利澤國中- 劉凱元老師 數學真奧妙 鑲嵌圖形 艾薛爾M. C. Escher (1898-1972) • 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能 是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學 家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承 認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時 期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它 科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式 畢業。 • 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決 定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至 於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授 繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終 於如願的轉到德氏門下改學繪畫。 利澤國中- 劉凱元老師 故事分享 • 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學 校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡 頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出 來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友, 他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜 他們一定都不知道,其實我根本一點都不 了解數學是什麼。」 利澤國中- 劉凱元老師 • Escher不時地將「平面幾何」 與「射影幾何」概念融入作品, 深刻反應歐氏與非歐幾何的精 髓。 利澤國中- 劉凱元老師 1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘 地中海貨輪經西班牙抵達比利時。 途中在西班牙的短暫停留,對於艾 薛爾後期的畫作有重大的影響,艾 薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩 爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』 (摩爾人原住非洲西北部,八世紀 時曾占據西班牙)。這些摩爾人用 於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是 艾薛爾日後創作規則性平面填充畫 的主要靈感來源。 利澤國中- 劉凱元老師 天與水 Sky and Water 利澤國中- 劉凱元老師 白天與黑夜 利澤國中- 劉凱元老師 是天使?還是惡魔? 利澤國中- 劉凱元老師 是貝殼?還是海星? 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師 他是怎麼辦到的? 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師 三交叉平面 利澤國中- 劉凱元老師 瀑布 Waterfall 利澤國中- 劉凱元老師 腦力激盪 • 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀, 再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也 可以成為小小數學藝術家喔! 利澤國中- 劉凱元老師 完成 利澤國中- 劉凱元老師 完成 利澤國中- 劉凱元老師 學生作品《鳥》 2009 林孟穎 利澤國中- 劉凱元老師 完成 利澤國中- 劉凱元老師 • 圖片來源: • http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop EU/facsprints-ch/prints.html 利澤國中- 劉凱元老師 艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非 完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall) 是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所 繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此 美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢? 三角棍 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師 這幅畫有沒有什麼奇怪的地方? 利澤國中- 劉凱元老師 有沒有哪裡怪怪的? 利澤國中- 劉凱元老師 電影哈利波特魔法學園的原理 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師.

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Transcript 利澤國中- 劉凱元老師 數學真奧妙 鑲嵌圖形 艾薛爾M. C. Escher (1898-1972) • 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能 是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學 家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承 認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時 期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它 科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式 畢業。 • 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決 定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至 於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授 繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終 於如願的轉到德氏門下改學繪畫。 利澤國中- 劉凱元老師 故事分享 • 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學 校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡 頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出 來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友, 他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜 他們一定都不知道,其實我根本一點都不 了解數學是什麼。」 利澤國中- 劉凱元老師 • Escher不時地將「平面幾何」 與「射影幾何」概念融入作品, 深刻反應歐氏與非歐幾何的精 髓。 利澤國中- 劉凱元老師 1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘 地中海貨輪經西班牙抵達比利時。 途中在西班牙的短暫停留,對於艾 薛爾後期的畫作有重大的影響,艾 薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩 爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』 (摩爾人原住非洲西北部,八世紀 時曾占據西班牙)。這些摩爾人用 於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是 艾薛爾日後創作規則性平面填充畫 的主要靈感來源。 利澤國中- 劉凱元老師 天與水 Sky and Water 利澤國中- 劉凱元老師 白天與黑夜 利澤國中- 劉凱元老師 是天使?還是惡魔? 利澤國中- 劉凱元老師 是貝殼?還是海星? 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師 他是怎麼辦到的? 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師 三交叉平面 利澤國中- 劉凱元老師 瀑布 Waterfall 利澤國中- 劉凱元老師 腦力激盪 • 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀, 再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也 可以成為小小數學藝術家喔! 利澤國中- 劉凱元老師 完成 利澤國中- 劉凱元老師 完成 利澤國中- 劉凱元老師 學生作品《鳥》 2009 林孟穎 利澤國中- 劉凱元老師 完成 利澤國中- 劉凱元老師 • 圖片來源: • http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop EU/facsprints-ch/prints.html 利澤國中- 劉凱元老師 艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非 完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall) 是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所 繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此 美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢? 三角棍 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師 這幅畫有沒有什麼奇怪的地方? 利澤國中- 劉凱元老師 有沒有哪裡怪怪的? 利澤國中- 劉凱元老師 電影哈利波特魔法學園的原理 利澤國中- 劉凱元老師 利澤國中- 劉凱元老師.

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數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
劉凱元老師

故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中-
劉凱元老師

天與水 Sky and Water

利澤國中-
劉凱元老師

白天與黑夜

利澤國中-
劉凱元老師

是天使?還是惡魔?

利澤國中-
劉凱元老師

是貝殼?還是海星?

利澤國中-
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劉凱元老師

他是怎麼辦到的?

利澤國中-
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劉凱元老師

三交叉平面

利澤國中-
劉凱元老師

瀑布 Waterfall

利澤國中-
劉凱元老師

腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

利澤國中-
劉凱元老師

完成
利澤國中-
劉凱元老師

完成
利澤國中-
劉凱元老師

學生作品《鳥》 2009 林孟穎

利澤國中-
劉凱元老師

完成
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• 圖片來源:
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html

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劉凱元老師

艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

利澤國中-
劉凱元老師

有沒有哪裡怪怪的?

利澤國中-
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電影哈利波特魔法學園的原理

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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
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故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

利澤國中-
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是天使?還是惡魔?

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劉凱元老師

是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

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瀑布 Waterfall

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腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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完成
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完成
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學生作品《鳥》 2009 林孟穎

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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

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有沒有哪裡怪怪的?

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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
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故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中-
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

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瀑布 Waterfall

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腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中-
劉凱元老師

天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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完成
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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

利澤國中-
劉凱元老師

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劉凱元老師

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劉凱元老師

這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

利澤國中-
劉凱元老師

有沒有哪裡怪怪的?

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電影哈利波特魔法學園的原理

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數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中-
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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劉凱元老師

他是怎麼辦到的?

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劉凱元老師

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劉凱元老師

三交叉平面

利澤國中-
劉凱元老師

瀑布 Waterfall

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劉凱元老師

腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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學生作品《鳥》 2009 林孟穎

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EU/facsprints-ch/prints.html

利澤國中-
劉凱元老師

艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

利澤國中-
劉凱元老師

有沒有哪裡怪怪的?

利澤國中-
劉凱元老師

電影哈利波特魔法學園的原理

利澤國中-
劉凱元老師

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劉凱元老師


Slide 6

利澤國中-
劉凱元老師

數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
劉凱元老師

故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中-
劉凱元老師

天與水 Sky and Water

利澤國中-
劉凱元老師

白天與黑夜

利澤國中-
劉凱元老師

是天使?還是惡魔?

利澤國中-
劉凱元老師

是貝殼?還是海星?

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

他是怎麼辦到的?

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

三交叉平面

利澤國中-
劉凱元老師

瀑布 Waterfall

利澤國中-
劉凱元老師

腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

利澤國中-
劉凱元老師

完成
利澤國中-
劉凱元老師

完成
利澤國中-
劉凱元老師

學生作品《鳥》 2009 林孟穎

利澤國中-
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完成
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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

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有沒有哪裡怪怪的?

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電影哈利波特魔法學園的原理

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數學真奧妙
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
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故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

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瀑布 Waterfall

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腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

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有沒有哪裡怪怪的?

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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

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• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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完成
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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

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有沒有哪裡怪怪的?

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數學真奧妙
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
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於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
劉凱元老師

故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

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瀑布 Waterfall

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腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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完成
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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
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是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

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數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
劉凱元老師

故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
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利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
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• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
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家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
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Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
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校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
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再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
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家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
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定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
劉凱元老師

故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中-
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天與水 Sky and Water

利澤國中-
劉凱元老師

白天與黑夜

利澤國中-
劉凱元老師

是天使?還是惡魔?

利澤國中-
劉凱元老師

是貝殼?還是海星?

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劉凱元老師

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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

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瀑布 Waterfall

利澤國中-
劉凱元老師

腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

利澤國中-
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完成
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完成
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劉凱元老師

學生作品《鳥》 2009 林孟穎

利澤國中-
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完成
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劉凱元老師

• 圖片來源:
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html

利澤國中-
劉凱元老師

艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

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劉凱元老師

這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

利澤國中-
劉凱元老師

有沒有哪裡怪怪的?

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電影哈利波特魔法學園的原理

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數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

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瀑布 Waterfall

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腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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完成
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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

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有沒有哪裡怪怪的?

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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

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有沒有哪裡怪怪的?

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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
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故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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瀑布 Waterfall

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• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

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有沒有哪裡怪怪的?

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數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
劉凱元老師

故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

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鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
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科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
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繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
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深刻反應歐氏與非歐幾何的精
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1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
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鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
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家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
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Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
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地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

利澤國中-
劉凱元老師

瀑布 Waterfall

利澤國中-
劉凱元老師

腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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完成
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完成
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學生作品《鳥》 2009 林孟穎

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完成
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• 圖片來源:
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html

利澤國中-
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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

利澤國中-
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有沒有哪裡怪怪的?

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電影哈利波特魔法學園的原理

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數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
劉凱元老師

故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
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完成
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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

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有沒有哪裡怪怪的?

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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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是天使?還是惡魔?

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• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

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這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

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有沒有哪裡怪怪的?

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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
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於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

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瀑布 Waterfall

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• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
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艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
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是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
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• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
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• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
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爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
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艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

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劉凱元老師


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利澤國中-
劉凱元老師

數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
劉凱元老師

故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中-
劉凱元老師

天與水 Sky and Water

利澤國中-
劉凱元老師

白天與黑夜

利澤國中-
劉凱元老師

是天使?還是惡魔?

利澤國中-
劉凱元老師

是貝殼?還是海星?

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

他是怎麼辦到的?

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

三交叉平面

利澤國中-
劉凱元老師

瀑布 Waterfall

利澤國中-
劉凱元老師

腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

利澤國中-
劉凱元老師

完成
利澤國中-
劉凱元老師

完成
利澤國中-
劉凱元老師

學生作品《鳥》 2009 林孟穎

利澤國中-
劉凱元老師

完成
利澤國中-
劉凱元老師

• 圖片來源:
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html

利澤國中-
劉凱元老師

艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

利澤國中-
劉凱元老師

有沒有哪裡怪怪的?

利澤國中-
劉凱元老師

電影哈利波特魔法學園的原理

利澤國中-
劉凱元老師

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數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
劉凱元老師

故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

利澤國中-
劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

利澤國中-
劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中-
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天與水 Sky and Water

利澤國中-
劉凱元老師

白天與黑夜

利澤國中-
劉凱元老師

是天使?還是惡魔?

利澤國中-
劉凱元老師

是貝殼?還是海星?

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劉凱元老師

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劉凱元老師

他是怎麼辦到的?

利澤國中-
劉凱元老師

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劉凱元老師

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劉凱元老師

三交叉平面

利澤國中-
劉凱元老師

瀑布 Waterfall

利澤國中-
劉凱元老師

腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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完成
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完成
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學生作品《鳥》 2009 林孟穎

利澤國中-
劉凱元老師

完成
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• 圖片來源:
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html

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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

利澤國中-
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劉凱元老師

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劉凱元老師

這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

利澤國中-
劉凱元老師

有沒有哪裡怪怪的?

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電影哈利波特魔法學園的原理

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數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
利澤國中-
劉凱元老師

故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

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• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
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天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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劉凱元老師

是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

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瀑布 Waterfall

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腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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完成
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完成
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學生作品《鳥》 2009 林孟穎

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完成
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• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
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艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

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劉凱元老師

這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

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有沒有哪裡怪怪的?

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電影哈利波特魔法學園的原理

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數學真奧妙
鑲嵌圖形

艾薛爾M. C. Escher (1898-1972)
• 生於1898年的荷蘭籍藝術家艾薛爾(Maurits Escher)可能
是唯一被科學家重視後才成名的藝術家。物理學家、數學
家、結晶學家,對艾薛爾的畫都驚嘆不已,但艾薛爾卻承
認自己雖對數學非常好奇,卻是一竅不通。艾薛爾少年時
期在校功課並不理想,除了每週兩次的美術課外,對其它
科目完全沒有興趣,中學時曾留級兩次,最後仍沒有正式
畢業。
• 艾薛爾的父親是一位水利工程師,經過多方考量之後,決
定讓艾薛爾攻讀建築,如此可發揮他的藝術天份,也不至
於斷了生計。但不久之後,艾薛爾便在學校認識一位教授
繪圖的老師─葡萄牙裔的畫家德麥斯奎特(Samuel
Jessurun de Mesquita)。經過老艾薛爾的勉強同意,終
於如願的轉到德氏門下改學繪畫。
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故事分享
• 艾薛爾自己說:「絕不是我誇張,我在學
校的數學從來沒有及格過,真的!我畫裡
頭的『數學』都是我自己不知不覺表現出
來的。真好玩,現在我有好些數學家朋友,
他們當我是個失散多年的兄弟一樣。我猜
他們一定都不知道,其實我根本一點都不
了解數學是什麼。」

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劉凱元老師

• Escher不時地將「平面幾何」
與「射影幾何」概念融入作品,
深刻反應歐氏與非歐幾何的精
髓。

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劉凱元老師

1936年春天,艾薛爾全家搭乘一艘
地中海貨輪經西班牙抵達比利時。
途中在西班牙的短暫停留,對於艾
薛爾後期的畫作有重大的影響,艾
薛爾夫婦足足花了三天時間研究摩
爾人(Moor)的『鑲嵌裝飾藝術』
(摩爾人原住非洲西北部,八世紀
時曾占據西班牙)。這些摩爾人用
於牆壁與地板上的裝飾圖案,便是
艾薛爾日後創作規則性平面填充畫
的主要靈感來源。
利澤國中-
劉凱元老師

天與水 Sky and Water

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白天與黑夜

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是天使?還是惡魔?

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是貝殼?還是海星?

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他是怎麼辦到的?

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三交叉平面

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瀑布 Waterfall

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腦力激盪

• 請試著將下列中圖一的正方形改成圖二的形狀,
再將之組合成圖三的樣子,發揮想像力,你也
可以成為小小數學藝術家喔!

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劉凱元老師

完成
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劉凱元老師

完成
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學生作品《鳥》 2009 林孟穎

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劉凱元老師

完成
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• 圖片來源:
• http://www.mcescher.com/Shopmain/Shop
EU/facsprints-ch/prints.html

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劉凱元老師

艾薛爾的繪畫中,雖然許多具有原創性,但並非
完全是憑空想像而來,如下圖中的瀑布(Waterfall)
是根據著名物理學家及數學家潘羅斯(R.Penrose)所
繪的三角棍(左圖)而來。但上圖中的水車,瀑布如此

美麗的景色卻無法在現實世界中見到,為什麼呢?

三角棍

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

利澤國中-
劉凱元老師

這幅畫有沒有什麼奇怪的地方?

利澤國中-
劉凱元老師

有沒有哪裡怪怪的?

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電影哈利波特魔法學園的原理

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