01

Crecimiento Económico

Parte 3

02

Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Idea Central:

la acumulación del conocimiento técnico es endógeno al modelo

Diferencia Centrales con Modelo Neoclásico

• En el largo plazo la tasa de crecimiento del stock de capital por trabajador exógena (𝑔 ∗ 𝑘 ) puede ser positiva, aún cuando no se postule que alguna variable crezca a una tasa • Ausencia de rendimientos decrecientes del capital.

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03

Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Funciones Esenciales del Modelo

• La función de producción de bienes 𝑌 = 1 − 𝑎 𝐾 𝐾 𝛼 𝐴 1 − 𝑎 𝐿 𝐿 1−𝛼 con 0 <∝< 1 • La función de producción de conocimiento 𝐴 = 𝐵 𝑎 𝐾 𝐾 𝛽 𝑎 𝐿 𝐿 𝛾 𝐴 𝜃 En donde: 𝑎 𝑎 𝐿 𝐾 con 𝐵 > 0 𝛽 ≥ 0 𝛾 ≥ 0 es la proporción del factor trabajo dedicado a la producción de conocimiento es la proporción del factor capital dedicado a la producción de conocimiento Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

04

Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Porque se denominan Modelos AK Supuestos del Modelo Neoclásico

(AK1) Función de producción Cobb Douglas: 𝑌 = 𝐴𝐾 𝛽 𝐿 𝛼 (AK2) Tasa de Ahorro es constante ( 𝑠 ) y se invierte lo que se ahorra (AK3) El aumento del capital será: 𝐾 = 𝑠𝐴𝐾 𝛽 𝐿 𝛼 − 𝛿𝐾 (AK4) Toda la población esta empleada, y crece a una tasa constante determinada exógenamente: 𝜂 = 𝐿 𝐿 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Demostración

Reexpresemos (AK3) dividiendo por L 𝐾 𝐿 = 𝑠𝐴𝐾 𝛽 𝐿 𝛼 𝐿 − 𝛿 𝐾 𝐿 𝐾 = 𝑠𝐴𝐾 𝛽 𝐿 𝛼−1 − 𝛿𝑘 𝐿 (1) 𝐿 𝛼−1 𝑘 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Demostración

Si derivamos el capital por trabajo efectivo respecto del tiempo, obtenemos: 𝑘 = 𝐾 𝐿 − 𝐾 𝐿 𝐿 𝐿 𝑘 = 𝐾 − 𝑘𝜂 𝐿 reordenando 𝑘 𝜂 𝐾 = 𝑘 + 𝑘𝜂 𝐿 (2) Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Demostración

Introduciendo (2) en (1), y multiplicando el primer termino del lado derecho arriba y abajo por 𝐿 𝛽 𝑘 + 𝑘𝜂 = 𝑠𝐴 𝐾 𝐿 𝛽 𝛽 𝛽 𝐿 𝐿 𝛼−1 𝐿 𝛽 − 𝛿𝑘 𝑘 + 𝑘𝜂 = 𝑠𝐴𝑘 𝛽 𝐿 𝛽+𝛼−1 − 𝛿𝑘 𝑘 𝛽 𝐿 𝛽+𝛼−1 reordenando: 𝑘 = 𝑠𝐴𝑘 𝛽 𝐿 𝛽+𝛼−1 − 𝛿 + 𝜂 𝑘 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Demostración

por último si dividimos por 𝑘 𝑘 𝑘 = 𝑠𝐴𝑘 𝛽 𝐿 𝛽+𝛼−1 − 𝑘 𝛿 + 𝜂 𝑘 𝑘 𝑔 𝑘 𝑘 𝛽−1

Por lo cual

𝑔 𝑘 = 𝑠𝐴𝑘 𝛽−1 𝐿 𝛽+𝛼−1 − 𝛿 + 𝜂 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Demostración

Pasando todas las constantes al primer miembro, evaluando en el estado estacionario, y tomando logaritmos obtenemos: 𝑙𝑜𝑔 𝑔 ∗ 𝑘 + 𝛿 + 𝜂 𝑠𝐴 = 𝛽 − 1 log 𝑘 + 𝛽 + 𝛼 − 1 log 𝐿 Finalmente derivamos respecto al tiempo: (03) Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

= 𝟎

Demostración

< 𝟎 En la hipótesis neoclásica la función de producción tiene rendimientos constantes a escala, y rendimientos decrecientes pero positivos de cada factor, lo que implica que 𝛽 + 𝛼 = 1 Por lo tanto, transformamos a (4) en A su vez 0 < 𝛽 < 1 Entonces la única tasa de crecimiento sostenible en el estado estacionario es Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Conclusión

 En un contexto de

mercados competitivos

con

rendimientos constantes a escala

,

la retribución de los factores agota el valor del producto final

, por lo cual no quedan recursos para actividades de investigación y desarrollo.

 Para suponer que hay

aumento tecnológico

, este debe ser exógeno, en el sentido que los mecanismos determinantes del mismo

no son explicados por el modelo

.

 Para que en un contexto de rendimientos constantes a escala se puedan tener tasas de crecimiento del capital por trabajador positivas ( 𝑔 ∗ 𝑘 > 0 ), entonces necesariamente 𝛽 = 1 , por lo cual nuestra función de producción pasaría a ser: 𝑌 = 𝐴𝐾 𝛽 𝐿 1−𝛽 = 𝐴𝐾 1 𝑁 0 = 𝐴𝐾 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Formas de introducir las tecnología AK i) Trabajo como un tipo de capital:

Lo relevante para la producción no es el numero de personas empleadas, sino la cantidad de trabajo corregido por calidad La calidad es algo que puede acumularse a traves de la inversión en salud, educación o formación profesional, es un concepto similar al de capital humano, y cabe englobarlas como un concepto amplio de capital.

ii. Capital Privado y Bienes

el Estado como un bien productivo

Públicos:

más.

se toman a los bienes producidos por La función tomará la forma de: Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Formas de introducir las tecnología AK iii) Rendimientos Crecientes a Escala:

Entonces Dificultad: el problema que plantea este tipo de función de producción es la

dificultad de encontrar un conjunto de precios que permitan un equilibrio

competitivo.

Solución

: suponer que rendimientos crecientes a nivel agregado y constantes a nivel individual.

existen

Existencia de Externalidades Positivas

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Formas de introducir las tecnología AK

Entonces la función de producción individual será: En donde 𝑌 𝑖 = 𝐴𝐾 𝑖 𝛽 𝐿 𝑖 1−𝛽 𝜓 es el stock de capital agregado de la economía es el tamaño de la externalidad 𝑌 𝑖 𝑖 = 𝐴𝐾 𝛽 𝐿 1−𝛽 𝐾 𝜓 El tamaño de la externalidad debe ser tal que Habrá rendimientos constantes del capital en un contexto de rendimientos crecientes a escala.

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Formas de introducir las tecnología AK iv) Coexistencia de capital físico y humano

Ahora nuestra función Cobb Douglas será: (04) Supongamos ahora que el capital recursos del consumo: físico como humano se pueden acumular detrayendo Suponemos adicionalmente • Que el

capital físico y humano

son

sustitutos perfectos

• Que en el equilibrio que posean

idénticos rendimientos

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Formas de introducir las tecnología AK iv) Coexistencia de capital físico y humano

Derivemos para sacar las productividades marginales de ambos factores: 𝑌 De hecho que ambas productividades son iguales en el equilibrio sabemos que: 𝛽𝐵𝐾 𝛽 𝐻 1−𝛽 = 𝐾 𝐾 1 − 𝛽 𝑌 = 1 − 𝛽 𝐵𝐾 𝛽 𝐻 1−𝛽 𝐻 𝐻 Reordenamos arriba y abajo por H en el miembro derecho y luego dividimos Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

Formas de introducir las tecnología AK iv) Coexistencia de capital físico y humano

Reordenando podemos encontrar una relación única entre

K

y

H

(05) 1 Sustituyendo (5) en (4) 𝑌 = 𝐵𝐾 𝛽 1 − 𝛽 𝛽 1−𝛽

𝑌 = 𝐴𝐾

1 − 𝛽 𝛽 1−𝛽 𝐾 𝛽+1−𝛽 𝐴 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER SUPUESTOS:

(AKR01) Hay otro de

dos sectores

productivos, uno que produce

producción de conocimiento: bienes de consumo y inversión

; y el 𝑌 = 1 − 𝑎 𝐾 𝐾 𝛼 𝐴 1 − 𝑎 𝐿 𝐿 1−𝛼 con 0 <∝< 1 (06) 𝐴 = 𝐵 𝑎 𝐾 𝐾 𝛽 𝑎 𝐿 𝐿 𝛾 𝐴 𝜃 𝑎 𝐿 𝑎 𝐾 con 𝐵 > 0 𝛽 ≥ 0 𝛾 ≥ 0 (07) es la proporción del factor trabajo dedicado a la producción de conocimiento es la proporción del factor capital dedicado a la producción de conocimiento (AKR02) La función de producción de bs de consumo e inversión presenta rendimientos constantes a escala Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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EL MODELO DE ROMER SUPUESTOS:

(AKR03) La escala: función de producción de conocimientos no presenta rendimientos constantes a Si son DECRECIENTES, es que esta operando en las condiciones normales que aumentos marginales de esfuerzos de I+D disminuyen la productividad del elemento marginal

Por lo cual

Sin son CRECIENTES, es que la producción de conocimientos genera externalidades positivas.

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER SUPUESTOS:

𝐴 = 𝐵 𝑎 𝐾 𝐾 𝛽 𝑎 𝐿 𝐿 𝛾 𝐴 𝜃

(AKR04)

𝜃 es la influencia del stock de conocimiento en el éxito de las actividades de I+D 𝜃 > 0 podemos razonar que descubrimientos pasados facilitan descubrimientos futuros Entonces: 𝜃 < 0 nos dice que los descubrimientos mas fáciles se realizan primero, y los posteriores son marginalmente mas difíciles de conseguir.

(AKR05) Tasa de Ahorro

es exógena y constante

(AKR06)

Hay

una ley de movimiento de capital

𝐾(𝑡) = 𝑠𝑌 𝑡

(AKR07)

Hay

una ley de población

𝐿 𝑡 = 𝑛𝐿 𝑡 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER

= 1

MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL

(AKR08) 𝛼 = 𝛽 = 0 Por lo cual (06) y (07) se transformarán en: 𝑌 𝑡 = 𝐴 𝑡 1 − 𝑎 𝐿 𝐿 𝑡 (6.a) 𝑌 𝑡 𝐿 𝑡 = 𝐴 𝑡 1 − 𝑎 𝐿 𝐿 𝑡 𝐿 𝑡 𝐴 𝑡 = 𝐵 𝑎 𝐿 𝐿 𝛾 𝐴 𝑡 𝜃 (7.a) Remark 01: podemos observar que en este caso 𝑌 𝐿 de crecimiento de 𝑌 𝐿 es proporcional a 𝑔 𝐴 es proporcional a 𝐴 , y por tanto la tasa Remark 02: Como 𝜂 es exógeno y 𝑔 𝐾 esta excluido, el conocimiento es el único factor producido, y como la función de producción tiene rendimientos constantes, entonces 𝜃 determina los rendimientos del modelo Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL

Busquemos entonces el valor de 𝑔 𝐴 , para ello dividamos (7.a) por 𝐴 𝑔 𝐴 = 𝐴 𝑡 𝐴 𝑡 = 𝐵 𝑎 𝐿 Son cero por que son constantes 𝐿 Tomamos logaritmos: 𝛾 𝐴 𝑡 𝜃−1 𝜂 𝑔 𝐴 log 𝑔 𝐴 𝑡 = log 𝐵 + 𝛾𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝐿 + 𝛾 log 𝐿 𝑡 + 𝜃 − 1 log 𝐴 𝑡 Derivamos respecto al tiempo 𝑔 𝐴 𝑔 𝐴 = 𝛾𝜂 + 𝜃 − 1 𝑔 𝐴 𝑔 𝐴 = 𝛾𝜂𝑔 𝐴 + 𝜃 − 1 𝑔 2 𝐴 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL

> 0 Sí 𝑔 𝐴 Porque los parámetros 𝛾 y 𝜂 son positivos Determina la trayectoria del crecimiento de la tecnología en el tiempo 𝑔 𝐴 = 𝛾𝜂𝑔 𝐴 + 𝜃 − 1 𝑔 2 𝐴 Pero el caso de ausencia de crecimiento tecnológico no es relevante = 0 Habrá tres casos de acuerdo a que > 𝜃 − 1 = 0 < Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL CASO 1:

𝜽 < 1 Como 𝑔 𝐴 𝑔 𝐴 > 0 por construcción, tendremos una situación como la que marca el gráfico

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𝑔 ∗ 𝐴 𝑔 𝐴 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL CASO 1:

𝜽 < 1 Veamos cual es el valor de 𝑔 ∗ 𝐴 Este es el punto del cero 𝑔 𝐴 = 𝛾𝜂𝑔 𝐴 + 𝜃 − 1 𝑔 2 𝐴 = 0 𝑔 𝐴 𝛾𝜂 + 𝜃 − 1 𝑔 𝐴 = 0 𝛾𝜂 + 𝜃 − 1 𝑔 𝐴 = 0 Este es el punto que buscamos 𝑔 ∗ 𝐴 𝛾𝜂 = − 𝜃 − 1 O lo que es igual 𝑔 ∗ 𝐴 = 𝛾 1 − 𝜃 𝜂 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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EL MODELO DE ROMER MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL CASO 1:

𝜽 < 1 𝑔 ∗ 𝐴 Depende de parámetros exógenos: 𝜃; 𝜂; 𝛾 Una vez determinadas las condiciones iniciales de converger hacia 𝑔 ∗ 𝐴 𝐴 y 𝐿 la economía tenderá a Una vez alcanzado la situación en donde 𝑔 𝐴 𝑡 = 𝑔 ∗ 𝐴 , tanto el conocimiento ( 𝐴 ) como la producción per capita ( 𝑌 𝐿 ) crecen a un ritmo constante y la economía entra en una senda de crecimiento sostenido Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL CASO 1:

𝜽 < 1

Cuestiones Adicionales:

a) 𝒈 ∗ 𝑨

es función de

𝜼

pero ¿En los países de mayor crecimiento poblacional es donde mas crecimiento hay?

NO

Esta variable se puede leer como que se necesita una cierta masa crítica para generar conocimiento suficiente para el crecimiento b) 𝒂 𝑳

no condiciona el crecimiento de largo plazo

La fracción de las horas de trabajo que dedicamos a I+D tiene un efecto nivel, pero no un efecto crecimiento.

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL CASO 2:

𝜽 > 1 En este caso el incremento de la producción de nuevo conocimiento es mas que proporcional al stock existente.

Es decir que 𝑔 𝐴 crece con 𝑔 𝐴 𝑔 𝐴 𝑔 𝐴 Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

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Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL CASO 2:

𝜽 > 1 Conclusiones: a) La economía no converge a un crecimiento sostenido sino que entra en una senda de crecimiento permanente b) Ante incrementos marginales de conocimiento la tasa de crecimiento de esos conocimientos se eleva cada vez mas en vez de caer.

c) Hay una espirilización del crecimiento d) 𝑎 𝐿 se transforma en fundamental, sí 𝑎 𝐿 ↑⇒ 𝑔 𝐴 ↑⇒ 𝐴 ↑ Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea - 2015

Modelo de Crecimiento Endógeno o Modelos AK

EL MODELO DE ROMER MODELO EN AUSENCIA DE CAPITAL CASO 3:

𝜽 = 𝟏 Las ecuaciones (5) y (6) se transforman en: 𝑔 𝐴 𝑔 𝐴 = 𝐵𝑎 𝐿 𝛾 𝐿 𝛾

30

𝑔 𝐴 = 𝛾𝜂𝑔 𝐴 𝑔 𝐴 Solo si el crecimiento de la población es positivo será positivo el crecimiento de los conocimientos, y tiene una dinámica similar al caso anterior Macroeconomía II – Crecimiento Económico – Parte III – Lic. Roberto Ortea – 2015