Transcript 第七章 秩相关分析和秩回归 学习目标    掌握秩相关的基本原理； 掌握Kendall  相关检验的基本原理和计算； 掌握多变量的基本原理； Spearman秩相关检验 检验问题 设样本 (X, Y)  {(X1, Y1 ), ,(Xn , Yn )} 来自总体 F(x, y) ： H0 : X与Y不相关  H1 :

第七章 秩相关分析和秩回归
学习目标



掌握秩相关的基本原理；
掌握Kendall  相关检验的基本原理和计算；
掌握多变量的基本原理；
Spearman秩相关检验
检验问题
设样本 (X, Y)  {(X1, Y1 ),
,(Xn , Yn )}
来自总体
F(x, y) ：
H0 : X与Y不相关  H1 : X与Y正相关.
设 Ri 是 Xi 在 (X1 , X2 , , Xn ) 中的秩,Qi 是 Yi 在 (Y1, Y2 , , Yn )中
的秩。秩的简单相关系数：
1 n
1 n
R
)(Q

i1 i i n i1 Qi )]
n
rs 
n
n
1 n
1 n
i1 (R i  n i1 R i )2 i1 (Qi  n i1 Qi )2
i1[(R i 
n
秩相关系数可简化为： rs  1 
6
n(n 2  1)
n
2
(R

Q
)
 i i
i 1
检验
在零假设成立时，
n2
T  rs
1  rs2
服从自由度为   n  2的t分布。
T  t , 时表示正相关。在
存在重复数据的时候，可以采用平均秩，节不多的时候，
T仍然可以采用。
在大样本情况下，可以采用正态近似进行检验：
n 1rs  N(0,1)
当 n 
在出现打结的时候，需要使用修正公式计算。
例7.1
解答
Kendall 
相关检验
Kendall(1938)提出一种类似于Spearman秩相关的检验方法，
从两变量(x j , y j )是否协同(concordant)来检验变量之间的相关性。
首先引入协同的概念：
若 (x j  xi )(y j  yi )  0 ， j  i 则称数对 (x i , yi ) 和(x j , y j ) 协同。
若 (x j  xi )(y j  yi )  0 ， j  i 则称数对 (x i , yi ) 和 (x i , yi 不协同。
)
n
这样样本共有 2   n(n 1) / 2 个数对，用 N c 表示协同的数对
 
的数目，
N d 表示不协同的数对数目。则 Kendall 统计
量定义为：

Nc  Nd
Nc  Nd
2S


Nc  Nd n(n  1) / 2 n(n 1)
其中 S  Nc  Nd ，易知 1    1
在  取大值的时候拒绝. H0 具体检验时可以查零分布表,
大样本时可以采用正态近似。打结情况下用正态修正。
例7.2
多变量Kendall协同系数检验
Kendall协同相关系数用于考察多个变量之间的相关性。
例如，歌手大赛中，评委对歌手的评分是否一致？变量
之间的协同系数检验也是以多变量的秩检验为基础的。
假设k个变量 X1 , X2 , , Xk ， 每个变量对应n个观测值,
即 Xj  (X1j , ,Xnj ) 。
R ij 为 Xij 在 (X1j , , Xnj ) 中
的秩。假设检验问题：
H0 : k个变量不相关  H1 : k个变量相关
协同系数的原理如下，在零假设成立的情况下，那么每一
行的秩应该相差不大；而备选假设成立的时候，各行的秩
和应该有很大差别。可以构造检验统计量：
1

 Ri . 

n
i 1 
n

Ri . 

i 1

n
2
从而Kendall协同相关系数W可以表示为：
2


1
 Ri .   Ri . 

n
 
W  i 1  2 3 i 1
k ( n  n)
n
n
n
R
i 1
2
i.
 k 2 n(n  1) 2 / 4
k 2 (n 3  n) / 12
实际检验时，可以查零分布表，在n固定，k   时：
k(n 1)W  2n 1
可以利用渐进性进行检验，对于有打结情况的数据，需
要用调整公式计算。
例7.3
本章要求



掌握秩相关的基本原理；
掌握Kendall  相关检验的基本原理和计算；
掌握多变量的基本原理；
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