Slide 1

Základy elektrotechniky
Řešení magnetických obvodů
– rozšíření látky 1. ročníku


Slide 2

Opakování
Základní magnetické veličiny a vztahy
1. Magnetomotorické napětí – Fm (A)
- je zdrojem magnetického pole (při průchodu proudu vodičem vzniká v jeho
okolí magnetické pole)
- přímý vodič - Fm = I (například - výpočet indukční reaktance na vedení)
- cívka
- Fm = N * I (princip generátoru, motoru, transformátoru, …)
2. Magnetické napětí – Um (A)
- je rozdíl magnetických potenciálů na indukční čáře
Fm 
Um
- platí analogie s 2. Kirchhoffovým zákonem
3. Intenzita magnetického pole – H(A/m)
- magnetické napětí připadající na jednotku délky indukční čáry
kde l (m) je délka indukční čáry
Um



H 

l


Slide 3

Opakování
4. Magnetický indukční tok –  (Wb)
- vyjadřuje počet indukčních čar v obvodu
5. Magnetická indukce – B (T)
- vyjadřuje počet indukčních čar na jednotku plochy (plošný hustota
indukčního toku)

B 

S

6. Permeabilita –  (H/m)
- vyjadřuje chování látky v magnetickém poli (vliv látky v magnetickém poli
na indukční čáry)
- permeabilita vakua
- 0 (H/m)
- relativní permeabilita - r (-)
- celková permeabilita látky

  0 * r


Slide 4

Opakování
7. Magnetický odpor – Rm (1/H)
- vyjadřuje, jak daný magnetický obvod brání průchodu indukčních čar
Rm 

l stř

0 * r * S

8. Hopkinsonův zákon
- je analogií k Ohmovu zákonu v proudovém poli
9. Základní vztahy pro řešení magnetických obvodů
- Hopkinsonův zákon
- analogický vztah k 1. Kirchhoffovu zákonu
- analogický vztah k 2. Kirchhoffovu zákonu

 

Fm
Rm

n



k

0

k 1
n

U
k 1

mk

 Fm


Slide 5

Řešení magnetických obvodů
Základní postup je stejný jako u elektrických obvodů, při řešení je třeba ale
brát ohled:
- pro magnetický obvod neplatí, že všechny indukční čáry mají stejnou délku
 nutný výpočet střední indukční čáry
- závislost B=f(H) je lineární pouze u nemagnetických látek, u magnetických
látek se musí využít magnetizační křivky
- u složitějších magnetických obvodů lze přímé matematické metody použít
pouze při znalosti indukčního toku (sycení jádra)
- maximální indukce u magnetických látek je okolo 2,2 T
- při výpočtu neuvažujeme vliv rozptylového indukčního toku, výpočty je
zatíženy velkou chybou.


Slide 6

Příklad
Příklad:
Vypočítejte proud cívkou (N=1000 závitů), je-li magnetický indukční tok
 = 0,7 mWb. Magnetický obvod dynamové plechy 2,2 W/kg, tl. 20 mm.
Náhradní schéma


1 30

40
80

70

Rm1

Um1

Rm2

Um2

Fm

Výpočet parametrů:
lstř. = (60 + 50) * 2 =220 mm
S = 20 * 20 = 400 mm2


Slide 7

Magnetizační charakteristiky


Slide 8

Příklad
Příklad:
Vypočítejte proud cívkou (N=1000 závitů), je-li magnetický indukční tok
 = 0,7 mWb. Magnetický obvod dynamové plechy 2,2 W/kg, tl. 20 mm.


Magnetická indukce: B1  B 2 

Rm1

Um1

Rm2

Um2

Fm


S



0 , 7 * 10
4 * 10

3

4

 1, 75 T

Intenzita magnetického pole v železe:
z grafu, H1 = 8500 A/m
Permeabilita
železa:

1 

B
H1



1, 75

 2 , 06 * 10

4

H /m

8500

0 , 22
Magnetický R  l stř 
 2 , 67 MH
m1
4
4
1 * S
2 , 06 * 10 * 4 * 10
odpor železa:



1 * 10

3

6
1
Magnetický odpor R 


2
*
10
H
m2
7
4
 0 * S 4 *  * 10 * 4 * 10
vzduchu:

1


Slide 9

Příklad
Příklad:
Vypočítejte proud cívkou (N=1000 závitů), je-li magnetický indukční tok
 = 0,7 mWb. Magnetický obvod dynamové plechy 2,2 W/kg, tl. 20 mm.

Celkový magnetický odpor:
Rm1

Um1

Fm

R m  R m 1  R m 2  2 , 67  2  4 , 67 MH

1

Celkový proud podle Hopkinsonova zákona:
Rm2

Um2

Fm   * R m  I 

 * Rm
N



0 , 7 * 10

3

* 4 , 67 * 10

1 * 10

3

6

 3, 27 A

Pozn.:
Magnetický odpor vzduchu je zpravidla mnohem větší než magnetický
odpor železa. V některých výpočtech magnetických obvodů se počítá
pouze magnetický odpor vzduchu (jednoduchý výpočet), vliv železa se
respektuje přes konstantu (1,1 – 1,3).


Slide 10

Řešení složitých magnetických obvodů
3

1
2

Fm3

Um3

Příklad:

Rm2

Rm3 Um4

Um2

Um1
Rm4

Fm1

Rm1

Určete magnetomotorická napětí Fm1 a Fm3 pro indukční toky 1=6*10-4 Wb
a 3=4*10-4Wb. Materiál jádra – dynamové plechy 2,2 W/kg. Rozměry jádra:
l1 = 60 cm, l2 = 20 cm, l3 = 80 cm,  = 1 mm, S = 5 cm2.


Slide 11

Řešení složitých magnetických obvodů
3

Příklad:
Určete magnetomotorická napětí Fm1 a Fm3
pro indukční toky 1=6*10-4 Wb a 3=4*10-4
Wb. Materiál jádra – dynamové plechy 2,2
W/kg. Rozměry jádra: l1 = 60 cm, l2 = 20 cm,
l3 = 80 cm,  = 1 mm, S = 5 cm2.

2
Fm3

Um3

Výpočet magnetické indukce:
B1 

1
S



6 * 10
5 * 10

4
4

 1, 2T

B3 

3



S

4 * 10
5 * 10

B1
H1



1, 2
600

Rm2

Rm3 Um4

4
4

Fm1

Um2

Um1

Rm1

Rm4

 0 ,8 T

Určení intenzity magnetického pole (z grafu):

Výpočet permeability:  1 

1

 2 * 10

3

B1  1, 2 T  H 1  600 A / m

B 3  0 ,8T  H 3  270 A / m

H / m 3 

B3
H3



0 ,8
270

 2 ,96 * 10

3

H /m


Slide 12

Řešení složitých magnetických obvodů
3

Příklad:
Určete magnetomotorická napětí Fm1 a Fm3
pro indukční toky 1=6*10-4 Wb a 3=4*10-4
Wb. Materiál jádra – dynamové plechy 2,2
W/kg. Rozměry jádra: l1 = 60 cm, l2 = 20 cm,
l3 = 80 cm,  = 1 mm, S = 5 cm2.

R m1 
Rm 3 

l1

1 * S
l3

3 * S

0 ,6


2 * 10

3

* 5 * 10

4

0 ,8


2 ,96 * 10

3

* 5 * 10

4

Výpočet magnetického napětí:

Výpočet indukčního toku 2:

2
Fm3

Um3

Výpočet magnetického odporu:
 0 , 6 MH
 0 ,54 MH

1

Rm2

Fm1

Um2

Um1

Rm3 Um4

Rm4

Rm1

1

1

U m 1  1 * R m 1  6 * 10

4

* 0 , 6 * 10  360 A

U m 3   3 * R m 3  4 * 10

4

* 0 ,54 * 10  216 A

 2  1   3  6 * 10

4

6

 4 * 10

6

4

3

 10 Wb


Slide 13

Řešení složitých magnetických obvodů
3

Příklad:
Určete magnetomotorická napětí Fm1 a Fm3
pro indukční toky 1=6*10-4 Wb a 3=4*10-4
Wb. Materiál jádra – dynamové plechy 2,2
W/kg. Rozměry jádra: l1 = 60 cm, l2 = 20 cm,
l3 = 80 cm,  = 1 mm, S = 5 cm2.

2
Fm3

Um3

Výpočet magnetické indukce B2:
B2 

2
S



1 * 10
5 * 10

1

Rm2

Um2

Um1

Rm3 Um4

Rm4

3
4

 2T

Výpočet intenzity H2 (z grafu): B 2  2 T  H 2  30000 A / m
Výpočet intenzity H4:

H4 

B2

0



2
4 *  * 10

 1,59 * 10 A / m
6

7

Výpočet magnetického napětí: U m 2  H 2 * l 2  3 * 10 * 0 , 2  6000 A
4

U m 4  H 4 *   1,59 * 10 * 10
6

3

 1590 A

Fm1

Rm1


Slide 14

Řešení složitých magnetických obvodů
3

Příklad:
Určete magnetomotorická napětí Fm1 a Fm3
pro indukční toky 1=6*10-4 Wb a 3=4*10-4
Wb. Materiál jádra – dynamové plechy 2,2
W/kg. Rozměry jádra: l1 = 60 cm, l2 = 20 cm,
l3 = 80 cm,  = 1 mm, S = 5 cm2.

1
2

Fm3

Um3

Rm2

Rm3 Um4

Výpočet magnetomotorického napětí:

Fm 1  U m 2  U m 4  U m 1  6000  1590  360  7950 A
Fm 3  U m 2  U m 4  U m 3  6000  1590  216  7806 A

Um2

Um1
Rm4

Fm1

Rm1


Slide 15

Příklady
S1, l1

S3, l3

S2, l2

S1, l1



S3, l3


S2, l2

Příklad – obvod nalevo:
Vypočítejte šířku vzduchové mezery, je-li 1 = 6*10-4 Wb, l1 = 40 cm, l2 = 12 cm,
l3 = 30 cm, S1 = 4 cm2, S2 = 2 cm2, S3 = 4 cm2, Fm = 1800 A, materiál dynamové
plechy 2,2 W/kg.
Příklad – obvod napravo:
Vypočítejte šířku vzduchové mezery, je-li 1 = 7*10-4 Wb, l1 = 50 cm, l2 = 20 cm,
l3 = 40 cm, S1 = 4 cm2, S2 = 4 cm2, S3 = 2 cm2, Fm = 4000 A, materiál
transformátorové plechy.


Slide 16

Příklad
1

3
2

Fm1

Um1

Rm2

Rm1 Um4

Um2

Um3

Rm4

Fm3

Rm3

Příklad:
Určete šířku vzduchové mezery a proud cívkou N3, pro magnetomotorické
napětí Fm1 = 6000 A, indukční toky 1=7*10-4 Wb a 3=5*10-4Wb. Materiál
jádra – transformátorové plechy. Rozměry jádra: l1 = 70 cm, l2 = 20 cm, l3 =
60 cm, N3 = 6000 závitů, S = 6 cm2.


Slide 17

Řešení obvodů složitých magnetických ze
zadaného magnetomotorického napětí
Při výpočtu indukčního toku nelze použít přímé metody, protože permeabilita
látky je závislá právě na indukčním toku.
Postup výpočtu (uvažujeme stejný průřez magnetického obvodu):
- zvolíme si magnetickou indukci BA a vypočítáme magnetomotorické napětí
FmA
- vypočtené magnetomotorické napětí FmA porovnáme se zadaným Fm. Pro
Fm  FmA volíme BB  BA a naopak
- zvolíme si magnetickou indukci BB a vypočítáme magnetomotorické napětí
FmB
- vypočteme indukční toky a graficky
odečteme neznámý tok, závislost
=f(Fm) uvažujeme lineární.



B

A
FmA

Fm

FmB

Fm


Slide 18

Příklad
Příklad:
Vypočítejte indukční tok, je-li proud cívkou 300mA. Cívka má 5000
závitů,  = 1 mm. Magnetický obvod dynamové plechy 2,2 W/kg.
Parametry obvodu: lstř. = 250 mm, S = 500 mm2



Volba magnetické indukce: B A  B1  B 2  1, 5 T
Rm1

Um1

Fm
Rm2

Um2

Pro B1 = 1,5 T  z grafu H1 = 2000 A/m
Permeabilita
železa:

1 

B

1,5



H1

 0 , 75 * 10

3

H /m

2000

0 , 25
Magnetický R m 1  l stř 
 0 , 67 MH
3
4
 1 * S 0 , 75 * 10 * 5 * 10
odpor železa:

Magnetický odpor
vzduchu:

Rm 2 


0 * S



1 * 10
4 *  * 10

7

1

3

 1,59 * 10 H
6

* 5 * 10

4

1


Slide 19

Příklad


Rm1

Um1

Fm
Rm2

Um2

Celkový magnetický odpor:

R mA  R m 1  R m 2  0 , 67  1,59  2 , 26 MH

1

Zvolený indukční tok

 A  B A * S  1,5 * 5 * 10

4

4

 7 ,5 * 10 Wb

Magnetometrické napětí podle Hopkinsonova zákona:

FmA   A * R mA  7 ,5 * 10

4

* 2 , 26 * 10  1695 A
6

Porovnání se zadanou hodnotou – Fm 1500 A  FmA
Volíme BB = B1 = B2 = 1,3 T

H1 = 1000 A/m

Permeabilita železa:
Magnetický odpor železa:

1 

B
H1

R m1 

1,3



 1,3 * 10

3

H /m

1000

l stř

1 * S

0 , 25


1,3 * 10

3

* 5 * 10

4

 0 ,385 MH

1


Slide 20

Příklad


Rm1

Um1

Fm
Rm2

Um2

Celkový magnetický odpor:

R mB  R m 1  R m 2  0 ,385  1,59  1,975 MH

1

Zvolený indukční tok

 B  B B * S  1,3 * 5 * 10

4

4

 6 ,5 * 10 Wb

Magnetometrické napětí podle Hopkinsonova zákona:

F mB   B * R mB  6 ,5 * 10

4

* 1,975 * 10  1284 A
6

 (mWb)
A = 7,5
 = 7,05
B = 6,5

FmB = 1284

Fm = 1500

FmA = 1695

Fm (A)


Slide 21

Magnetické obvody buzené
trvalými magnety
Do magnetického obvodu není zařazen elektromagnet, magnetické pole je
buzeno trvalým magnetem.
Pro trvalé magnety se používají:
- slitiny AlNiCo – klasické slitiny
Br=(0,6-1,2)T, Hc=(40-120) kA/m
- magneticky tvrdé ferity (např. 6Fe2O3*BaO)
Br=(0,2-0,4)T, Hc=(120-230) kA/m
- slitiny vzácných zemin – NdFeB (neodym, železo, bór)
Br=(1-1,5)T, Hc=(~1000) kA/m


Slide 22

Trvalé magnety
Kvalitu a vhodnost použití trvalého magnetu určuje demagnetizační

charakteristika.

B(T)
Br(T)

H(kA/m) Hc(kA/m)

Základní parametry:
Br - remanentní (zbytkový)
magnetizmus
Hc - koercitivní intenzita
Curie teplota
- teplota potřebná pro
odmagnetování látky


Slide 23

Trvalé magnety


Slide 24

Řešení magnetických obvodů
Trvalý magnet není buzen proudem  magnetomotorické napětí je
nulové.
Pro řešení předpokládáme, že magnetický obvod je tvořen trvalým
magnetem (Rm1) a vzduchovou mezerou (Rm2).
Cílem výpočtu je určení magnetické indukce ve vzduchové mezeře

Pro magnetická
napětí platí:

U m1  U m 2  0

Náhradní schéma

Rm1

Um1

Rm2

Um2

Po dosazení:

H Fe * l stř .  H  *   0

Deformaci indukčních čar ve vzduchové mezeře lze zanedbat
 BFe = B


Slide 25

Řešení magnetických obvodů


Rm1

Um1

Po dosazení: B  B   * H  H  B Fe

Fe
0


0

Rm2

Um2

Po dosazení do rovnice s magnetickým
napětím:
B
H Fe * l stř .  Fe *   0
0

Pro odečtení pracovního bodu
na demagnetizační křivce
vyjádříme závislost BFe = f(HFe).

B Fe    0 *

l stř .



B(T)

* H Fe

Jedná se o lineární funkci ve 2. kvadrantu.
Průsečík demagnetizační křivky a funkce
udává pracovní bod, který určí indukci ve
vzduchové mezeře daného trvalého
magnetu.

H(kA/m)

B(T)

H(kA/m)


Slide 26

Demagnetizační křivka


Slide 27

Příklad


Rm1

Um1

Rm2

Um2

Určete magnetickou indukci ve vzduchové mezeře
trvalého magnetu, je-li střední délka indukční čáry
30 cm a vzduchová mezera 2 mm. Deformaci
indukčního toku ve vzduchové mezeře zanedbejte.

Funkce pro určení pracovního bodu z demagnetizační křivky:
B Fe    0 *

l stř .



* H Fe   4 *  * 10

7

*

0 ,3
2 * 10

3

* H Fe   0 ,188 * 10

3

* H Fe

Zvolíme H = -2000 A/m a určíme B:
B Fe   0 ,188 * 10

3

* H Fe   0 ,188 * 10

3

* (  2 * 10 )  0 ,376 T
3


Slide 28

Příklad
Odečtení indukce ve
vzduchové mezeře:
B = 0,6T

B(T)


Slide 29

Materiály
Blahovec

Elektrotechnika 1

http://www.leifiphysik.de/index.php
http://www.zum.de/dwu/umaptg.htm