Transcript BINOMICKÁ VĚTA Mgr. Hana Križanová Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním.

BINOMICKÁ VĚTA
Mgr. Hana Križanová
Střední škola, Havířov-Šumbark, Sýkorova 1/613, příspěvková organizace
Tento výukový materiál byl zpracován v rámci akce EU peníze středním školám - OP VK 1.5.
Výuková sada – MATEMATIKA, DUM č. 15
BINOMICKÁ VĚTA
Slouží k řešení klasických vzorců za
pomocí kombinatoriky.
BINOM – dvojčlen
 a  b   a  2ab  b
3
3
2
2
3
a

b

a

3a
b

3ab

b


4
4
3
2 2
3
4
 a  b   a  4a b  6a b  4ab  b
2
2
2
Binomická věta
 n  n 0  n  n1 1  n  n2 2  n  n3 3
 n 0 n
 a  b    a b    a b    a b    a b  .....    a b
0
1
2
 3
n
n
a  b
n
 n  nk k
   a b
k 0  k 
n
a,b R; n,k N
• součet exponentů je vždy roven n
• binomické koeficienty jsou symetrické
• k výpočtu binomických koeficientů lze použít
Pascalův trojúhelník
PASCALŮV TROJÚHELNÍK
0
0
 
1
0
 
2
0
 
 3
0
 
4
0
 
 5
0
 
2
1
 
 3
1
 
4
1
 
 5
1
 
1
1
 
2
2
 
 3
2
 
 3
 3
 
4
4
 3
4
 
 
 5
 3
 
 5
4
 
4
2
 
 5
2
 
 5
 5
 
• vyčíslený Pascalův trojúhelník
• součet dvou sousedních čísel v řádku je roven
číslu pod nimi
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Samostatná práce:
Řešte pomocí binomické věty.
1)
2x
2)
x
3)
 1
x 
 3

2 
 x
3
2
 y
5
 3x 
5
4
3
Příklad 1)
5
 5  3 5 0  5 3 4 1  5 3 3 2  5 3 2 3  5  3 1 4  5 3 0 5
3
2x

y


  0  2x  y   1  2x  y   2  2x  y   3  2x  y   4  2x  y   5  2x  y 
 
 
 
 
 
 
32x15  5  16x12 y  10  8x 9 y2  10  4x 6 y 3  5  2x 3y 4  y 5 
32x15  80x12 y  80x 9 y2  40x 6 y 3  10x 3y 4  y 5
Příklad 2)
4
 4  2 4
0  4  2 3
1  4  2 2
2  4  2 1
3  4  2 0
4
2
x

3
x

x

3x

x

3x

x

3x

x

3x
    x   3x  









  0  
  
  
  
 
1
2
 3
4
x 8  4x 6  3x  6x 4  9x2  4x 2  27x 3  81x 4  x 8  12x 5  54x 2  108x  81x 4
Příklad 3)
3
3
0
2
1
1
2
0
3
 1
x5   3   1   x5   3   1   x5   3   1   x5   3   1   x5 
 3
    3       3       3       3    
x
2

  0  x   2   1  x   2   2  x   2   3 x   2 
x10
x15
3 3x 7
x15
1
1 x5
1
1
 3 6 
 3 3 

 9 

x9
x 2
x
4
8
x 2x
4
8
Určete daný člen binomického rozvoje:
11
1)  7 1 2 
sedmý člen
 4x  x 
2 

6
11
5
 
1 12
7  1 2 
35
a7     4x   x   462  1024  x   x  7392x 23
64
2

6
14
2)  5x 5  1 

2 
x 

 14  5
a11    5x
 10 
 
4
jedenáctý člen
10
1
1
20
  2   1001  625  x  20  625625
x
 x 
x

3) 
 2x 
 4

3
8
šestý člen
3
3
 8  x 
x 9
5
5
4
a6    
2x   56   32x  28x


64
 5 4 


3
3
4)  2x 


x 

6
a4   
 3

2x
3

3
6
čtvrtý člen
3
 3 3
3
9
6


20

2
2

x




120
6x



3 
 x 
 x 
POUŽITÁ LITERATURA
• Obrázky: www.cs.wikipedia.org