Transcript Continu  discret  fini en traitement du signal : échantillonnage et reconstruction Cécile Durieu Département EEA  LESiR/SATIE ENS Cachan [email protected] UPS  TIPE, 15 mai.

Continu  discret  fini
en traitement du signal :
échantillonnage et reconstruction
Cécile Durieu
Département EEA  LESiR/SATIE
ENS Cachan
[email protected]
UPS  TIPE, 15 mai 2002
Contexte
Te
e (t )
e[k ]
échantillonnage
signal à
temps continu
e q[k ]
quantification
signal à
temps discret
traitement s q[k ]
numérique
signal
numérique
reconstruction
s (t )
signal à
temps continu
e (t ) e[ k ] e q [k ]
TF  TFD
( k  1)Te kT e ( k  1)Te
t
t
Échantillonnage et reconstruction
x[k ]
x (t )
xˆ ( t )  x ( t )
perte d’information ?
( k  1)Te
kT e
BO 0
+ filtrage passe bas
t
( k  1)Te
BO 1
perte faible si T e "petit "
Limites de l’échantillonnage
•
•
Fe  2 f 0
Fe  f 0
t
reconstruction
impossible
+ filtrage passe bas
t

f 0  f 0  Fe
Signal échantillonné idéal
x (t )
x[k ] signal à temps discret
signal à temps continu

x (t ) 

x [ k ]  ( t  kT e )
 x (t )
signal à temps continu
  t  kT e   x ( t )  T
e
(t )

x (t ) x[k
(t] )
( k  1)T e kT e ( k  1)T e
t
perte d’information ?
Échantillonnage : domaine fréquentiel
X TC ( f ) 
 x ( t ) exp(  j 2  ft ) dt
X TD ( f ) 

X TC ( f ) 
Hz, m
-1

x [ k ] exp(  j 2  kf )
 x[ k ] exp(  j 2  kfT e )
 X TD ( fT e )
1

X TC *  1 Te ( f )
Te


1
Te




X TC 


f 



T e 
k
périodicité du spectre
Échantillonnage : théorème de Shannon
• signal à support spectral limité

X TC  f   X TC 

 2 Fe
f 
1 

T e 
 Fe

X TC 

f 
2 
T e 
 Fe / 2
X TC ( f )
0
Fe / 2
 f max
+ Fe

T e X TC ( f )
Fe
2 Fe
2 f max
recouvrement  repliement
dekspectre


1



X TC ( f ) 
 X TC  f 



 2 f max




Te
T
perte d’information
et restitution
e impossible
f
Echantillonnage : théorème de Shannon
• signal à support spectral limité 
 Fe
 Fe / 2
+ Fe
 2 f max

H(f)
 2 Fe
f max
X TC ( f ) Te X TC ( f )
0
Fe / 2
Fe
2 f max
pas de perte d ’information et
restitution possible sans erreur
2 Fe
f
Échantillonnage et reconstruction
• CSN
Fe  2 f max
x (t )
x[k ]
Fe  2 f max
• exemple :

x (t )
f 0  17 . 5 kHz , Fe  20 kHz
 2 Fe
 Fe
 Fe / 2
f0

X TC ( f )
H(f)
Te X TC ( f )
f ( kHz )
0
Fe / 2
f0
Fe
2 Fe
filtrage passe bande ou changement de fréquence
Échantillonnage et filtrage
• support spectral infini : signal + horizon fini
• filtrage anti-repliement
H(f)
Fe 2
0
f max
x f (t )
x (t )
f
0
f max
Te
f
atténuation de kdB entre f max et Fe 2
exemple : signal sonore, bande utile : 20 Hz20 kHz
Fe  44 . 1 kHz
CD audio
x f [k ]
Reconstruction : interpolateur idéal

x (t )
H(f)
0 Fe 2
f
xˆ ( t )



xˆ ( t )  x  h ( t )

 x[ k ] sinc  ( t  kT e )
Te 
h (t )
1
 Te
0
Te
t
1
t0
t
Reconstruction et interpolateur causal
• interpolateur à RIF
h t(t(t) )
 NT e
0
N
assez grand
phénomène de Gibbs
NT e
• interpolateur causal
Ht( f )
h c ( t )  h t ( t  NT e )
0
2 NT e
retard NT e
t
0
Fe 2
N
pas trop grand
f
Reconstruction et CNA
xˆ ( t )
x [k ]
CNA

x [k ]
x (t )
S
1
0
H ( f ) Te
X(f)

Te X ( f )
xˆ ( t )
h (t )
Te
t
Xˆ ( f )
1
0
Fe 2
Fe
2 Fe
f
si Fe  f max : Xˆ ( f )  exp    fT e  X ( f ) et xˆ ( t )  x ( t  T e 2 )
Reconstruction et CNA
e (t )
CAN
filtre
e[ k ]
eˆ ( t )
CNA
filtre
sˆ ( t )  s t  Te 2 
s (t )
e (t ) e[ k ]
eˆ ( t ) e t  Te 2 
t
Reconstruction et interpolation
• exemple 1 :
f 0  1 kHz , Fe  12 kHz
f 0  1 kHz : 0 . 996
Fe  f 0  11 kH z : 0 . 09
Fe  f 0  13 kHz : 0 . 08
t
Te
• exemple 2 :
f 0  1 kHz , F e  3 kHz
'
f 0  1 kHz : 0 . 82
Fe  f 0  2 kHz : 0 . 41
'
Fe  f 0  4 kHz : 0 . 21
'
t
Te
2 Fe  f 0  5 kHz : 0 . 17
'
2 Fe  f 0  7 kHz : 0 . 12
'
'
Te
+ interpolation
Fe  12 kHz
Reconstruction et interpolation
• exemple CD :
G( f )
f max : 0 . 69
Fe  f max : 0 . 58 !
0
interpolation
f max Fe  f max
4 Fe  f max
f
( N  48 )
Fe  4 Fe
'
f max : 0 . 98
Fe  f max : 0 . 13
'
x[k ]
interpolateur
H(z)
CNA
H(p)
xˆ ( t )
TF  TFD  TFR
•
 x[ k , K ]
K

X TC ( f , K )  X TD ( f , K ) 


x
[
k
]
exp

j
2

X
[
n
,
K
]

X

TF kff 
x (t )

x[ k ]

k 1
x (t )
0 Te
( K  1)T e
horizon fini KT e
t
f
0
f 
1

KT e
+ périodicité
= TFD
X [n, K ]
X TD ( f , K )
x[ k , K ]

,K
K

n
Fe
 pas grille
K
K
points par période
TF  TFD  TFR
• bourrage de zéros
pas de grille / M
• algorithme rapide si K  2 L
• fenêtre de pondération
lobes parasites
et perte en résolution
exemple : fenêtre rectangulaire +
K A 2
X TD ( f , K )
différentes fenêtres
0
f0
2 KT e 1 KT e
f
TF  TFD  TFR
• pas de grille
hauteur des pics !
X(f,K)
f0 
k0
K
Fe
différentes fenêtres
0
f0 
k0  
K
f0
f
X(f,K)
X(f,K)
Fe
0
f0
f
0
f0
f
Quelques références bibliographiques
•
Jean Pierre DELMAS : "Eléments de théorie du signal : les signaux déterministes ",
Ellipses, Collection pédagogique de Télécommunication, 1991.
•
Francis COTTET : "Traitement des signaux et acquisition de données ", Dunod, 1997.
•
Bernard PROST : "Disques optiques ", Techniques de l’Ingénieurs, réf E 5450, Vol.
TE, 1995.