თვისებები : განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞); არც ლუწია, არც კენტი; თუ b = 0
Download ReportTranscript თვისებები : განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞); არც ლუწია, არც კენტი; თუ b = 0
Slide 1
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 2
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 3
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 4
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 5
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 6
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 7
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 8
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 9
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 10
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 11
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 12
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 13
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 14
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 15
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 16
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 17
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 18
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 19
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 20
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 21
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 22
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 23
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 24
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 25
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 26
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 27
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 28
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 29
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 30
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 31
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 32
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 33
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 34
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 35
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 36
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 37
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 38
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 39
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 40
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 41
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 42
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 43
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 44
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 45
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 46
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 47
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 2
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 3
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 4
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 5
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 6
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 7
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 8
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 9
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 10
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 11
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 12
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 13
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 14
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 15
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 16
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 17
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 18
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 19
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 20
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 21
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 22
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 23
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 24
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 25
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 26
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 27
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 28
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 29
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 30
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 31
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 32
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 33
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 34
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 35
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 36
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 37
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 38
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 39
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 40
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 41
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 42
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 43
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 44
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 45
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 46
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x
Slide 47
თვისებები :
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
არც ლუწია, არც კენტი;
თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია
y
4
x
0
1
1
y
0
4
x
• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.
• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.
y = -1/2 x
x
0
-2
y
y
0
1
1
-2
x
• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.
• განვიხილოთ y= 3x – 7
გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0
y
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7
x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7
y
-7/3
y
7/3
-7
x
-7/3
7/3
-7
x
განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7
2) y = | 3x – 7 |
y
y
7
x
-7
7/3
7/3
x
ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3
x
0
3
y
y
-3
0
3
x
-3
2) y = - |x – 3|
y
3
-3
x
y
3) y = 5 - | x – 3 |
5
5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2
2
3
-2
x
8
y
4) y = | 5 - | x – 3 ||
5
2
-2
3
8
x
ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y
y=5/x
x
• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში
y= - 3/x
y
x
• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
განვიხილოთ
y=
5
x -1
+
2
y
• x -1≠0
x≠1
2
1
x
y
• x=0
y=0
y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2
2
-3/2
1
-3
x
განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|
y
დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x
y = 5/|x|
y
x
2x – 3
განვიხილოთ y =
x+1
•
y =
2x-3
x+1
2(x-3/2)
= x+1
2 (x + 1)
=
x+1
•
y =
2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1
2 ∙ 5/2
=
x+1
-5
+ 2
x+1
2
2 (x+1-5/2)
x+1
5
x+1
x+1≠0
x ≠ -1
y
x=0
y=0
2
-1
3/2
-3
x
y = -3
x = 3/2
=
• განვიხილოთ y =
2x - 3
x+1
y
3
2
-1
3/2
-3
x
განვიხილოთ
y =
3
x + |x|
1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.
y
x > 0 |x| = x , მაშინ
y =
3
3
=
x+x
2x
=
3/2
x
x
k = 3/2 > 0
x<0
y =
|x|= - x
3
x–x
=
3
0
განსაზღვრული არ არის
x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =
+2
0,5 | x – 1 |
x–1≠0
x≠1
x ϵ (-∞;1) (1;+∞)
y
2
1)
x–1>0
x>1
| x – 1 | = x – 1 მაშინ,
1
x–1–x+1
y=
+2=0+2=2
0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.
x
x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))
2x – 2
2 ( x – 1)
+2=
- 0,5(x – 1)
+2 =
+2=-0,5 (x – 1)
გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y
1
-2
x
2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5
გრაფიკის საბოლოო სახეა
y
2
1
x
-2
x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი
განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.
1) y = x ³
y
განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.
y
2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64
x
64
-4
x
3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)
y
-4 -3
(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.
63
x
-1
y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3
y
4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში
63
1
-4 -3
x
ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )
გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC
y
c
.
X0
X1
Y0
X2
x
.c
y
x
y
c
Y0
X0
x
y
Y0
c
X1
X0
X2
x
y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]
X0
x
c
y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის
X0
x
Y0
c
y
0
-1
-5
x
9
1
გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში
.9
1
კვადრატული სამწევრი იშლება:
y
x
y
-2
5
x
ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1
y
6
2
3
x
საბოლოო სახე იქნება:
y
6
-3
-2
2
3
x
y
o
-2
-3
1
x
y
3
2
o
5
1
x
y
4
o
1
x
y
x ფუნქცია და მისი გრაფიკი
x 0 ;
y 0 ;
•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე
•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x 0 y 0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y
I მეოთხედში და აქვს სახე:
0
x
y
განვიხილოთ: y x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0
x
განვიხილოთ:
y
x
•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y ( x ) x x y ( x )
y
0
x
●განვიხილოთ:
y
y
x5
x50
√5
x 5
x 0 მაშინ y
x0
y0
•
5
●განვიხილოთ: y
y
0
-5
x
x52
52
y
x520
x5 2
x5 4
x 1
5 2
0
-5 -1
¦
¦
--------------------2
•
x
●განვიხილოთ: y
x24
ავაგოთ ეტაპობრივად:
1)
y
y
x2
x20
0
2
x2
2) y x 2
y
0
2
x
x
3)
y x24
y
y 0 x240
4 -----•¦
x2 4
¦
0
x 2 16
18
x
2
x 18
4) y
x24
y
4 --- ●
0
¦
¦
¦
2
18
x
y
.1
x
• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :
y
.
1
x
y
.
1
x
y
.
-1
.
1
x
y
.
-2
.
2
x
y
.
-2
x
-1
y
1
0
1
1
.
2
x
y
.
-2
.
-1
1
2
x