferanten z. B. als
Angebotsorte, alle betrieblichen Standorte einschließlich des Standorts q, der gerade
untersucht wird, als Bedarfsorte (oder umgekehrt) betrachtet werden. Aus der Sicht
der Bedarfsorte entstehen nB Einzugsgebiete, die anders als beim Steiner-WeberProblem – begründet durch das begrenzte Angebot – nicht überschneidungsfrei sein
müssen.
Vorgegeben sind die Angebotsmengen meAh; h = 1, 2, ..., nA der nA Angebotsorte,
sowie die Bedarfsmengen meBj; j = 1, 2, ..., nB der nB Bedarfsorte, außerdem die
Transportkosten kThj von den Angebotsorten h zu den Bedarfsorten j.
Slide 67
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Beispiel eines „klassischen“ Transportproblems
Slide 68
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Werden mit mehj die Transportmengen bezeichnet, die von den Orten h zu den Orten j
je Zeitabschnitt transportiert werden, so lässt sich der folgende lineare
Optimierungsansatz aufstellen:
Die Zielfunktion KT (Transportkosten)
n
KT
A
n
B
k
Thj
me
hj
h 1 j1
ist unter den Restriktionen
n
B
me
n
hj
me
Ah
; h 1,..., n
A
und
j1
A
me
h 1
sowie der Nichtnegativitätsbedingung
m hj 0 ; h 1,..., n ; j 1,..., n
A
zu minimieren.
B
hj
me Bj ; j 1,..., n
B
Slide 69
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Als zusätzliche Bedingung für die Existenz einer Lösung muss gelten, dass die Summe
der Angebotsmengen gleich der Summe der Bedarfsmengen ist:
n
A
me
h 1
n
Ah
B
me
Bj
j1
Die exakte Lösung des Transportproblems ist z. B. in [CHAA61, MUME70] beschrieben.
Das dort angegebene Lösungsverfahren geht von einer Ausgangslösung aus, die mit
Hilfe der Nordwestecken-Regel erstellt wird. Diese Lösung wird bewertet, in dem
Veränderungen bei den nicht benutzten Relationen in Höhe von jeweils einer
Mengeneinheit eingeführt werden. Ergeben sich dadurch Verbesserungen, ist die
optimale Lösung noch nicht gefunden.
Die Erprobung anderer Zuordnungen darf keine inkonsistenten Lösungen implizieren.
Daher kann eine von Null verschiedene Transportmenge nicht beliebig eingeführt
werden. Vielmehr erfordert dies ein Nachführen der gesamten Matrix der
Transportmengen.
Slide 70
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Bewertung einer zulässigen Lösung
Slide 71
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Die probeweise Einführung einer Transporteinheit in [OA3 OB1] in der gezeigten
Abbildung erfordert eine Korrektur in [OA3 OB4], diese eine Korrektur in [OA2 OB4], diese
wiederum in [OA2 OB3] usw., bis der gezeigte Weg durchschritten ist. In einem weiteren
Verfahrensschritt wird nun eine verbesserte Lösung erarbeitet, bei der die
Transportbeziehung eingebaut wird, die bei der Bewertung die höchste relative
Verbesserung versprochen hat (größter Kostengradient). Dieser Ablauf wird solange
wiederholt, bis sich keine Verbesserung mehr erzielen lässt (Stepping-StoneAlgorithmus nach Dantzig [DANT74]).
Im folgenden sei ein Beispiel zur exakten Lösung des Transportproblems angegeben
(s. [CHAA61])
Slide 72
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Mengenmäßige Erfordernisse und Transportkosten je Mengeneinheit
Slide 73
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Zur Ausgangslösung mittels Nordwesteckenregel wird beginnend mit [OA1 OB1] in
Richtung [OA3 OB5 ] Bedarf und Angebot verglichen und aufgeteilt. Ist das jeweilige
Angebot größer als der Bedarf des gerade betrachteten Bedarfsort, wird waagerecht,
anderfalls senkrecht vorgegangen. Ist Angebot und Bedarf gleich, wird in der
Diagonalen fortgeschritten.
Erste zulässige Lösung
Slide 74
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Diese erste Lösung verursacht Kosten in Höhe von 251 GE.
Die größte Verbesserung je veränderter Mengeneinheit ergibt sich hier für [OA1 OB4]
(18 GE Ersparnis für 1 Mengeneinheit). Auf dem Weg [OA1 OB4] -> [OA1 OB3] -> [OA1
OB3] -> [OA2 OB4] kann maximal 1 Mengeneinheit von [OA1 OB3] bzw. [OA2 OB4] nach
[OA1 OB4] bzw. [OA1 OB3] bewegt werden.
Es ergibt sich als zweite zulässige Lösung
Slide 75
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Zweite zulässige Lösung mit KT = 233 GE und Bewertung
Slide 76
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Die Lösungen des dritten, vierten und fünften Schritts sind im folgenden gezeigt.
Dritte zulässige Lösung mit KT = 181 GE und Bewertung
Slide 77
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Vierte zulässige Lösung mit KT = 151 GE und Bewertung
Slide 78
3. Modell - Zuordnungsprobleme
Ganzzahlige Optimierung
Fünte, optimale Lösung mit KT = 150 GE und Bewertung
Slide 79
3. Modell
Aufgabe 1:
Kann ein Modell immer richtig sein?
Slide 80
3. Modell
Aufgabe 2 - Ausgangssituation
Das Projekt InVorMa betrachtet die Entwicklung und Fertigung von Kleinserien und
Einzelwerkstücken.
Im Rahmen des Entwicklungs- und Fertigungsprozesses werden Aufträge bearbeitet.
Dabei lässt sich zwischen zwei Sorten von Aufträgen unterscheiden:
a)
b)
Geplante Aufträge. Diese externen/internen Aufträge sind längerfristig bekannt.
Sie resultieren in der Regel aus einem Angebot an einen Kunden.
Spontane Aufträge. Diese Aufträge werden kurzfristig bekannt und haben eine
hohe Priorität. Sie resultieren aus notwendigen Nachbesserungen in der
Qualifizierungsphase oder aus dem Service- und Ersatzteilgeschäft.
Slide 81
3. Modell
Der Entwicklungs- und Fertigungsprozess für einen Auftrag besteht aus einer Menge
von Teilprozessen (TP), die in einem Prozessplan (PP) zusammengefasst sind.
• Die einzelnen Teilprozesse des PP folgen einer festen Reihenfolge, teilweise sind
alternative Bearbeitungswege erlaubt.
• TP können voneinander abhängig sein: Bevor ein TP startet, müssen alle
Vorgänger-TP abgeschlossen sein (keine Überlappungen!)
• Jedem TP kann ein frühester Starttermin und ein spätester Endtermin zugeordnet
werden.
• Jeder TP des PP benötigt eine bestimmte Quantität einer bestimmten Menge von
Ressourcen. Nur wenn eine ausreichende Quantität der entsprechenden
Ressource zur Verfügung steht, kann der TP durchgeführt werden.
• Bei der Angabe der benötigten Quantität handelt es sich vor allem bei der
erstmaligen Durchführung eines PP um eine Schätzung; diese kann nach oben
oder nach unten abweichen.
• Am Ende des PP steht der Auslieferungstermin.
Slide 82
3. Modell
Kann der Auslieferungstermin nicht eingehalten werden, so gibt es die Möglichkeit,
Aufträge an externe Firmen zu vergeben. Das ist aber nicht für alle Aufträge
möglich. Die Ressourcen umfassen sämtliche Betriebsmittel sowie das dazugehörige
Personal. Als Ressourcen wurden genannt:
Maschinen
Werkzeuge für die Maschinen
Mitarbeiter (Maschinenbediener, CAM-Entwickler, …)
Aufspannvorrichtungen
Roh- und Kaufteile
Slide 83
3. Modell
Die Verfügbarkeit der Ressourcen kann für bestimmte Zeitintervalle beschränkt oder
ausgeschlossen sein. Dies kann zwei Ursachen haben.
• Im Produktionsprozess kann es zu unvorhergesehenen Störungen kommen.
Diese sind nicht vorhersehbar und können jederzeit auftreten. So können
Werkzeuge oder Maschinen ausfallen oder Mitarbeiter krank werden.
• Im Produktionsprozess kann es zu geplanten Ausfällen kommen. Diese sind im
Vorhinein bekannt, können aber nicht verschoben werden. So können sich
Mitarbeiter Urlaub nehmen oder Maschinen bzw. Werkzeuge müssen gewartet
werden.
Slide 84
3. Modell
Fa. S.
Die Fertigung hat neben älteren Einzelmaschinen (Fräsmaschine, Raboma) 4
Fräsmaschinen: 1 große Zayer und drei Deckelmaho. S. macht ERP mit Navision, hat
CAD, hat CAM, will jetzt mit Navision Leitstand einführen. Keine Werkzeugverwaltung,
keine Parameter für Werkzeuge, alles CNC an der Maschine, Festlegung der Maschine
durch den Menschen. Die ersten Laufzeiten werden geschätzt.
Mit den vier Maschinen können (durchaus üblich) alternative Arbeitspläne erstellt
werden.
Die Fa. S. hätte gerne Zusammenfassung von Aufträgen über dieselben Teile (Kunden-,
Werkstattauftrag), keine Lagerplatzverwaltung, Rüstreihenfolge über unterschiedliche
Teile. Rüstzeiten sind auch die Programmierzeiten.
Die Fa. S. fährt 3-Schicht/5 Tage. Dabei ist die 3. Schicht nicht mit der Früh- und
Spätschicht gleichberechtigt. Ziel ist, in der 3. Schicht in gerüstetem Zustand
durchzufahren. Nachtschicht sind Werker fest, Früh- und Spätschicht wechseln,
geplante Maschinenwartung.
Slide 85
3. Modell
Werkzeuge (Spindeln) werden zwischen den Maschinen geteilt. Da gibt es
„Werkzeugmanagement“. S. denkt über Nullpunktaufspannungen nach, die für alle
Maschinen genutzt werden. Fräser sind mehrfach da, S. berücksichtigt keine
Reststandzeiten, der Werker wechselt selbständig.
Es gibt Aufträge mit und ohne Zeitpuffer, bestimmte Teile sollen nicht bestimmten
Schichten zugeordnet werden. Die Teile sollen 1 Woche vor Montagebeginn fertig sein.
Notfälle haben hohe Priorität. Externe Werkbank. Rückmeldung, wenn Auftrag fertig,
keine Splittung von Aufträgen.
Zeitraster: Minutenraster / Werker meldet sich über Karte an.
Slide 86
3. Modell
Fa. P.
P. baut die Spritzgusswerkzeuge selbst. Demnach sind Erodier- und Fräsmaschinen zu
verplanen: 7 Maschinen DMG, 1 Erodiermaschine, 1364 Werkzeuge im Zugriff. Die
Werkzeuge sind „normale“ Spritzgusswerkzeuge für Arburg-Maschinen. Die Werkzeuge
werden getestet und bemustert. Sie können ggf. mit Umbausätzen auf bis zu 500
Varianten eingestellt werden.
Die Programme für die Maschinen haben Grundmuster bspw. für Bohrung, …,
Bohrmakros, Fräsmakros, kombinierte Makros. Schnittdaten werden aus dem
Werkzeugverwaltungssystem entnommen.
Der Kunde ist immer ein interner Kunde. Jeder AG wird rückgemeldet. Der Montierer
stellt die Komplettierung sicher. Der Werkzeugmontierer richtet in einem Regal einen
Sammelplatz für ein zu montierendes Spritzgusswerkzeug ein. Schadenfälle schiebt der
Fertigungssteuerer persönlich durch.
InVorMa soll CAD/CAM mitbetrachten – es steht auch im Arbeitsplan. Wir sollen uns auf
APO-Schnittstellen einstellen. Der Arbeitsplan soll verfeinert werden, wenn das an die
Heutelinie rückt. Nächtliche Planung. Rückmeldung alle 15 Minuten. Minutengenaue
Rasterung.
Slide 87
3. Modell
2. Aufgabenstellung
Die Ablaufplanung für den Fertigungsprozess findet bisher manuell statt. Dabei werden
die Aufträge mitsamt ihrem PSP sowie die Ressourcen und deren Belegung im ERPSystem (z.B. SAP oder MS Dynamics Nav) abgebildet.
Ziel ist es, die Planung zu automatisieren und an bestimmten Zielkriterien auszurichten.
Dabei sollen folgende Ziele verfolgt werden:
Rüstzeitminimierung. Da unterschiedliche Werkstücke unterschiedliche
Werkzeuge und Aufspannvorrichtungen benötigen entstehen Rüstzeiten beim
Wechsel von einem Auftrag zu einem anderen. Diese können minimiert werden,
indem Aufträge mit gleichen oder teilweise gleichen Werkzeugen nacheinander
bearbeitet werden. An manchen Maschinen fallen beim Wechsel von einem
Werkstück zu einem anderen Werkstück Programmierzeiten an, diese können durch
das Zusammenfassen von Aufträgen für gleiche Werkstücke reduziert werden.
Slide 88
3. Modell
Schichtpräferenzen. Bestimmte Werkstücke sollen nach Möglichkeit nicht in
bestimmten Schichten gefertigt werden. Darüber hinaus sollen in bestimmten
Schichten (Nachtschicht) keine neuen Werkstücke gestartet werden, d.h. im Idealfall
wird der Auftrag in der vorhergehenden Schicht gestartet und läuft in der
entsprechenden Schicht nur weiter.
Minimierung der externen Vergaben. Vergaben an externe Firmen verursachen
Kosten und sollen nach Möglichkeit vermieden werden.
Minimierung der Kapitalbindung. Wenn Aufträge vorgezogen werden, wird
Kapitalbindung verursacht. Diese soll möglichst reduziert werden.
Slide 89
3. Modell
Als mögliche Freiheitsgrade stehen dabei folgende Möglichkeiten zur Verfügung:
Bearbeitungszeitpunkt. Jedem TP kann im Rahmen der Möglichkeiten eine
Schicht zugewiesen werden, in der der TP abgearbeitet werden soll.
Bearbeitungsreihenfolge. Innerhalb einer Schicht kann festgelegt werden, in
welcher Reihenfolge die Aufgaben abzuarbeiten sind.
Verwendete Ressourcen. Falls alternative Ressourcen zur Bearbeitung eines TP
zur Verfügung stehen, muss die zu verwendende Ressource festgelegt werden.
Auswahl alternativer TP. Falls alternative Wege im PSP zur Verfügung stehen,
muss die zu wählende Alternative festgelegt werden.
Vergabe an externe Firmen. Falls Endtermine nicht eingehalten werden können,
soll entschieden werden, welche TP an externe Firmen vergeben werden.
Darüber hinaus sollten folgende Informationen ermittelt werden:
Belegungsplan der Ressourcen. Es soll identifiziert werden, welche Ressourcen
wann durch welchen TP belegt werden.
Slide 90
3. Modell
Die Planung soll nach jedem MRP-Lauf wiederholt werden. Ein MRP-Lauf findet
typischerweise einmal pro Tag während der Nachtschicht statt. Aufgrund der zyklischen
Planung in einem rollierenden Horizont ergeben sich zusätzliche Anforderungen:
Stabilität der kurzfristigen Belegungsplanung. Es sollen möglichst wenige
Änderungen im Nahzeitraum erfolgen, so dass die Pläne für die beteiligten
Mitarbeiter möglichst stabil bleiben.
Absichern gegen Unsicherheiten. Es gibt drei wesentliche Unsicherheitsfaktoren:
Plötzlich auftretende Ressourcenausfälle (Reparatur, Krankheit, …)
Unvorhergesehene Aufträge (Service, Ersatzteil, Qualifizierungsphase)
Schätzfehler für die Bearbeitungszeit (Kapazitätsbelastung der
Ressourcen wurde über- bzw. unterschätzt)
Zur Absicherung gegen diese Unsicherheitsfaktoren werden in der momentanen Praxis
umfangreiche zeitliche Puffer in den PSP integriert. Hier gilt es, durch eine
vorausschauende Planung diese Pufferzeiten (Liegezeiten) zu minimieren ohne die
Robustheit des Systems zu beeinträchtigen.
Slide 91
3. Modell
3. Konzeptionelle Festlegungen
Zeitraster
Ziel ist ein genereller Unternehmens- / Werkstattkalender, auf den
Planungshorizonte
Rückmelde-/Planungszyklen
Aktive/Stillstandszeiten
Schichtkalender
abgebildet werden können. Ggf. ist dieses Zeitmodell (teilweise) aus den jetzt
vorgesehenen Leitständen zu übernehmen (und die InVorMa-Ablaufsteuerung in
diesen Leitstand zu integrieren).
Slide 92
3. Modell
Auch wegen der Verwendung von InVorMa über die Unternehmen S. und P. hinaus,
schlagen wir vor, die Zeitrasterung flexibel zu wählen. Es sollen mindestens zwei
Bereiche differenziert werden:
Ein Kurzfristbereich, in dem die planerischen Vorgaben umzusetzen/zu realisieren
sind und nicht mehr geplant wird. Der Planungszyklus, der angibt, wann und nach
welchem zeitlichen Abstand die Planung wiederholt wird, ist kleiner oder maximal
gleich groß wie dieser Kurzfristbereich. Der Kurzfristbereich sollte aber nicht größer
als eine Woche gewählt werden.
Ein mittelfristiger Bereich, der zur Bildung der Auftragsreihenfolge, der
Rüstoptimierung, der Bereitstellung der Materialien, der Werkzeuge, der
Förderhilfsmittel, Lagerplätze usw. verwendet werden. Ebenso sind hier Losgrößen,
Schichtmodelle und Fremdvorgaben zu nennen.
Slide 93
3. Modell
Kurzfristbereich:
Mittelfristbereich:
Zeiteinheit 0,1 Stunde
Horizont 3 – 5 Arbeitstage
Planungszyklus Schicht
Rückmeldedetaillierung 0,1 Stunde
Zeiteinheit Schicht/Arbeitstag
Horizont ≤ 60 Arbeitstage
Planungszyklus Tag
Slide 94
3. Modell
Ressourcen
Als Ressourcen, die nur in begrenzten Quantitäten zur Verfügung stehen, wollen wir
Menschen
Arbeitsmittel zur Wandlung von Material
Maschinen
Werkzeuge
Werkzeugaufbereitung
Werkzeugvoreinstellung
Instandhaltung
Arbeitsmittel zur Wandlung von Information
Programmiertools
Programmierarbeitsplätze
Arbeitsmittel zur Wandlung von Energie
Arbeitsmittel zur Raumüberbrückung
Fördermittel
Förderhilfsmittel
Slide 95
3. Modell
Arbeitsmittel zur Zeitüberbrückung
Lagerplätze
Lagermittel
Lagerhilfsmittel
Arbeitsmittel zur Wandlung des Zustands
Prüfplätze
Prüfmittel
Arbeitsgegenstände
unterscheiden. Einige dieser Ressourcen stehen 24 h am Tag, 7 Tage in der Woche zur
Verfügung. Für Menschen gilt dies nicht; sie stehen nur im Rahmen ihres
Schichtmodells bereit. Gewisse Maschinen, wie ein Bildschirmarbeitsplatz, sind nur
produktiv, wenn sie mit einem Menschen besetzt sind. Ggf. kann ein Mensch mehrere
Maschinen gleichzeitig bedienen/überwachen. Werkstücke/Materialien müssen für die
Auftragserfüllung bereitgestellt werden, sie sind jedoch nicht Arbeitsmittel, sondern
Arbeitsobjekt.
Slide 96
3. Modell
Im Rahmen des grundsätzlichen Zeitmodells sind also Verfügbarkeiten im Sinne eines
Bestandes zu Zeitpunkten (bspw. Anzahl der Menschen und der Maschinen) und /
oder Verfügbarkeiten im Sinne eines Arbeitspotentials für einen Zeitraum (verfügbare
Anzahl von Arbeitsstunden je Zeitabschnitt) anzugeben.
Für Menschen sind Schichtmodelle vorzusehen.
Slide 97
3. Modell
Qualifikationen
Die einfachste Vorgehensweise besteht darin, einen Teilprozess (TP) einem
Arbeitsmittel und/oder einem Menschen (ein)eindeutig zuzuordnen.
Für alternative Prozesspläne und Teilprozesse bleibt dann genauso wenig Raum wie
für deren situationsabhängige Auswahl. Die Planung beschränkt sich auf die
ausschließliche Festlegung der Bearbeitungsreihenfolge einzelner Aufträge auf
einzelnen Maschinen.
Da wir im Rahmen von InVorMa flexibler sein wollen, gehen wir
von einer Kennzeichnung einzelner Teilprozesse hinsichtlich der für sie
erforderlichen qualitativen Kapazität
von einer optimierenden Zusammenfassung einzelner Teilprozesse zu alternativen
Prozessplänen
von einer Klassifizierung der Leistungsfähigkeit (qualitativ und quantitativ) einzelner
Arbeitsmittel aus.
Slide 98
3. Modell
Um eine rechnerunterstützte Zuordnung von Arbeitsmittel und Arbeitsgegenstand im
Rahmen eines Teilprozesses bzw. eines Prozessplans vornehmen zu können, gehen
wir von einer geeigneten Klassifikation aus. Diese muss Arbeitsgegenstand und
Arbeitsmittel abdecken. Ggf. ergibt sich die klassifizierende Beschreibung der
Anforderungen eines Teilprozesses erst im Rahmen der planerischen Beschreibung
eines Teilprozesses. Vergleichbar müssen bei der Kombination von Menschen und
Maschinen die resultierende Leistungsfähigkeiten konstruktiv kombinierend gestaltet
werden können.
Slide 99
3. Modell
Prozessplan
Prozesspläne werden der Ablaufsteuerung vorgegeben. Wir gehen davon aus, dass ein
Prozessplan komplett abgearbeitet wird und die Ablaufsteuerung keine Prozesspläne
miteinander zu neuen Prozessplänen kombiniert. Die einzige Situation, in der ein
solcher Wechsel möglich sein könnte, ist in der Rückmeldung denkbar, wenn der
Wechsel zu einem anderen Prozessplan und ein definierter Bearbeitungsstand
rückgemeldet wird.
Ein Prozessplan kann beliebig viele Teilprozesse umfassen. Eine Überlappung wird
ausgeschlossen. Alternative Pfade sind zugelassen.
Die Dauer eines Teilprozesses kann zwischen 0,1 Stunden und 240 Stunden betragen.
Während eines Teilprozesses wird ein Arbeitsplatz (als „führendes“ Arbeitsmittel
gekennzeichnet) vollständig in Anspruch genommen. Dies ist für Lagerplätze und
Fördermittel noch zu diskutieren.
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3. Modell
Für jeden Teilprozess kann ein frühester Starttermin und ein spätester Endtermin
vorgegeben werden.
Für jeden Auftrag kann ein frühester Starttermin und ein spätester Endtermin
vorgegeben werden.
Für jeden Teilprozess kann
die Dauer explizit
Rüstdauer und Bearbeitungsdauer (je Stück) oder
das Bearbeitungsvolumen in Stunden
angegeben werden.
Es ist festzulegen, ob eine Bearbeitung unterbrochen werden darf. Falls ja, sind die
Bedingungen zu nennen.
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3. Modell
Zielsetzungen
Ziele, die üblicherweise zu Zielfunktionen verknüpft werden, sind die Minimierung der
Fertigungskosten, der Rüstkosten und der Kapitalbindungskosten. Das macht nur Sinn,
wenn Zeitanteile, in denen weder gefertigt noch gerüstet wird, auch keine Kosten
verursachen. Wenn aber die Maschine oder der Werker sowieso bezahlt werden
müssen, macht das Bezahlen für das Nichtstun oder das Bezahlen für das unnötige
(Um-)Rüsten einer Maschine keinen großen Unterschied. Also heißt das mit anderen
Worten: wenn wir die Rüstzeiten minimieren (wollen), dann müssen wir auch in der Lage
sein, die Werker nach Hause zu schicken – ohne Fertigungslohn zu bezahlen.
Anders sieht das in einer Engpass-Situation aus: Jede Minute, die nicht gearbeitet und
auf einen Auftrag aufgeschrieben wird, ist verschwendet. Also müssen wir, solange wir
die verfügbaren Ressourcen und die durch sie verursachten Kosten noch gestalten
können, den bestmöglichen Plan mit dem gerade noch machbaren Ressourcenangebot
ermitteln und dann diesen Plan umsetzen.
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3. Modell
Auf Störungen/“Eilaufträge“ ist differenziert zu reagieren: Im Umfeld zusätzlicher
Aufträge reagieren wir nach Bestellpunktprinzip, also nachregelnd, auf Aufträge, die aus
irgendwelchen Gründen nicht bearbeitet werden können, reagieren wir nach
Bestellzyklusprinzip.
Während des aktuellen Tages, an dem wir weder mit einer Änderung der Plandaten
noch mit einer geänderten Planung reagieren können, gilt nur eine Größe: Oberstes und
einziges Ziel ist die Gewährleistung der Termin-/Liefertreue im Rahmen des festgelegten
Schichtmodells. Gleichrangig und – wenn keine Störungen vorliegen – gleichbedeutend
ist das Vermeiden weiterer Stillstandszeiten.
In der kurzfristigen Betrachtung gilt nur eines: Die Minimierung der Kosten im Rahmen
der durch die Mittelfristplanung festgelegten Grenzen.
In der Mittelfristplanung gilt analog: Die Minimierung der Kosten im Rahmen der von
außen festgelegten Grenzen.
Beeinflusst werden können in der Regel nicht die Kapitaldienste für die Maschinen. Ob
Maschinen gekauft oder geleast werden, wollen wir hier nicht betrachten.
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3. Modell
Beeinflusst werden können
die Kapitalbindungskosten durch die Wahl der Beschaffungstermine (kein s-,QDenken!), die Losgröße und differenzierte Sicherheiten.
die Rüstkosten durch geeignete Auftragsreihenfolgen, vor allem aber durch die
Dimensionierung der Anzahl der Werker, die mit Rüsttätigkeiten (auch CAMArbeitsplätze!) beaufschlagt sind. Hier müssen wir jegliche Leerzeit von Mensch
und Maschine durch geeignete Losgrößen und Auftragsreihenfolgen vermeiden.
die Kosten für die Werker, in dem wir deren Schichtmodelle einschließlich der
Fremdkapazitäten optimieren. Mittelfristig ist die Anzahl der Werker unter Beachtung
deren Qualifikation zu optimieren.
die Materialkosten, in dem wir zu geschickten Zeitpunkten und in einem situativ
günstigen Zustand einkaufen.
die Stillstandszeiten für die Wartung
die Lieferfähigkeit und die Liefertreue durch flexible Schichtmodelle.
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3. Modell
Robustheit
In der Materialwirtschaft werden die drei bekannten Risiken unterschieden:
Zugangsrisiken für den Zugang von Material, Abgangsrisiken für die Unwägbarkeit
beim Kunden und Bestandsrisiken für eigene Schlampereien.
Wir orientieren uns an diesen Größen und dehnen die Betrachtung auf alle Arten von
Ressourcen aus:
Haben wir die richtigen Ressourcen zum richtigen Zeitpunkt, in der richtigen
Qualität usw. usw. usw. bestellt/disponiert?
Rufen unsere Kunden / Benötigen wir selbst diese Ressourcen in der geplanten
Art und Weise?
Ist der Bestand an Ressourcen und Qualifikationen richtig geplant und
entsprechen diese Ressourcen dem, was wir brauchen und was wir geplant
haben?
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3. Modell
Und dann heißt „robust“: Egal was passiert, wir können unsere Termine ohne
zusätzliche Kosten einhalten. Das heißt zwei Dinge:
Die Ressourcen liegen da, wo sie gebraucht werden.
Zusätzliche Kosten werden verursachungsgerecht verrechnet – ein zusätzliches
Umrüsten trägt der Eilauftrag, nicht die Allgemeinheit, die Fremdkapazität bezahlt
die Maschine, die gerade ausgefallen ist. Vielleicht bekommt sie dann längerfristig
überhaupt keine Aufträge mehr.
Reserven bei einer Einzel-/Kleinserienfertigung können keine Material-/
Produktbestände sein – niemand braucht eine zusätzliche Spritzgussform oder 20
zusätzliche Stempel. Also kann es nur darum gehen, früher, nicht mehr zu produzieren
– ein „Mehr“ ist der sicherste Weg, unnötige Kosten zu produzieren, sogar ohne
Risiko. Aber dieser zeitliche Puffer muss überall eingebaut werden; es nützt nichts,
wenn wir alles 1 Woche „zu früh“ machen, aber einen kritischen Pfad haben, auf dem
dann prompt das Unglück passiert.
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3. Modell
Das ist trivial. Weitere Sachverhalte, die wir bei der Planerstellung berücksichtigen
müssen, sind einerseits die Schätzung der Zeiten und andererseits die Platzierung der
Reserven. Wenn wir bspw. eine Woche nur einen Auftrag nach dem anderen auf einer
Maschine einplanen, die wir noch nie gemacht haben und 20 % Mehraufwand
überhaupt nichts Ungewöhnliches sind, dann sind wir selbst am Terminverzug schuld.
Und wenn ein Werker dem anderen den Hammer aus der Hand nimmt, auf der
anderen Seite aber dann zwei Monate alle fehlen, dann haben wir uns auch hier
ähnlich unklug verhalten. Also haben wir ein vernünftiges Maß zu finden, wie wir in
einer Zeit mit vielen neuen/unsicheren Aufträgen möglicherweise trotz größter
Terminnot stabilisierende Faktoren einbauen, Fremdkapazitäten rechtzeitig involvieren
oder auf alternative Prozesspläne umstellen. Und dann bitte vor der Katastrophe
proaktiv mit einem neuen Plan reagieren.
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3. Modell
Aufgabenstellung
1.
2.
3.
Welche Aufgaben sind im Rahmen der Entscheidungsfindung zu leisten?
Entwickeln Sie eine mögliche Zielfunktion!
Entwickeln Sie ein mathematisches Modell, das wir für die Festlegung der
Bearbeitungsreihenfolgen und -termine verwenden können!
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3. Modell
Aufgabe 3:
Gegeben seien zwei mit einem gespannten Draht verbundene Konservendosen.
Ist das ein „gutes“ Modell zur Erklärung Ihrer Telefonanlage? Was ist Ihrer
Meinung nach der wesentliche Fehler?
Aufgabe 4:
Gegeben sei folgende Rechenaufgabe: „Ein Blumenbeet ist 1,5 m lang. Der
Abstand zwischen 2 Blumen ist 50 cm. Wie viele Blumen stehen in einer Reihe?“
Welches Modell liegt dieser Aufgabe zugrunde?
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3. Modell
Aufgabe 5:
In die Produktionsprogrammplanung (siehe Produktionsplanung und -steuerung) wird
neben den 3 Bohrmaschinen ein externer Dienstleister eingeführt, der beliebig viel
Kapazität bereitstellen kann. Die Kosten für die einzelnen Erzeugnisse sind bekannt.
Wie verändert sich das Modell?
Aufgabe 6:
Die Kosten des externen Dienstleisters sind in allen Fällen (alle Erzeugnisse, alle
Bohrmaschinen) niedriger als die Kosten des Unternehmens. Wie verändert sich das
Modell jetzt?
Was heißt das?
Aufgabe 7:
Das „“-Zeichen für die Erzeugnisse E1, E2, E3, E4 wird in „<„ geändert. Was heißt
das? Und was heißt „“?
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3. Modell
Aufgabe 8:
Produkt I und Produkt II werden aus demselben Rohstoff und auf denselben Maschinen
hergestellt.
Bedarf pro Stück
Prod. I
Prod. II
Verfügbarkeit in
diesem Monat
Rohstoff (kg)
2
1
110
Masch.‘Std. auf A
4
1
160
Masch.‘Std. auf B
2
2
200
Welche Mengen von Prod. I bzw. Prod. II sollen in diesem Monat produziert werden,
damit der Gewinn maximal ausfällt?
Gewinn (€/Stück)
Prod. I
Prod. II
Ziel:
120
40
maximal
(Antwort: 25 Stück Prod. I; 60 Stück Prod. II, erzielbarer Gewinn € 5.400,00)
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3. Modell
Aufgabe 9:
a. Erstellen Sie ein verbales (Sprache + Grafik) Strukturmodell einer Spülmaschine.
Das Modell soll dazu dienen den Wasserfluss im Gerät zu beschreiben.
b. Erstellen Sie ein verbales Verhaltensmodell einer Postfiliale mit 5 Schaltern und
einer gemeinsamen Warteschlange für alle Schalter (bspw. die Filiale in der
Paderborner Liliengasse). Kunden können mitgebrachte Sendungen aufgeben oder
im Laden etwas kaufen. Gehen Sie insbesondere auf das Verhalten der
Warteschlange ein und die Zuordnung von Kunden zu Schaltern.
c. Erstellen Sie ein verbales Funktionsmodell einer gelungenen Silvesterparty.
Beachten Sie die Teilnehmer, den zeitlichen Ablauf, die nötigen Verbrauchs- und
Gebrauchsmittel, den Ort und ggf. die gegenseitigen Abhängigkeiten. Erläutern Sie
Ihre Lösung.
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3. Modell
Modellierung
Modellierung ist der Prozess der Überführung eines Realitätsausschnittes in ein
Modell.
Eine Modellierungsmethode ist eine Methode, mit deren Hilfe ein Subjekt einen
bestimmten Typ von Aufgaben löst, indem es ein Modell herstellt
(zweckentsprechend) und zur Informationsgewinnung über das Original benutzt.
Eine Modellierungsmethode umfasst immer Konstrukte mit spezieller Bedeutung
(Semantik), Regeln zur richtigen Benutzung der Konstrukte (Syntax), und eine
Beschreibung zur Vorgehensweise bei der Modellierung.
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3. Modell
Fertigungsanlage
Slide 114
3. Modell
Konstrukte zur Erstellung der
Ablaufstruktur (unbewegliche
Elemente)
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3. Modell
Eingabe der „beweglichen Elemente“
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3. Modell
Walzwerk
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3. Modell
Entscheidungstabellen „Verteilen von Stellbock / WWZ-Waage“
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3. Modell
Entscheidungstabellen
„Verteilen von Walze /
Verteilen von WWA-Waage“
Entscheidungstabelle
„Verteilen von Pal-Aus“
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3. Modell
Entscheidungstabelle
„Verteilen von Pal-Ein“
Entscheidungstabelle „Verteilen von WW-ÜST“
Slide 120
3. Modell
Kriterien zur Methodenauswahl
Benutzereffizienz
Zeitaufwand für Datensammlung und Aufbereitung, sowie Erstellung einer
korrekten Beschreibung.
Benutzerfreundlichkeit
Erlernbarkeit, die Ergonomie und die Unterstützung des Benutzers.
Eindeutigkeit
Inwiefern wird eine bestimmte Beschreibung von verschiedenen Benutzern so
gleich verstanden, das es keine Widersprüche gibt, und alle notwendigen
Informationen bereit stehen.
Flexibilität
Anwendungsbreite bezüglich unterschiedlicher Aufgaben.
Darstellbarkeit
Welche Sichten sind abbildbar? Wie können sie integriert werden?
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3. Modell
Kriterien zur Methodenauswahl
Interpretierbarkeit
Anschaulichkeit des erstellten Modells. Abhängig von der Modularität, Umfang
und Redundanz der Beschreibung, Übersichtlichkeit und der erforderlichen
Qualifikation des Benutzers.
Veränderung des Detaillierungsgrades
Verfeinerung der Darstellung ebenso wie ggf. die Zusammenfassung zu
übergeordneten Strukturen.
Manipulierbarkeit
Inwiefern können einzelne Elemente verändert werden, und werden
Abhängigkeiten sichtbar?
Analysierbarkeit
Menge an Methoden, mit denen das Modell untersucht werden kann.
Rechnerunterstützung
Existenz von unterstützenden Software-Tools.
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3. Modell
Aufgabe 10:
Zur Modellierung von Produktionssystemen erhalten Sie einen Baukasten
„Fischertechnik“. Diskutieren Sie die Kriterien zur Methodenauswahl.
Aufgabe 11:
a. Beschreiben Sie die wesentlichen Eigenschaften eines Modells
b. Erläutern Sie die Begriffe Abbildungsmerkmal, Verkürzung und Pragmatik.
c. Was bedeutet Struktur- und Verhaltensanalogie?
d. Was ist ein operatives Modell, und über welche Schritte gelangt man zu einem
solchen Modell?
e. Nennen Sie mindestens 5 Kriterien zur Auswahl einer Modellierungsmethode.
f. Gliedern Sie einen handelsüblichen Kompressor-Kühlschrank mit Eisfach in Subund Teilsysteme. Erstellen Sie ein Funktions-, Verhaltens- und Strukturmodell.
g. Systeme lassen sich nach den Kriterien „statisch/dynamisch“ und
„offen/geschlossen“ klassifizieren. Erläutern Sie beide Klassen und geben Sie
jeweils ein Beispiel.