Slide 1

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 2

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 3

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 4

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 5

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 6

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 7

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 8

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 9

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 10

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 11

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 12

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 13

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 14

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 15

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 16

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 17

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 18

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 19

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 20

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 21

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 22

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 23

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 24

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 25

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 26

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 27

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 28

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 29

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 30

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 31

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 32

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 33

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 34

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 35

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 36

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 37

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 38

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 39

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 40

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 41

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 42

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 43

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 44

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 45

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 46

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x


Slide 47

თვისებები :

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 არც ლუწია, არც კენტი;
 თუ b = 0 y = k x გამოსახავს პირდაპირპროპორციულ დამოკიდებულებას და
გრაფიკი წარმოადგენს კოორდინატთა სათავეზე გამავალ წრფეს.
• თუ k>0 I და III საკოორდინატო მეოთხედებშია ,ზრდადია და კენტია

y
4

x
0
1
1

y
0
4

x

• თუ k = 1 y=x გრაფიკი წარმოადგენს I და III მეოთხედების ბისექტრისას.

• თუ k<0 II და IV საკოორდინატო მეოთხედებშია, კლებადია და კენტია.

y = -1/2 x
x
0
-2

y

y
0
1

1
-2

x

• თუ k = - 1 y=-x გრაფიკი წარმოადგენს II და IV მეოთხედების ბისექტრისას.

• განვიხილოთ y= 3x – 7

გრაფიკის ასაგებად ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.
X
Y
0
-7
7/3 0

y

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = k |x|+b
• განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞); განსაზღვრულია სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედში;
• y (-x) = k |-x| + b = k |x|+b = y (x) ანუ ფუნქცია ლუწია, გრაფიკი სიმეტრიულია OY
ღერძის მიმართ.
ავაგოთ y = k x + b დადებითი x _ თვის და ავსახოთ OY ღერძის სიმეტრიულად.
განვიხილოთ y = 3|x| – 7

x ≥ 0 მაშინ y = 3x – 7

y

-7/3

y

7/3
-7

x

-7/3

7/3
-7

x

 განვიხილოთ y = | k x+ b |
პირველ რიგში ავაგოთ y = k x + b და გრაფიკის ის ნაწილი რომელიც OX ღერძის
ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ სიმეტრიულად OX ღერძის მიმართ ზედა
ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ მაგალითი y = |3x-7|
1) y = 3x-7

2) y = | 3x – 7 |

y

y

7

x
-7

7/3

7/3

x

 ავაგოთ y = | 5 - | x – 3|| გრაფიკი.
გრაფიკის აგებას დავყოფთ ეტაპებად :
1) y = x – 3

x
0
3

y

y
-3
0

3

x

-3

2) y = - |x – 3|

y

3
-3

x

y

3) y = 5 - | x – 3 |

5

5-|x–3|=0
x – 3 = 5 ან x – 3 = -5
x=8
x = -2

2
3

-2

x

8

y

4) y = | 5 - | x – 3 ||

5
2
-2

3

8

x

 ფუნქცია გამოსახავს უკუპროპორციულ დამოკიდებულებას.

განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
ცვლილების არე : y ϵ (-∞;0) U (0;+∞)
 გრაფიკს ეწოდება ჰიპერბოლა და შედგება 2 შტოსგან
• თუ k>0 შტოები მდებარეობენ I და III მეოთხედებში.
y

y=5/x
x

• თუ k<0 შტოები მდებარეობენ II და IV მეოთხედებში

y= - 3/x

y

x

• ჩვენ განვიხილავთ სქემატურ გრაფიკებს , ანუ არ ვაკეთებთ ზუსტ აგებას, ზუსტად
ვპოულობთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს.

 განვიხილოთ

y=

5
x -1

+

2

y

• x -1≠0
x≠1

2
1

x
y

• x=0
y=0

y = 5/-1 + 2 = -3
5
+ 2=0
x - 1
5 = -2x + 2
2x = -3
x = -3/2

2

-3/2

1
-3

x

 განვიხილოთ y = k/|x|
ფუნქცია ლუწია, ამიტომ ავაგებთ გრაფიკს დადებითი x_თვის და ავსახავთ
სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ მარცხენა ნახევარსიბრტყეში.
განვიხილოთ y = 5/|x|

y

დავუშვათ x > 0 , მაშინ ფუნქცია
იღებს სახეს y = 5/x
x

y = 5/|x|

y

x

2x – 3
 განვიხილოთ y =
x+1
•

y =

2x-3
x+1

2(x-3/2)
= x+1

2 (x + 1)
=
x+1
•

y =

2(x-3/2+1-1)
=
=
x+1

2 ∙ 5/2
=
x+1

-5

+ 2

x+1

2

2 (x+1-5/2)
x+1

5
x+1

x+1≠0

x ≠ -1

y
x=0
y=0
2
-1

3/2
-3

x

y = -3
x = 3/2

=

• განვიხილოთ y =

2x - 3
x+1

y
3
2
-1

3/2
-3

x

 განვიხილოთ

y =

3
x + |x|

1) x ≠ 0
განვიხილოთ ცალკე შემთხვევები : x > 0 და x < 0.

y

x > 0 |x| = x , მაშინ
y =

3

3

=

x+x

2x

=

3/2
x
x

k = 3/2 > 0

x<0
y =

|x|= - x
3

x–x

=

3

0

განსაზღვრული არ არის

x – 1 - | x – 1|
განვიხილოთ y =

+2
0,5 | x – 1 |

x–1≠0
x≠1

x ϵ (-∞;1) (1;+∞)

y
2

1)

x–1>0
x>1

| x – 1 | = x – 1 მაშინ,

1

x–1–x+1

y=

+2=0+2=2
0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = 2 წრფის ნაწილს.

x

x<1
|x – 1|= - (x – 1)
x–1+x-1
y=
0,5(-(x – 1))

2x – 2

2 ( x – 1)

+2=
- 0,5(x – 1)

+2 =

+2=-0,5 (x – 1)

გრაფიკი წარმოადგენს y = - 2 წრფის ნაწილს.
y

1
-2

x

2
+ 2 = -4 + 2 = -2
0,5

გრაფიკის საბოლოო სახეა

y
2
1

x

-2

x = 1 წერტილზე ფუნქციის გრაფიკი გაწყდა, კეროძოდ -2 _დან გადავიდა
2-ში და გახდა მუდმივი

 განვიხილოთ y = | (x+4) ³– 1 |
ავაგოთ გრაფიკი ეტაპობრივად.

1) y = x ³

y

 განსაზღვრის არე: x ϵ (-∞;+∞);
 ცვლილების არე: y ϵ (-∞;+∞);
 ფუნქცია კენტია, ამიტომ გრაფიკი
სიმეტრიულია კოორდინატთა სათავის
მიმართ.
 ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე.

y

2) y = (x +4) ³
y=0 x + 4 = 0
x = -4
x=0 y=64

x

64
-4

x

3) y = (x+4)³ -1
1 ერთეულით გრაფიკი გადმონაცვლდება ქვემოთ
OY ღერძის გასწვრივ, ანუ კოორდინატთა სათავე
(0;0) გადადის წერტილში (-4;-1)

y

-4 -3

(0;0) → (-4;-1)
ვეძებთ საკოორდინატო ღერძებთან გადაკვეთის
წერტილებს.

63
x

-1

y = 0 |(x+4) ³– 1| = 0
(x+4) ³– 1 = 0
(x+4) ³ = 1
x+4=1
x = -3

y

4) y =|(x+4) ³– 1|
წერტილი (-4;-1) გადადის (-4;1)-ში

63
1

-4 -3

x

ზოგადი ფორმულა Y=AX2 + B X + C
განსაზღვრის არე X Ε ( - ∞; + ∞ )

გრაფიკს ეწოდება პარაბოლა
წვეროს კოორდინატები გამოითვლება
ფორმულით:
დისკრიმინანტი D=B2 - 4AC

y

c

.
X0
X1

Y0

X2

x

.c

y

x

y
c

Y0

X0

x

y
Y0
c

X1

X0

X2

x

y
•a<0 D=0
•y0 = 0
•Yϵ (- ∞; 0]

X0
x
c

y
•a<0 D<0
•y ϵ ( -∞ ;y0 ]
•X= X0 წრფე სიმეტრიის
ღერძია კვადრატული
ფუნქციისათვის

X0
x

Y0
c

y

0

-1
-5

x

9

1

გრაფიკის უარყოფითი ნაწილი ox ღერძის ქვემოთ მდებარეობს, ავსახოთ ox
სიმეტრიულად ზედა ნახევარსიბრტყეში

.9

1

კვადრატული სამწევრი იშლება:

y

x

y

-2

5

x

ავაგოთ
• ფუნქცია განსაზღვრულია xϵ(-∞; +∞) ანუ
სათავის მიმართ სიმეტრიულ შუალედში:
• განვიხილოთ x≥0 შემთხვევა, ანუ
ფუნქცია იღებს სახეს:
D=25-24=1

y
6
2

3

x

საბოლოო სახე იქნება:

y
6

-3

-2

2

3

x

y

o
-2
-3

1

x

y
3
2

o

5

1

x

y

4

o

1

x

y 

x ფუნქცია და მისი გრაფიკი

 x  0 ;  
 y  0 ;  

•ფუნქცია ზრდადია მთელს განსაზღვრის არეზე

•ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი
• x  0 y  0 გრაფიკი გადის კოორდინატთა სათავეზე, თავსდება
y

I მეოთხედში და აქვს სახე:

0
x

y

განვიხილოთ: y   x
განსაზღვრის არეა -x≥0
x≤0
0

x

განვიხილოთ:

y

x

•ფუნქცია განსაზღვრულია (−∞; +∞)
•ფუნქცია ლუწია, რადგან განსაზღვრულია
კოორდინატთა სათავის მიმართ სიმეტრიულ
შუალედზე და y (  x )   x  x  y ( x )

y

0

x

●განვიხილოთ:

y 

y

x5

x50

√5

x  5

x  0 მაშინ y 

x0

y0

•

5

●განვიხილოთ: y 
y

0

-5

x

x52
52

y

x520
x5  2
x5 4
x  1

5 2

0
-5 -1
¦
¦
--------------------2

•

x

●განვიხილოთ: y  

x24

ავაგოთ ეტაპობრივად:

1)

y 

y

x2

x20

0
2

x2

2) y   x  2
y

0
2

x

x

3)

y  x24

y

y  0  x240

4 -----•¦

x2 4

¦
0

x  2  16

18

x

2

x  18

4) y  

x24

y
4 --- ●

0

¦
¦
¦

2

18

x

y

.1

x

• თუ 0 < a < 1 , მაშინ ფუნქცია კლებადია და გრაფიკს აქვს შემდეგი სახე :

y

.

1

x

y

.

1

x

y

.

-1

.

1

x

y

.
-2

.
2

x

y

.

-2

x

-1

y

1

0

1
1

.
2

x

y

.
-2

.
-1

1

2

x