Transcript Теория комплексных чисел Геометрическая интерпретация комплексного числа XVIII-XIX вв • Г.Вессель, Ж.Арган, К.

Теория комплексных чисел
Геометрическая интерпретация
комплексного числа XVIII-XIX вв
• Г.Вессель, Ж.Арган, К. Гаусс
z=a+bi
у-мнимая ось
М(a,b)
b
0
a
х-действительная ось
К.Гаусс
1. Изобразить на комплексной плоскости
следующие числа:
у
z1   3  2  i
2
z5
0
z 2  z1
z 3   z1
z 4  Re z 1
z 5  Im z 1
-3
3
х
z4
-2
Модуль комплексного числа
• Модулем комплексного числа
 z=a+bi
называется длина вектора z:
у-мнимая ось
М(a,b)

z 
b

r  z
0
a
х-действительная ось
a b
2
2
2. Найти модуль комплексного числа:

z 
z1  2  i
z 2  2 6  5i
z3  i
z4  4
2


 1
z1 
2
z2 
2 6 
2
2
5
2
z3 
0 1
2
z4 
 4  2
0
2


4 1 

24  25 
1 1
2

16  4
a b
2
2
5
49  7
Аргумент комплексного числа
• Аргументом комплексного числа называется угол ,
который образует вектор OM с положительным
направлением оси абсцисс.
=arg z
у-мнимая ось
М(a,b)
b

z

0
х-действительная ось
a
Аргумент определяется неоднозначно
z 1 i
у
у
у
1
1
1
2
1
0
1
1 

4
х
0
 2  2 
х
1


4
9
4
3
0
3 
1

4
х
 2  
7
4
Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг
от друга слагаемым, кратным 2π.

Для нашего примера:  k   2 k , k  Z
4
3. Найти аргументы комплексного числа:
z1   i
у
z2  1
arg z 1 
0

3
 2 k , k  Z
arg z 2  0  2  k , k  Z
у
2
х
0
х
1
-1
z3  1 
3 i
tan  

3
1

у

-1

0

      
х
3

3
 

3

3

4
3
arg z 3 
4
3
 2 k , k  Z
4.Найти модуль и аргумент комплексного числа:
z
3i
i
z 
tan  

b
a

2
3

1
1
2

 
6


3i
1
  3i
у
4  2
1

6
3
      
18
31 


17

0
3
5
6


arg z 
5
6
х
 2 k , k  Z
Тригонометрическая форма
комплексного числа

r z 
z  a  bi
у
М(a,b)
b

z
a b
2
2
a
cos   
 a  r  cos 
r
 
b 
b  r  sin 

sin  
r 

0
a
х
z  a  bi  r (cos   i  sin  )
5.Записать число z   2  2 3  i
тригонометрической форме:
r  z 
 2 
2

 2 3

2

16  4
2
1 
cos  

  
2
r
4
2 




3
b
2 3
3
sin  


r
4
2 

2 3
0
4  12 
a
у
-2

в
х
2
2 

z   2  2 3  i  4   cos
 i  sin

3
3



  
  
z  2  cos     i sin    
 6
 6 

6. Записать число
в алгебраической форме:


 
  
  

z  2  cos     i sin      2  cos
 i sin

6
6
 6
 6 


 3
1
 2
i 
 2

2


3i
25 
25  

z  2  cos
 i sin

3
3 

7. Записать число
в алгебраической форме:
25 

24 
3
3


3

 

z  2  cos  2   4    i sin
3


1
3
  1 i
 2  i
2

2


3
 8 

3
 2  4 

3
 

 


 i sin
 2   4     2  cos

3 
3
3


Действия над комплексными числами в
тригонометрической форме
Умножение комплексных чисел.
• Пусть
z 1  r1  cos  1  i sin  1 
z 2  r2  cos  2  i sin  2 
z 1 z 2  r1 r2 cos  1  i sin  1 cos  2  i sin  2  


 r1 r2 cos  1 cos  2  i sin  1 cos  2  i sin  2 cos  1  i sin  1 sin  2 
2
 r1 r2 cos  1 cos  2  sin  1 sin  2  i sin  1 cos  2  cos  1 sin  2  
 r1 r2 cos  1   2   i sin  1   2 
z 1 z 2  r1 r2 cos  1   2   i sin  1   2 
8. Найти произведение комплексных чисел:
z1 
7
2
z1 z 2 
cos 95
7
2
0
 i sin 95
0

 2 cos 95   65
0
 7 cos 95  65
0
0
u
0
  i sin 95
 3 1  7 3 7
 7
 i 
 i
 2

2 
2
2

 
z 2  2 cos  65
  i sin 95
0
 65
0
0
  65
0
  7 cos 30
0
0
  i sin  65 
0
 
 i sin 30
0

Деление комплексных чисел.
z1
r2
z2

r1

cos  1  i sin
cos  2  i sin
cos  1  i sin
cos  2  i sin
r1
r2
 1 cos  2  i sin  2 
 2 cos  2  i sin  2 

2
cos  2 2  i sin
2 
2
r1  cos  1 cos  2  sin  1 sin  2  i sin  1 cos  2  cos  1 sin  2 
cos  2  sin  2
2
r2

2 

r1 cos  1 cos  2  i sin  1 cos  2  i sin  2 cos  1  i sin  1 sin  2
r2

1 
r1
r2
2
cos  1   2   i sin  1   2 
z1
z2

r1
r2
cos  1   2   i sin  1   2 



9. Найти частное комплексных чисел:
z1 
2
3
cos 150

0
 i sin 150
2 1 cos 150  i sin 150
 
0
0
z2
3 2 cos 90  i sin 90
z1

1
3
cos 60
0

0
 i sin 60
0

0

0

u

z 2  2 cos 90  i sin 90
  1 cos 150
0
 90
3
11
3
  
3  2
2
 1
3
i  
i
 6
6

0
0
  i sin 150
0
0

 90
0
 
10. Записать в тригонометрической форме
комплексное число:
z 

 

 i  sin
 cos

3
3

i 1

3i

• Пусть
z 1  cos

3
 i sin

3
z2 
3i
z3  i  1  1  i
Запишем каждое из чисел в тригонометрической форме.


  
z 1  cos
 i sin
 cos     i sin
3
3
 3
  
 
 3
z2 
3i
r  z 
 3
2
1 
2
31  2
3
cos  


r
2   

6
b
1 
sin   
r
2 

a
у
1

0
3
х
z

 

3  i  2   cos
 i  sin

6
6

z3  1  i
  12  1 2
r  z 

2
1 
cos  


r
3
2
 
b
1 
4
sin   
r
2 

a
у
1

-1
0
х
3
3 

z   1  i  2   cos
 i  sin

4
4 




cos

i

sin

3
3

z
i 1




3i




 
  
   
 i sin
 cos     i sin      2  cos

3
3
6
6



 


3 

2  cos
 i sin

4
4


2 
3 
3  
  
  

 cos    
  i sin    
  
6
4 
6
4 
2 
 3
 3
3


 11  
 11   
2  cos  
  i sin  
 
 12 
 12  

Действия над комплексными числами в
тригонометрической форме. Возведение в
степень.
z  r cos   i sin  
• Пусть
z r
n
n
cos  n  i sin  n 
- формула Муавра
11. Возвести в четвертую степень комплексное
число:

 

z  2  cos
 i sin

3
3





z  2  cos
 4  i sin
 4   16
3
3


4
4
4
4 

 i sin
 cos

3
3 

12. Возвести в степень комплексное число и
записать результат в алгебраической форме:

z

Пусть
z1  2 i
2 i
2 i


2
18
z2   2  i
2
Запишем каждое из чисел в тригонометрической форме.
z1  2 i
r  z 
у
 
2
2
 2


 

z  2 i  2   cos
 i  sin

2
2

х
0
z2   2  i
r  z 
2
у
 

0

   2
2
2
2

22  2
3
4
2
2
2
2


0 2
х
z   2 i
3
3 

2  2   cos
 i  sin

4
4 

Разделим одно число на другое в тригонометрической
форме:
z1
z2

2i

2 i


2  cos
 i sin
2


3

2
2  cos
 i sin
4

 

3 
3 
2


 cos  
  i sin  

3 
4 
4 
2
2

4 
  
  
 cos     i sin   
 4
 4
А теперь возведём в степень:

  
  
  cos     i sin    
 4
 4 

 9 
 9 
 cos  
  i sin  

2 
2 


18

z

2 i
2  i


2
18

 

 

 cos    18   i sin    18  
 4

 4

Теперь
можно
результат
алгебраической форме:
 9 
z  cos  
  i sin
2 

9
2

8
2

в
9
9
 9 
 i sin


  cos
2 
2
2


2
 

 cos  2   2    i sin
2

 0i
записать
 4 

2
 2  2 

2
 



 i sin

 2   2    cos
2
2
2

Действия над комплексными числами в
тригонометрической форме. Извлечение корня.
• Пусть
z  r cos   i sin  
Корнем n-ой степени из числа z (n∈N, n≥2) называется
такое комплексное число u, для которого справедливо
n
u
 z
равенство
Корень n-ой степени из комплексного числа z имеет ровно n
значений, которые находятся по формуле:
n
z 
n
r (cos   i sin  ) 
n
  2 k
  2 k

r  cos
 i sin
n
n


 , k  0 ,1, 2 ,..., n  1

13. Найти все значения корня:
Пусть
6
1
z 1
Запишем данное число в тригонометрической форме:
у
r  z 
2
2
1
 0
1
0
1 0
х
z  1  cos 0  i sin 0
6
1
6
cos 0  i sin 0  cos
0  2 k
0  2 k
 i sin
6
 cos
k
6
 i sin
3
k
3
k  0 ,1, 2 ,3 , 4 , 5
k  0:
k  1:
k  2:
u 0  cos 0  i sin 0  1
u 1  cos
u 2  cos

 i sin
3


3
2
 i sin
3
1

2
2

3
k  4:
u 4  cos
k  5:
u 5  cos
4
3
3
5
5
3
 i sin
3
i
1
3

2
u 3  cos   i sin    1
 i sin
у
2
k  3:
4
3
u1
i
2
u3
u0

1
3

2

u2
1
2

2
3
2
i
i
u4
u5
х
z 1 i  3  0
14. Решить уравнение:
z  1 i 3
5
Пусть

z  1 i
z 
1 i
5
5
3
3
Запишем данное число в тригонометрической форме:
r  z 
у
 3
2

31  2
1 

r
2 





3
b
3
sin   
r
2 

cos  
3

0
1 
2
1
х

 

z  1  i 3  2   cos
 i  sin

3
3

a

5

1 i 3 
5
5

 

2  cos
 i sin
 
3
3


2 k 

2  cos 

  i sin
5 
 15

5



 2 k
 2 k

2  cos 3
 i sin 3
5
5



2 k  



  ,
5 
 15
k  0 ,1, 2 , 3 , 4






z
5

2 k 

2  cos 

  i sin
5 
 15

k  0:
k  1:
k  2:
k  3:
k  4:
u0 
u1 
5
u2 
u3 
5
5
k  0 ,1, 2 ,3, 4

 

2  cos
 i sin

15
15 

7
7 

2  cos
 i sin

15
15 

5
5
u4 
2 k  



  ,
5 
 15
13 
13  

2  cos
 i sin

15
15 

19 
19  

2  cos
 i sin

15
15 

25 
25  

2  cos
 i sin

15
15 

у
u1
u2
u0
u3
u4
х
15. Сделать действия в тригонометрической
форме и ответ записать в алгебраической форме:
1)
2)
 
7
7
2
cos

i
sin
 
6
6
 



 
11 
11 
 i sin
 3  cos
3
3
 
3



Ответ.
2
Ответ.
0  8i

9
2

9 3
2
i
16. Сделать действия над комплексными числами
и ответ записать в тригонометрической форме:
1)

2 cos 40  i sin 40

0
3 cos 60  i sin 60
0
0
0


Ответ.
2)
2 cos 30  i sin 30
0
0

2
3
cos  20   i sin  20 
3 cos 70  i sin 70
0
Ответ.
0
0
0

2 3 cos 100  i sin 100
0
0

17. Представить числа в тригонометрической
форме:
1)
z
1

5
2)
z
3
Ответ.
i
5
3
6

1
6
i
Ответ.
2
2
2 
 i sin
 cos

5
3
3 
1
7
7 
 i sin
 cos

3
6
6 
z1
18. Найти z1  z 2 ,
форме для чисел
z1  
1
5

z2
3
5
Ответ.
Ответ.
i
в
u
тригонометрической
z2  
z1  z 2 
z1
z2

3
6

1
i
6
2 
11 
11  
cos

i
sin


15 
6
6 
6
  
 cos     i sin
5
 2
  
   
 2 
 z1 


z 
 2
7
19. Найти
в тригонометрической
форме и результат представить в алгебраической
форме, если
z1  
1

5
5
7
Ответ.
3
i
u
z2  
3
6

1
i
6
7
7
 z1 
6 
6
 3 
 3  


 z   5 7  cos   2   i sin   2    0  5 7 i





 2
20. Найти все значения корня:
Ответ.
u0 
3
u1 
3
u2 
3
2
2 

4  cos
 i sin

9
9 

8
8 

4  cos
 i sin

9
9 

14 
14  

4  cos
 i sin

9
9 

3
22 3i