Problema 1 Considere um veleiro, semelhante ao do problema 4 da unidade anterior, sujeito a um carregamento devido ao vento de f.
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Problema 1
Considere um veleiro, semelhante ao do problema 4 da unidade anterior, sujeito a um carregamento devido ao vento de distribuído ao longo do mastro de comprimento
f = L
50 N/m, uniformemente = 10 m.
f z = 10 z = 0
O carregamento causa uma deflexão no mastro, e a seguinte equação diferencial, baseada nas leis da mecânica, pode ser usada para caracterizar esta deflexão:
d
2
y dz
2
f
2
EI
(
L
z
) 2 onde:
I E
é o módulo de elasticidade da madeira é o momento de inércia do mastro.
z y
Sabendo que
E
= 1.5
x 10 8 N/m 2 e
I
= 0.06 m 4 , calcule a deflexão da extremidade superior do mastro
z
=
L
, usando as seguintes condições iniciais:
z z
0
0
y
0
dy
0
dz
Problema 2
Considere um pendulo simples como mostrado abaixo.
q
ℓ
A seguinte equação diferencial descreve seu movimento:
d
2 q
dt
2
g
sen
q
0
Sabendo que ℓ = 30cm e g = 9.81 m/s 2 , calcule a velocidade que o pêndulo assumirá quando q = 0º utilizando a seguinte condição inicial:
t
0 q 3
Problema 3
Um reator de volume
V
é alimentado por uma vazão
Q
com uma concentração de entrada
C in
. Uma hélice faz a mistura da solução de maneira que todo volume do reator se torne homogêneo.
Q C in Q c
A seguinte equação diferencial descreve a taxa de variação da concentração da solução dentro do reator no tempo:
V dc dt
QC in
Qc
Sabe-se que em
t
= 0 a concentração no reator é
c 0
a concentração no tempo
t
= 10
min
.
= 10
mg/m 3
. Calcule Dados:
Q = 5 m 3 /min C in = 50 mg/m V = 100 m 3 3 V dc
QC in
Qc dt
5 m 3 /min 50 mg/m 3 5 m 3 /min c
Problema 4
Um projétil é lançado verticalmente para o alto contra a resistência do ar.
Sabe-se que a força de resistência é proporcional ao quadrado da velocidade. Aplicando a segunda Lei de Newton escrevemos a seguinte equação do movimento:
dv dt
g
c M v
2 Determine o tempo necessário para que o projétil alcance sua altura máxima sabendo que:
c
2
m
1
M g
10
m
/
s
2
v
( 0 ) 15
m
/
s
Problema 5
Numa reação química, uma molécula do reagente molécula do reagente
B A
combina-se com uma para formar uma molécula do produto
C
. Sabe-se que a concentração
y
(
t
) do produto
C,
no tempo, é solução do seguinte (p.v.i.):
dy dt y
( 0 )
k
(
a
0
y
)(
b
y
) Onde
k
é a constante de reação,
a
e
b
são, respectivamente, a concentração inicial do reagente
A
e
B
. Considerando que:
k
= 0.01
a b
= 70
milimoles/litro
= 50
milimoles/litro
Determine a concentração do produto
C
no intervalo [0, 20].
Problema 6
Considere o conjunto massa – amortecedor dado abaixo.
M F(t) b
A equação diferencial que descreve o sistema é:
M dv
(
t
)
bv
(
t
)
dt
F
(
t
) Assuma que:
t i
ih
,
i
0 , 1 ,..., 5
h v
( 0 )
0
b
3
Kg
/
s M
0 .
4 ; 1
Kg F
(
t
)
1
N
a) Calcule
v
(2) pelo método de Euler b) Calcule
v
(2) pelo método de Taylor de ordem 2 c) Sabendo que a solução exata é dada por:
v
(
t
)
e
3
t
9
t
3 1 9 compare os resultados obtidos nos item
a
) e
b
) com a solução exata.
1 kg 1 N
M dv
(
t
)
bv
(
t
)
dt
F
(
t
)
3 kg/s
Problema 7
A corrente
i
(
t
) num circuito resistor – indutor (RL) de fonte alternada pode ser expressa pela seguinte equação:
L di dt
Ri
Vsen
(
wt
) onde
L
é a indutância,
R
é a resistência e
w
é a freqüência da fonte.
R L V i
Sabendo que
V
= 50
Volts
,
L
= 1
Henry
,
w
= 300
Hz
e
R
= 50
Ohms
resolva o (p.v.i.) por um método de Runge – Kutta considerando , que
i
(0) = 0.
50
W
1 H 50 V i
Problema 8
A carga
q
(
t
) armazenada no capacitor de um circuito resistor - indutor capacitor (RLC) de fonte alternada pode ser expressa pela seguinte equação: 2
L d dt
2
q
R dq dt
1
C q
Vsen
(
wt
) onde
L
é a indutância, freqüência da fonte.
R
é a resistência,
C
a capacitância e
w
é a
R L V C i
Sabendo que
V
= 50
Volts
,
L
= 1
Henry
,
w
= 300
Hz
,
R
= 50
Ohms
e
C
= 0.25 Faraday. Resolva o (p.v.i.) por um método de Runge – Kutta considerando que
q
(0) = 0 e
i
(0) = 0.
50
W
1 H 50 V
0.25 F
i