Transcript EXERCICES - Aix Marseille Université

IUT d’Aix-Marseille
Département Génie Électrique
& Informatique Industrielle
2014-2015
DUT 1ère année
Semestre 1
MODULE Ener1
Électricité et Énergie
Modélisation des bobines et des condensateurs
Circuits résonants
EXERCICES
Chap. 8 : Modélisation des composants
Chap. 9 : Circuits résonants
I.U.T. Aix-Marseille G.E.I.I. 1èreAnnée
1
Module Ener1 – Energie et Electricité
Chapitre 8 : Modélisation
1.
EXERCICES
Une bobine imparfaite peut se mettre sous la forme d'une inductance de 10 mH en parallèle avec une
4
résistance de 10 kΩ. Calculer le facteur de qualité de cette bobine à la pulsation 10 rd/s.
R: 100.
2.
Un condensateur imparfait peut se mettre sous la forme d'une capacité de 100 nF en parallèle avec une
6
résistance de 10 kΩ. Calculer la tangente de son angle de perte à la pulsation 10 rd/s.
R: 0,001.
3.
Une bobine a été mesurée avec un pont basse fréquence à 1 kHz. Les résultats de ces mesures sont:
LS = 20 mH & Qbob = 5.
Calculer RS puis les éléments RP et LP de la structure parallèle équivalente.
R: 25 Ω. 653 Ω; 20,8 mH.
4.
Un enroulement mesuré à 1 kHz, possède un facteur de qualité de 20, et une inductance parallèle
de 10 mH. Calculer RP puis les éléments de la structure série correspondante.
R: 1260 Ω.
5.
6.
Un condensateur a été mesuré à 1 kHz. On a trouvé: CS = 100 µF et D = tgδ = 0,5.
Calculer RS, puis RP et CP.
3,13 Ω;
≈ 10 mH.
R: 0,8 Ω. 4 Ω; 80 µF.
Un condensateur, mesuré à 1 kHz, a une capacité parallèle de 100 nF et la tangente de son angle de perte
vaut 0,005.
Calculer RP puis les éléments de la structure série équivalente.
R: 320 kΩ. 8 Ω; 100 nF.
L = 1,59 mH
7.
Exercice n°1 (sur 5) du 2° DS de décembre 1986.
Dans le montage représenté ci-contre, L, C, et C' peuvent être
considérés comme parfaits.
4
Montrer qu'à la fréquence f = 10 Hz, le circuit peut être
représenté par le schéma équivalent ci-dessous.
Préciser la valeur numérique de R'.
A
Les calculs numériques seront
effectués avec une précision de 1 %.
C'
B
A
C= 127 nF
C' = 1,15 µF
B
R'
R=
250 Ω
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Module Ener1 – Energie et Electricité
Chapitre 9 : Circuits résonants
EXERCICES
1.
Modélisation des circuits.
4
Une bobine et un condensateur ont été mesurés à la fréquence 10 Hz. Ils sont destinés à être utilisés pour réaliser
un circuit résonant de type série ou de type parallèle, accordés à la fréquence 10 kHz.
Les mesures ont donné les résultats suivants:
-3
∗ C = 25,3 nF; tg δ = 1,25.10 .
∗ L = 10 mH; Qbobine = 200.
1. Peut-on savoir si les résultats des mesures se rapportent à des représentations en mode série ou bien en
mode parallèle du composant correspondant?
2. Modéliser la bobine en mode série puis en mode parallèle.
3. Modéliser le condensateur en mode série puis en mode parallèle.
4. Vérifier que la fréquence de résonance est bien égale à 10 kHz dans les deux cas.
2.
Circuit résonant série.
On reprend les deux réactances imparfaites de l'exercice 1 pour les mettre en série.
1. Modéliser le circuit complet.
2. Calculer le facteur de qualité Qcir du circuit.
3. Calculer les fréquences de coupure à –3 dB de ce circuit.
4. Ce circuit est alimenté par une source de tension de résistance interne Ri. La présence de Ri modifie le
précédent facteur de qualité, qui pour l'ensemble, devient égal à QT.
Quelle condition doit vérifier Ri si on veut que le branchement de la source de tension entraîne une
modification du facteur de qualité inférieure ou égale à 10 % ?
5. Proposer un tel montage de source à l'aide d'un GBF du commerce complété par des résistances série E12
(rappel: un GBF délivre une f.é.m. d'amplitude maximale de 10 V sous une résistance interne de 50 Ω).
Quelle f.é.m. maximale peut-on alors espérer dans les conditions de la question 4?
R: 160; 9970 & 10030 Hz; ≤ 0,44 Ω. ajouter 47 Ω et [1 Ω // 1 Ω]; ≈ 50 mV.
3. Circuit résonant parallèle.
On reprend les deux réactances imparfaites de l'exercice 1 pour les mettre en parallèle.
1. Modéliser le circuit complet.
2. Calculer le facteur de qualité Qcir du circuit.
3. Calculer les fréquences de coupure à –3 dB de ce circuit.
4. Ce circuit est alimenté par une source de courant de résistance interne Ri. La présence de Ri modifie le
précédent facteur de qualité, qui pour l'ensemble, devient égal à QT.
Quelle condition doit vérifier Ri si on veut que le branchement de la source de courant entraîne une
modification du facteur de qualité inférieure ou égale à 10 % ?
5. Proposer un tel montage de source à l'aide d'un GBF du commerce complété par des résistances série E12
(rappel: un GBF délivre une f.é.m. d'amplitude maximale de 10 V sous une résistance interne de 50 Ω).
Quel c.é.m. maximal peut-on alors espérer dans les conditions de la question 4?
6. Dans les conditions de (5), quelle tension mesure-t-on à la résonance?
R: ≥ 900 kΩ; [1,8 MΩ // 1,8 MΩ]; ≈ 10 µA.
4. Les bases de la résonance série.
Une source de tension de fém e(t) = 10cos(2πf.t), et de résistance interne r = 50 Ω, alimente un circuit L, R, C avec
R = 50 Ω, L = 0,1 H, et C = 0,1 µF. Calculer la fréquence de résonance, le facteur de qualité du circuit complet,
l'intensité du courant à la résonance, les tensions aux bornes de L et C correspondantes, ainsi que les fréquences
de coupure à − 3 dB de l'intensité du courant. Dessiner, en synchrone, sur une période et avec les mêmes
échelles, les graphes de e(t), uL(t) et uC(t), ainsi que les relevés en XY de uL = f[e], de uC = f[e] et de uL = f[uC].
R: 1592 Hz.
10.
0,1.cos(2πfot) (A).
100.cos(2πfot+ π/2) (V). 100.cos(2πfot − π/2) (V). 1513 et 1672 Hz.
5. Résonance série et fréquences de coupure.
Un circuit R, L, C série est alimenté par une source de tension parfaite de fém e(t) = 10.cos(2πft) (V). Soit ωo la
pulsation de résonance et Io l'amplitude du courant à la résonance.
1. Exprimer l'amplitude complexe du courant en fonction de x=
ω = f ,du facteur de qualité Q du circuit et de Io.
ωo f0
2. Exprimer les fréquences de coupure à − 6 dB de I en fonction de fo et de Q.
3. En déduire la bande passante du circuit à − 6 dB.
4. Proposer une généralisation des relations précédentes pour des fréquences de coupure à − n dB.
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Module Ener1 – Energie et Electricité
R:
3 + 4Q2 ±
3
3
.
.
Q
2Q
6. Résonance série et Q-mètre.
Une source de tension d'impédance interne quasiment nulle, débite dans une bobine imparfaite d'inductance L et
de facteur de qualité Qbobine, en série avec un condensateur C = 1 µF qu'on considérera comme parfait.
Un voltmètre électronique, d'impédance interne qu'on supposera infinie, permet de mesurer la tension
UC aux bornes du condensateur et UG aux bornes du générateur. Le fréquence de la source varie; quand elle vaut
796 kHz, la ddp aux bornes du condensateur est maximale et vaut UCmax = 1 V, alors que UG = 0,1 V.
1. Dessiner le schéma de l'installation.
2. Montrer que ces résultats permettent de calculer les valeurs de L et Qbobine à 796 kHz, ainsi que la résistance
série de la bobine.
3. Utiliser ces résultats pour calculer le modèle parallèle équivalent à la bobine à cette fréquence.
R: 10 > 5 fo # 796 kHz.
LS # LP = 40 µH.
Qbobine = 10.
RS = 20 Ω. RP = 2 kΩ.
7. Les bases de la résonance parallèle.
Une bobine [L, Qbobine] est branchée en parallèle avec un condensateur
L Qbob
C
supposé parfait C. Le circuit est alimenté par une source de courant
v(t)
supposée aussi parfaite, i(t) = Imcos(2πft).
i(t)
Cette bobine a été mesurée à 10 kHz: L = 25,3 mH; Qbobine = 100.
1. Calculer C pour avoir la résonance à 10 kHz.
2. Calculer la résistance parallèle de la bobine à 10 kHz.
3. Dessiner le schéma équivalent parallèle qui modélise le circuit à 10 kHz.
4. Calculer l'impédance du circuit à la résonance.
5. Calculer les fréquences de coupure à − 3 dB de cette impédance.
6. Calculer la valeur de la résistance à brancher en parallèle sur l'ensemble pour avoir une largeur de bande
passante égale à 1 kHz.
7. Cette résistance est branchée, avec Im = 10 mA. Indiquer l'allure du graphe de |V| quand f varie.
R: 10 nF. 159 kΩ.
9,95 kHz; 10,05 kHz.
17,7 kΩ.
8. La résonance parallèle .
Une bobine et un condensateur (imparfaits) ont été mesurés à 10 kHz et sont associés en parallèle.
10 nF; Qcondensateur = 300.
Résultats des mesures: 25,3 mH; Qbobine = 100.
1. Dessiner le circuit équivalent parallèle qui permet d'étudier le circuit au voisinage de sa fréquence de
résonance, et vérifier qu'elle est bien égale à 10 kHz.
2. Calculer l'impédance du circuit à la résonance et la bande passante à –3 dB du module de cette impédance.
3. Peut-on réduire cette bande passante à 100 Hz, toutes choses égales par ailleurs.
4. Que faire pour augmenter cette bande passante à 1 kHz, toutes choses égales par ailleurs.
5. En supposant ces fréquences de coupure symétriques par rapport à f0, et sachant que la commande du circuit
se fait par le courant électromoteur: i(t) = 0,1cos2πf.t (mA), porter trois points du graphe: lecture V du voltmètre
[fréquence] pour les deux cas de bandes passantes possibles.
R: ❷ 119 kΩ; 133 Hz. ❸ ! ❹ ρ = 18 kΩ. ❺ Max: 8,4 V puis 1,1 V; puis / √2.
9. Justification de l'appellation de "circuit bouchon" donnée au circuit résonant parallèle.
Un circuit résonant parallèle sert d'organe de liaison entre un
7
générateur de f.é.m. e(t) = 10cos(2π10 t) (V), et de résistance
interne RG = 50 Ω et une charge purement résistive RC 50 Ω.
Données concernant la bobine: L = 1 µH; Qbob = 50.
1. Calculer la valeur de C permettant d'avoir une résonance
à 10 MHz.
2. A 10 MHz, calculer la tension aux bornes de la charge et
la puissance P qui y est dissipée.
3. Comparer cette puissance à celle P' qui y aurait été dissipée
en l'absence du circuit résonant.
RG
L; Qbob
RC
e(t)
R: 253 pF.
109 mV (eff).
238 µW.
250 mW.
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Module Ener1 – Energie et Electricité
10. Exercice n°2 du 2°DS du 23 janvier 1994.
On dispose d'une bobine et d'un condensateur ayant comme caractéristiques, aux environs de 100 kHz:
∗L = 0,1 mH; Qbob = 20.
∗Qcap = 60;
C = 25,3 nF.
On les place en parallèle aux bornes d'une source de courant électromoteur: 1 mA, à f ≈ 100 kHz.
1. Dessiner , en le justifiant , le schéma équivalent de l'ensemble , et , éventuellement , le simplifier.
2. Quelle est la fréquence de résonance du circuit, ainsi que son facteur de qualité et sa bande passante à -3dB ?
3. Que faut-il faire pour élargir cette bande passante à 10 kHz? Explications, calculs et résultat.
5
R: 10 Hz. 15.
6,67 kHz. ρ = 1890 Ω.
11. Exercice n°3 du 2°DS du 21 janvier 1995.
On dispose d'une bobine, qui, mesurée à 100kHz, possède: L = 1mH et Qbob = 25 ainsi que d'un condensateur,
qui, mesuré aussi à 100kHz, possède: C = 2,53nF, et tgδ = 10-2. On supposera ces données indépendantes de la
fréquence.
1° A quelle fréquence ces deux éléments peuvent-ils "résonner" si on les place d'abord en série puis en parallèle ?
2° Calculer les schémas équivalents de la bobine da ns le mode série, puis dans le mode parallèle, en prenant en
compte la (ou les) fréquence(s) obtenue(s) en 1°, e t en suivant les approximations d'usage.
3° Faire de même pour le condensateur.
4° On veut réaliser une résonance de type série.
a) Quel est le type de source (de tension ou de courant) qui permet d'obtenir le plus grand facteur de qualité du
circuit, et quelle devrait être sa résistance interne ?
b) Dans les conditions de la question a), calculer: ¤ le facteur Qcircuit ;
¤ la bande passante à -3dB;
¤ les fréquences de coupure correspondantes.
5° Reprendre la question 4°, mais avec une résonance d e type parallèle.
R: 1° Chaque facteur de qualité (pour L et C) étant > 10 → on retrouve le même élément réactif en série comme en parallèle. D'où:
ωo = 1 / √LC = 2π.105rd/s
fo = 105 Hz = 100kHz.
2. Bobine en mode série :
RsB = Lωo /Qbob = 25,1Ω en série avec L = 1mH.
Bobine en mode parallèle : R^pB = 25,1(1 + 25²) = 15,7kΩ en parallèle avec L = 1mH.
3. Condensateur en mode série:
RsC = 25,1/4 = 6,28 Ω en série avec C = 2,53 nF.
Condensateur en mode parallèle: RpC = 15,7x4 = 62,8kΩ en parallèle avec C = 2,53nF.
4. a) Il faut une source de tension parfaite, de résistance interne nulle.
b) ¤ Qcircuit = Lωo / ΣR = 10-3.2π.105 / (25,1 + 6,3) # 20 .................... Qcircuit # 20.
¤ BP = fo / Qcircuit # 5kHz.
10
3
¤ Avec les deux relations: f1xf2 = 10 et f2 – f1 = 5.10 , on obtient aisément: f1 = 97,53kHz
f2 = 102,53kHZ
NB: En acceptant des fréquences quadrantales symétriques / f0, on aurait: 97,5 et 102,5kHz. A cause de Q = 20, l'erreur est faible.
5. a) Source de courant parfaite (G = 0, ou R = infinie).
b) Résultats inchangés par rapport à 4.b !