Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale C. Laurita e G.

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Metodi di proiezione per
equazioni integrali di
Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita e G. Mastroianni
Università degli Studi della Basilicata

Equazioni Integrali: recenti sviluppi
numerici e nuove applicazioni
Parma, 27-28 Settembre 2007


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Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni

Equazioni integrali di Fredholm di seconda specie

Definendo l’operatore

L’equazione (1) può essere riscritta come segue

operatore identico


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C. Laurita, G. Mastroianni

In [C. Frammartino, C.L., G. Mastroianni]

l’equazione (1) è studiata nello spazio

Noi studiamo l’equazione (1) in

con

e


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Notazioni e risultati preliminari
Siano

Funzione Peso

Spazio pesato


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Per

consideriamo lo spazio di tipo Sobolev pesato di ordine

dotato della norma


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Denotiamo con
l’insieme dei polinomi algebrici di grado al più

l’errore di migliore approssimazione mediante
polinomi algebrici di

in


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In [G. Mastroianni, J. Szabados]
per

con
numero di Mhaskar-Rachmanov-Saff


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Peso di Laguerre generalizzato
Polinomi ortonormali rispetto al peso
con coefficiente direttore positivo

Zeri di

con

numero di M-R-S


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Per un fissato
definiamo l’intero

come segue

sufficientemente grande
definiamo la funzione

funzione caratteristica dell’intervallo


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Interpolazione di Lagrange
Nodi di Interpolazione
Per

con

Polinomio interpolante di Lagrange

Polinomi fondamentali di Lagrange
sui nodi


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Consideriamo, inoltre, il polinomio interpolante la funzione troncata

rappresentabile anche nella forma

con

k-esimo polinomio fondamentale di Lagrange
sugli zeri di


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Lemma Sia

e per ogni

con

. Sotto le seguenti ipotesi


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Metodi numerici
Posto

il nostro scopo è costruire una successione di polinomi che converga
alla soluzione

dell’equazione integrale

in qualche opportuno spazio di funzioni

.


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1) Introduciamo il sottospazio di

Osserviamo che
l’operatore

è un proiettore sul sottospazio


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2) Consideriamo gli operatori approssimanti l’operatore

e

Ovviamente


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3)

Poniamo

con

Osserviamo


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4) Calcoliamo la soluzione
finito-dimensionale

dell’equazione


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A tale scopo risolviamo il sistema lineare di

nelle

equazioni

incognite

con

k-esimo numero di Christoffel


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Il sistema lineare è equivalente all’equazione finito dimensionale
nel senso che
Fissato

è soluzione del sistema

è soluzione dell’equazione


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Teorema 1



e
tali che

è l’unica soluzione dell’equazione


in


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tale che

e

con



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Per ogni






sufficientemente grande

il sistema
la matrice

ha un’ unica soluzione
del sistema

il corrispondente polinomio
soddisfa la stima

verifica


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Nel caso di pesi e nuclei non standard, per costruire la matrice
insorgono difficoltà di carattere computazionale

Infatti è necessario calcolare i nodi

Per

(caso Laguerre)

Nel caso generale,

e i numeri di Christoffel

utilizziamo la routine gaussq

non sono note

relazioni di ricorrenza valide per i polinomi ortonormali


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Osservazioni
 Poiché
con

m-esima funzione di Christoffel
relativa al peso

procedure numeriche alternative si ottengono sostituendo ovunque
con


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 Metodo di Nyström
Una conseguenza del Teorema 2 è la stabilità del metodo
di Nyström basato su una formula di quadratura

Gaussiana troncata [G. Mastroianni, G. Monegato].

Esso consiste nel
1. calcolare la soluzione
2. applicare la seguente

del sistema

Formula d’interpolazione di Nyström


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Teorema 2
Sotto le ipotesi del Teorema 1 si ha

con

.


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Esempi numerici
Esempio 1

La soluzione esatta è nota,


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Esempio 2


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Grafico di
per


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Esempio 3