Transcript La construction du nombre à l’école maternelle Epistémologie  Théorie de la connaissance, approche historique de la production des savoirs.  Selon Kant (Critique de.

La construction du nombre
à l’école maternelle
Epistémologie
 Théorie de la connaissance, approche historique
de la production des savoirs.
 Selon Kant (Critique de la raison pure) :
« le vrai centre de la connaissance est le
sujet et non une réalité par rapport à laquelle
nous serions passifs. Ainsi, dans le temps,
aucune connaissance ne précède
l'expérience, et toutes commencent avec elle ».
Epistémologie du nombre
 Les théories socioconstructivistes de
l’apprentissage s’appuient sur l’approche
épistémologique de la construction des savoirs.
Tout sujet apprenant le nombre
doit se poser les mêmes questions
que ses inventeurs pour le comprendre.
 Piaget : Le nombre est au service de la construction
du réel (en le quantifiant, en le mesurant) donc
dépendant de l'accumulation d'expériences.
Histoires
Dans cette optique, on peut établir un
parallèle entre l’histoire de l’humanité
et l’histoire scolaire (le cursus de
l’élève) pour la construction du nombre.
Représenter plusieurs « mêmes »
Au début de la P.S.
Représentation et
« perception globale »
d’une petite quantité
sans nécessairement
utiliser le
dénombrement, une
conceptualisation ou
une symbolisation du
nombre.
Cf. Premiers pas vers
les maths de Rémi
Brissiaud
Les étapes de la construction du nombre
Avec le développement du commerce (troc),
de l’agriculture, etc.
Situation de besoin : comment symboliser,
conserver une trace, mémoriser, communiquer
une quantité (ou une position) ?
Représenter / simuler une quantité
Première abstraction des choses du réel
Représenter et coder une quantité
Écrire, garder en mémoire, communiquer
Les étapes de la construction du nombre
Le nombre s’impose au quotidien
Evolution de la trace : comment la rendre
pratique (symbole) et efficace (système) ?
Faire évoluer la représentation
Vers une formalisation adéquate
Les étapes de la construction du nombre
Le nombre s’impose au monde (du local,
au régional… vers l’universel)
Quel système de représentation est le plus
efficace ?
Quelle culture commune adopter ?
Vers la numération décimale
Le code commun culturel de l’humanité
Les étapes de la construction du nombre
Quels autres usages du nombre ?
Le jeu des pharaons - jeu de Senet (2000 avant J.C.)
Les étapes de la construction du nombre
« J’invente le nombre »
C’est l’émergence du besoin, d’une nécessité.
« J’utilise le nombre »
C’est l’omniprésence de ce besoin au quotidien.
« Je joue avec le nombre »
C’est le détournement de l’utilitaire vers le ludique.
Epistémologie du nombre
 Ces étapes épistémologiques (naturelles) de la
construction du nombre (besoin > vécu > plaisir)
sont aussi les moteurs de l’apprentissage.
 Il s’agit donc pour l’enseignant de proposer aux
élèves des situations qui vont l’amener à
inventer le nombre, vivre avec le nombre et
jouer avec le nombre.
 Qu’en disent les programmes ?
Les programmes
Approcher les quantités et les nombres
 L’école maternelle constitue une période décisive
dans l’acquisition de la suite des nombres
(chaîne numérique) et de son utilisation dans les
procédures de quantification. Les enfants y
découvrent et comprennent les fonctions du
nombre, en particulier comme représentation
de la quantité et moyen de repérer des
positions dans une liste ordonnée d’objets.
[…]
Quelles situations en classe ?
A quelles situations de classe correspondent ces trois étapes ?

Besoin
>
Vécu
>
Plaisir
Approcher les quantités et les nombres
[…]
Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où
ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour
parvenir au but : jeux
jeux, activités
activités de
de la
la classe,
classe problèmes posés par
l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de
distribution, de partage.
[…]
Epistémologie : une chronologie ?
 Peut-on en conclure que la trame épistémologique
constituerait une programmation pour l’école maternelle ?
Dans un premier temps, l’élève inventerait et s’approprierait
intellectuellement le nombre (un besoin, une nécessité). Dans
un second temps, il s’en servirait au jour le jour (vie de classe).
Enfin, il jouerait avec les nombres.
 Non ! Car la différence fondamentale est qu’à son entrée à
l’école maternelle, le nombre existe avant que l’élève ne
« l’invente » : un environnement et quelques premiers acquis
culturels sont déjà là. Cela sous-entend également que le
maître aura la responsabilité d’assurer quotidiennement la
continuité de ce bain culturel. La trame épistémologique ne
peut donc pas être un carcan chronologique…
 Cependant, cette trame constitue un axe directeur…
Viviane Bouysse
Transcription de l’extrait vidéo présenté au cours de l’animation pédagogique
« A l’école maternelle, les nombres sont essentiellement
liés aux usages que l’on en a. On compte pour faire
quelque-chose : on met des numéros, on utilise des
nombres quand on mesure (par exemple quand on
pratique le jardinage) […]. Ce n’est pas le nombre vu
d’une manière conceptuelle, dans sa structure logique.
Ce n’est pas l’étude de l’écriture du nombre : pourquoi
trente s’écrit avec un trois et un zéro ? Ce n’est pas un
objet d’étude à l’école maternelle ; ça le deviendra
après. Par contre à l’école maternelle, c’est quand on
compte, c’est le numéro du jour […]. C’est un outil de
l’expérience. L’école maternelle fait rentrer dans
l’univers des mots et des symboles ».
Le nombre « pour »…
A l’école maternelle, quelle que soit la
situation proposée, le nombre est un OUTIL
plus qu’un OBJET D’ETUDE.
Les programmes de l’école maternelle ne
parlent d’ailleurs pas de « mathématiques »
mais de « découvrir le monde ».
Le nombre « pour »…
-
Comparer
Partager / Distribuer
Mémoriser / Communiquer
Anticiper une réunion / augmentation
Ordonner
Les « fonctions » du nombre
Retrouve-t-on ces cinq fonctions dans les
différentes situations proposées aux élèves ?
Dans les Situations problèmes ?
Dans les Situations de classe ?
Dans les Situations ludiques ?
Situations problèmes
 Définition
Situation inédite et concrète.
C’est toute la séance qui est consacrée à la
recherche de la solution au problème.
G. Vergnaud : « situation dans laquelle il faut
découvrir des relations, développer des activités
d’exploration, d’hypothèse et de vérification,
pour produire une solution »
F. Boule : « un problème est une situation qui fait
sens pour celui qui tente d’y répondre ».
Situations de vie de classe
Le rôle du milieu (du bain) culturel est
reconnu en ce qui concerne l’apprentissage
de
langue : :
deslanombres
« L’enfant apprend d’autant mieux qu’il se
trouve placé dans des contextes plus riches,
plus exigeants au plan intellectuel ; et c’est
parce que produire lui est indispensable qu’il
s’approprie ce qu’il entend et, par analyses
successives, parvient à en organiser la
complexité ».
Situations de classe
L’interdisciplinarité
S’approprier le langage / découvrir l’écrit
Devenir élève
Agir et s’exprimer avec son corps
Découvrir le monde
Percevoir, sentir, imaginer, créer
Situations de classe
La vie de classe
« Rituels » et responsabilités
Le sens des rituels
La multiplicité des responsabilités
Situations « ludiques »
Les jeux de société
Ex.: le jeu de l’oie
Les autres activités ludiques
Ex.: les points à relier
Le jeu « scolaire »
 Les 5 caractéristiques du jeu d’après G. Brougère :
La règle : indispensable pour la structuration du jeu.
( La fiction « réelle » : faire semblant. )
L’adhésion : il n’y a jeu que si le joueur le décide.
La frivolité : le contenu n’a pas de conséquence sur la réalité.
L’incertitude : on ne sait pas comment il va finir.
En quoi le jeu scolaire est-il différent du jeu à la maison / en
récréation ? Quelles caractéristiques du jeu conserve-t-on
dans le cadre scolaire ?
Situations de jeu (de société)
 Le jeu est une situation de référence avec une
règle définie et un / des objectif(s)
d’apprentissage. Il y a un critère de réussite et
donc souvent un gagnant (et un perdant).
 Cette situation peut évoluer.
Variables
- de l’exploitation du jeu (cartes, dés, etc.)
- variables problèmes (ex.: suppression des
jetons pour comptabiliser le score > comment
savoir qui gagne ?).
Rappels chrono-logiques
 Même si les frontières sont floues dans les
pratiques de classe entre les différentes
situations et que la situation problème ne
constitue pas systématiquement l’unique entrée
dans l’apprentissage, épistémologiquement, il y
a une dominante chronologique des étapes de
la construction du nombre qui suit davantage le
sens « besoin > vécu > plaisir » qu’un autre.
Accès au sens >>> pratique
Rappels chrono-logiques
La logique épistémologique « besoin > vécu > plaisir » ne doit pas être un
carcan mais constitue une trame chronologique souple. Exemples :
Une situation de vie quotidienne peut inspirer une situation problème (la
feuille de cantine, le sachet de bonbon…). Elle est alors « transformée »
par l’enseignant en une situation problème (séance spécifique avec un
objectif « mathématique »). De même pour une situation de jeu.
Inversement, une situation problème de commande (la fabrique) une fois
bien intégrée, peut être réactivée dans un autre champ disciplinaire (ex.:
bon de commande pour recomposer l’image d’un insecte pour des MS).
Dans ces deux exemples, l’enseignant reste peu ou prou dans le cadre
épistémologique de la construction du nombre :
Accès au sens > pratique
A contrario, on ne peut décemment pas appuyer tous les apprentissages
d’une fonction du nombre (ex.: communiquer) par l’exclusivité de la
pratique de jeux. Des situations authentiques doivent nécessairement
être proposées en amont, dont certaines feront l’objet de l’ « invention »
d’un code commun qui évoluera. La programmation doit en tenir compte.
Il faut donc rechercher un
équilibre dans la programmation
visant à aborder les 5 fonctions
du nombre à travers les trois
grandes familles de situations.
Situations problèmes
Situations de classe
Situations ludiques
Constats
Où sont les manques et besoins
dans nos pratiques de classe ?
Quelques propositions…
Des situations problèmes
 Pour mémoriser / communiquer : jeux de commande
Ex.: le couvert, les garages, l’usine / la fabrique, les superpositions…
 Pour ordonner : situations de positionnement
Ex.: boîtes d’allumettes, bandelettes / tableaux…
 Pour comparer : situations de quantification
Ex.: le trésor, la chasse aux objets en orientation…
 Pour partager / distribuer : répartir un capital
Ex.: répartir les livres de la BCD, la fin du sachet de bonbons…
 Pour réunir / augmenter : situations d’anticipation
Ex.: deviner l’autre face du dé, la banque au jeu de la marchande…
Variables récurrentes des situations problèmes
Pour faire émerger la nécessité de :
- Symboliser
- Communiquer
- Garder une trace / de mémoriser
- Passer du dessin au symbole
- Faire évoluer le codage (système)
- S’accorder sur le système
La taille des collections, le fait de
 La
mise
à distance
pouvoir
agir
ou non
sur les objets
sont 
des
importantes
Levariables
report dans
le temps
que l’enseignant
utilise
pour
 La taille des
collections
adapter les situations aux
 Agir ou non sur les objets
capacités de chacun.
BO du 19 juin 2008
Des situations de vie de classe
 Pour mémoriser / communiquer :
Les présences ; tableau de fréquentation / de service ; cantine…
 Pour ordonner :
Trouver une page ; utiliser le calendrier ; le rang en EPS…
 Pour comparer :
Goûter, scores en éducation physique ; la croissance du vivant…
 Pour partager / distribuer :
Goûter ; matériel / équipes en EPS, arts visuels, récréation…
 Pour réunir / augmenter :
Score total de plusieurs parties espacées en EPS…
Des jeux de société
 Pour mémoriser / communiquer :
La cible (noter son score pour le retenir au cours du jeu)…
 Pour ordonner :
Skip-Bo, Coda / Algo, l’âne, Rummikub, Course aux valises…
 Pour comparer :
La justice, Le trèfle, La dizaine…
 Pour partager / distribuer :
Tous contre la pioche, Les porte-manteaux…
 Pour réunir / augmenter :
Le Matador, Sept le héros, le saut de la mort, fermez la boîte, le 12
barré, l’as éliminé, le 1 maléfique…
cf. Jeux de société et apprentissages numériques de M. Corbenois
Les fonctions du nombre communes à
l’ensemble (ou presque) des jeux
 Pour mémoriser / communiquer :
Les fiches de score…
 Pour ordonner :
Le « podium » du jeu (le 1er, le 2ème, le 3ème…)
 Pour comparer :
Des scores, des dés pour commencer…
 Pour partager / distribuer :
Distribution des cartes (à verbaliser / conscientiser
notamment par le biais de l’écriture de la règle du jeu)…
 Pour réunir / augmenter :
Dès l’introduction d’un deuxième dé…
CONCLUSION
 Le nombre se construit dans des contextes de sens que
l’enseignant met en œuvre à travers une diversité de
situations (problèmes, vie de classe, jeux) qu’il équilibre
et articule logiquement dans sa programmation.
 Quelles que soient les situations proposées, la
verbalisation (métacognition) est essentielle.
L’accompagnement qu’assure l’enseignant en
questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en
commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont
les mots-nombres, aide à la prise de conscience.
BO du 19 juin 2008
Nota bene
 Même si les « nombres » sont moins un OBJET
D’ETUDE qu’un OUTIL en maternelle, certains
savoirs et savoir-faire mathématiques se
construisent en parallèle et notamment sur des
temps spécifiques d’apprentissage.
L’accès au sens et l’acquisition des automatismes
ne sont pas antinomiques.
Présentation du B0 du 19 juin 2008
Ex.: les comptines numériques, les jeux de doigts,
la perception de l’algorithme des nombres, des jeux
spécifiques autour de la suite numérique…
CONCLUSION
De manière plus générale encore, l’école
maternelle a pour objectif de construire
tous les savoirs dans des contextes qui
prennent sens parce que les élèves en
éprouvent le besoin, parce qu’ils
découvrent un monde dans lequel ce
besoin est quotidien et parce que ce
savoir peut être source de plaisir.
Références
R. Brissiaud, Premiers pas vers les maths, RETZ, 2007.
M. Corbenois, Jeux de société et apprentissages
numériques, Bordas, 2003.
Ermel, Apprentissages numériques Grande Section de
maternelle, Hatier.
Coda / Algo / Code de Vinci
Rummikub
Temps spécifiques
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
1
11
21
31
2
12
22
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3
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23
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4
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5
15
25
35
6
16
26
36
7
17
27
37
8
18
28
38
9
19
29
39
10
20
30
40
L’ÂNE
 Jeu traditionnel de 52 cartes - 3 à 8 joueurs
 Le donneur, tiré au sort, distribue les cartes une
à une. Certains joueurs peuvent avoir une carte
de plus que les autres. On utilise les cartes dans
l’ordre croissant de l’as au roi. Les joueurs en
possession d’as les posent, face visible, sur la
table. Sur chaque as, on pose le 2 de sa
couleur, puis le 3 et ainsi de suite jusqu’au roi.
Celui qui le premier se débarrasse de ses cartes
est le gagnant.
LA JUSTICE
 9 dés - 3 joueurs – jetons
 Chaque joueur prend 3 dés et 5 jetons. A tour de rôle
chacun lance un (ou 2 ou 3) dé(s). Celui qui obtient le
total le plus élevé commence la partie qui tourne ensuite
dans le sens des aiguilles d’une montre.
 Le premier joueur lance ses 3 dés, il compte alors le
total des points qu’il a obtenu. Puis c’est au tour du
suivant de jouer. Le joueur qui obtient le meilleur score
met un de ses pions dans le pot. S’il y a égalité entre
deux joueurs, ils donnent tous les deux un pion au pot.
Le premier joueur qui arrive à se débarrasser de tous
ses pions a gagné.
LE TRÈFLE
 4 dés - 3 joueurs – jetons
 Chaque joueur met 11 jetons au pot. Chacun
lance à son tour. S’il est fait moins de 11, le
joueur prend 2 jetons au pot. S’il est fait plus de
11, les deux autres joueurs prennent chacun un
jeton au pot. S’il est fait 11, personne ne prend
de jetons. Le dernier jeton du pot est joué par
chacun sur un coup sec et attribué à celui qui
fait le plus de points. Le gagnant est celui qui a
le plus de jetons.
LA DIZAINE
 3 dés – joueurs illimités – jetons
 On désigne un banquier et les pontes jouent
contre lui. Chaque ponte a le même nombre de
jetons, le banquier en a autant que l’ensemble
des autres joueurs. Chaque ponte dépose
devant lui la mise qu’il veut jouer. Le banquier
lance les dés: s’il fait moins de 10, il paye aux
pontes le double de leur mise ; s’il fait 10 ou
plus, il ramasse toutes les mises. Celui qui n’a
plus de jetons est éliminé.
TOUS CONTRE LA PIOCHE
 Cartes - dés - 3 joueurs - une boîte
 La pioche est un joueur. Un des élèves lance le(s) dé(s) et tire autant de
cartes que le score indiqué par le(s) dé(s). Il faut distribuer les cartes
équitablement à tous les élèves autour de la table. S’il y a un reste, il est
donné à la pioche en constituant un deuxième tas dans la boîte avec les
cartes défaussées. Le jeu continue dans le sens des aiguilles d’une montre
et se termine lorsqu’il n’y a plus de carte. On compare le score de la pioche
à celui de chaque élève (ou de l’équipe, selon les variables introduites).
 Variables :
- Le nombre et le type de dés (constellé / chiffré, nombre de faces…).
- On donne uniquement le reste à la pioche ou l’intégralité de la quantité si
cela ne tombe pas juste (si cela tombe juste -sans reste- les enfants se
partagent les cartes, sinon, la pioche remporte tout). Ex. avec 2 dés à 6
faces et 2 joueurs : tous les nombres pairs sont gagnés par les élèves, les
nombres impairs par la pioche. Dans ce cas, en fin de partie, on compare le
score de la pioche à celui de l’ensemble des joueurs / l’équipe).
- Le nombre de joueurs (nombre diviseur) : entre 2 et 5.
Attention : selon les variables introduites, il faut s’assurer que les élèves ont
statistiquement (ou presque) une chance sur deux de gagner. Ex.: avec 5
joueurs et 3 dés à 6 faces, on compare le score final de la pioche à celui de
chaque joueur.
LES PORTE-MANTEAUX
 Des planchettes en bois (les murs) avec des crochets
vissés (les patères), par 2, par 3, par 4 – des cartons
perforés (les manteaux).
 Jeu n°1 : il faut tous les suspendre.
 Jeu n°2 : il faut autant de manteaux sur chaque patère.
 Variables :
- Le nombre de manteaux, imposé ou tiré aux dés.
- La possibilité de choisir ou non et de pouvoir manipuler
ou non les planches (tâtonnements ou anticipation).
- Le partage équitable ou inéquitable et le droit ou non
d’avoir un reste.
LA COURSE AUX VALISES
4 avions - 4 jetons – 40 cartes valises
Les cartes sont disposées face cachée par groupe de 4 sur la table (un groupe = un aéroport).
Chacun son tour pose son avion sur un aéroport de son choix et retourne une carte valise afin
que tout le monde puisse la voir. On ne peut commencer à collectionner les valises qu’en
trouvant un 1. Si le joueur ne peut s’attribuer la carte (car le nombre n’est pas immédiatement
supérieur à celui qu’on possède déjà ) il la remet face cachée à sa place, c’est alors au tour du
joueur suivant. S’il peut la prendre, il la pose alors devant lui face visible et retourne soit une
carte dans le même aéroport, soit dans un autre. Ceci autant de fois qu’il gagne.
A noter :
- Plus le nombre est élevé, plus il est rare de le trouver sur une carte. Ainsi le nombre 10 ne
figure que sur une seule carte-valise.
- Il ne peut y avoir qu’un avion à la fois sur chaque aéroport, si on veut atterrir sur un aéroport
déjà occupé, on peut demander au joueur qui s’y trouve de décoller. Celui-ci doit alors partir
pour un autre aéroport, mais en compensation, il a le droit d’y retourner une carte-valise qu’il
peut garder si elle lui est utile.
- Une fois par partie, on peut refuser de quitter un aéroport.
Dans ce cas, on met son jeton rouge dans la boite.
Il faut donc pour gagner, se souvenir de la place des cartes déjà
retournées et organiser son vol en conséquence.
La partie est terminée quand un joueur a réussi à rassembler les
10 valises dans l’ordre croissant.
LA CIBLE
 3 dés – 2 joueurs ou plus
 Il faut atteindre un nombre choisi (ex.: 30) ou
s’en rapprocher le plus près possible sans le
dépasser pour gagner. Au premier tour on lance
les trois dés, aux deuxième, troisième et
quatrième tours, on laisse le choix du nombre de
dés (dont zéro). On passe les dés à son voisin
qui fait de même. Le joueur qui atteint juste la
cible gagne, à défaut c’est le joueur le plus
proche qui gagne.
Le matériel mis à disposition des élèves