Úhly v trojúhelníku Vlastnosti úhlů v trojúhelníku α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC. γ2 C Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α. γ γ.
Download ReportTranscript Úhly v trojúhelníku Vlastnosti úhlů v trojúhelníku α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC. γ2 C Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α. γ γ.
Slide 1
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Slide 2
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Slide 3
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Slide 4
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Slide 5
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Slide 6
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Slide 2
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Slide 3
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Slide 4
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Slide 5
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.
Slide 6
Úhly v trojúhelníku
Vlastnosti úhlů v trojúhelníku
α, β, γ jsou úhly v trojúhelníku ABC.
γ2 C
Označíme α1 vedlejší úhel k úhlu α.
γ
γ 1
Pro úhly α, α1 platí:
α + α1 = 180°
α1
α
A
Označíme β1 vedlejší úhel k úhlu β.
α2
β
β1
Pro úhly β, β1 platí:
Trojúhelník označujeme ∆.
β2 B
β + β1 = 180°
trojúhelník ABC ..... ∆ ABC
Označíme γ1 vedlejší úhel
k úhlu γ.
α, β, γ jsou vnitřní úhly ∆ ABC.
Pro úhly γ, γ1 platí:
α 1, α 2
γ + γ1 = 180°
β1, β2
jsou vnější úhly ∆ ABC.
Vrcholové úhly k úhlům α2, β2, γ2
γ 1, γ 2
jsou také vedlejšími úhly k úhlům
Vnější úhly jsou vedlejšími úhly
α, β, γ v trojúhelníku ABC.
k vnitřním úhlům ∆ ABC.
Procvičení: učebnice strana 33 – 34, cvičení 1, 2,
pracovní sešit strana 142, cvičení 1, 2.
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
D 90°
45°
90° C
45°
A
45°
90°45°
90°
B
Ve čtverci ABCD jsou všechny úhly pravé,
součet vnitřních úhlů čtverce je tedy
4 · 90° = 360°.
Čtverec je osově souměrný podle osy AC.
Přímka AC je současně i osou úhlů BAD a
BCD. Úhly CAD a ACB mají tedy poloviční
velikost, to je 45°.
Součet vnitřních úhlů v ∆ ABC je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Totéž platí i pro ∆ ACD, součet jeho vnitřních úhlů je 45°+ 90°+ 45° = 180°.
Pro libovolný ∆ ABC platí:
//
C
Bodem C vedeme rovnoběžku s přímkou AB.
α'
γ β'
α' + γ + β' = 180°
Úhly α, α' a β, β' jsou střídavé úhly,
α
platí tedy α = α', β = β'.
A
β
Součet vnitřních úhlů ∆ ABC je
//
B
α + β + γ = 180°
o
Urči velikost zbývajících úhlů v ∆ ABC, je-li α1 = 127° a γ' = 72°.
C
γ2 γ'
γ γ1
A
α1
α2
α
γ a γ' jsou vrcholové úhly.
γ = γ' = 72°
α1 a α jsou vedlejší úhly.
α + α1 = 180° α = 180° – α1
α = 180° – 127°
α = 53°
β
α1 a α2 jsou vrcholové úhly.
β1
β1 B
α1 = α2 = 127°
γ + γ1 = 180° γ1 = 180° – γ
γ1 = 180° – 72°
γ1 = 108°
γ1 a γ2 jsou vrcholové úhly.
γ2 = γ1 = 108°
Pro součet úhlů v trojúhelníku
platí: α + β + γ = 180°
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – (53° + 72°)
β = 55°
β1 = β2 = 180° – 55°
β1 = β2 = 125°
Další vlastnosti úhlů trojúhelníku
γ2
A
α1
α2
C
γ γ1
α
β
β1
β2 B
Součet dvou vnitřních úhlů se rovná
vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu.
Proti většímu úhlu leží delší strana.
Rozdělení úhlů menších než 180°:
0° < α < 90°
α = 90°
ostrý úhel
pravý úhel
α
α
α = 53°
α1 = α2 = 127°
β = 55°
β1 = β2 = 125°
γ = 72°
γ1 = γ2 = 108°
α + β = 53°+ 55° = 108°
α + β = γ1 = 108°
α + γ = 53°+ 72° = 125°
α + γ = β1 = 125°
β + γ = 55°+ 72° = 127°
β + γ = α1 = 127°
90° < α < 180°
tupý úhel
α
Kolik tupých, pravých a ostrých úhlů může být v trojúhelníku?
90° < α < 180°
tupý úhel
Potom β + γ < 90°, to znamená,
γ
že úhly β a γ musí být ostré.
α
β
Tupoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel tupý a dva vnitřní úhly ostré.
α = 90°
pravý úhel
Potom β + γ = 90°, to znamená,
že úhly β a γ musí být ostré.
Pravoúhlý trojúhelník má jeden vnitřní
úhel pravý a dva vnitřní úhly ostré.
γ
α
β
γ
α
β
0° < α < 90°
ostrý úhel
Není-li žádný z úhlů β nebo γ tupý ani
pravý (tzn. trojúhelník není tupoúhlý ani
pravoúhlý), musí být oba úhly β i γ ostré.
Ostroúhlý trojúhelník má všechny
vnitřní úhly ostré.
Urči velikost úhlu β v ∆ ABC, je-li α = 27° 32' a γ = 72° 54'.
Pro součet úhlů v trojúhelníku platí:
α + β + γ = 180°
γ
α
α + γ = 27° 32' + 72° 54'
β
27° 32'
72° 54'
99° 86' = 99° + 1° 26'
= 100° 26'
180°
‒ 100° 26'
179° 60'
‒ 100° 26'
79° 34'
α + γ = 100° 26'
β = 180° – (α + γ)
β = 180° – 100° 26'
β = 79° 34'
Zkouška:
27° 32'
72° 54'
79° 34'
178°120' = 178° + 2° = 180°
Velikost úhlu β je 79° 34'.
Procvičení: učebnice strana 36 – 38, cvičení 3 – 10,
pracovní sešit strana 142 – 144, cvičení 3 – 13.