Slide 1

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


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现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


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现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 4

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 5

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 6

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 7

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 8

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 9

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 10

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 11

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 12

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 13

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 14

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


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现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 16

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 17

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


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现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


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现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 20

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 21

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 22

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 23

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 24

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 25

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 26

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


Slide 27

现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)


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现实世界的现象分为两种：
1）确定性现象：某条件下必然出现(或不
出现)某种结果的现象。
a.太阳从东方升起； b.上抛物体一定下落.

2）随机现象：某条件下可能出现这样或那样
的结果，且事先无法预知其确
切结果的现象。
a.抛硬币后的正反面； b.新生婴儿的体重.

在一定条件下对随机现象进行大量观测
会发现某种规律性.
例如:
一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性
的误差，但大量炮弹
的弹着点则表现出一
定的规律性，如一定
的命中率，一定的分
布规律等等.

再如:
测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有
差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量
次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量
值大多落在此常数的附近，越远则越少，因
而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右
基本对称”.

大量事实表明随机现象也有其规律性，
我们将“不定性数量化”，即从数量的侧面
去研究随机现象的统计规律性。这正是本课
程
所要研究的内容。

第一章

概率论的基本概念

第一节

随机事件、频率与概率

一、样本空间与随机事件
1、随机试验：若一个试验满足以下条件
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行；
(2) 试验的可能结果不止一个，但事先知道试
验的所有可能结果；
(3) 每次试验总是恰好出现所有可能结果中的
一个，但事先无法预知出现哪一个结果。
则此试验称为随机试验

例如，掷骰子试验

2. 样本点、样本空间、事件
（1）样本点(基本事件)：随机试验每一个
可能结果称为一个样本点。记为ω
（2）样本空间：样本点的全体组成的集合
成为随机试验的样本空间。记为Ω
(3) 随机事件：
在一次试验中可能发生也可能
不发生的事件称为随机事件，简称事件.

基本事件(样本点)

如在掷骰子试验中，
观察掷出的点数 .

（相对于观察目的
事 不 可再分解的事件）
件

事件 Ai ={掷出i点}
i =1,2,3,4,5,6

复合事件
（两个或一些基本事件并在一
起，就 构成一个复合事件）

事件 B={掷出奇数点}

例1 抛硬币观察正反面情况
样本点： 正面；反面。
样本空间：  {正面，反面}
例2 从含两件次品(a1, a2)和三件正品(a3, a4, a5)
的五件产品中任意取出两件。
样本点：(a1, a2), (a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5),(a3, a4),
(a3, a5), (a4, a5)
样本空间：Ω={(a1, a2), (a1, a3), … ,(a4, a5) }

事件A：“没有取到次品”
A={(a3, a4), (a3, a5), (a4, a5) }
事件B：“仅有一件次品”
B={(a1, a3), (a1, a4), (a1, a5),
(a2, a3), (a2, a4), (a2, a5)}

显然事件A, B为样本空间Ω的子集。

两个特殊的事件：
即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;

即在一次试验中不可能发生的事件，
常用φ表示 .
例如，在掷骰子试验中，
“掷出点数小于7”是必然事件;

而“掷出点数8”则是不可能事件.

二、事件的关系与运算

事
件
运
算
的
基
本
规
律

事件的关系和运算
交换律

结合律
分配律

德摩根(对偶)律

互斥与互逆的区别：
两事件A、B互斥： AB  
即A与B不可能同时发生.

两事件A、B互逆或互为对立事件
除要求A、B互斥( AB   )外，还要求

A UB= Ω

对于一个具体事件，要学会用数学符
号表示；反之，对于用数学符号表示的事
件，要清楚其具体含义是什么.

也就是说，要正确无误地“互译”出来.

例如，从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，

问：
A ?

A 是A的对立事件，

A ={两件产品不都是合格品}

在概率论中，常常叙述为：
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

它又可写为两个互斥事件之和
A ={两件产品中恰有一个是不合格品} 

{两件产品中都是不合格品}

续）从一批产品中任取两件，观察合格
品的情况. 记 A={两件产品都是合格品}，
A ={两件产品中至少有一个是不合格品}

若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品}，i=1,2
问如何用 Bi 表示A和 A ？
A=B1B2
A  B1 B2  B1  B2

 B1 B2  B1 B2  B1 B2

三：频率、概率的定义
1. 频率：若事件A在n次重复随机试验中
发生了nA次，则称Fn(A)=nA/n为事

件A在这n次试验中发生的频率
从大量的实验中我们发现频率的不确定
性中有其规律性，如抛硬币试验(P8)

2. 概率的统计定义
在一定条件下，重复做 n 次实验， n A为 n 次
实验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，
频率

nA
n

逐渐稳定在某一数值 p 附近，则数值p称

为事件A在该条件下发生的统计概率，
记作 P ( A)  p

.

统计概率的性质：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

(2) 规范性： P ( )  1;

( 3) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).

注：用统计概率来定义概率需要大量的实验，
且不能保证得到P(A)的精确值。

3.概率的公理化定义
设E为随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的
每一个事件A对应着一个实数，记为P(A)，若
P(A)满足下列条件：
(1) 非负性:

0  P ( A)  1;

( 2) 规范性： P ( )  1;
( 3) 可列可加性：
对于互不相容事件Ak ( k  1,2,,




k 1

k 1

n,)，有 P ( Ak )   P ( Ak ).

则称P(A)为事件A的概率

概率的性质：
(1) P ( )  0;

( 2) 有限可加性：
若事件A1 , A2 , An两两互不相容，
n

n

k 1

k 1

则 P ( Ak )   P ( Ak ).
( 3) 对事件A和B，

 P ( B )  P ( A) A  B

P ( B  A)  P ( BA )  P ( B )  P ( AB )  0
B A
 P( B)
A B 


(4) P ( A B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB)

证明：
（3）A  B, B  A( B  A),

而A( B  A)  ,

 P ( B )  P ( A)  P ( B  A),
即P ( B  A)  P ( B)  P ( A),且有P ( B)  P ( A).

（4）A B  A( B  AB),且A( B  AB)  , AB  B.
 P ( A B )  P ( A)  P ( B  AB)
 P ( A)  P ( B )  P ( AB).

推论1

对任意事件A，有P ( A )  1 P ( A).

证：因A A   ,且A A  ,
所以

即

1  P ( )  P ( A A ) P ( A)  P ( A )
P ( A)  1 P ( A )

推论2 (一般加法公式)对任意事件A1 , A2 ,, An ,有
n

P ( Ak )  S1  S 2  S 3  ( 1) S n
n

k 1

其中

S1 

n

 P( A

k

k 1

S3 

 P( A A A
i

1 i  j k  n

j

k

),

),

S 2

 P( A A
i

j

1 i  j  n

, Sn  P ( A1 A2 An )

),

例1 设事件A、B的概率分别为1/ 3和1/ 2，
求下列三种情况下P ( A B )的概率。
（1）A与B互不相容;（2）A  B; ( 3) P ( AB ) 

1
8

解（1）因A与B互不相容，所以B  A ,
故

AB  B

1

P ( A B)  P( B)  .
2

1

1

1

2

3

6

( 2)  A B, P ( A B)  P ( B  A)  P ( B)  P ( A)   
( 3) 因B  AB  A B，且( AB) ( A B )  ,
所以 P ( B )  P ( AB)  P ( A B),
1 1 3
即 P ( A B)  P ( B)  P ( AB)    .
2 8 8

例2

1

已知 P ( A)  P ( B )  , 证明P ( AB)  P ( A B )
2

证：P ( B A )  P ( A  B )  1 P ( A B )

 1 P ( A)  P ( B )  P ( AB)
 1

1
2



1
2

 P ( AB )

 P ( AB)