Slide 1

Základy elektrotechniky
Jednoduché obvody s harmonickým průběhem


Slide 2

Základní pojmy
Jaké jsou hlavní části jednoduchého střídavého obvodu ?
Stejně jako ve stejnosměrném obvodu jsou to zdroj a rezistor, navíc
může být v obvodu cívka a kondenzátor.
V čem se bude lišit výpočet ve střídavém obvodu od stejnosměrného?
Ve střídavém obvodu pracujeme s časově proměnnými veličinami.
Cívka a kondenzátor způsobují navíc fázové posuny mezi napětím a
proudem
Napěťový střídavý zdroj
Î



Î

Ri

Û0

Ûi

Û

zátěž



Û

Û

Veličiny v obvodu se označují většinou fázory
Pro zjednodušení uvažujeme většinou ideální napěťový zdroj

zátěž


Slide 3

Ideální rezistor v obvodu střídavého proudu
Jak lze vysvětlit pojem ideální rezistor ?
Je to rezistor, který má jen elektrický odpor
Jak lze vypočítat odpor ideálního rezistoru ?

R 

 *l
S

Vyjádřete harmonický průběh napětí

Î

u ( t )  U max * sin  t



Û

R

Pro výpočet proudu lze použít Ohmův zákon
i (t ) 

U max * sin  t
R

 I max * sin  t

Vyjádřete maximální a efektivní hodnotu proudu
 vyjádření efektivní hodnoty proudu je analogií k
výpočtu proudu ve stejnosměrném obvodu.

I max 
I*

U max

2 

R
U *
R

I 

U
R

2


Slide 4

Ideální rezistor v obvodu střídavého proudu
Zakreslete harmonický průběh napětí a proudu na rezistoru
Nakreslete fázorový diagram
Průběh napětí a proudu na ideálním rezistoru



Û
Î

t
u(t)
i(t)

Napětí a proud jsou na ideálním rezistoru ve fázi (fázový posun je
nulový) – simulace 1, simulace 2


Slide 5

Příklad
Na zdroj střídavého napětí je připojen rezistor R = 200 . Harmonický
průběh napětí zdroje je u(t) = 30*sin(1000*t).
Určete harmonický průběh proudu a vypočítejte: efektivní hodnotu
napětí, efektivní a maximální hodnotu proudu a okamžitou hodnotu
proudu v čase 2ms.

1. Efektivní hodnota napětí

U 

U max

 21 , 21V

2

2. Efektivní hodnota proudu

I 

U

21 , 21



R

 106 , 07 mA

200

3. Maximální hodnota proudu

I max 

U max

4. Harmonický průběh proudu

i (t ) 

u (t )

R

R

30



 150 mA

200
 I max * sin  t  150 * sin( 1000 * t )

5. Okamžitá hodnota proudu v čase 2 ms
i ( t1 )  I max * sin  t1
i ( t1  2 * 10

3

)  150 * sin( 1000 * 2 * 10

3

)  150 * 0 ,91  136 ,39 mA


Slide 6

Ideální cívka v obvodu střídavého proudu
Jak lze vysvětlit pojem ideální cívka ?
Je to cívka, který má jen vlastní indukčnost a
nemá žádný elektrický odpor (R=0)
Jak lze vypočítat indukčnost ideální cívky ?

Î



Û

L

L

N

2

Rm

Jak se chová ideální cívka v obvodu ustáleného
stejnosměrného proudu ?
Ideální cívka má v obvodu ustáleného proudu
nulový odpor.
Pro vytvoření magnetického pole musí cívkou
procházet proud. Vyjádřete harmonický průběh
proudu

i ( t )  I max * sin  t

Při průchodu proudu se na cívce indukuje napětí

u L (t )  N *


t


Slide 7

Ideální cívka v obvodu střídavého proudu
Î
Indukované napětí na cívce u L ( t )  N *



Û

L

  (t )
t

Úprava pomocí Hopkinsonova zákona
Hopkinsonův zákon pro ustálený proud
 



Rm

Po dosazení harmonického průběhu proudu
 (t ) 

Fm

N *I
Rm

N * i (t )
Rm

Indukované napětí na cívce ve střídavém obvodu
u L (t )  N *

  (t )
t



N

2

Rm

*

 i (t )
t

 L*

 i (t )
t


Slide 8

Ideální cívka v obvodu střídavého proudu
Î
Výpočet indukovaného napětí z indukčního
  (t )
zákona



Û

u L (t )  N *

L

t

Při harmonickém průběhu proudu na cívce je i
harmonický průběh toku:

 ( t )   max * sin  t

Po dosazení: u L ( t )  N *

 ( max * sin  t )
t

Řešeni rovnice vyžaduje vyšší matematiku, výsledek:

u L ( t )  N *  *  max * sin(  t 


2

)  U max * sin(  t 



)

2

Indukované napětí na ideální cívce má harmonický průběh se stejnou
frekvencí, indukované napětí předbíhá proud (indukční tok) o 900.


Slide 9

Ideální cívka v obvodu střídavého proudu
Zakreslete harmonický průběh napětí a proudu na ideální
cívce, nakreslete fázorový diagram

Û

Průběh napětí a proudu na ideální cívce


u(t)
i(t)

Î

t

/2

Na ideální cívce předbíhá napětí proud o 900.


Slide 10

Ideální cívka v obvodu střídavého proudu
Î



Û

Indukované napětí na ideální cívce:


u L ( t )  N *  *  max * sin(  t  )  U i max * sin(  t  )
2

L

2

Pro maximální hodnotu (amplitudu) platí:

U i max  N *  *  max
Maximální hodnotu indukovaného napětí lze převést na efektivní
hodnotu a úhlovou frekvenci vyjádřit pomocí frekvence:

2 * U i  N * 2 *  * f *  max 
Ui 

2 *
2

* N * f *  max  4 , 44 * N * f *  max

Výsledný vztah Ui = 4,44 * N * f * max má zásadní význam pro všechna
elektrická zařízení, která pracují na principu elektromagnetické indukce.


Slide 11

Ideální cívka v obvodu střídavého proudu
Î



Ideální cívkou prochází ve střídavém obvodu
určitý proud  ideální cívka musí mít ve
střídavém obvodu odpor.

Û

L

Při odvození vyjdeme z vyjádření Umax:

U i max  N *  *  max
Indukční tok lze vyjádřit pomocí Hopkinsovova zákona a vztah upravit:
U i max  N *  *

N * I max
Rm



N

2

Rm

*  * I max  L *  * I max

Po přepočtu maximální hodnoty na efektivní U i  L *  * I  X L * I
kde výraz X

L

  * L se nazývá indukční reaktance a má jednotku 

Vztah U  X L * I je analogií k Ohmovu zákonu ve stejnosměrném obvodu
– simulace 1, simulace 2


Slide 12

Příklad
Na zdroj střídavého napětí je připojena ideální cívka L = 200 mH.
Harmonický průběh napětí zdroje je u(t) = 20*sin(1000*t).
Určete průběh proudu a vypočítejte: efektivní hodnotu napětí, maximální
hodnotu proudu a okamžitou hodnotu proudu v čase 2ms.
U 

1. Efektivní hodnoty napětí

U max



20

2

 14 ,14 V

2

X L   * L  1000 * 0 , 2  200 

2. Indukční reaktance

I max 

3. Maximální hodnota proudu

U max



XL

20

 100 mA

200

i ( t )  I max * sin(  t 

4. Harmonický průběh proudu


2

)  100 * sin( 1000 * t 



)

2

5. Okamžitá hodnota proudu v čase 2 ms
i ( t1 )  I max * sin(  t1 
i ( t1  2 * 10

3



)

2

)  100 * sin( 1000 * 2 * 10

3




2

)  100 * sin 0 , 429  41 , 61 mA


Slide 13

Ideální kondenzátor v obvodu střídavého proudu
Jak lze vysvětlit pojem ideální kondenzátor ?
S
Je to kondenzátor, který má jen kapacitu a má
C  0 *r *
d
nekonečně velký elektrický odpor (R  ∞)
Jak lze vypočítat kapacitu kondenzátoru ?
Î
Jak se chová ideální kondenzátor v obvodu
ustáleného stejnosměrného proudu ?
Ideální kondenzátor má v obvodu ustáleného
 Û C
proudu nekonečně velký odpor (rozpojený obvod).
Pro vytvoření elektrického pole musí být
kondenzátor připojený na napětí.
Vyjádřete harmonický průběh napětí

u ( t )  U max * sin  t
Po připojení k harmonickému průběhu napětí se
kondenzátor začne nabíjet – získává náboj  q ( t )  C *  u ( t )  i *  t


Slide 14

Ideální kondenzátor v obvodu střídavého proudu
Î



Proud na kondenzátoru

iC ( t )  C *
Û

C

 u (t )
t

Proud na kondenzátoru na ideálním kondenzátoru
ve střídavém obvodu (řešení pomocí vyšší
matematiky)
iC ( t )  C *

 (U max * sin  t )
t

  * C * U max * cos  t  I max * sin(  t 


2

Proud ideálním kondenzátorem má harmonický průběh se stejnou
frekvencí, proud na kondenzátoru předbíhá napětí o 900.

)


Slide 15

Ideální kondenzátor v obvodu střídavého proudu
Zakreslete harmonický průběh napětí a proudu na ideálním
kondenzátoru, nakreslete fázorový diagram
Průběh napětí a proudu na ideálním kondenzátoru

Î



Û
t

i(t)
u(t)
/2

Na ideálním kondenzátoru předbíhá proud napětí o 900.


Slide 16

Ideální kondenzátor v obvodu střídavého proudu
Î

Proud na ideálním kondenzátoru:
iC ( t )   * C * U max * cos  t  I max * sin(  t 



Û



)

2

C
Pro maximální hodnotu (amplitudu) platí:

I max   * C * U max
Po přepočtu maximální hodnoty na efektivní
kde výraz X C 

1

 *C

I  C *  *U 

U
XC

se nazývá kapacitní reaktance a má jednotku 

Vztah U  X C * I je analogií k Ohmovu zákonu ve stejnosměrném obvodu
– simulace 1, simulace 2


Slide 17

Příklad
Na zdroj střídavého napětí je připojena ideální kondenzátor C = 200 nF.
Harmonický průběh napětí zdroje je u(t) = 50*sin(1000*t).
Určete průběh proudu a vypočítejte: efektivní hodnotu napětí, maximální
hodnotu proudu a okamžitou hodnotu proudu v čase 2ms.
XC 

1. Kapacitní reaktance

1

 *C
U max

1



1000 * 200 * 10


50

2. Maximální hodnota proudu

I max 

3. Harmonický průběh proudu

i ( t )  I max * sin(  t 

XC

9

 5k

 10 mA

5000



)  10 * sin( 1000 * t 

2



)

2

4. Okamžitá hodnota proudu v čase 2 ms
i ( t1 )  I max * sin(  t1 
i ( t1  2 * 10

3



)

2

)  10 * sin( 1000 * 2 * 10

3




2

)   4 ,16 mA


Slide 18

Frekvenční závislost cívky a kondenzátoru
Î

Indukční reaktance ideální cívky

X L   * L  2 *  * f * L  k1 * f
Proud ideální cívky
I 

U
XL



U
2 * * f * L





Û

L

k2
f
Ideální cívka



cívka nepropustí
vysokofrekvenční průběhy

XL=f(f)
I=f(f)

I (A)

XL (ohm)

Pro malé frekvence je
indukční reaktance
zanedbatelná a proud
maximální a naopak

f (Hz)


Slide 19

Frekvenční závislost cívky a kondenzátoru
Î

Kapacitní reaktance ideálního kondenzátoru
XC 

1

 *C



1
2 * * f *C



k1
f



Proud ideálním kondenzátorem cívky
I 

U
XC

Û

C

 U * 2 * * f * C  k2 * f
Ideální kondenzátor



kondenzátor nepropustí
stejnosměrné průběhy

XC=f(f)
I=f(f)

I (A)

XC (ohm)

Pro malé frekvence je
kapacitní reaktance
maximální a proud
zanedbatelný a naopak

f (Hz)


Slide 20

Materiály
Blahovec

Elektrotechnika 2

http://www.leifiphysik.de/index.php
http://www.zum.de/dwu/umaptg.htm