ŠKOLA: ČÍSLO PROJEKTU: NÁZEV PROJEKTU: ČÍSLO ŠABLONY: AUTOR: TEMATICKÁ OBLAST: NÁZEV DUMu: POŘADOVÉ ČÍSLO DUMu: KÓD DUMu: DATUM TVORBY: ANOTACE (ROČNÍK): Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna, nám.
Download ReportTranscript ŠKOLA: ČÍSLO PROJEKTU: NÁZEV PROJEKTU: ČÍSLO ŠABLONY: AUTOR: TEMATICKÁ OBLAST: NÁZEV DUMu: POŘADOVÉ ČÍSLO DUMu: KÓD DUMu: DATUM TVORBY: ANOTACE (ROČNÍK): Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna, nám.
Slide 1
ŠKOLA:
ČÍSLO PROJEKTU:
NÁZEV PROJEKTU:
ČÍSLO ŠABLONY:
AUTOR:
TEMATICKÁ OBLAST:
NÁZEV DUMu:
POŘADOVÉ ČÍSLO DUMu:
KÓD DUMu:
DATUM TVORBY:
ANOTACE (ROČNÍK):
Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna,
nám. Míru 6, příspěvková organizace
CZ.1.07/1.5.00/34.1020
Peníze do škol
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Mgr. Vítězslav Kurz
Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika
Příklady na variace, permutace a kombinace bez opak.
11
VY_32_INOVACE_2_3_11_KUR
09.6. 2013
Prezentace je určena pro použití v předmětu Seminář
z matematiky, který je vyučován ve 3. a 4. ročníku. Je
vytvořena k použití ve vyučovací hodině, je možno ji však
použít i k samostudiu při přípravě k maturitě.
Slide 2
Doporučené vzorce
Počet všech variací k-té třídy z n prvků
je:
𝑉 𝑘, 𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 … (𝑛 − 𝑘 + 1)
Počet všech n-členných permutací je
celkem:
𝑃 𝑛 = 𝑛!
Počet všech k-členných kombinací z n
prvků je celkem:𝐾 𝑘, 𝑛 = 𝑛𝑘
Slide 3
Souhrnné příklady – bez opakování
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
Slide 4
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Slide 5
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Záleží tedy na tom v které řadě který automobil stojí a navíc také
na jaké pozici v té řadě stojí.
Slide 6
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Záleží tedy na tom v které řadě který automobil stojí a navíc také
na jaké pozici v té řadě stojí.
Nejdříve vybereme 4 automobily pro umístnění do první řady.
Slide 7
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Záleží tedy na tom v které řadě který automobil stojí a navíc také
na jaké pozici v té řadě stojí.
Nejdříve vybereme 4 automobily pro umístnění do první řady.
8
To lze provést celkem:
způsoby, jelikož nezáleží na pořadí výběru.
4
Slide 8
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Záleží tedy na tom v které řadě který automobil stojí a navíc také
na jaké pozici v té řadě stojí.
Nejdříve vybereme 4 automobily pro umístnění do první řady.
8
To lze provést celkem:
způsoby, jelikož nezáleží na pořadí výběru.
4
Nyní tyto automobily v první řadě rozmístíme na místa.
Slide 9
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Záleží tedy na tom v které řadě který automobil stojí a navíc také
na jaké pozici v té řadě stojí.
Nejdříve vybereme 4 automobily pro umístnění do první řady.
8
To lze provést celkem:
způsoby, jelikož nezáleží na pořadí výběru.
4
Nyní tyto automobily v první řadě rozmístíme na místa.
To lze provést celkem: 4! Způsoby.
Slide 10
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Zbylé 4 automobily už zůstanou ve druhé řadě – nemusíme je vybírat.
Respektive vybereme je už jediným způsobem.
Slide 11
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Zbylé 4 automobily už zůstanou ve druhé řadě – nemusíme je vybírat.
Respektive vybereme je už jediným způsobem.
Opět ale záleží na pořadí v této řadě proto je rozmístíme.
Počet možností rozmístění je 4!.
Slide 12
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Zbylé 4 automobily už zůstanou ve druhé řadě – nemusíme je vybírat.
Respektive vybereme je už jediným způsobem.
Opět ale záleží na pořadí v této řadě proto je rozmístíme.
Počet možností rozmístění je 4!.
Nyní už máme rozmístěny všechny automobily v obou řadách.
Celkový počet možností je tedy roven:
Slide 13
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Zbylé 4 automobily už zůstanou ve druhé řadě – nemusíme je vybírat.
Respektive vybereme je už jediným způsobem.
Opět ale záleží na pořadí v této řadě proto je rozmístíme.
Počet možností rozmístění je 4!.
Nyní už máme rozmístěny všechny automobily v obou řadách.
8
Celkový počet možností je tedy roven: 4 ∙ 4! ∙ 4!
Slide 14
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
b)
V případě, že na pořadí v řadách nezáleží již nemusíme rozmísťovat.
Stačí pouze vybrat 4 automobily pro umístění do první řady.
Slide 15
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
b)
V případě, že na pořadí v řadách nezáleží již nemusíme rozmísťovat.
Stačí pouze vybrat 4 automobily pro umístění do první řady.
Záleží totiž na tom jestli stojím v první nebo druhé řadě.
Počet možností jak vybrat 4 automobily z 8 do první řady je celkem:
Slide 16
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
b)
V případě, že na pořadí v řadách nezáleží již nemusíme rozmísťovat.
Stačí pouze vybrat 4 automobily pro umístění do první řady.
Záleží totiž na tom jestli stojím v první nebo druhé řadě.
Počet možností jak vybrat 4 automobily z 8 do první řady je celkem:
8
4
Slide 17
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Slide 18
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem:
Slide 19
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
způsoby.
Slide 20
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
Vybrat tři pole z 32 bílých jde celkem:
způsoby.
Slide 21
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
32
způsoby.
Vybrat tři pole z 32 bílých jde celkem: 3 způsoby.
Nyní máme vybrány 2 černé a 3 bílé pole. Záleží však kde která
figura stát, protože jsou různé.
Slide 22
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
32
způsoby.
Vybrat tři pole z 32 bílých jde celkem: 3 způsoby.
Nyní máme vybrány 2 černé a 3 bílé pole. Záleží však kde která
figura stát, protože jsou různé. Máme tedy pět pozic pro pět
figur. Počet rozmístění těchto figur je
Slide 23
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
32
způsoby.
Vybrat tři pole z 32 bílých jde celkem: 3 způsoby.
Nyní máme vybrány 2 černé a 3 bílé pole. Záleží však kde která
figura stát, protože jsou různé. Máme tedy pět pozic pro pět
figur. Počet rozmístění těchto figur je 5!.
Celkový počet možností tedy celkem:
Slide 24
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
způsoby.
32
Vybrat tři pole z 32 bílých jde celkem: 3 způsoby.
Nyní máme vybrány 2 černé a 3 bílé pole. Záleží však kde která
figura stát, protože jsou různé. Máme tedy pět pozic pro pět
figur. Počet rozmístění těchto figur je 5!.
Celkový počet možností tedy celkem:
32
2
∙
32
3
∙ 5!
Slide 25
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
a)
Máme slovo BERAN + další tři písmena: O,U,K.
Slide 26
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
a)
Máme slovo BERAN + další tři písmena: O,U,K.
Slovo BERAN budeme brát jako jeden celek, další tři písmena jako
Další tři celky. Dohromady máme tedy 4 celky. Počet rozmístění
čtyř celků je:
Slide 27
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
a)
Máme slovo BERAN + další tři písmena: O,U,K.
Slovo BERAN budeme brát jako jeden celek, další tři písmena jako
Další tři celky. Dohromady máme tedy 4 celky. Počet rozmístění
čtyř celků je: 4!
Slide 28
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
b)
Máme slova NERO,KUBA. Tyto dvě slova obsahují všechna písmena.
Slide 29
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
b)
Máme slova NERO,KUBA. Tyto dvě slova obsahují všechna písmena.
Jde nám tedy o to, kolika způsoby můžeme přemístit tato dvě slova tak,
aby vzniklo jedno slovo. Možnosti máme zjevně buď:
Slide 30
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
b)
Máme slova NERO,KUBA. Tyto dvě slova obsahují všechna písmena.
Jde nám tedy o to, kolika způsoby můžeme přemístit tato dvě slova tak,
aby vzniklo jedno slovo. Možnosti máme zjevně buď:
NEROKUBA nebo KUBANERO.
Slide 31
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
b)
Máme slova NERO,KUBA. Tyto dvě slova obsahují všechna písmena.
Jde nám tedy o to, kolika způsoby můžeme přemístit tato dvě slova tak,
aby vzniklo jedno slovo. Možnosti máme zjevně buď:
NEROKUBA nebo KUBANERO.
Celkem tedy pouze tyto dvě možnosti.
Slide 32
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
c)
Máme slova BUK,NORA a zůstane nám ještě písmeno E.
Slide 33
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
c)
Máme slova BUK,NORA a zůstane nám ještě písmeno E.
Možností seřadit tyto tři celky je celkem: 3!
Můžeme si je vypsat:
Slide 34
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
c)
Máme slova BUK,NORA a zůstane nám ještě písmeno E.
Možností seřadit tyto tři celky je celkem: 3!
Můžeme si je vypsat:
BUKNORAE
BUKENORA
NORABUKE
NORAEBUK
ENORABUK
EBUKNORA
Slide 35
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
c)
Máme slova BUK,NORA a zůstane nám ještě písmeno E.
Možností seřadit tyto tři celky je celkem: 3!
Můžeme si je vypsat:
BUKNORAE
BUKENORA
NORABUKE
NORAEBUK
ENORABUK
EBUKNORA
Tedy celkem 6 možností.
Slide 36
• Závěrečná strana
ŠKOLA:
ČÍSLO PROJEKTU:
NÁZEV PROJEKTU:
ČÍSLO ŠABLONY:
AUTOR:
TEMATICKÁ OBLAST:
NÁZEV DUMu:
POŘADOVÉ ČÍSLO DUMu:
KÓD DUMu:
DATUM TVORBY:
ANOTACE (ROČNÍK):
Městská střední odborná škola, Klobouky u Brna,
nám. Míru 6, příspěvková organizace
CZ.1.07/1.5.00/34.1020
Peníze do škol
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Mgr. Vítězslav Kurz
Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika
Příklady na variace, permutace a kombinace bez opak.
11
VY_32_INOVACE_2_3_11_KUR
09.6. 2013
Prezentace je určena pro použití v předmětu Seminář
z matematiky, který je vyučován ve 3. a 4. ročníku. Je
vytvořena k použití ve vyučovací hodině, je možno ji však
použít i k samostudiu při přípravě k maturitě.
Slide 2
Doporučené vzorce
Počet všech variací k-té třídy z n prvků
je:
𝑉 𝑘, 𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛 − 2 … (𝑛 − 𝑘 + 1)
Počet všech n-členných permutací je
celkem:
𝑃 𝑛 = 𝑛!
Počet všech k-členných kombinací z n
prvků je celkem:𝐾 𝑘, 𝑛 = 𝑛𝑘
Slide 3
Souhrnné příklady – bez opakování
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
Slide 4
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Slide 5
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Záleží tedy na tom v které řadě který automobil stojí a navíc také
na jaké pozici v té řadě stojí.
Slide 6
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Záleží tedy na tom v které řadě který automobil stojí a navíc také
na jaké pozici v té řadě stojí.
Nejdříve vybereme 4 automobily pro umístnění do první řady.
Slide 7
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Záleží tedy na tom v které řadě který automobil stojí a navíc také
na jaké pozici v té řadě stojí.
Nejdříve vybereme 4 automobily pro umístnění do první řady.
8
To lze provést celkem:
způsoby, jelikož nezáleží na pořadí výběru.
4
Slide 8
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Záleží tedy na tom v které řadě který automobil stojí a navíc také
na jaké pozici v té řadě stojí.
Nejdříve vybereme 4 automobily pro umístnění do první řady.
8
To lze provést celkem:
způsoby, jelikož nezáleží na pořadí výběru.
4
Nyní tyto automobily v první řadě rozmístíme na místa.
Slide 9
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Osm automobilů po čtyřech v každé řadě, budeme rozmísťovat
celkem do dvou řad.
Záleží tedy na tom v které řadě který automobil stojí a navíc také
na jaké pozici v té řadě stojí.
Nejdříve vybereme 4 automobily pro umístnění do první řady.
8
To lze provést celkem:
způsoby, jelikož nezáleží na pořadí výběru.
4
Nyní tyto automobily v první řadě rozmístíme na místa.
To lze provést celkem: 4! Způsoby.
Slide 10
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Zbylé 4 automobily už zůstanou ve druhé řadě – nemusíme je vybírat.
Respektive vybereme je už jediným způsobem.
Slide 11
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Zbylé 4 automobily už zůstanou ve druhé řadě – nemusíme je vybírat.
Respektive vybereme je už jediným způsobem.
Opět ale záleží na pořadí v této řadě proto je rozmístíme.
Počet možností rozmístění je 4!.
Slide 12
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Zbylé 4 automobily už zůstanou ve druhé řadě – nemusíme je vybírat.
Respektive vybereme je už jediným způsobem.
Opět ale záleží na pořadí v této řadě proto je rozmístíme.
Počet možností rozmístění je 4!.
Nyní už máme rozmístěny všechny automobily v obou řadách.
Celkový počet možností je tedy roven:
Slide 13
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
a)
Zbylé 4 automobily už zůstanou ve druhé řadě – nemusíme je vybírat.
Respektive vybereme je už jediným způsobem.
Opět ale záleží na pořadí v této řadě proto je rozmístíme.
Počet možností rozmístění je 4!.
Nyní už máme rozmístěny všechny automobily v obou řadách.
8
Celkový počet možností je tedy roven: 4 ∙ 4! ∙ 4!
Slide 14
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
b)
V případě, že na pořadí v řadách nezáleží již nemusíme rozmísťovat.
Stačí pouze vybrat 4 automobily pro umístění do první řady.
Slide 15
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
b)
V případě, že na pořadí v řadách nezáleží již nemusíme rozmísťovat.
Stačí pouze vybrat 4 automobily pro umístění do první řady.
Záleží totiž na tom jestli stojím v první nebo druhé řadě.
Počet možností jak vybrat 4 automobily z 8 do první řady je celkem:
Slide 16
Příklad 1
Př.1: Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm
Závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže:
a) V každé řadě záleží na pořadí
b) Na pořadí v řadách nezáleží
b)
V případě, že na pořadí v řadách nezáleží již nemusíme rozmísťovat.
Stačí pouze vybrat 4 automobily pro umístění do první řady.
Záleží totiž na tom jestli stojím v první nebo druhé řadě.
Počet možností jak vybrat 4 automobily z 8 do první řady je celkem:
8
4
Slide 17
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Slide 18
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem:
Slide 19
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
způsoby.
Slide 20
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
Vybrat tři pole z 32 bílých jde celkem:
způsoby.
Slide 21
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
32
způsoby.
Vybrat tři pole z 32 bílých jde celkem: 3 způsoby.
Nyní máme vybrány 2 černé a 3 bílé pole. Záleží však kde která
figura stát, protože jsou různé.
Slide 22
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
32
způsoby.
Vybrat tři pole z 32 bílých jde celkem: 3 způsoby.
Nyní máme vybrány 2 černé a 3 bílé pole. Záleží však kde která
figura stát, protože jsou různé. Máme tedy pět pozic pro pět
figur. Počet rozmístění těchto figur je
Slide 23
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
32
způsoby.
Vybrat tři pole z 32 bílých jde celkem: 3 způsoby.
Nyní máme vybrány 2 černé a 3 bílé pole. Záleží však kde která
figura stát, protože jsou různé. Máme tedy pět pozic pro pět
figur. Počet rozmístění těchto figur je 5!.
Celkový počet možností tedy celkem:
Slide 24
Příklad 2
Př.2: Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8x8 postavit
pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.
Nejdříve si vypočítáme počet možností nalezení dvou černých a
tří bílých polí.
Černých polí je zde celkem 32, bílých polí je zde také 32.
32
Vybrat dvě pole z 32 černých můžeme celkem: 2
Nezáleží totiž na pořadí výběru konkrétních polí.
způsoby.
32
Vybrat tři pole z 32 bílých jde celkem: 3 způsoby.
Nyní máme vybrány 2 černé a 3 bílé pole. Záleží však kde která
figura stát, protože jsou různé. Máme tedy pět pozic pro pět
figur. Počet rozmístění těchto figur je 5!.
Celkový počet možností tedy celkem:
32
2
∙
32
3
∙ 5!
Slide 25
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
a)
Máme slovo BERAN + další tři písmena: O,U,K.
Slide 26
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
a)
Máme slovo BERAN + další tři písmena: O,U,K.
Slovo BERAN budeme brát jako jeden celek, další tři písmena jako
Další tři celky. Dohromady máme tedy 4 celky. Počet rozmístění
čtyř celků je:
Slide 27
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
a)
Máme slovo BERAN + další tři písmena: O,U,K.
Slovo BERAN budeme brát jako jeden celek, další tři písmena jako
Další tři celky. Dohromady máme tedy 4 celky. Počet rozmístění
čtyř celků je: 4!
Slide 28
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
b)
Máme slova NERO,KUBA. Tyto dvě slova obsahují všechna písmena.
Slide 29
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
b)
Máme slova NERO,KUBA. Tyto dvě slova obsahují všechna písmena.
Jde nám tedy o to, kolika způsoby můžeme přemístit tato dvě slova tak,
aby vzniklo jedno slovo. Možnosti máme zjevně buď:
Slide 30
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
b)
Máme slova NERO,KUBA. Tyto dvě slova obsahují všechna písmena.
Jde nám tedy o to, kolika způsoby můžeme přemístit tato dvě slova tak,
aby vzniklo jedno slovo. Možnosti máme zjevně buď:
NEROKUBA nebo KUBANERO.
Slide 31
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
b)
Máme slova NERO,KUBA. Tyto dvě slova obsahují všechna písmena.
Jde nám tedy o to, kolika způsoby můžeme přemístit tato dvě slova tak,
aby vzniklo jedno slovo. Možnosti máme zjevně buď:
NEROKUBA nebo KUBANERO.
Celkem tedy pouze tyto dvě možnosti.
Slide 32
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
c)
Máme slova BUK,NORA a zůstane nám ještě písmeno E.
Slide 33
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
c)
Máme slova BUK,NORA a zůstane nám ještě písmeno E.
Možností seřadit tyto tři celky je celkem: 3!
Můžeme si je vypsat:
Slide 34
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
c)
Máme slova BUK,NORA a zůstane nám ještě písmeno E.
Možností seřadit tyto tři celky je celkem: 3!
Můžeme si je vypsat:
BUKNORAE
BUKENORA
NORABUKE
NORAEBUK
ENORABUK
EBUKNORA
Slide 35
Příklad 3
Př. 3: Určete, kolika způsoby lze „přemístit“ písmena slova BEROUNKA
Tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila:
a) Slovo BERAN
b) Slova NERO,KUBA v libovolném pořadí
c) Slova BUK,NORA v libovolném pořadí
c)
Máme slova BUK,NORA a zůstane nám ještě písmeno E.
Možností seřadit tyto tři celky je celkem: 3!
Můžeme si je vypsat:
BUKNORAE
BUKENORA
NORABUKE
NORAEBUK
ENORABUK
EBUKNORA
Tedy celkem 6 možností.
Slide 36
• Závěrečná strana