Transcript ТЕОРИЯ РЯДОВ 4. РЯДЫ ФУРЬЕ Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) фр.

ТЕОРИЯ РЯДОВ
4. РЯДЫ ФУРЬЕ
Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830)
фр. математик и физик
(Jean Baptiste Joseph Fourier)
Свои методы (ряды и интегралы
Фурье) он использовал в теории
распространения тепла. Но
вскоре
они
стали
исключительно
мощным
инструментом математического
исследования самых разных
задач — особенно там, где есть
волны и колебания. А этот круг
чрезвычайно
широк
—
астрономия, акустика, теория
приливов,
радиотехника,
электротехника и др.
4.1. Гармонические колебания.
1. Простые гармонические колебания
В естествознании и технике часто наблюдаются
периодические процессы, т.е. такие явления, которые
повторяются через определенный промежуток времени.
Например, колебания маятника, явления переменного тока
и др.
Простейшее периодическое явлениеколебание, совершаемое по закону
гармоническое
y  A sin   t   0 
А- амплитуда колебания
 t   0 - фаза колебания
 - частота колебания
 
2
T
- число колебаний за
время 2π
 0 - начальная фаза
T 
2

- период колебания (время, в течение которого
происходит одно колебательное движение)
Преобразуем равенство:
y  A sin   t   0 
y  A sin   t   0   A  sin  t cos  0  cos  t sin  0  
 A cos  0 sin  t  A sin  0 cos  t  a sin  t  b cos  t
a
Т.е.
•
b
y  a sin  t  b cos  t
Колебательное движение, происходящее по закону
y  A sin   t   0  или, что то же, по закону
y  a sin  t  b cos  t называется простым гармоническим
колебанием, а график его- простой гармоникой.
2. Сложные гармонические колебания
Не всякий периодический процесс можно рассматривать
как простое гармоническое колебание. Очень часты
случаи, когда периодическое явление есть результат
сложения нескольких простых гармонических колебаний.
Полученное результирующее движение называется
сложным гармоническим колебанием, а график егосложной гармоникой.
•
Сложная гармоника есть результат сложения нескольких
простых гармоник или иначе- результат наложения
простых гармоник друг на друга.
Пример 1
Даны две простые гармоники:
Сложная гармоника:
y  sin t
u
y  sin 3 t
y  sin t  sin 3 t
Любая точка сложной гармоники имеет ординату, равную
сумме ординат точек, лежащих на простых гармониках и
имеющих одну и ту же абсциссу.
y  sin t  sin 3 t
y
y  sin 3 t
y  sin t



2
0


3
2
2
3

4
3
3
2
5
3
2
t
При сложении простых гармоник с разными частотами
получается сложная гармоника не синусоидального вида;
при сложении гармоник с одинаковыми частотамигармоника того же вида, что и простая.
4.2. Тригонометрические ряды.
С помощью так называемого тригонометрического ряда
любую (практически) периодическую функцию можно
представить в виде ряда, членами которого являются
простые гармоники.
a0
2


  a1 cos  t  b1 sin  t   a 2 cos  t  b 2 sin  t  ...
...   a n cos n t  b n sin n t   ...
Положим для простоты
x  t
•
Тригонометрическим рядом называется функциональный
ряд вида
a0
2
 a1 cos x  b1 sin x  a 2 cos x  b 2 sin x  ... 

a0
2
a 0 , a n , b n  const


 a
n
cos nx  b n sin nx 
n 1
( n  1, 2, ...) - коэффициенты ряда
Пусть f(x)- произвольная периодическая функция с
периодом 2π. Предположим, что функция f(x) разлагается в
тригонометрический ряд, т.е. f(x) является суммой ряда:
f (x) 
a0
2


 a
n
cos nx  b n sin nx 
n 1
Так как функция f(x) (и сумма ряда) имеет период 2π, то её
можно рассматривать в любом промежутке длины 2π. В
качестве основного промежутка возьмем отрезок [-π;π].
(также удобно взять отрезок [0;2π]). Предположим, что
этот ряд абсолютно сходится, то его можно почленно
интегрировать.
Найдем коэффициенты тригонометрического ряда:
4.3. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье.
f ( x) 
a0


2
 a
n
cos nx  b n sin nx  
n 1

a0
2

 f  x  dx 

a0
2



a
n 1



n
cos nx 
b
n
sin nx
n 1


 dx   a  cos nx dx   b  sin nx dx
n

n 1
n

n 1

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в
правой части.

a0
2
 dx 

a0

x

2

an
 cos nx dx 

bn
 sin nx dx  


2
an

a0
an 


 sin  n  sin  n   0
n 
0
0


sin nx
n
bn
n
      a 0


cos nx


bn
n
 cos  n  cos  n   0
Следовательно:

 f  x  dx  a 
0


a0 
1


 f  x  dx

Для вычисления остальных коэффициентов ряда нам
понадобятся некоторые определенные интегралы:
Если n и k – целые числа, то имеют место следующие
равенства:
если n≠k, то
если n=k, то


 cos nx cos kx dx  0






cos nx sin kx dx  0




2
 cos kx sin kx dx  0

 sin nx sin kx dx  0
cos kx dx  


sin kx dx  
2
f (x) 
a0


2
 a
n
cos nx  b n sin nx 
n 1
Найдем an.
Умножим обе части тригонометрического ряда на cosnx:
f ( x ) cos nx 
a0

a
cos nx 
2

n
cos nx cos nx 
n 1
b
n
sin nx cos nx
n 1
Проинтегрируем в пределах от –π до π:

 f  x  cos nx dx 

a0
2

 cos nx dx 

0




n 1
an



cos nx dx 
2
 b  sin nx cos nx dx
n
n 1



0
Тогда получаем:



f  x  cos nx dx  a n


cos nx dx  a n 
2

Откуда
an 
1


 f  x  cos nx dx

f (x) 
a0


2
 a
n
cos nx  b n sin nx 
n 1
Найдем bn.
Умножим обе части тригонометрического ряда на sinnx:
f ( x ) sin nx 
a0

sin nx 
2
a

n
cos nx sin nx 
n 1
b
n
sin nx sin nx
n 1
Проинтегрируем в пределах от –π до π:

 f  x  sin nx dx 

a0
2

 sin nx dx 

0




n 1
an



cos nx sin nx dx 

n 1

0
bn

2
sin nx dx


Тогда получаем:



f  x  sin nx dx  b n


sin nx dx  b n 
2

Откуда
bn 
1


 f  x  sin nx dx


2
где
a0 
an 
bn 
 a
n
cos nx  b n sin nx 
n 1
1

1

1


 f  x  dx


 f  x  cos nx dx


 f  x  sin nx dx

называется рядом Фурье функции f(x)
коэффициенты
Фурье
Ряд

a0
Иногда более удобны интегралы
интегрирования от 0 до 2π:
an 
bn 

1

1

пределами
2
 f  x  dx
0
2
 f  x  cos nx dx
0
2
 f  x  sin nx dx
0
коэффициенты
Фурье
a0 
1
с
4.4. Разложение в ряд Фурье
2π- периодических функций
Сформулируем теорему, которая дает достаточное условие
разложимости функции в ряд Фурье (чтобы ряд Фурье
функции f(x) сходился и сумма построенного ряда Фурье
равнялась значениям данной функции в соответствующих
точках)
Теорема Дирихле.
Пусть 2π- периодическая функция f(x) на отрезке [-π;π]
удовлетворяет двум условиям:
1. f(x) кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет
конечное число точек разрыва I рода;
2. f(x) кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке,
либо этот отрезок можно разбить на конечное число
интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.
Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье сходится
на этом отрезке и при этом:
Теорема Дирихле (продолжение)
1.
2.
3.
В точках непрерывности функции сумма ряда S(x)
совпадает с самой функцией: S(x)=f(x);
В каждой точке х0 разрыва функции сумма ряда равна
среднему арифметическому пределов функции f(x)
справа и слева:
f ( x 0  0)  f ( x 0  0)
S ( x0 ) 
2
На концах отрезка х=-π и х=π сумма ряда равна
S (   )  S ( ) 
f (    0)  f (  0)
2
Пример 1
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2π,
заданную на отрезке [-π;π] формулой
 2 x npu 0  x  
f ( x)  
  x npu    x  0
2π
π
-2π
-π
0
π
2π
3π
Решение
1
a0 




2
0
2

2

2
1

 f  x  dx    (  x ) dx    2 x dx 


0
1

x
Найдем коэффициенты Фурье:



x
2

2



0

2
 
0
0       

2

1
3
2
2
1
2
 0 
an 

1

 f  x  co s n x d x 



1

1

0
   x  co s n x d x    2 x co s n x d x 

0


1

x co s n x d x 
0
2


 x co s n x d x 
0
u  x

du  dx

d v  co s n x d x 

1
v  sin n x 
n

1 1
   x sin nx
 n
0


  sin nx dx  
n 

1
0
21
  x sin nx
 n

0


  sin nx dx  
n 0

1
1 1
1
    0      sin     n   2 cos nx
 n
n
0




0
21
1
    sin  n  0   2 cos nx
 n
n
0



0


1 
2


cos 0  cos  n  
2 
2
n  1

n


1
n
2


 cos  n  cos 0  

1

 2 cos  n  2  cos  n  1  
3
n
2
 cos  n  1 
Итак:
an 
3
n
2
 cos  n  1 
3
6

a1   cos   1   
  1




a2 
cos 2   1   0
2 
 2 
1

3


6
a3 
cos 3  1    2
2 
  3  1
3 

3


a4 
cos 4   1   0
2 
 4 
1

3


6
a5 
cos 5   1    2
2 
  5  1
5 

3
bn 

1

 f  x  sin nx dx 



1

1

0
   x  sin nx dx    2 x sin nx dx 

0


1

x sin nx dx 
0
2


 x sin nx dx 
0
u  x

 du  dx

dv  sin nx dx 

1
v   cos nx 
n

an 

1

 f  x  co s n x d x 



1

1

0
   x  co s n x d x    2 x co s n x d x 

0


1

x co s n x d x 
0
2


 x co s n x d x 
0
u  x

du  dx

d v  co s n x d x 

1
v  sin n x 
n

1  1
    x cos nx
  n
0


1
n
0



cos nx dx  

2 1
   x cos nx
  n

0
1 1
1
   0      cos     n   2 sin nx
 n
n


  cos nx dx  
n 0

1
0




0
2 1
1
     cos  n  0   2 sin nx
  n
n
0



0



1
n
 cos  n 
2
n
 cos  n  
n
bn  
Итак:
b1  
b2  
b3  
cos 
1

2
cos 3
3
1
2

cos  n
n
b4  
1
cos 2 
cos  n
1
3
b5  
b6  
cos 4 

4
cos 5
5
cos 6 
6
1
4

1
5

1
6
a0
Тогда

a0
2
2


 a
n
n 1


a
n 1
cos nx  b n sin nx  

n
cos nx 
b
n
sin nx 
n 1
3
6
6
 6


   cos x  2 cos 3 x  2 cos 5 x  ...  
4
3 
5 
 

1
1


  sin x  sin 2 x  sin 3 x  ...  
2
3


3
6  cos x cos 3 x cos 5 x


  2 

 ...  
2
2
4
  1
3
5

 sin x sin 2 x sin 3 x




 ... 
2
3
 1

Ответ.
3
6  cos x cos 3 x cos 5 x

f ( x)  S ( x) 
  2 

 ...  
2
2
4
  1
3
5

 sin x sin 2 x sin 3 x




 ... 
2
3
 1

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек
разрыва. В точках х=∓π
S ( x) 
f (    0)  f (  0)
2

  2
2

3
2
Сумма S(x) ряда на концах отрезка х=∓π
S ( x) 
f (    0)  f (  0)

  2
2

2
2
2π
π
-2π
-π
0
π
2π
3
3π
Пример 2
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2π,
заданную на отрезке [-π;π] формулой
1
f ( x)  
 1
npu
  x  0
npu
0 x
1
-2π
0
-π
-1
π
2π
3π
Решение
a0 

1

Найдем коэффициенты Фурье:

1
0
1

 f  x  dx    (  1) dx    dx 

x
0




x


0

1

0
1
 0       

 0   1  1  0
an 

1

 f  x  cos nx dx 



1

1

0
1

   1  cos nx dx    cos nx dx 

0
0
1

 cos nx dx    cos nx dx 

0

1
n
0
sin nx
0


1
n

sin nx
0
0
0
bn 

1

 f  x  sin nx dx 



1

1

0
1

   1  sin nx dx    sin nx dx 

0
0
1

 sin nx dx    sin nx dx 

0

1
n
0
cos nx


1
n

cos nx
0
1 
1 



 cos 0  cos  n  
 cos  n  cos 0  
n 1
 n
1


1 
1 



 cos 0  cos  n  
 cos  n  cos 0  
n 1
 n
1


1
n
1  cos  n  cos  n  1  
2
n
1  cos  n 
Итак:
bn 
2
n
1  cos  n 
2
 4
b1   1  cos   
 
1
 

2 
b4 
 1  cos 4    0
4 
1


2 
b2 
 1  cos 2    0
2 
1


2 
4
b5 
 1  cos 5  
5 
1
 5
b3 
2
3
1  cos 3  
4
3
b6 
2
6
1  cos 6    0
a0
Тогда

a0
2
2


 a
n
n 1


a
cos nx  b n sin nx  

n
cos nx 
n 1
b
n
sin nx 
n 1

4

sin x 
4
3
sin 3 x 
4  sin x sin 3 x sin 5 x

 


 ... 
  1
3
5

4
5
sin 5 x  ... 
-π
π
2π
-π
π
2π
Чем больше простых гармоник сложим, тем точнее
результирующая гармоника будет представлять функцию
f(x).
Ответ.
4  sin x sin 3 x sin 5 x

f ( x)  


 ... 
  1
3
5

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек
разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна
среднему арифметическому её пределов справа и слева,
т.е. нулю.
Пример 3
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 2π,
заданную на отрезке [-π;π] формулой
f ( x)  x
-5π
-4π
-3π
-2π
-π
0
2
π
2π
3π
4π
5π
Решение
a0 
1

Найдем коэффициенты Фурье:

1

 f  x  dx   

x dx 
2




3
1
x
3
3
3
  

3




2
3
3

2
3
2
an 
1


1

 f  x  cos nx dx   

x cos nx dx 
2

u  x 2
dv  cos nx dx 


 du  2 x dx v  1 sin nx 


n

1 1 2
  x sin nx
 n
0




2
n





x sin nx dx  


u  x

 du  dx

2  1

  x cos nx
n n

2
n
2
dv  sin nx dx 

1
v   cos nx 
n




1
n




cos nx dx  

  cos  n      cos     n  

2
n
3
sin nx
0



2
n
2
4 cos  n
2  cos  n 
n
an 
Итак:
a1  4 co s    4
a2 
a3 
4 co s 2 
2
2
4 co s 3
3
2

2
4 cos  n
n
2
a4 
4
2

a5 
2
4
3
2
a6 
4 cos 4 
4
2
4 cos 5
5
2
4 cos 6 
6
2

4
4
2
4

5

4
6
2
2
bn 
1



f
 x  sin nx dx 

1



x sin nx dx 
2

u  x 2
dv  sin nx dx 


 du  2 x dx v   1 cos nx 


n
1  1 2
   x cos nx
  n



2
n




x cos nx dx  

1  1 2
   x cos nx
  n


u  x

 du  dx

1  1 2
   x cos nx
  n



2
n




x cos nx dx  

dv  cos nx dx 

1
v  sin nx 
n

21
  x sin nx
nn



  sin nx dx   

n 

1


1  1 2
   x cos nx
  n




21
  x sin nx
n n

0

1  2
  cos  n    

n
0


2
n
3

2





1
  sin nx dx   
n 



2

cos     n 
cos nx
3
 n

 cos  n  cos     n   0



a0
Тогда

a0


2
 a
2
a
cos nx  b n sin nx  
n 1


n

n
cos nx 
n 1
b
n
sin nx 
n 1
2
2
4
4



   4 cos x  2 cos 2 x  2 cos x  ...  
32 
2
3


2
 cos x cos 2 x cos 3 x


 4



...

2
2
3
2
3
 1

Ответ.

2
 cos x cos 2 x cos 3 x

x 
 4


 ... 
2
2
3
2
3
 1

2
Так как функция кусочно -монотонна, непрерывна, то
это равенство выполняется во всех точках.