Transcript Mes norime Jums pateikti informaciją... Jevgenijus Kirjackis, Teresė Leonavičienė, Mečislovas Meilūnas  Kokią informaciją mes norime pateikti?  Kodėl ir kaip mes ją norime pateikti?  Kokia Jums.

Mes norime Jums
pateikti informaciją...
Jevgenijus Kirjackis,
Teresė Leonavičienė,
Mečislovas Meilūnas

Kokią informaciją mes norime pateikti?
 Kodėl ir kaip mes ją norime pateikti?
 Kokia Jums nauda iš tos mūsų
informacijos?






Enėjo Taktiko IV a. pr. m.e. vandens
telegrafas. Graikijoje naudotas deglų
telegrafas.
1781 m. prancūzų inžinieriaus Klodo Šapo
telegrafo sistema.
Po 1800 m. kuriami elektriniai telegrafai.
Remiantis A. G. Belo išradimu (1876 m.),
sukurtas laidinis telefonas (apie 1879 m. JAV).
Radijas, o vėliau – televizija.
Mobilieji telefonai ir asmeniniai kompiuteriai.
Rindo papirusas
Šimtą saikų grūdų reikia padalyti penkiems
žmonėms taip, kad antrasis gautų tiek daugiau
už pirmąjį, kiek trečiasis gavo daugiau už
antrąjį, ketvirtasis daugiau už trečiąjį, o
penktasis daugiau už ketvirtąjį. Be to, pirmieji
du turi gauti 7 kartus mažiau už likusius tris.
Kiek grūdų reikia duoti kiekvienam?
Rindo papirusas
a1  (a1  d )  (a1  2d )  (a1  3d )  (a1  4d )  100,

7a1  (a1  d )   a1  2d  a1  3d  a1  4d
a1  2d  20,

11a1  2d .
2
1
a1  1 , d  9 ,
3
6
2
5
1
1
1 , 10 , 20, 29 , 38 .
3
6
6
3
Greičiausiai ne kiekvienas iš
mūsų galvoja apie matematiką,
kai gėrisi gražiu saulėgrąžos
žiedynu ar negali atitraukti akių
nuo Leonardo Da Vinčio „Monos
Lizos“, kurios proporcijos
siejamos su auksiniu santykiu.
Fibonačio skaičiai
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...
2=1+1,
5=3+2,
13=8+5,
3=2+1,
8=5+3,
...,
1,618...
3 5 8 13
1, 2, , , ,
, ...
2 3 5 8
Auksinis santykis




saulėgrąžos žiedynas,
žmogaus kūno dalių proporcijos,
auksiniai stačiakampiai architektūroje ,
....
Fibonačio spiralė
x  x 1  0
2
(http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number)
Karlas Frydrichas Gausas
ir aritmetinės progresijos n pirmųjų
narių sumos skaičiavimo formulė
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+ ... +
n
n
+ n-1 + n-2 + n-3 + n-4 + n-5 + n-6 + ... +
1
n+1 + n+1 + n+1 + n+1 + n+1 + n+1 + n+1 + ... + n+1
n(n  1)
Sn 
2
Matematinis modeliavimas
virtualusis
objektas
idealizuota
schema
realusis
objektas
matematinis
modelis
skaitinis
modelis
Prie spyruoklės pritvirtinto kūno
judėjimas
Remiantis antruoju Niutono dėsniu:
mx  cx  kx  F (t )
čia m – svyruojančio kūno masė,
c – slopinimo koeficientas,
k – spyruoklės tamprumo koeficientas,
F(t) – išorinė jėga, veikianti kūną,
x=x(t) – svyruojančio kūno padėtis
(koordinatė) bet kuriuo laiko momentu.
Parašiutininko judėjimo analizė

kai nepaisome oro pasipriešinimo
ma  mg
arba
Sprendinys –
dv
g
dt
v(t )  gt  C1
Kai žinome pradinį greitį v(0)=v0 –
v(t )  gt  v0
Parašiutininko judėjimo analizė
Kūno padėtis kiekvienu laiko momentu nustatoma
sprendžiant diferencialinę lygtį:
dx
 gt  C1 .
dt
gt 2
Sprendinys –
x(t ) 
 C1t  C 2 .
2
Kai žinome pradinę kūno padėtį x(0)=x0 ir pradinį greitį
2
v(0)=v0 –
gt
x(t ) 
 v0 t  x0 .
2
Parašiutininko judėjimo analizė

kai oro pasipriešinimas yra proporcingas judėjimo
greičiui
dv
kv
g .
dt
m
Sprendinys – judėjimo greitis –
mg
v(t ) 
 C1e
k

kt
m
.
Sprendinys – kūno padėtis –
mg
m
x(t ) 
t  C1 e
k
k

kt
m
 C2 .
Parašiutininko judėjimo analizė
Jei žinomas pradinis judėjimo greitis ir kūno padėtis
pradiniu laiko momentu, tai atitinkamai turime:
mg  mg

v(t ) 

 v 0 e
k  k

mg
m  mg

x(t ) 
t 
 v0 e
k
k k

kt

m

kt
m
,
2
m g mv0
 x0  2 
.
k
k
Parašiutininko judėjimo analizė

kai oro pasipriešinimas yra proporcingas judėjimo
greičio kvadratui, tai nagrinėjame lygtį:
Sprendinys –
dv
kv 2
g
.
dt
m
 2t
mg  Ce
v(t ) 

k  2t
 Ce
kg
m
kg
m

1
.

1 
Parašiutininko judėjimo analizė



modelyje be oro pasipriešinimo bėgant laikui judėjimo
greitis v(t )  gt  v0 nuolat didėja,
modelyje, kai oro pasipriešinimas yra proporcingas
judėjimo greičiui, artėjama prie ribinio greičio –
mg
v(t ) 
,
k
kai oro pasipriešinimas proporcingas judėjimo greičio
kvadratui, tai ribinė greičio reikšmė –
v(t ) 
mg
.
k
Antrasis kosminis greitis

Dviejų kūnų traukos (gravitacijos jėga):

Mm
F k 2 .
r
Pagal antrąjį Niutono dėsnį:

d 2r
F m 2 .
dt
Kūno judėjimo diferencialinė lygtis:
2
d r
M
 k 2 , čia
2
dt
r
2
d r
dv
v .
2
dr
dt
Antrasis kosminis greitis

Diferencialinės lygties
dv
M
v
 k 2 .
dr
r
sprendinys –
2
v
kM

 C.
2
r

Jei žinomas kūno greitis Žemės paviršiuje, tai
2
2
0
v
kM v
kM

 
.
2
r
2
R
Antrasis kosminis greitis

Kūnui tolstant nuo Žemės
r  ,
o jo greitis

2
2
0
v
v
kM


.
2
2
R
Kūnas nesugrįš į Žemę, jei
t.y., jei
v0 
v02 kM

 0,
2
R
2kM
.
R
Literatūra



J. I. Perelmanas. Įdomioji algebra. Vilnius,
1952.
S. Rutkauskas. Įvadas į diferencialinių lygčių
teoriją. Vilnius, 2006.
http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number
Ačiū už dėmesį!