Transcript Žilinská univerzita v Žiline, Stavebná fakulta Katedra stavebných konštrukcií a mostov 2. Čiastková úloha výskumnej úlohy 03/303/04 - 03 VÝPOČET SPOĽAHLIVOSTI VIACPRVKOVÝCH KONŠTRUKCIÍ POMOCOU MARKOVSKÝCH PROCESOV Ing.

Žilinská univerzita v Žiline,
Stavebná fakulta
Katedra stavebných konštrukcií a mostov
2. Čiastková úloha výskumnej úlohy 03/303/04 - 03
VÝPOČET SPOĽAHLIVOSTI
VIACPRVKOVÝCH KONŠTRUKCIÍ
POMOCOU MARKOVSKÝCH PROCESOV
Ing. Peter KOTEŠ
prof. Ing. Josef VIČAN, CSc.
1. Úvod
• Mostné konštrukcie (železobetónové, oceľové, ...) degradujú počas
životnosti – vplyv životného prostredia.
• Vplyv degradácie – zmena odolnosti jednotlivých prvkov a celého
systému.
• Hodnotenie existujúcich jednoprvkových konštrukcií – boli
stanovené hladiny spoľahlivosti v závislosti na čase vykonania
prehliadky a na zvyškovej životnosti mostného prvku.
• Aplikovanie na viacprvkové systémy – snaha nájsť rezervy
2. Model nehomogénnych Markovských procesov
• bola uvažovaná roštová mostná konštrukcia, ktorú tvorí m-prvkov,
• každý prvok má odolnosť Rj (pre j=1…m) - nezávislé náhodné premenné
s normálnym rozdelením pravdepodobnosti N(mj, sj),
• na konštrukciu pôsobia série zaťažení Si - opakovane, výskyt sa riadi
nehomogénnym Poissonovým procesom s parametrom l(t) (l(t)>0),
náhodné premenné s normálnym rozdelením pravdepodobnosti N(m, s),
• zaťaženie pôsobí na všetky prvky sústavy - Eij= ai,j.Si,
m
platí -1,0≤ ai,j ≤1,0, pre rošty
 a i, j  1
j1
• účinky zaťaženia Eij - náhodné premenné s normálnym rozdelením
pravdepodobnosti, μj=ai,j.μ, σj=ai,j.σ
•Viacprvkový systém je pozorovaný v diskrétnych časových
intervaloch (krokoch) k=1,2,3,… Predpokladá sa, že systém sa môže
nachádzať v (r+1) možných stavoch označených j=0,1,2,…,r pričom
sa systém nachádza v stave „i“ v časovom intervale (kroku) „k“ s
pravdepodobnosťou pk(i).
• Ďalším predpokladom je, že systém je v stave „i“ v čase „k“,
nasledujúci stav (i+v) nezávisí na predchádzajúcom stave (u<i).
Inými slovami, ak poznáme súčasný stav, pravdepodobnosť
následovného sa chovania systému nie je ovplyvnená dodatočným
poznaním jeho chovania sa v minulosti – stačí poznať súčasný stav.
• pt(i,j)= p(i,j) je pravdepodobnosť prechodu, to znamená, že systém
je v stave „j“ v čase „t“ ak systém bol v stave „i“ v čase (t-1). Ak
pravdepodobnosť pt(i,j) nezávisí na čase „t“ (nemení sa v čase),
potom hovoríme o homogénnom Markovovom procese. Ak
pravdepodobnosť pt(i,j) závisí na čase „t“ (mení sa v čase), potom
hovoríme o nehomogénnom Markovovom procese. Matica
pravdepodobností p(i,j), for i,j=0,1,…r, sa nazýva matica prechodov
homogénneho systému.
• Degradácia prvkov bola uvažovaná ako časovo závislý proces. Ako časový
krok sa uvažoval 1 rok. Jednotlivé stavy systému boli odvodené počtom
možných porušených prvkov s uvažovaním ich významu v konštrukcii. To
znamená m+1 stavov pre m-prvkový systém. Pravdepodobnosti prechodov
medzi jednotlivými stavmi sa počítajú analyticky. Pre výpočet
pravdepodobnosti poruchy Pfj j-teho prvku m-prvkového systému sa použije
rovnica

 a ij .x  m j 
.f max ( x )dx
Pfj   


sj
 

•
Pravdepodobnosť poruchy Pf,jk, keď porušenie m-prvkového systému nastane
porušením prvkov „j“ spolu s „k“, sa počíta

Pf , jk
•
(1)
 a ij .x  m j   a ik .x  m k 
.
.f max ( x )dx
  



sj
sk

 
 
(2)
Ak je pravdepodobnosť porušenia celého systému Pf definovaná porušením
aspoň jedného prvku v sústave, potom sa použije rovnica
  m
 L ( T ) 
 a ij.x  m j 



Pf  1     (1  
).f max ( x )dx   e





sj
  j1




(3)
kde
fmax (x)  Fmax (x) 
L(T)  x  m 
 

s
 s 
n


 x m   

s   
 L(T)1
  x  m   L(T)n L(T)



Fmax (x)    


e

e
s  
n!
n 0  

• Nehomogénny Markovov proces – vyvolaný degradáciou materiálu,
ktorá spôsobuje zmenu odolnosti Rj(t) v čase a tak isto zmenu
priečnej tuhosti a redistribúciu ohybového momentu v priečnom
smere.
• Oceľový roštový systém – korózia konštrukčnej ocele.
• Železobetónový roštový systém – korózia betonárskej ocele.
3. Oceľový roštový systém – korózia konštrukčnej ocele
model plošnej korózie podľa: Albrecht, P., Naeemi, A.H.
dcorr = Ao . tA1,
(4)
f

f
w
kde t
je čas v rokoch,
A0, A1 sú časovo nezávislé konštanty zohľadňujúce
umiestnenie ohýbaného prvku v konštrukcii.
f
1) A0 = 0,13218; A1 = 0,595478 pre krajné nosníky roštu,
2) A0 = 0,12151; A1 = 0,568652 pre prvé vnútorné nosníky roštu,
3) A0 = 0,03010; A1 = 0,690171 pre vnútorné nosníky roštu.
 Indexy spoľahlivosti 
Index spoľahlivosti prvku (t)
I 200 – 3,355 –> 3,607
I 800: prvý z 5-prvkovej sústavy
4,80
I 400 – 3,457 –> 3,646
Prvok
4,60
Prvok-degr
I 800 – 3,618 –> 3,727
4,40
Systém
4,20
• Pokles pravdepodobnosti
Systém-degr
4,00
3,80
poruchy Pf
3,60
I 2OO – 17,52 %
3,40
I 4OO – 14,71 %
3,20
t/Td
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
I 8OO – 9,56 %
4. Železobetónový roštový systém – korózia betonárskej ocele
• pasívne štádium - v použitom modely je dĺžka pasívneho štádia závislá
od hrúbky krycej vrstvy „c“ a materiálovej konštanty „D“
t0  c 2 (2  D)
(5)
• aktívne štádium - uvažovaný model korózie je podľa Andradei, kde
zmena priemeru výstuže ds(t) je opísaná rovnicou
(t)    0.0232  (t  t0 )  icorr
where
1.
2.
3.
icorr [mA/cm2] je náhodne premenná hustota prúdovej
korózie s normálnym rozdelením (1 mA/cm2 je rovný
11.6 mm/rok skorodovanej vrstvy).
micorr =1.0; sicorr= 0.2 – pre vnútorný nosník roštu,
micorr =3.0; sicorr= 0.6 – pre druhý krajný nosník roštu,
micorr =4.37; sicorr= 0.5 – pre krajný nosník roštu.
(6)
Numerická aplikácia uvedeného procesu
výpočtu
časovo
závislej
odolnosti
zohľadňujúca koróziu betonárskej výstuže sa
vykonala pomocou simulačnej metódy Monte
Carlo. Dĺžka pasívneho štádia bola uvažovaná
32.2 rokov.
(t)
Uvažované hodnoty jednotlivých vstupných premenných geometrických
a pevnostných parametrov sú
Stredná
hodnota
Medza klzu - fs [MPa] (10 335) 400,81480
Pevnosť betónu- fc [MPa](B15) 24,64000
Výška prierezu - h [m]
0,797800
Šírka prierezu - b [m]
0,49570
19,770
Priemer výstuže -  [mm]
Počet profilov výstuže - n [ks]
7
Hrúbka krycia vrstva - c [mm]
24,00
1,00
Hustota prúdovej korózie - icorr
3,00
[m/cm2]
4,37
Náhodné premenné
Smerodajná Variačný Rozdelenie
odchýlka koeficient veličiny
23,96686
0,05980 Normálne
2,68000
0,10877 Normálne
0,01360
0,01705 Normálne
0,00740
0,01493 Normálne
0,223
0,01128 Normálne
Konštanta
1,30
0,05417 Normálne
0,20
0,20
Normálne
0,60
0,20
Normálne
0,50
0,11442 Normálne
• Bola uvažovaná životnosť Td=80 rokov a konštantný parameter
l(t)=0.0125. To znamená, že najviac namáhaný prvok bol navrhnutý
na hladinu spoľahlivosti danú indexom spoľahlivosti i=3.80.
•
Výsledky parametrickej štúdie
 (t)
Index spoľahlivosti krajného prvku (t) železobetónový 5-prvkový rošt
4,80
4,30
Samostatne pôsobiaci
prvok bez degradácie
3,80
Samostatne pôsobiaci
prvok s degradáciou
3,30
Prvok v systéme bez
degradácie
2,80
Prvok v systéme s
degradáciou
2,30
1,80
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
t/Td
- Uvažovanie odpadnutia krycej vrstvy – zmena tuhosti v priečnom
smere.
Označenie
krivky
Prvok-degr.
Systém-degr – 1
Systém-degr – 2
Systém-degr – 3
Systém-degr – 4
Systém-degr – 5
Systém-degr – 6
Systém-degr – 7
Systém-degr – 8
Systém-degr – 9
Systém-degr – 10
Systém-degr – 11
Doba bez
odpadnutia krycej
vrstvy [roky]
Doba odpadnutia krycej vrstvy [roky]
Krajný nosník Prvý vnútorný
Vnútorný
nosník
nosník
Prvok samostatne pôsobiaci a bez odpadnutia krycej vrstvy
32,2 – 40
41– 80
neodpadne
neodpadne
32,2 – 50
51– 80
neodpadne
neodpadne
32,2 – 60
61– 80
neodpadne
neodpadne
32,2 – 70
71– 80
neodpadne
neodpadne
32,2 – 50
51– 80
61– 80
neodpadne
32,2 – 50
51– 80
71– 80
neodpadne
32,2 – 50
51– 80
76– 80
neodpadne
32,2 – 60
61– 80
71– 80
neodpadne
32,2 – 60
61– 80
76– 80
neodpadne
32,2 – 50
51– 80
61– 80
71– 80
32,2 – 50
61– 80
61– 80
76– 80
- Zmena indexu spoľahlivosti krajného prvku (t) v čase
 (t)
Index spoľahlivosti (t)
železobetónový 5-prvkový rošt
4,80
Prvok-degr
Systém-degr - 1
Systém-degr - 2
Systém-degr - 3
Systém-degr - 4
Systém-degr - 5
Systém-degr - 6
Systém-degr - 7
Systém-degr - 8
Systém-degr - 9
Systém-degr - 10
Systém-degr - 11
4,30
3,80
3,30
2,80
2,30
1,80
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
• Pokles pravdepodobnosti poruchy Pf
0% – 37,05 % - ihneď po odpadnutí krycej vrstvy
0% – 16,38 % - na konci životnosti
0,9
1
t/Td
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3,8
10
 (t)
4,80
4,30
1
Required reliability level at
the end of lifetime Td
=3,8
3,30
5
Time of inspectionn
3,80
6 8
2,80
2,30
3
4
9
Td=80 years
7
2
1,80
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
t/Td
5. Závery
• Systémový efekt (priečny roznos v roštovej sústave) spôsobuje to, že pri
uvažovaní oceľového prvku v systéme (ak prvok koroduje) je tento prvok
spoľahlivejší o 9 až 15% ako keď je uvažovaný ako samostatne pôsobiaci.
• V prípade železobetónových prvkov získané výsledky parametrických
štúdii nie vždy presvedčivo a relevantne preukázali výhody hodnotenia
existujúcich prvkov v systéme oproti hodnoteniu prvkov ako samostatne
pôsobiacich.
• Vplyv korózie na zmenu priečneho roznosu je väčší ako vplyv korózie na
únosnosť prvku - priaznivé.
Ďakujem za Vašu pozornosť