Transcript Тема 9. Механические колебания §9.1. Колебания. Гармонические колебания. Амплитуда и фаза колебаний Колебания – это процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Свободные, или собственные, колебания происходят в системе, предоставленной.

Тема 9. Механические
колебания
§9.1. Колебания. Гармонические
колебания.
Амплитуда и фаза колебаний
Колебания – это процессы,
отличающиеся той или иной
степенью повторяемости.
Свободные, или собственные, колебания
происходят в системе,
предоставленной самой себе
после выведения её из состояния равновесия.
При вынужденные колебаниях
колеблющаяся система подвергается
внешнему, периодически меняющемуся
воздействию.
Периодические колебания
какой-либо
параметр
системы
P
t
время
Т
период колебаний
P
P(t +T) = P(t)
Гармонические колебания:
t
синусоида (или косинусоида: форма кривой одна и та же;
только первая начинается с нуля, а вторая – с единицы.
Ниже будет показано, что всё определяется начальной фазой.)
Механические колебательные системы
Пружинный маятник
Физический маятник
Математический
маятник
Крутильный маятник
Гравитационный
маятник
Уравнение гармонических колебаний. Параметры
Пусть зависимость изменяющегося при колебаниях параметра Р от времени t
является синусоидой.
Однако записать эту зависимость просто P = sin t нельзя, поскольку, вопервых, сам параметр Р имеет размерность, а синус – безразмерен; во-вторых,
аргумент у синуса должен быть безразмерен, а у нас там пока – секунда!
Поэтому перед синусом должен быть некоторый коэффициент с размерностью
изменяющегося при колебаниях параметра Р, а под синусом – коэффициент с
размерностью, обратной размерности времени.
P
амплитуда (максимальное
значение)
PA
t
P = PA sin ω t
[ω] = 1/c
1
фаза
[PA] = [P]
P
Но и косинусоида может быть сведена к синусоидальной
зависимости путем сдвига фазы на π/2:
t
2
P = PA cos ωt =
= PA sin (ωt+π/2)
P
амплитуда
PA
t
фаза
P = PA sin ω t
1
[ω] = 1/c
[PA] = [P]
P
t
P = PA cos ωt =
= PA sin (ωt+π/2)
2
В общем случае:
P
t
1
2
P = PA sin(ωt+φ0 )
начальная фаза
частные случаи
Тема 9. Механические
колебания
§9.2.
Свободные незатухающие
колебания.
Пружинный маятник
Свободные колебания груза на пружине. Трения нет
Равнодействующей всех сил, действующих
на тело в данном случае является сила
упругости пружины (сила тяжести здесь
уравновешивается реакцией опоры):
Fупр  kx.
x
0
коэффициент упругости пружины
x
Уравнение по 2-му закону Ньютона тогда принимает вид:
m a  kx,
Поделив всё
на массу тела:
или
k
x  x  0;
m
d 2x
m 2  kx.
dt
и заменив коэффициент при
k
х:
  02 ,
m
получаем уравнение движения тела при колебаниях под действием упругой силы:
x  02 x  0
Примечание:
ниже станет понятно, почему коэффициент при
х
берётся в квадрате.
x   x  0
2
0
k
 
m
2
0
Основная масса учащихся пока вряд ли
знает, как решаются дифференциальные
уравнения. Но можно угадать решение
такого уравнения.
Ведь чтобы справа получить ноль,
x
необходимо иметь зависимость x(t) такую,
x
чтобы её вторая производная повторила
0
саму себя, да ещё со знаком минус!
Какая это функция? Конечно, синусоида (или косинусоида). В общем случае (см. §9.1):
x  A sin(0t  0 )
– уравнение колебаний
Проверим. Возьмём 1-ю производную (кстати,
при этом получим скорость движения тела при
колебаниях):
x  v  A0 cos(0t  0 ),
x
T
A
t
и вторую:
x  v  a   A02 sin(0t  0 ).
Подставляем выражения для х и его 2-й
производной в верхнее уравнение движения и
убеждаемся, что всё получилось.
А – амплитуда колебаний,
Т – период.
A
A
Стробоскопическое
изображение
гармонических
колебаний
с разверткой
по времени.
Именно таким
образом можно
увидеть синусоиду!
Здесь:
x = A sin (ω0t +π /2)
A
A
x  A sin(0t  0 )
х
(Именно здесь становится понятно, почему
удобно коэффициент ω0 брать в квадрате.)
x
x
0
x
A
k
 
m
2
0
Период колебаний
пружинного маятника.
Частота.
Циклическая частота
T
1
2
t
Фаза в момент времени 1:
Фаза в момент времени 2:
После раскрытия скобок:
1  0t  0 .
1
2  0 (t  T )  0  0t  0  2 .
0t  0T  0  0t  0  2 ,
Откуда:
0T  2
m
T  2
k
1

T
0  2
Графики координаты x(t), скорости υ(t) и
ускорения a(t) тела, совершающего
гармонические колебания.
A
A
vm
vm
am
2 t
x  A cos 0t  A cos
T
x  v   A0 sin 0t
vm - амплитуда скорости
x  v  a   A02 cos0t
am
am
амплитуда ускорения
Тема 9. Механические
колебания
§9.3.
Физический и
математический маятники
Физический маятник
Физическим маятником
называют твёрдое тело,
совершающее под действием
силы тяжести колебания вокруг
неподвижной точки или оси.
l
Очевидно, что центр масс
(тяжести) в этом случае должен
находиться ниже точки подвеса.
Пусть l - радиус-вектор центра
масс относительно точки подвеса.
Колебания физического маятника происходят под действием
возвращающего момента
силы тяжести:
 

M  l  mg.
 
Уравнение движения при вращении: I  M
α

M
при малых углах
l
I  m glsin   mgl
h
(Знак минус означает, что вращающий момент направлен
противоположно углу отклонения маятника)

I  mgl  0,
после замены:
02 
mgl
I
получаем уравнение, аналогичное уравнению
движения для пружинного маятника:
2
0
Для сравнения:
Решение уравнения:
x  02 x  0
mg
     0.
αm
α
   m sin(0t  0 )
T
t
T
2
0
x  A sin(0t  0 )
I
T  2
m gl
Математический маятник (материальная точка на длинной
невесомой нерастяжимой нити) – частный случай физического маятника
I
T  2
m gl
α
I = ml2
l
m
l
T  2
g
(при малых углах α)
Тема 9. Механические
колебания
§9.4.
Определение
момента инерции
воздушного винта методом
физического маятника
С помощью колебаний можно экспериментально определить
такую важную характеристику воздушного винта авиадвигателя,
как его момент инерции относительно оси вращения.
Вначале путём измерения периода колебаний винта,
подвешенного за его конец, определяется момент
инерции относительно точки подвеса:
l
I
T  2
m gl

T2
I
m gl
2
4
А затем используется
теорема Штейнера:
I  I 0  ml2
Окончательно:
2


T2
T
2
I 0  2 m gl m l  m l 2 g  l 
4
 4

Тема 9. Механические
колебания
§9.5.
Энергия гармонического
осциллятора (на примере
пружинного маятника)
Полная энергия:
v
x
0
x
E  Екин  Епот
m v2 kx2


;
2
2
x  A sin(0t  0 ) ;
k
 
m
2
0
v  x  A0 cos(0t  0 )
1
Eпот
t
Eкин
t
E
t
2
m A202 cos2 0t kA2 sin 2 0t
E

2
2
kA2
2
(тах )
 Епот
; Е~ A
1) E 
2
2
m vmax
(тах )
 Eкин
2) E 
2
Таким образом, полная энергия, состоящая из
кинетической энергии тела и потенциальной
энергии пружины, остаётся постоянной, хотя
каждая из составляющих переменна по времени.
Тема 9. Механические
колебания
§9.5.
Затухающие колебания
Колебания груза на пружине при наличии трения
К сила упругости пружины, действующей
на тело, в данном случае добавляется
сила сопротивления. Будем считать, что
эта сила пропорциональна скорости, но
направлена в противоположную ей
сторону:
x
0
x
Fсопр  rv  rx ,
r – коэффициент сопротивления.
Уравнение движения тогда принимает вид:
Если всё поделить на массу тела
и заменить коэффициенты:
mx   rx  kx .
k
r
  ; 2  ,
m
m
2
0
то получим уравнение движения тела при колебаниях под действием упругой силы:
x  2x  02 x  0,
Примечание: ниже станет понятно, почему коэффициент при первой
производной х берётся удвоенным.
A0
k
r
  ; 2 
m
m
A0/e
x  2x  02 x  0,
2
0
Решение такого уравнения
имеет вид:
x  A0e
Амплитуда таких колебаний переменна по времени:
 t
cos(t  0 )
A(t),
а циклическая частота отличается от частоты свободных незатухающих колебаний:
  02   2 ; (   0 )
r

2m
– коэффициент затухания. Характеризует скорость
уменьшения амплитуды колебаний.
Период затухающих колебаний:
T
2


2
02   2
Тема 9. Механические
колебания
§9.6.
Вынужденные колебания.
Резонанс
Вынужденные колебания груза на пружине.
К упругой силе и силе сопротивления здесь добавляется
периодически меняющаяся внешняя вынуждающая сила:
Fвн  F0 cost ,
ω – частота вынуждающей силы.
Уравнение движения для этого случая:
mx  kx  rx  F0 cost.
После замены:
02 
r
k
; 2  ;
m
m
F0
x  2x   x  cos t.
m
2
0
А
Решение уравнения:
x  A() cos(t  0 )
x0 
F0
k
Т.е. тело колеблется с частотой
вынуждающей силы и с амплитудой,
зависящей от этой частоты:
A( ) 
F0
m (02   2 ) 2  4 2 2
Характер этой зависимости указывает на возможность при определённых условиях
резкого возрастания амплитуды колебаний – резонанса.
A( ) 
F0
m (02   2 ) 2  4 2 2
Условие для резонанса:


d
(02   2 ) 2  4 2 2  0
d
F
x0  0
k
ωрез ω0
 рез  02  2  2
2(02   2 )(2)  8 2  0
- резонансная частота.
Амплитуда при резонансе:
Aрез 
F0
2m 02   2
Как следует из полученной формулы, максимум амплитуды
определяется величиной коэффициента затухания β и
стремится к бесконечности в случае исчезающе малого трения.