Casos de Semelhança Colégio Jardim São Paulo Prof. Mauricio Boni 1° Caso – Ângulo-Ângulo (A.A.) Vamos estudar o caso quando dois triângulos possuem dois.
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Prof. Mauricio Boni
1° Caso – Ângulo-Ângulo (A.A.)
Vamos estudar o caso quando dois triângulos possuem dois pares de
ângulos iguais.
E
 = ’
Ê = Ê’
I
Como os ângulos em E e em E’ são
congruentes, temos que EI e E’I’ são
paralelas.
A
E’
E
Portanto os ângulos em I e em I’
também são congruentes.
Então os triângulos são semelhantes.
I’
I
A’
Se dois triângulos têm dois pares de ângulos congruentes, então esses triângulos
são semelhantes.
2° Caso – Lado-Ângulo-Lado (L.A.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados
são congruentes
 = ’
E
AE = AI
A’E’
A’I’
A
I
Como os lados AE, A’E’, AI e A’I’ são
proporcionais, nessa ordem, temos a
recíproca do Teorema de Tales.
E’
E
Portanto os segmentos EI e E’I’ são
paralelos e os ângulos formados em E
e E’ e em I e I’ são congruentes.
A’
I
I’
Então os triângulos são semelhantes.
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos
compreendidos entre eles congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
3° Caso – Lado-Lado-Lado (L.L.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem os três lados
correspondentes proporcionais.
A
AE = AI = EI
A’E’
A’I’
E’I’
Vamos marcar em A’E’ um ponto X tal que A’X = AE
E
I
Agora vamos traçar uma reta paralela a E’I’ que
passa por X e marcar o ponto Y em A’I’.
A’
Então temos:
A’X = A’Y
A’E’ A’I’
Y
I’
X
E’
Mas como A’X = AE:
AE = A’Y
A’E’ A’I’
Então AY = AI, e os triângulos AEI e A’E’I’
são semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então esses
triângulos são semelhantes.
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1° Caso – Ângulo-Ângulo (A.A.)
Vamos estudar o caso quando dois triângulos possuem dois pares de
ângulos iguais.
E
 = ’
Ê = Ê’
I
Como os ângulos em E e em E’ são
congruentes, temos que EI e E’I’ são
paralelas.
A
E’
E
Portanto os ângulos em I e em I’
também são congruentes.
Então os triângulos são semelhantes.
I’
I
A’
Se dois triângulos têm dois pares de ângulos congruentes, então esses triângulos
são semelhantes.
2° Caso – Lado-Ângulo-Lado (L.A.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados
são congruentes
 = ’
E
AE = AI
A’E’
A’I’
A
I
Como os lados AE, A’E’, AI e A’I’ são
proporcionais, nessa ordem, temos a
recíproca do Teorema de Tales.
E’
E
Portanto os segmentos EI e E’I’ são
paralelos e os ângulos formados em E
e E’ e em I e I’ são congruentes.
A’
I
I’
Então os triângulos são semelhantes.
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos
compreendidos entre eles congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
3° Caso – Lado-Lado-Lado (L.L.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem os três lados
correspondentes proporcionais.
A
AE = AI = EI
A’E’
A’I’
E’I’
Vamos marcar em A’E’ um ponto X tal que A’X = AE
E
I
Agora vamos traçar uma reta paralela a E’I’ que
passa por X e marcar o ponto Y em A’I’.
A’
Então temos:
A’X = A’Y
A’E’ A’I’
Y
I’
X
E’
Mas como A’X = AE:
AE = A’Y
A’E’ A’I’
Então AY = AI, e os triângulos AEI e A’E’I’
são semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então esses
triângulos são semelhantes.
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1° Caso – Ângulo-Ângulo (A.A.)
Vamos estudar o caso quando dois triângulos possuem dois pares de
ângulos iguais.
E
 = ’
Ê = Ê’
I
Como os ângulos em E e em E’ são
congruentes, temos que EI e E’I’ são
paralelas.
A
E’
E
Portanto os ângulos em I e em I’
também são congruentes.
Então os triângulos são semelhantes.
I’
I
A’
Se dois triângulos têm dois pares de ângulos congruentes, então esses triângulos
são semelhantes.
2° Caso – Lado-Ângulo-Lado (L.A.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados
são congruentes
 = ’
E
AE = AI
A’E’
A’I’
A
I
Como os lados AE, A’E’, AI e A’I’ são
proporcionais, nessa ordem, temos a
recíproca do Teorema de Tales.
E’
E
Portanto os segmentos EI e E’I’ são
paralelos e os ângulos formados em E
e E’ e em I e I’ são congruentes.
A’
I
I’
Então os triângulos são semelhantes.
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos
compreendidos entre eles congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
3° Caso – Lado-Lado-Lado (L.L.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem os três lados
correspondentes proporcionais.
A
AE = AI = EI
A’E’
A’I’
E’I’
Vamos marcar em A’E’ um ponto X tal que A’X = AE
E
I
Agora vamos traçar uma reta paralela a E’I’ que
passa por X e marcar o ponto Y em A’I’.
A’
Então temos:
A’X = A’Y
A’E’ A’I’
Y
I’
X
E’
Mas como A’X = AE:
AE = A’Y
A’E’ A’I’
Então AY = AI, e os triângulos AEI e A’E’I’
são semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então esses
triângulos são semelhantes.
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1° Caso – Ângulo-Ângulo (A.A.)
Vamos estudar o caso quando dois triângulos possuem dois pares de
ângulos iguais.
E
 = ’
Ê = Ê’
I
Como os ângulos em E e em E’ são
congruentes, temos que EI e E’I’ são
paralelas.
A
E’
E
Portanto os ângulos em I e em I’
também são congruentes.
Então os triângulos são semelhantes.
I’
I
A’
Se dois triângulos têm dois pares de ângulos congruentes, então esses triângulos
são semelhantes.
2° Caso – Lado-Ângulo-Lado (L.A.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados
são congruentes
 = ’
E
AE = AI
A’E’
A’I’
A
I
Como os lados AE, A’E’, AI e A’I’ são
proporcionais, nessa ordem, temos a
recíproca do Teorema de Tales.
E’
E
Portanto os segmentos EI e E’I’ são
paralelos e os ângulos formados em E
e E’ e em I e I’ são congruentes.
A’
I
I’
Então os triângulos são semelhantes.
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos
compreendidos entre eles congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
3° Caso – Lado-Lado-Lado (L.L.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem os três lados
correspondentes proporcionais.
A
AE = AI = EI
A’E’
A’I’
E’I’
Vamos marcar em A’E’ um ponto X tal que A’X = AE
E
I
Agora vamos traçar uma reta paralela a E’I’ que
passa por X e marcar o ponto Y em A’I’.
A’
Então temos:
A’X = A’Y
A’E’ A’I’
Y
I’
X
E’
Mas como A’X = AE:
AE = A’Y
A’E’ A’I’
Então AY = AI, e os triângulos AEI e A’E’I’
são semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então esses
triângulos são semelhantes.
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1° Caso – Ângulo-Ângulo (A.A.)
Vamos estudar o caso quando dois triângulos possuem dois pares de
ângulos iguais.
E
 = ’
Ê = Ê’
I
Como os ângulos em E e em E’ são
congruentes, temos que EI e E’I’ são
paralelas.
A
E’
E
Portanto os ângulos em I e em I’
também são congruentes.
Então os triângulos são semelhantes.
I’
I
A’
Se dois triângulos têm dois pares de ângulos congruentes, então esses triângulos
são semelhantes.
2° Caso – Lado-Ângulo-Lado (L.A.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados
são congruentes
 = ’
E
AE = AI
A’E’
A’I’
A
I
Como os lados AE, A’E’, AI e A’I’ são
proporcionais, nessa ordem, temos a
recíproca do Teorema de Tales.
E’
E
Portanto os segmentos EI e E’I’ são
paralelos e os ângulos formados em E
e E’ e em I e I’ são congruentes.
A’
I
I’
Então os triângulos são semelhantes.
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos
compreendidos entre eles congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
3° Caso – Lado-Lado-Lado (L.L.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem os três lados
correspondentes proporcionais.
A
AE = AI = EI
A’E’
A’I’
E’I’
Vamos marcar em A’E’ um ponto X tal que A’X = AE
E
I
Agora vamos traçar uma reta paralela a E’I’ que
passa por X e marcar o ponto Y em A’I’.
A’
Então temos:
A’X = A’Y
A’E’ A’I’
Y
I’
X
E’
Mas como A’X = AE:
AE = A’Y
A’E’ A’I’
Então AY = AI, e os triângulos AEI e A’E’I’
são semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então esses
triângulos são semelhantes.
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1° Caso – Ângulo-Ângulo (A.A.)
Vamos estudar o caso quando dois triângulos possuem dois pares de
ângulos iguais.
E
 = ’
Ê = Ê’
I
Como os ângulos em E e em E’ são
congruentes, temos que EI e E’I’ são
paralelas.
A
E’
E
Portanto os ângulos em I e em I’
também são congruentes.
Então os triângulos são semelhantes.
I’
I
A’
Se dois triângulos têm dois pares de ângulos congruentes, então esses triângulos
são semelhantes.
2° Caso – Lado-Ângulo-Lado (L.A.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados
são congruentes
 = ’
E
AE = AI
A’E’
A’I’
A
I
Como os lados AE, A’E’, AI e A’I’ são
proporcionais, nessa ordem, temos a
recíproca do Teorema de Tales.
E’
E
Portanto os segmentos EI e E’I’ são
paralelos e os ângulos formados em E
e E’ e em I e I’ são congruentes.
A’
I
I’
Então os triângulos são semelhantes.
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos
compreendidos entre eles congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
3° Caso – Lado-Lado-Lado (L.L.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem os três lados
correspondentes proporcionais.
A
AE = AI = EI
A’E’
A’I’
E’I’
Vamos marcar em A’E’ um ponto X tal que A’X = AE
E
I
Agora vamos traçar uma reta paralela a E’I’ que
passa por X e marcar o ponto Y em A’I’.
A’
Então temos:
A’X = A’Y
A’E’ A’I’
Y
I’
X
E’
Mas como A’X = AE:
AE = A’Y
A’E’ A’I’
Então AY = AI, e os triângulos AEI e A’E’I’
são semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então esses
triângulos são semelhantes.
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1° Caso – Ângulo-Ângulo (A.A.)
Vamos estudar o caso quando dois triângulos possuem dois pares de
ângulos iguais.
E
 = ’
Ê = Ê’
I
Como os ângulos em E e em E’ são
congruentes, temos que EI e E’I’ são
paralelas.
A
E’
E
Portanto os ângulos em I e em I’
também são congruentes.
Então os triângulos são semelhantes.
I’
I
A’
Se dois triângulos têm dois pares de ângulos congruentes, então esses triângulos
são semelhantes.
2° Caso – Lado-Ângulo-Lado (L.A.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados
são congruentes
 = ’
E
AE = AI
A’E’
A’I’
A
I
Como os lados AE, A’E’, AI e A’I’ são
proporcionais, nessa ordem, temos a
recíproca do Teorema de Tales.
E’
E
Portanto os segmentos EI e E’I’ são
paralelos e os ângulos formados em E
e E’ e em I e I’ são congruentes.
A’
I
I’
Então os triângulos são semelhantes.
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos
compreendidos entre eles congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
3° Caso – Lado-Lado-Lado (L.L.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem os três lados
correspondentes proporcionais.
A
AE = AI = EI
A’E’
A’I’
E’I’
Vamos marcar em A’E’ um ponto X tal que A’X = AE
E
I
Agora vamos traçar uma reta paralela a E’I’ que
passa por X e marcar o ponto Y em A’I’.
A’
Então temos:
A’X = A’Y
A’E’ A’I’
Y
I’
X
E’
Mas como A’X = AE:
AE = A’Y
A’E’ A’I’
Então AY = AI, e os triângulos AEI e A’E’I’
são semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então esses
triângulos são semelhantes.
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Vamos estudar o caso quando dois triângulos possuem dois pares de
ângulos iguais.
E
 = ’
Ê = Ê’
I
Como os ângulos em E e em E’ são
congruentes, temos que EI e E’I’ são
paralelas.
A
E’
E
Portanto os ângulos em I e em I’
também são congruentes.
Então os triângulos são semelhantes.
I’
I
A’
Se dois triângulos têm dois pares de ângulos congruentes, então esses triângulos
são semelhantes.
2° Caso – Lado-Ângulo-Lado (L.A.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem dois lados
correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos por esses lados
são congruentes
 = ’
E
AE = AI
A’E’
A’I’
A
I
Como os lados AE, A’E’, AI e A’I’ são
proporcionais, nessa ordem, temos a
recíproca do Teorema de Tales.
E’
E
Portanto os segmentos EI e E’I’ são
paralelos e os ângulos formados em E
e E’ e em I e I’ são congruentes.
A’
I
I’
Então os triângulos são semelhantes.
Se dois triângulos têm dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos
compreendidos entre eles congruentes, então esses triângulos são semelhantes.
3° Caso – Lado-Lado-Lado (L.L.L.)
Vamos estudar agora o caso quando dois triângulos possuem os três lados
correspondentes proporcionais.
A
AE = AI = EI
A’E’
A’I’
E’I’
Vamos marcar em A’E’ um ponto X tal que A’X = AE
E
I
Agora vamos traçar uma reta paralela a E’I’ que
passa por X e marcar o ponto Y em A’I’.
A’
Então temos:
A’X = A’Y
A’E’ A’I’
Y
I’
X
E’
Mas como A’X = AE:
AE = A’Y
A’E’ A’I’
Então AY = AI, e os triângulos AEI e A’E’I’
são semelhantes.
Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então esses
triângulos são semelhantes.