Transcript Persamaan Garis Singgung pada Kurva
Oleh : Ali Sahadi, S.Pd
SMA Muhammadiyah 1 Sukoharjo
Standar Kompetensi
Materi Prasyarat
SOAL PRE-TES
3
x
2 7
x
5
Tentukan nilai fungsi untuk x = 1 ?
2. Apabila turunan pertama dari f(x) adalah f ‘ (x), tentukan f ‘ (x) dari f(x) =
x
3 5
x
2 9
x
6
3. Tentukan nilai f ’(2) dari fungsi f(x) =
4
x
3 6
x
2 5
x
2
3
x
2 7
x
f( 1 ) =
5 5 = 3 – 7 + 5 = 1
x
3 3 3
x x
2 5
x
9
x
5 10
x
.
2
x
9 2 1 6 9 0
3. f( x ) =
4
x
3 6
x
2 5
x
2
F ‘( x ) =
12
x
F ‘( 2 ) =
12 .
2 2 2 12
x
12 .
2 5 5 48 24 5 29
Materi Pembelajaran
Perhatikan gambar di bawah ini!
g g' Apabila garis g memotong kurva y = f(x) di titik P dan Q maka gradien garis singgungnya adalah PQ=
QR PR
f
(
x
h
)
f
(
x
)
h
Bila h mendekati nol, maka garis g bergeser menjadi g I . Dan garis g I menyinggung satu titik di titik P, yang di sebut dengan gradien garis singgung di titik P.
Kalau gradien di simbolkan dengan m, maka pernyataan tersebut dapat dirumuskan menjadi : m = lim
x
h f
(
x
h
)
h
f
(
x
) Bentuk limit tersebut tak lain adalah turunan pertama dari suatu fungsi di titik [ x , f(x) ].
Jadi m = f ‘ (x) = y ‘ Apabila diketahui x = a, maka m = f ‘ (a)
Tentukan gradien garis singgung kurva f(x)= x 3 -3x dititik ( 2, 2 ) !
Penyelesaian.
f(x) = x
3
-3x
f ‘ (x) = 3x
2
-3
Gradien = m = f ‘ (x) = 3x 2 – 3 dititik ( 2, 2 ) berarti x = 2 Sehingga m = 3.2
2 – 3 = 12 -3 = 9 Jadi gradien garis singgung kurva f(x) = x 3 -3x dititik ( 2, 2 ) adalah m = 9
Tentukan gradien garis singgung kurva y= 3x 2 dititik yang berabsis 4!
Penyelesaian.
y = 3x
2
+5x - 3
y ‘ = 6x + 5
+ 5x - 3 Gradien = m = y ‘ = 6x + 5 dititik yang berabsis 4 berarti x = 4 Sehingga m = 6.4 + 5 = 24 + 5 = 29 Jadi gradien garis singgung kurva f(x) = 3x 2 + 5x -3 dititik yang berbasis 4 adalah m = 29
Tentukan gradien garis singgung kurva f(x)= 2x 2 dititik yang berordinat 2!
Penyelesaian.
f(x) = 2x
2
-4x + 2
f ‘(x) = 4x -4
- 4x + 2 dititik yang berordinat 2 berarti f(x) = 2
2 = 2x
2
-4x + 2 2x
2
-4x = 0 2x(x -2) = 0 x = 0 atau x =2
Gradien = m = f ‘ (x) = 4x - 4 Untuk x = 0 m = 4.0 - 4 = - 4 Untuk x = 2 m = 4.2 - 4 = 4 Jadi gradien garis singgung kurva f(x) = 2x 2 - 4x + 2 dititik yang berordinat 2 adalah m = -4 atau m = 4
Tentukan gradien suatu garis yang tegak lurus dengan garis y = 3x + 5!
Penyelesaian.
Garis y = 3x + 5 mempunyai gradien m
1
= 3 Syarat 2 garis saling tegak lurus adalah
m
1
. m 3 . m m
2 2 2
= -1 = -1 =
1 3 Jadi gradien suatu garis yang tegak lurus dengan garis y = 3x + 5 adalah m = 1 3
Persamaan garis singgung pada kurva yang melalui sebuah titik (x 1 , y 1 ) dengan gradien m adalah
y – y
1
= m(x – x
1
)
Pada dasarnya persamaan garis singgung mempunyai 2 komponen yaitu titik singgung (x 1 , y 1 ) dan gradien m.
Sehingga apabila titik singgung dan gradiennya belum diketahui, maka harus dicari terlebih dahulu.
Tentukan persamaan garis singgung kurva f(x)= x 3 - 5x 2 + 7 dititik (-1, 4) !
Penyelesaian.
Titik singgungnya sudah diketahui yaitu (-1, 4) namun gradiennya belum .
Untuk mencari gradien, gunakan cara-cara di atas.
f(x)= x 3 - 5x 2 + 7 f ‘(x)= 3x 2 - 10x m = f ‘(x)= 3x 2 - 10x untuk x = -1 m = f ‘(-1)= 3(-1) 2 = 3 + 10 m = 13 - 10(-1) Sehingga PGS dengan yang melalui titik ( -1 , 4 ) dengan gradien m = adalah
y – y 1 y – 4 = = m(x – x 1 ) 13 (x – (-1) y = 13x + 17 ) y = 13x + 13 + 4
13 Jadi PGS dengan yang melalui titik (-1 , 4) dengan gradien m = 13 adalah y = 13x + 17
Tentukan persamaan garis singgung kurva y= 4x 3 - 13x 2 + 4x - 3 dititik yang berabsis 1 !
Penyelesaian.
Gradiennya belum diketahui sedangkan titik singgungnya baru diketahui absisnya x = 1. y= 4x 3 - 13x 2 + 4x - 3 Untuk x = 1 y= 4.1
3 - 13.1
2 + 4.1 – 3 = -8 sehingga titik singgungnya (1, -8) y= 4x 3 - 13x 2 + 4x – 3 y ‘ = 12x 2 – 26x + 4 m = y’ = 12x 2 - 26x +4 untuk x = 1 m = y ‘= 12.1
2 - 26.1 + 4 = 12 – 26 + 4 m = - 10 Sehingga PGS dengan yang melalui titik ( 1 adalah
y – y 1 y – (-8) = m(x – x 1 ) = -10 (x – 1 y = -10x + 10 -8 y = -10x + 2 )
, -8 ) dengan gradien m = -10 Jadi PGS dengan yang melalui titik (1 , -8) dengan gradien m = -10 adalah y = -10x + 2
Carilah persamaan garis singgung pada y = x 2 yang tegak lurus dengan garis x + 4y – 1 = 0 !
Penyelesaian.
+ 4x + 5 Gradiendan titik singgungnya belum diketahui, untuk mencarinya gunakan syarat 2 garis saling tegak lurus. x + 4y – 1 = 0 y = 1
x
1 4 mempunyai gradien m 1 = 1 4 y = x 2 + 4x + 5 m = y ‘ = 2x + 4 m = 4 y ‘ = 2x + 4 2x + 4 = 4 2x = 0 x = 0 Syarat 2 garis saling tegak lurus adalah m 1 1 4 . m .
m
2 m 2 2 = -1 1 = 4 Berarti PGS mempunyai gradien m = 4 x = 0 y = x 2 = 0 2 + 4x + 5 + 4.0 + 5 y = 5 Berarti titik singgungnya ( 0, 5) Sehingga PGS dengan yang melalui titik ( 0 adalah
y – y 1 y – 5 = m(x – x 1 ) = 4 (x – 0 )
, 5 ) dengan gradien m = 4 Jadi PGS persamaan garis singgung pada y = x 2 + 4x - 5 yang tegak lurus dengan garis x + 4y – 1 = 0 adalah
y = 4x + 5
y = 4x + 5
Lembar Kerja Siswa
Diskusikan dan selesaikan masalah-masalah di bawah ini dengan teman semeja Anda!
1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = 5x 2 + 6x – 8 di titik ( 3, 55 ) !
2. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x 3 yang sejajar dengan garis y = 3x + 4 !
– 3x 2 + 6x 3. Carilah persamaan garis singgung pada parabola y = 3x 2 yang membentuk sudut 45 o !
+ 4x -5 4. Diketahui kurva y = x 3 + 2px 2 + q. Garis singgung y = -5x -1 menyingung kurva dititik dengan absis -1. Carilah nilai p !
Waktu : 10 Menit 1. Tentukan gradien pada kurva y = 2x 2 berabsis 2 – 4x + 6 di titik yang 2. T entukan persamaan garis singgung kurva y = x 2 + 2x-5 di titik dengan absis 1 !
Selesaikan soal-soal dibawah ini! 1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x 2 yang tegak lurus dengan garis y = 2x + 5 !
– 4x + 4 2. Tentukan PGS pada kurva y = x 3 garis y = -3x – 3x 2 yang sejajar dengan 3. Diketahui titik A pada kurva y = 2x titik A membentuk sudut 45 o 2 – 3x + 1 sehingga garis singgung di dengan sumbu x. Tentukan titik A tersebut !
Catatan : Kumpulkan tugas tersebut besok hari Kamis, 24 Mei 2012