Transcript OS FRACTAIS Matemática, beleza e aplicações: “A ordem na desordem” Prof. Ilydio Pereira de Sá (USS / UERJ) "A Geometria dos Fractais não é.

OS FRACTAIS
Matemática, beleza e aplicações:
“A ordem na desordem”
Prof. Ilydio Pereira de Sá (USS / UERJ)
"A Geometria dos Fractais não é apenas um
capítulo da Matemática, mas também uma
forma de ajudar os Homens a verem o
mesmo velho Mundo diferentemente“
"O mundo que nos cerca é caótico mas
podemos tentar limitá-lo no computador.
A geometria fractal é uma imagem muito
versátil que nos ajuda a lidar com os
fenômenos caóticos e imprevisíveis."
Benoît Mandelbrot
Nas últimas décadas aconteceram investigações cujo
tema central foi a construção e o estudo de novos objetos
geométricos, denominados FRACTAIS pelo seu iniciador,
Benoit Mandelbrot. Esses objetos constituem uma
imagem de si, própria em cada uma de suas partes.
Segue que suas partes lhe são semelhantes; propriedade
conhecida como auto-similaridade ou auto-semelhança.
A Geometria dos Fractais está intimamente ligada à uma
ciência chamada CAOS. Essa ciência trouxe consigo o
ver ordem e padrões, onde anteriormente só se
observava o irregular, o aleatório, o imprevisível, digamos
mesmo o caótico.
Entretanto, nota-se que o Caos colocou elos entre
temas não relacionados, justamente pelas suas
irregularidades. Temas como desordem na atmosfera,
turbulência nos fluidos, variação populacional de
espécies, oscilações do coração e cérebro, interligações
microscópicas de vasos sanguíneos, ramificações
alveolares, cotações da bolsa, forma das nuvens,
relâmpagos, aglomerações estelares etc. foram
estudados buscando-se então ligações entre diferentes
tipos de irregularidades; e surpreendentes ordens no
caos foram descobertas.
A Geometria Euclidiana clássica, com as suas formas
perfeitas e simétricas não foi suficiente para dar conta dessa
complexidade. As ferramentas da geometria fractal com suas
formas foram elementos insubstituíveis de muitos cientistas,
pois permitiram reformular antigos problemas.
Em particular, os fractais revolucionaram a geração e a
reprodução de imagens. Na constituição de nosso mundo, da
natureza em geral, por mares e oceanos, separando os
continentes e ilhas, com suas costas, suas montanhas e rios,
rochas, plantas e animais, e acima as nuvens etc., temos
componentes com suas formas nas quais dominam a
irregularidade e o caos; tentar simplificá-las, empregando
formas usuais da clássica geometria euclidiana, como
triângulos, círculos, esferas, cones etc., seria absurdamente
inadequado. A geometria dos fractais pode fornecer
aproximações melhores para essas formas.
Benoît Mandelbrot


Benoît Mandelbrot nasceu em Varsóvia (Polônia) em
1924, a sua família emigrou para França, devido à 2ª
guerra mundial. Tinha um tio, Szolem Mandelbrot,
que era professor de Matemática no “Collège de
France” e era o responsável pela sua educação.
Benoît freqüentou o “Lycze Rolin” em Paris, depois
estudou em Lyon, e, mais tarde, foi para os Estados
Unidos da América. Por fim estudou na École
Polytechnique e na Sorbonne, em Paris e no
Instituto Californiano de Tecnologia. A sua carreira
acadêmica dividiu-se principalmente entre França e
os EUA.

Mandelbrot, começou a ficar insatisfeito em relação
à Geometria Clássica, uma vez, que ao explorar e
resolver diversos problemas, os pontos, as linhas
retas, os círculos, entre outros, não demonstraram
ser abstrações adequadas para compreender a
complexidade da natureza.

A pesquisa de Mandelbrot forneceu teorias
matemáticas para o fenômeno da probabilidade
errática e métodos de auto-semelhanças em
probabilidades. Levou a cabo uma pesquisa sobre
processos esporádicos, termodinâmica, linguagens
naturais, astronomia, geomorfologia, gráficos e arte
com a ajuda do computador e criou e desenvolveu a
geometria fractal.

Este
prodigioso
e
ilustre
matemático
contemporâneo, é conhecido mundialmente como
sendo o único responsável pelo enorme interesse
nos chamados objetos fractais. Hoje em dia a sua
geometria é conhecida através de bonitas gravuras
coloridas que, enriqueceram tanto a matemática
moderna como a arte e cujas aplicações já se
estendem aos mais distintos ramos da ciência.
“Nuvens não são
esferas,montanhas não são
círculos, um latido não é contínuo
e nem o raio viaja em linha reta“
Benoit Mandelbrot
O que são os fractais?

Nos últimos anos, diferentes definições de fractais têm
surgido. No entanto, a noção que serviu de fio condutor
a todas as definições foi introduzida por Mandelbrot
através do neologismo "Fractal", que surgiu do latino
fractus, que significa irregular ou quebrado.

Os fractais são formas geométricas abstratas de uma
beleza incrível, com padrões complexos que se repetem
infinitamente, mesmo limitados a uma área finita.
Mandelbrot, constatou ainda que todas estas formas e
padrões, possuíam algumas características comuns e
que havia uma curiosa e interessante relação entre
estes objetos e aqueles encontrados na natureza.
Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemática,
muitas vezes simples, mas que aplicada de forma iterativa,
produz resultados fascinantes e impressionantes.
Além de se apresentarem como formas geométricas, os
fractais representam funções reais ou complexas e
apresentam determinadas características: auto-semelhança, a
dimensionalidade e a complexidade infinita.
Uma figura é auto-semelhante se cada parte dela é semelhante
a toda a figura, ou seja, é uma forma irregular que pode ser
subdividida em partes, e cada parte será uma cópia reduzida
da forma toda.
Podemos ainda dizer que os fractais são figuras geradas por
processos iterativos “infinitos” providos, entre outras coisas,
de rotações, translações e semelhanças de figuras
geométricas.
AUTO-SEMELHANÇA
Cada porção pequena do fractal pode ser vista como
uma réplica reduzida do todo.
Gerando Fractais

Sucessivas iterações de uma função sobre
cada ponto.
P0  ( x0 , y0 , z0 ), P1  F ( P0 ), P2  F ( P1 ),...
Dimensão Fractal dos
Sistemas Auto-Semelhantes
Os fractais são caracterizados em termos de sua dimensão, ou seja,
de sua complexidade. As dimensões fractais apresentam valores
quebrados, entre os valores das dimensões Euclidianas.
Consideremos o seguinte fractal
Construção
Substitui o segmento original por três segmentos
com metade do comprimento anterior .
Construção
Substitui o segmento original por três segmentos
com metade do comprimento anterior .
Construção
Substitui o segmento original por três segmentos
com metade do comprimento anterior .
Construção
Substitui o segmento original por três segmentos
com metade do comprimento anterior .
logN
Cálculo da Dimensão fractal d 
log(1/L)
A cada geração substituímos um segmento por N segmentos de
tamanho L.
No nosso exemplo, cada segmento é sempre substituído por 3
segmentos de tamanho ½, logo, a dimensão desse fractal será:
log 3
d
 1,58
log 2
DIMENSÃO FRACTAL – OUTROS EXEMPLOS
Curva de Koch
log4
d
 1,26
log3
Cada segmento é substituído por 4 segmentos de tamanho 1/3
Triângulo de Sierpinsky
log3
d
 0,79
log 4
Cada triângulo é substituído por 3 triângulos de tamanho 1/4
EXEMPLO DE GERAÇÃO DE UM FRACTAL:
O FLOCO DE NEVE DE KOCH
1
2
3
4
SUGESTÃO PARA SALA DE AULA: INVESTIGANDO O TRIÂNGULO
DE SIERPINSKY COM O GEOPLANO
ATIVIDADE: O TRIÂNGULO DE SIERPINSKY
1) Supondo que a área do triângulo inicial é 1 unidade, prove
que, à medida o número de transformações aumenta, a
área do triângulo de Sierpinsky tende para 0.
2) Exprima, em função da iteração (n), a área An do menor
triângulo colorido da iteração n da construção do
triângulo de Sierpinsky.
3) Mostre que, apesar da área do triângulo de Sierpinsky
tender para 0, o perímetro total dos triângulos tende para
.
SOLUÇÃO
Área total dos buracos: 0
Área total do triângulo de Sierpinski: 1
Número de novos buracos: 1
Área de cada novo buraco: ¼
Área total dos novos buracos : 1 x ¼ = ¼
Área total dos buracos: ¼
Área total do triângulo de Sierpinski: 1- ¼
Número de novos buracos: 3
Área de cada novo buraco: 1/16
Área total dos novos buracos: 3 x 1/16 = 3/16
Área total dos buracos: 1/4 + 3/16
Área total do triângulo de Sierpinski: 1 - 1/4 - 3/16
Número de novos buracos: 9
Área de cada novo buraco: 1/64
Área total dos novos buracos: 9 x 1/64 = 9/64
Área total dos buracos: 1/4 + 3/16 + 9/64
Área total do triângulo de Sierpinski: 1 - 1/4 - 3/16 - 9/64
1) Portanto a área dos buracos é assim dada por:
PG, ilimitada, de razão
igual a ¾
Calculando-se o limite dessa soma, quando o número
de parcelas tende ao infinito, teremos:
LEMBRETE
a1
lim S n 
1- q
n
n
A área dos buracos tende de fato para 1 .
Tendo em conta que : Área do triângulo de Sierpinsky = 1 - Área
dos buracos, conclui-se que a área do triângulo de Sierpinsky
tende para zero.
2) Facilmente se observa que a área do menor triângulo colorido é
igual à área do menor buraco da iteração n, portanto, pelo que
vimos anteriormente, a área do menor triângulo colorido da iteração
n é (1/4)n
3) Se chamarmos o perímetro do primeiro triângulo de 3 L,
teremos que na primeira interação, o perímetro passará a ser
igual a (3 L + L/2 + L/2 + L/2 = 4,5 L ou 3L x 1,5.
Analogamente, na segunda interação, teremos que o
perímetro será igual ao anterior (4,5 L) + 3 x (L/4 + L/4 + L/4) =
4,5 L + 9L/4 = 27L/4 = 6,75 L.
Acontece que 6,75 L é igual a 4,5 L (perímetro anterior)
multiplicado por 1,5. ... Logo ...
Conclusão: temos que a seqüência dos perímetros é também uma
PG, só que crescente (razão 1,5) e que, quando n tender ao infinito,
o perímetro (1,5)n - 1 x 3L, tenderá também a infinito.
Essa atividade nos mostra uma propriedade importante que ocorre
nos fractais: Uma curva com perímetro tendendo ao infinito, mas
com área finita.
EXEMPLOS DE FRACTAIS ANIMADOS
APLICAÇÕES DOS FRACTAIS
Nos últimos 20 anos, a geometria fractal e seus
conceitos têm se tornado uma ferramenta central em
muitas ciências, como: geologia, medicina,
meteorologia, entre outros.
Ao mesmo tempo, fractais são do interesse de
designers gráficos e cineastas pela sua habilidade
de criar formas novas e mundos artificiais mais
realistas.
Na Computação Gráfica, fractais, entre outras
coisas, são utilizados para representar elementos da
Natureza
como
crateras,
planetas,
costas,
superfícies lunares, plantas, ondulações em águas,
representação de nuvens; também são de grande
importância para a criação de efeitos especiais em
filmes, como por exemplo a criação do planeta
Gênesis no filme Jornada nas Estrelas 2.
Os fractais auxiliam na criação de novas
formas e mundos artificiais mais realistas, e
na representação de elementos da natureza
que a geometria tradicional não pode
representar.
A geometria fractal ajuda a aproximar as ciências naturais
e a computação da pesquisa matemática, e é utilizada
como instrumento principal em várias ciências:
Na biologia - Estudo da influência da superfície irregular
das proteínas nas iterações moleculares;
Na geografia - A descrição e caracterização de falhas
sísmicas e, por conseguinte, terremotos são obtidos
através do estudo de sua estrutura fractal. Além de
terremotos, outros fenômenos geológicos podem ser
estudados como, por exemplo, a dinâmica dos vulcões. Os
fractais ainda podem ser usados na criação de modelos de
crescimento demográficos.
Na computação - Geração de terrenos e atmosfera com
modeladores gráficos;
criação de softwares de
compactação de imagens (zipadores); criptografia,
codificação e decodificação de áudio e vídeo.
Hoje em dia a compactação fractal de imagens disputa a
preferência das empresas através do processo JPEG, uma das
mais usadas atualmente. A compressão fractal de imagens vai
ganhando espaço (a Microsoft, por exemplo, adotou esse método
na sua enciclopédia Encarta).
Na Medicina - Várias patologias cardíacas nada mais são que a
falta de regularidade nas batidas do coração. Taquicardia e
fibrilação, entre elas. Pesquisadores têm estudado a dinâmica do
coração, bem como condições de suspensão e indução da
fibrilação. Isto tem permitido a criação de equipamentos
desfibriladores mais eficientes.
O câncer ainda é uma moléstia a ser vencida. Além de novas
terapias, os cientistas estudam novas formas de diagnóstico para
que a identificação de tumores seja precisa e cada vez mais
prematura. Uma das diferenças entre células sadias e doentes está
nos diferentes padrões de crescimento de cada tipo. O exame
destes padrões, utilizando recursos de geometria fractal, pode ser
a chave para a criação de um sistema de detecção do câncer por
computador (Ciência Hoje, ago. 1998).
Análise fractal do crescimento
de tumores cerebrais in vitro.
Por que a Geometria Fractal nas
salas de aula?
Conexões com várias ciências e com situações do cotidiano.
Deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da
natureza. Os objetos naturais são com freqüência mais
complicados e exigem uma geometria mais rica, que os modela
com fractais.
Difusão e acesso aos computadores e a tecnologias da
informática nos vários níveis de escolarização;
Existência do belo nos fractais e possibilidade do despertar e
desenvolver o senso estético com o estudo e arte aplicada à
construção de fractais, entendendo-se arte como toda ação que
envolve simultaneamente emoção, habilidade e criatividade;
Sensação de surpresa diante da ordem na desordem.
Possibilitar momentos de investigação e envolvimento na
elaboração de conjecturas e aprendizagens significativas.
AMPLIANDO OS CONHECIMENTOS
REFERÊNCIAS
BARBOSA, R M, Descobrindo a Geometria Fractal. Autência Editora, BH: 2002.
MANDELBROT, B – Objetos Fractais. Coleção Ciência Aberta, Gradiva, 1992.
Site: http://www.caa.uff.br/~aconci/Fractais.html
Site: http://www.inf.ufsc.br/~visao/fractais.html
Site: www.apm.pt/mt/jogos/fractal/
ANEXO: ALGUNS FRACTAIS NATURAIS
ANEXO: ALGUNS FRACTAIS CONSTRUÍDOS