Media Pembelajaran Matematika SMA XI IPS

TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Persamaan Garis Singgung

Oleh : Agus Setiawan, S.Pd

Persamaan Garis Singgung

Perhatikan gambar berikut ini.

Y f(a+h) f(a+h) – f(a) f(a) P(a, f(a)) x = a h garis PQ Q(a+h, f(a+h)) S x = a+h y = f (x) garis singgung X Titik P dan Q terletak pada kurva y = f(x), titik P dan Q berturut-turut mempunyai absis x = a, dan x = a+h, maka ordinat titik P dan Q berturut-turut y = f(a) dan y = f(a+h) Garis PQ mempunyai gradien m yang ditentukan sebagai berikut.

m P Q  QS PS  f ( a  h )  f ( a ) h Selanjutnya jika Q bergerak mendekati P, maka garis PQ akan menjadi garis singgung kurva y = f(x) Jika Q mendekati P, maka nilai h juga akan mendekati 0, sehingga gradien garis singgung dapat ditentukan sebagai berikut.

m  h lim  0 m PQ  h lim  0 f ( a  h )  f ( a ) h  f / ( a ) Berdasarkan definisi turunan fungsi maka gradien garis singgung di titik P(a, f(a)) adalah m  f / ( a )

Persamaan garis singgung kurva y = f (x) di titik (a, b) adalah y – b = m (x – a) dengan m



f

/

( a ) Ingat !

Diketahui dua garis g dan l , dengan persamaan g : m 1 x + c, dan l = m 2 x + c, dengan m 1 Jika dua garis g dan l dan m 2 berturut-turut adalah gradien dari garis sejajar, maka m 1 = m 2 g dan l .

Jika dua garus g dan l saling tegak lurus, maka m 1 . m 2 = –1

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = 3x 2 – 4x + 2 di titik (1,1) 2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = 7 + 5x – 3x 2 dengan absis 2 3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = (x – 2)(x + 5) dengan ordinat 8 4. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = f (x) = x 2 – 2x – 3 yang mempunyai gradien 4 5. Persamaan parabola ditentukan dengan rumus y = 2x 2 – ax + b. Garis y = –6x – 4 menyinggung parabola tersebut di titik (–1, 2). Carilah nilai a dan nilai b.

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

1. f (x) = 3x 2 f / – 4x + 2 (x) = 6x – 4 garis melalui titik (1, 1) gradien garis singgung m = f / ( ) = 6.1 – 4 = 2 diperoleh m = 2.

persamaan garis singgung dititik 1 2 ditentukan dengan persamaan y – b     y – 1 = 2 (x – 1) y – 1 = 2x – 2 y = 2x – 2 + 1 y = 2x – 1 Jadi persamaan garis singgung kurva y = 3x 2 – 4x + 2 di titik (1, 1) adalah y = 2x – 1

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

2. f (x) = 7 + 5x – 3x 2 f / (x) = 5 – 6x garis melalui titik berabsis 2 x = 2 f ( ( x ) ) .

.

2  .

.

x 2 2  7  10  12  5 gradien garis singgung m = f / = 5 – 6.2 = –7 diperoleh m = –7.

persamaan garis singgung di titik ditentukan dengan persamaan      y – b = m(x – a) y – 5 = –7(x – 2) y – 5 = –7x + 14 y = – 7x + 14 + 5 y = – 7x + 19 7x + y = 19 Jadi persamaan garis singgung kurva y = 7 + 5x – 3x 2 berabsis 2 adalah y = – 7x + 19

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

3. f (x) = (x – 2)(x + 5) = ( = x x 2 2 + 5x + 3x – 2x – 10 – 10) f / (x) = 2x + 3 garis melalui titik berordinat 8 y = f (x) = 8     x 2 x x 2 2 + 3x – 10 = 8 + 3x – 10 – 8 = 0 + 3x – 18 = 0 (x + 6)(x – 3) = 0  x = –6 atau x = 3 Jadi diperoleh titik singgung (–6, 8) atau (3, 8) Untuk titik singgung (–6, 8) Gradien garis singgung m = f / ( ) = 2(–6) + 3 = –9 Persamaan garis singgung y – b = m(x – a)  y – 8 = – 9(x + 6)   y – 8 = – 9x – 54 y = – 9x – 54 + 8  y = – 9x – 46 Untuk titik singgung (3, 8)

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

    Untuk titik singgung (3, 8) Gradien garis singgung m = f / ( ) = 2(3) + 3 = 9 Persamaan garis singgung y – b = m(x – a) y – 8 = 9(x – 3) y – 8 = 9x – 27 y = 9x – 27 + 8 y = 9x – 19 Jadi persamaan garis singgung kurva y = (x – 2)(x + 5) dengan ordinat 8 adalah :

y = –9x – 46

untuk titik (–6, 8) atau

y = 9x – 19

untuk titik (3, 8)

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

4. f (x) = x 2 f / – 2x – 3 (x) = 2x – 2 Garis singgung bergradien 4      f m = 4 / (x) = 4 2x – 2 = 4 2x = 4 + 2 2x = 6 x = 3 x = 3 maka y = f (3) = 3 2 – 2.3 – 3 = 9 – 6 – 3 = 0 Titik singgung (3, 0) Persamaan garis singgung    y – b = m (x – a) y – 0 = 4 (x – 3) y – 0 = 4x – 12 y = 4x – 12 Jadi persamaan garis singgung kurva y = x 2 – 2x – 3 bergradien 4 adalah y = 4x – 12

Contoh Soal dan Penyelesaiannya

5. y = f (x) = 2x 2 y / – ax – b = f / (x) = 4x – a Titik singgung (–1, 2) Gradien garis singgung m = f / (–1) = 4. (–1) – a = –4 – a …… (i) Diketahui persamaan garis singgung y = –6x – 4, maka gradien garis singgungnya m = –6 …… (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh –4 – a = 6  – a = –6 + 4  a = 2 Parabola y = 2x 2 – ax + b melalui titik (–1, 2) dan a = 2, maka y = 2x 2 – ax + b   2 = 2.(–1) 2 – 2.(–1) + b 2 = 2.1 + 2 + b    2 = 4 + b –b = 4 – 2 –b = 2  b = –2 Jadi a = 2 dan b = –2 Sehingga persamaan parabola dapat ditulis y = 2x 2 – 2x + 2

Latihan Soal

Kerjakan Soal-soal berikut dengan benar!

1. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x 2 2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = (x 2 – 9 di titik (2, –5) – 1)(x – 1) yang melalui titik berabsis 2 3. Tentukan persamaan garis singgung pada f (x) = x 2 – x dengan titik berordinat 6 4. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x 2 – x – 3 yang mempunyai gradien 1 5. Jika diketahui kurva y = f (x) = x 3 – 25x + 1 tentukan persamaan garis singgung kurva yang sejajar dengan garis 2x – y + 4 = 0 6. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = (x 2 + 4)(2 – x) yang tegak lurus garis 3y – x = 1 7. Diketahui persamaan kurva y = x 2 – ax + b. Jika persamaan garis singgung di titik (1, –5) adalah y = 4x – 9. Tentukan nilai a dan b