Transcript Fraktálová geometrie Matematické modely  vymezit zkoumaný systém  zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému v čase  tvorba matematického modelu: vzájemný.

Fraktálová geometrie
Matematické modely
 vymezit zkoumaný systém
 zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému
v čase
 tvorba matematického modelu: vzájemný vztah
základních veličin
 výstupem matematického modelu jsou data popisující
chování zkoumaného systému
 ověření výstupních dat na reálném systému
 korekce matematického modelu
Matematické modely
 Výstupem může být i geometrický útvar
 Příklady z oblasti biologie
•
•
•
•
Program pro syntetický život Tierra
Matematický model DNA generovaný počítačem
Matematický model jednoduché „evoluce“
Vězňovo dilema – spolupráce nebo zrada?
 Některé geometrické útvary mají zvláštní vlastnosti,
nazýváme je fraktály
Fraktálová geometrie




Benoit Mandelbrot, Gaston Julia
Základní literatura : The Fractal Geometry of Nature
La fractale, fractus, fraction
výzkum začneme na jednoduchém fraktálu Kochové
křivce (Helge von Koch, 1904)
Vlastnosti Kochové křivky
 křivka je spojitá, nikde sama sebe neprotíná
 celá křivka je uvnitř kružnice opsané původnímu
trojúhelníku
 křivka má nekonečnou délku, i když je „uzavřena“ v
kružnici, délka hranice :
  4 n 
s  limo  
n    3  


o ... obvod trojúhelníku
n … počet „dělení“ trojúhelníku
Vlastnosti Kochové křivky

Každá část křivky obsahuje sebe sama, z každé části lze
obnovit celou křivku – tato vlastnost se nazývá :
vnitřní homotetie
(self-similarity)
Jakou má Kochové křivka dimenzi?





dimenze 0 : body
dimenze 1 : přímky
dimenze 2 : roviny
dimenze 3 : prostory
dimenze d : dimenze Kochové křivky?
Jakou má Kochové křivka dimenzi?
1< d <2






Je nutná nová definice dimenze !
Útvary klasické eukleidovské geometrie mají celočíselnou
(topologickou) dimenzi
Velice zjednodušeně : topologická dimenze označuje počet
parametrů, kterými můžeme popsat každý bod na
geometrickém útvaru

přímka : X  A  tu, t  R
každý bod lze popsat jediným parametrem, má tedy dimenzi 1,
každá křivka v rovině má rovněž dimenzi 1, každý bod lze
totiž obecně popsat: x=x(t), y=y(t), kde parametr t probíhá
určitý interval


rovina : X  A  tu  sv , t , s  R
rovina má tedy dimenzi 2
Jiná definice dimenze
• Úsečku o topologické dimenzi 1 rozdělíme na N
stejných úseček. Koeficient stejnolehlosti pro jednu
úsečku bude tedy
1
r 
N
• Když budeme místo úsečky dělit čtverec (dimenze 2)
na N shodných čtverců, koeficient stejnolehlosti pro
jeden čtverec bude bude
r 
1
1
N2
• Pro krychli tedy platí : r 
1
1
N3
• Není problém definovat krychli s eukleidovskou
dimenzí větší než 3, nazveme ji d, pak analogicky
platí :
1
r 
• Z toho vyjádříme d :
1
Nd
l o gN
d 
1
l o g 
r
Dostali jsme vzorec pro výpočet homotetické
(Hausdorffovy – Besicovitchovy) dimenze, která se
někdy nazývá fraktálová
Definice fraktálů
Mandelbrot : „Fraktály se charakterizují
intuitivním a pracovním způsobem
prostřednictvím obrázků či množin,
které by se mohly označit za fraktální,
a přitom se vyhýbáme jejich
definování matematickým a
kompaktním způsobem“
Definice fraktálů
Mandelbrot : „A fractal is by definition a
set for which the Hausdorff
Besicovitch dimension strictly exceeds
the topological dimension.“
Překlad : „Fraktál je podle definice
množina, pro kterou je HausdorffovaBesicovitchova dimenze vyloženě větší
než topologická dimenze.“
Výpočet fraktálové dimenze
Kochové křivky
„Klasická“ křivka : když použijeme menší a menší měřítko, délka
se blíží k nějaké konečné hodnotě
Kochové křivka :
n
 4
s  limo 
n    3 




tzn., při zmenšování měřítka je délka nekonečná
(Richardsonův empirický zákon – pobřeží Bretaně)
Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky
N=4
1
r
3
log4
d
log3
d =1,26
Mandelbrotova množina : fraktál všech
fraktálů
Množina komplexních čísel :
 Množina komplexních čísel obsahuje všechna reálná
čísla
 Navíc obsahuje tzv. imaginární jednotku i
2
 platí i  1
 algebraický tvar komplexního čísla je a+b.i, kde a,b
jsou libovolná reálná čísla
 sčítání a násobení provádíme stejně jako čítání a
násobení dvojčlenů v R
 každé komplexní číslo lze znázornit v rovině jako
bod o souřadnicích [a;b]
Mandelbrotova množina : fraktál všech
fraktálů
 iterace … opětovné užití téhož početního
obratu, výsledek početního obratu je vstupem
pro následující opakování téhož obratu
 iterace v C … z  z.z  c
•
•
•
•
počáteční hodnota z = 0+0i tj. bod o souřadnicích [0;0]
c je testované komplexní číslo
pokud c konverguje tj. blíží se bodu [0;0], označíme je černě
pokud diverguje označíme jej barevně, např. podle
„rychlosti“ divergence
Mandelbrotova množina : fraktál všech
fraktálů
Výsledkem otestování všech bodů roviny je fraktálový útvar,
který se nazývá Mandelbrotova množina (M-set).
Vlastnosti :
 celá množina leží v kruhu o poloměru 2
 množina je souvislá
 fraktální dimenze hranice množiny je 2, jedná se tedy o fraktál
 obsahuje údaje o všech tzv. Juliových množinách
 každou část lze „zvětšovat“ do nekonečna, vždy se objeví
nové a nové strukrury
Mandelbrotova množina : fraktál všech
fraktálů
Využití :
 umění
 modelace fázových přechodů – magnetizace a demagnetizace
 počítačové benchmarky
Další zajímavé fraktály





Cantorův prach (Cantorovo mračno)
Sierpinského koberec
Mengerova houba
Fraktálové rozhraní Newtonovy metody
Počítačová grafika – imaginární krajiny
Použitá literatura
Gleick, J. : Chaos. Ando, Praha, 1996
Coveney, P., Highfield, R. : Mezi chaosem a řádem, Mladá fronta,
Praha, 2003
Prigodine, I., Stengersová I. : Řád z chaosu. Mladá fronta, Praha,
2001
Mandelbrot, B. : Fraktály. Mladá fronta, Praha, 2003
Mandelbrot, B. : The Fractal Geometry Of Nature. W. H.
Freeman And Company, New York, 2000
Burger, E. B., Starbird M. : The Heart Of Mathematics, Key
College Publishing, Emeryville, California, 2000
Děkuji Vám za pozornost