Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale C. Laurita e G.
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Metodi di proiezione per
equazioni integrali di
Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita e G. Mastroianni
Università degli Studi della Basilicata
Equazioni Integrali: recenti sviluppi
numerici e nuove applicazioni
Parma, 27-28 Settembre 2007
Slide 2
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Equazioni integrali di Fredholm di seconda specie
Definendo l’operatore
L’equazione (1) può essere riscritta come segue
operatore identico
Slide 3
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
In [C. Frammartino, C.L., G. Mastroianni]
l’equazione (1) è studiata nello spazio
Noi studiamo l’equazione (1) in
con
e
Slide 4
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Notazioni e risultati preliminari
Siano
Funzione Peso
Spazio pesato
Slide 5
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Per
consideriamo lo spazio di tipo Sobolev pesato di ordine
dotato della norma
Slide 6
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Denotiamo con
l’insieme dei polinomi algebrici di grado al più
l’errore di migliore approssimazione mediante
polinomi algebrici di
in
Slide 7
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
In [G. Mastroianni, J. Szabados]
per
con
numero di Mhaskar-Rachmanov-Saff
Slide 8
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Peso di Laguerre generalizzato
Polinomi ortonormali rispetto al peso
con coefficiente direttore positivo
Zeri di
con
numero di M-R-S
Slide 9
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Per un fissato
definiamo l’intero
come segue
sufficientemente grande
definiamo la funzione
funzione caratteristica dell’intervallo
Slide 10
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Interpolazione di Lagrange
Nodi di Interpolazione
Per
con
Polinomio interpolante di Lagrange
Polinomi fondamentali di Lagrange
sui nodi
Slide 11
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Consideriamo, inoltre, il polinomio interpolante la funzione troncata
rappresentabile anche nella forma
con
k-esimo polinomio fondamentale di Lagrange
sugli zeri di
Slide 12
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Lemma Sia
e per ogni
con
. Sotto le seguenti ipotesi
Slide 13
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Metodi numerici
Posto
il nostro scopo è costruire una successione di polinomi che converga
alla soluzione
dell’equazione integrale
in qualche opportuno spazio di funzioni
.
Slide 14
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
1) Introduciamo il sottospazio di
Osserviamo che
l’operatore
è un proiettore sul sottospazio
Slide 15
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
2) Consideriamo gli operatori approssimanti l’operatore
e
Ovviamente
Slide 16
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
3)
Poniamo
con
Osserviamo
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Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
4) Calcoliamo la soluzione
finito-dimensionale
dell’equazione
Slide 18
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
A tale scopo risolviamo il sistema lineare di
nelle
equazioni
incognite
con
k-esimo numero di Christoffel
Slide 19
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Il sistema lineare è equivalente all’equazione finito dimensionale
nel senso che
Fissato
è soluzione del sistema
è soluzione dell’equazione
Slide 20
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Teorema 1
e
tali che
è l’unica soluzione dell’equazione
in
Slide 21
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
tale che
e
con
Slide 22
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Per ogni
sufficientemente grande
il sistema
la matrice
ha un’ unica soluzione
del sistema
il corrispondente polinomio
soddisfa la stima
verifica
Slide 23
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Nel caso di pesi e nuclei non standard, per costruire la matrice
insorgono difficoltà di carattere computazionale
Infatti è necessario calcolare i nodi
Per
(caso Laguerre)
Nel caso generale,
e i numeri di Christoffel
utilizziamo la routine gaussq
non sono note
relazioni di ricorrenza valide per i polinomi ortonormali
Slide 24
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Osservazioni
Poiché
con
m-esima funzione di Christoffel
relativa al peso
procedure numeriche alternative si ottengono sostituendo ovunque
con
Slide 25
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Metodo di Nyström
Una conseguenza del Teorema 2 è la stabilità del metodo
di Nyström basato su una formula di quadratura
Gaussiana troncata [G. Mastroianni, G. Monegato].
Esso consiste nel
1. calcolare la soluzione
2. applicare la seguente
del sistema
Formula d’interpolazione di Nyström
Slide 26
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Teorema 2
Sotto le ipotesi del Teorema 1 si ha
con
.
Slide 27
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Esempi numerici
Esempio 1
La soluzione esatta è nota,
Slide 28
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Slide 29
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Esempio 2
Slide 30
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Grafico di
per
Slide 31
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Esempio 3
Metodi di proiezione per
equazioni integrali di
Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita e G. Mastroianni
Università degli Studi della Basilicata
Equazioni Integrali: recenti sviluppi
numerici e nuove applicazioni
Parma, 27-28 Settembre 2007
Slide 2
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Equazioni integrali di Fredholm di seconda specie
Definendo l’operatore
L’equazione (1) può essere riscritta come segue
operatore identico
Slide 3
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
In [C. Frammartino, C.L., G. Mastroianni]
l’equazione (1) è studiata nello spazio
Noi studiamo l’equazione (1) in
con
e
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C. Laurita, G. Mastroianni
Notazioni e risultati preliminari
Siano
Funzione Peso
Spazio pesato
Slide 5
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C. Laurita, G. Mastroianni
Per
consideriamo lo spazio di tipo Sobolev pesato di ordine
dotato della norma
Slide 6
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C. Laurita, G. Mastroianni
Denotiamo con
l’insieme dei polinomi algebrici di grado al più
l’errore di migliore approssimazione mediante
polinomi algebrici di
in
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Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
In [G. Mastroianni, J. Szabados]
per
con
numero di Mhaskar-Rachmanov-Saff
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C. Laurita, G. Mastroianni
Peso di Laguerre generalizzato
Polinomi ortonormali rispetto al peso
con coefficiente direttore positivo
Zeri di
con
numero di M-R-S
Slide 9
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C. Laurita, G. Mastroianni
Per un fissato
definiamo l’intero
come segue
sufficientemente grande
definiamo la funzione
funzione caratteristica dell’intervallo
Slide 10
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Interpolazione di Lagrange
Nodi di Interpolazione
Per
con
Polinomio interpolante di Lagrange
Polinomi fondamentali di Lagrange
sui nodi
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Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Consideriamo, inoltre, il polinomio interpolante la funzione troncata
rappresentabile anche nella forma
con
k-esimo polinomio fondamentale di Lagrange
sugli zeri di
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C. Laurita, G. Mastroianni
Lemma Sia
e per ogni
con
. Sotto le seguenti ipotesi
Slide 13
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Metodi numerici
Posto
il nostro scopo è costruire una successione di polinomi che converga
alla soluzione
dell’equazione integrale
in qualche opportuno spazio di funzioni
.
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Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
1) Introduciamo il sottospazio di
Osserviamo che
l’operatore
è un proiettore sul sottospazio
Slide 15
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C. Laurita, G. Mastroianni
2) Consideriamo gli operatori approssimanti l’operatore
e
Ovviamente
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C. Laurita, G. Mastroianni
3)
Poniamo
con
Osserviamo
Slide 17
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C. Laurita, G. Mastroianni
4) Calcoliamo la soluzione
finito-dimensionale
dell’equazione
Slide 18
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C. Laurita, G. Mastroianni
A tale scopo risolviamo il sistema lineare di
nelle
equazioni
incognite
con
k-esimo numero di Christoffel
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C. Laurita, G. Mastroianni
Il sistema lineare è equivalente all’equazione finito dimensionale
nel senso che
Fissato
è soluzione del sistema
è soluzione dell’equazione
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C. Laurita, G. Mastroianni
Teorema 1
e
tali che
è l’unica soluzione dell’equazione
in
Slide 21
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C. Laurita, G. Mastroianni
tale che
e
con
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Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Per ogni
sufficientemente grande
il sistema
la matrice
ha un’ unica soluzione
del sistema
il corrispondente polinomio
soddisfa la stima
verifica
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C. Laurita, G. Mastroianni
Nel caso di pesi e nuclei non standard, per costruire la matrice
insorgono difficoltà di carattere computazionale
Infatti è necessario calcolare i nodi
Per
(caso Laguerre)
Nel caso generale,
e i numeri di Christoffel
utilizziamo la routine gaussq
non sono note
relazioni di ricorrenza valide per i polinomi ortonormali
Slide 24
Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Osservazioni
Poiché
con
m-esima funzione di Christoffel
relativa al peso
procedure numeriche alternative si ottengono sostituendo ovunque
con
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Metodi di proiezione per equazioni integrali di Fredholm sul semiasse reale
C. Laurita, G. Mastroianni
Metodo di Nyström
Una conseguenza del Teorema 2 è la stabilità del metodo
di Nyström basato su una formula di quadratura
Gaussiana troncata [G. Mastroianni, G. Monegato].
Esso consiste nel
1. calcolare la soluzione
2. applicare la seguente
del sistema
Formula d’interpolazione di Nyström
Slide 26
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C. Laurita, G. Mastroianni
Teorema 2
Sotto le ipotesi del Teorema 1 si ha
con
.
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C. Laurita, G. Mastroianni
Esempi numerici
Esempio 1
La soluzione esatta è nota,
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C. Laurita, G. Mastroianni
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C. Laurita, G. Mastroianni
Esempio 2
Slide 30
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C. Laurita, G. Mastroianni
Grafico di
per
Slide 31
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C. Laurita, G. Mastroianni
Esempio 3