利澤國中－ 劉凱元老師 數學真奧妙 鑲嵌圖形 艾薛爾M. C. Escher (1898-1972) • 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能 是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學 家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承 認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時 期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它 科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式 畢業。 • 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決 定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至 於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授 繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終 於如願的轉到德氏門下改學繪畫。 利澤國中－ 劉凱元老師 故事分享 • 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學 校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡 頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出 來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友， 他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜 他們一定都不知道，其實我根本一點都不 了解數學是什麼。」 利澤國中－ 劉凱元老師 • Escher不時地將「平面幾何」 與「射影幾何」概念融入作品， 深刻反應歐氏與非歐幾何的精 髓。 利澤國中－ 劉凱元老師 1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘 地中海貨輪經西班牙抵達比利時。 途中在西班牙的短暫停留，對於艾 薛爾後期的畫作有重大的影響，艾 薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩 爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』 （摩爾人原住非洲西北部，八世紀 時曾占據西班牙）。這些摩爾人用 於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是 艾薛爾日後創作規則性平面填充畫 的主要靈感來源。 利澤國中－ 劉凱元老師 天與水 Sky and Water 利澤國中－ 劉凱元老師 白天與黑夜 利澤國中－ 劉凱元老師 是天使？還是惡魔？ 利澤國中－ 劉凱元老師 是貝殼?還是海星? 利澤國中－ 劉凱元老師 利澤國中－ 劉凱元老師 他是怎麼辦到的？ 利澤國中－ 劉凱元老師 利澤國中－ 劉凱元老師 利澤國中－ 劉凱元老師 三交叉平面 利澤國中－ 劉凱元老師 瀑布 Waterfall 利澤國中－ 劉凱元老師 腦力激盪 • 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀， 再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也 可以成為小小數學藝術家喔！ 利澤國中－ 劉凱元老師 完成 利澤國中－ 劉凱元老師 完成 利澤國中－ 劉凱元老師 學生作品《鳥》 2009 林孟穎 利澤國中－ 劉凱元老師 完成 利澤國中－ 劉凱元老師 • 圖片來源： • http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop EU/facsprints-ch/prints.html 利澤國中－ 劉凱元老師 艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非 完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall) 是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所 繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此 美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？ 三角棍 利澤國中－ 劉凱元老師 利澤國中－ 劉凱元老師 利澤國中－ 劉凱元老師 這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？ 利澤國中－ 劉凱元老師 有沒有哪裡怪怪的？ 利澤國中－ 劉凱元老師 電影哈利波特魔法學園的原理 利澤國中－ 劉凱元老師 利澤國中－ 劉凱元老師.
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
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瀑布 Waterfall
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腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
利澤國中－
劉凱元老師
完成
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完成
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學生作品《鳥》 2009 林孟穎
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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劉凱元老師
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劉凱元老師
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劉凱元老師
這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
利澤國中－
劉凱元老師
有沒有哪裡怪怪的？
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電影哈利波特魔法學園的原理
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
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三交叉平面
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瀑布 Waterfall
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腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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完成
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
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有沒有哪裡怪怪的？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
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故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
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利澤國中－
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
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故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
劉凱元老師
天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
利澤國中－
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劉凱元老師
三交叉平面
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劉凱元老師
瀑布 Waterfall
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• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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利澤國中－
劉凱元老師
艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
利澤國中－
劉凱元老師
利澤國中－
劉凱元老師
利澤國中－
劉凱元老師
這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
利澤國中－
劉凱元老師
有沒有哪裡怪怪的？
利澤國中－
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電影哈利波特魔法學園的原理
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劉凱元老師
數學真奧妙
鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
劉凱元老師
天與水 Sky and Water
利澤國中－
劉凱元老師
白天與黑夜
利澤國中－
劉凱元老師
是天使？還是惡魔？
利澤國中－
劉凱元老師
是貝殼?還是海星?
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劉凱元老師
他是怎麼辦到的？
利澤國中－
劉凱元老師
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三交叉平面
利澤國中－
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瀑布 Waterfall
利澤國中－
劉凱元老師
腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
完成
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劉凱元老師
學生作品《鳥》 2009 林孟穎
利澤國中－
劉凱元老師
完成
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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有沒有哪裡怪怪的？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
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故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
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是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
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與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
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是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
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科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
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頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
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他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
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他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
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是天使？還是惡魔？
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家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
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是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
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定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
劉凱元老師
天與水 Sky and Water
利澤國中－
劉凱元老師
白天與黑夜
利澤國中－
劉凱元老師
是天使？還是惡魔？
利澤國中－
劉凱元老師
是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
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三交叉平面
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瀑布 Waterfall
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腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
利澤國中－
劉凱元老師
完成
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劉凱元老師
完成
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劉凱元老師
學生作品《鳥》 2009 林孟穎
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
• 圖片來源：
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html
利澤國中－
劉凱元老師
艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
利澤國中－
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劉凱元老師
這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
利澤國中－
劉凱元老師
有沒有哪裡怪怪的？
利澤國中－
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電影哈利波特魔法學園的原理
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數學真奧妙
鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
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故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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瀑布 Waterfall
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• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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學生作品《鳥》 2009 林孟穎
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
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有沒有哪裡怪怪的？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
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他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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是天使？還是惡魔？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
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Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
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他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
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薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
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家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
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Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
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他是怎麼辦到的？
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三交叉平面
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瀑布 Waterfall
利澤國中－
劉凱元老師
腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
利澤國中－
劉凱元老師
完成
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完成
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學生作品《鳥》 2009 林孟穎
利澤國中－
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完成
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劉凱元老師
• 圖片來源：
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html
利澤國中－
劉凱元老師
艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
利澤國中－
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
利澤國中－
劉凱元老師
有沒有哪裡怪怪的？
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電影哈利波特魔法學園的原理
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數學真奧妙
鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
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• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
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有沒有哪裡怪怪的？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
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Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
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來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
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他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
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是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
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鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
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他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
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薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
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爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
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利澤國中－
劉凱元老師
數學真奧妙
鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
劉凱元老師
天與水 Sky and Water
利澤國中－
劉凱元老師
白天與黑夜
利澤國中－
劉凱元老師
是天使？還是惡魔？
利澤國中－
劉凱元老師
是貝殼?還是海星?
利澤國中－
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劉凱元老師
他是怎麼辦到的？
利澤國中－
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劉凱元老師
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三交叉平面
利澤國中－
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瀑布 Waterfall
利澤國中－
劉凱元老師
腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
學生作品《鳥》 2009 林孟穎
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
• 圖片來源：
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html
利澤國中－
劉凱元老師
艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
利澤國中－
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利澤國中－
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劉凱元老師
這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
利澤國中－
劉凱元老師
有沒有哪裡怪怪的？
利澤國中－
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電影哈利波特魔法學園的原理
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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三交叉平面
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瀑布 Waterfall
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腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
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有沒有哪裡怪怪的？
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• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
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• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
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地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
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• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
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繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
劉凱元老師
天與水 Sky and Water
利澤國中－
劉凱元老師
白天與黑夜
利澤國中－
劉凱元老師
是天使？還是惡魔？
利澤國中－
劉凱元老師
是貝殼?還是海星?
利澤國中－
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他是怎麼辦到的？
利澤國中－
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三交叉平面
利澤國中－
劉凱元老師
瀑布 Waterfall
利澤國中－
劉凱元老師
腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
學生作品《鳥》 2009 林孟穎
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
• 圖片來源：
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html
利澤國中－
劉凱元老師
艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
利澤國中－
劉凱元老師
利澤國中－
劉凱元老師
利澤國中－
劉凱元老師
這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
利澤國中－
劉凱元老師
有沒有哪裡怪怪的？
利澤國中－
劉凱元老師
電影哈利波特魔法學園的原理
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數學真奧妙
鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
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瀑布 Waterfall
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腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
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有沒有哪裡怪怪的？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
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故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
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（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
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他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
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薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
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爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
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他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
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時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
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白天與黑夜
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
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繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
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薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
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家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
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地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
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利澤國中－
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
利澤國中－
劉凱元老師
利澤國中－
劉凱元老師
利澤國中－
劉凱元老師
這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
利澤國中－
劉凱元老師
有沒有哪裡怪怪的？
利澤國中－
劉凱元老師
電影哈利波特魔法學園的原理
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劉凱元老師
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劉凱元老師
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劉凱元老師
數學真奧妙
鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
劉凱元老師
天與水 Sky and Water
利澤國中－
劉凱元老師
白天與黑夜
利澤國中－
劉凱元老師
是天使？還是惡魔？
利澤國中－
劉凱元老師
是貝殼?還是海星?
利澤國中－
劉凱元老師
利澤國中－
劉凱元老師
他是怎麼辦到的？
利澤國中－
劉凱元老師
利澤國中－
劉凱元老師
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劉凱元老師
三交叉平面
利澤國中－
劉凱元老師
瀑布 Waterfall
利澤國中－
劉凱元老師
腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
學生作品《鳥》 2009 林孟穎
利澤國中－
劉凱元老師
完成
利澤國中－
劉凱元老師
• 圖片來源：
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html
利澤國中－
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
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有沒有哪裡怪怪的？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
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三交叉平面
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瀑布 Waterfall
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腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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學生作品《鳥》 2009 林孟穎
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
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於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
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劉凱元老師
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
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來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
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他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
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是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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劉凱元老師
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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利澤國中－
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
劉凱元老師
天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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瀑布 Waterfall
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
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鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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利澤國中－
劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
劉凱元老師
天與水 Sky and Water
利澤國中－
劉凱元老師
白天與黑夜
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劉凱元老師
是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
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家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
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繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
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薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
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爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
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家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
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於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
劉凱元老師
• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中－
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天與水 Sky and Water
利澤國中－
劉凱元老師
白天與黑夜
利澤國中－
劉凱元老師
是天使？還是惡魔？
利澤國中－
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是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
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三交叉平面
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瀑布 Waterfall
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腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
利澤國中－
劉凱元老師
完成
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完成
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劉凱元老師
學生作品《鳥》 2009 林孟穎
利澤國中－
劉凱元老師
完成
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劉凱元老師
• 圖片來源：
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html
利澤國中－
劉凱元老師
艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
利澤國中－
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劉凱元老師
這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
利澤國中－
劉凱元老師
有沒有哪裡怪怪的？
利澤國中－
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電影哈利波特魔法學園的原理
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數學真奧妙
鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
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故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
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瀑布 Waterfall
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腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
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有沒有哪裡怪怪的？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
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是天使？還是惡魔？
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是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
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繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
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校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
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深刻反應歐氏與非歐幾何的精
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
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三交叉平面
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瀑布 Waterfall
利澤國中－
劉凱元老師
腦力激盪
• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
利澤國中－
劉凱元老師
完成
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完成
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學生作品《鳥》 2009 林孟穎
利澤國中－
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完成
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劉凱元老師
• 圖片來源：
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
利澤國中－
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
利澤國中－
劉凱元老師
有沒有哪裡怪怪的？
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電影哈利波特魔法學園的原理
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數學真奧妙
鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
劉凱元老師
故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
利澤國中－
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
利澤國中－
劉凱元老師
1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water
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白天與黑夜
利澤國中－
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是天使？還是惡魔？
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是貝殼?還是海星?
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他是怎麼辦到的？
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再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
美麗的景色卻無法在現實世界中見到，為什麼呢？
三角棍
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方？
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有沒有哪裡怪怪的？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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是天使？還是惡魔？
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完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車，瀑布如此
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
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Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
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來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
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了解數學是什麼。」
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與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
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是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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是天使？還是惡魔？
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• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀，
再將之組合成圖三的樣子，發揮想像力，你也
可以成為小小數學藝術家喔！
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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鑲嵌圖形
艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
定讓艾薛爾攻讀建築，如此可發揮他的藝術天份，也不至
於斷了生計。但不久之後，艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中－
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故事分享
• 艾薛爾自己說：「絕不是我誇張，我在學
校的數學從來沒有及格過，真的！我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩，現在我有好些數學家朋友，
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道，其實我根本一點都不
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品，
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。
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1936年春天，艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
時曾占據西班牙）。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案，便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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是天使？還是惡魔？
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家，對艾薛爾的畫都驚嘆不已，但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇，卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想，除了每週兩次的美術課外，對其它
科目完全沒有興趣，中學時曾留級兩次，最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師，經過多方考量之後，決
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Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意，終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留，對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響，艾
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爾人（Moor）的『鑲嵌裝飾藝術』
（摩爾人原住非洲西北部，八世紀
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艾薛爾的繪畫中，雖然許多具有原創性，但並非
完全是憑空想像而來，如下圖中的瀑布(Waterfall)
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