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Metodi di proiezione per
equazioni integrali di
Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita e G. Mastroianni
Università degli Studi della Basilicata

Equazioni Integrali: recenti sviluppi
numerici e nuove applicazioni
Parma, 27-28 Settembre 2007


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C. Laurita, G. Mastroianni

Equazioni integrali di Fredholm di seconda specie

Definendo l’operatore

L’equazione (1) può essere riscritta come segue

operatore identico


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In [C. Frammartino, C.L., G. Mastroianni]

l’equazione (1) è studiata nello spazio

Noi studiamo l’equazione (1) in

con

e


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Notazioni e risultati preliminari
Siano

Funzione Peso

Spazio pesato


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Per

consideriamo lo spazio di tipo Sobolev pesato di ordine

dotato della norma


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Denotiamo con
l’insieme dei polinomi algebrici di grado al più

l’errore di migliore approssimazione mediante
polinomi algebrici di

in


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In [G. Mastroianni, J. Szabados]
per

con
numero di Mhaskar-Rachmanov-Saff


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Peso di Laguerre generalizzato
Polinomi ortonormali rispetto al peso
con coefficiente direttore positivo

Zeri di

con

numero di M-R-S


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Per un fissato
definiamo l’intero

come segue

sufficientemente grande
definiamo la funzione

funzione caratteristica dell’intervallo


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Interpolazione di Lagrange
Nodi di Interpolazione
Per

con

Polinomio interpolante di Lagrange

Polinomi fondamentali di Lagrange
sui nodi


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Consideriamo, inoltre, il polinomio interpolante la funzione troncata

rappresentabile anche nella forma

con

k-esimo polinomio fondamentale di Lagrange
sugli zeri di


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Lemma Sia

e per ogni

con

. Sotto le seguenti ipotesi


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Metodi numerici
Posto

il nostro scopo è costruire una successione di polinomi che converga
alla soluzione

dell’equazione integrale

in qualche opportuno spazio di funzioni

.


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1) Introduciamo il sottospazio di

Osserviamo che
l’operatore

è un proiettore sul sottospazio


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2) Consideriamo gli operatori approssimanti l’operatore

e

Ovviamente


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3)

Poniamo

con

Osserviamo


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4) Calcoliamo la soluzione
finito-dimensionale

dell’equazione


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A tale scopo risolviamo il sistema lineare di

nelle

equazioni

incognite

con

k-esimo numero di Christoffel


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Il sistema lineare è equivalente all’equazione finito dimensionale
nel senso che
Fissato

è soluzione del sistema

è soluzione dell’equazione


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Teorema 1



e
tali che

è l’unica soluzione dell’equazione


in


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

tale che

e

con



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Per ogni






sufficientemente grande

il sistema
la matrice

ha un’ unica soluzione
del sistema

il corrispondente polinomio
soddisfa la stima

verifica


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Nel caso di pesi e nuclei non standard, per costruire la matrice
insorgono difficoltà di carattere computazionale

Infatti è necessario calcolare i nodi

Per

(caso Laguerre)

Nel caso generale,

e i numeri di Christoffel

utilizziamo la routine gaussq

non sono note

relazioni di ricorrenza valide per i polinomi ortonormali


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Osservazioni
 Poiché
con

m-esima funzione di Christoffel
relativa al peso

procedure numeriche alternative si ottengono sostituendo ovunque
con


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 Metodo di Nyström
Una conseguenza del Teorema 2 è la stabilità del metodo
di Nyström basato su una formula di quadratura

Gaussiana troncata [G. Mastroianni, G. Monegato].

Esso consiste nel
1. calcolare la soluzione
2. applicare la seguente

del sistema

Formula d’interpolazione di Nyström


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Teorema 2
Sotto le ipotesi del Teorema 1 si ha

con

.


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Esempi numerici
Esempio 1

La soluzione esatta è nota,


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Esempio 2


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Grafico di
per


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Esempio 3