Transcript RAR3230 DISKREETNE MATEMAATIKA 5 EAP Введение Учебные материалы: Основной учебник: • Diskreetne matemaatika (H.Lensen., M.Kruus.

RAR3230 DISKREETNE MATEMAATIKA
5 EAP
Введение
Учебные материалы:
Основной учебник:
• Diskreetne matemaatika (H.Lensen., M.Kruus. Tallinn, 2003. )
Дополнительная литература:
• Diskreetse matemaatika elemendid (R.Palm, TÜ, 2003)
• Graafid (A.Buldas, P.Laud, J.Villemson, TÜ, 2003)
• Diskreetne analüüs (J.Henno, TTÜ, 1991)
www-страница предмета, читаемого в ТТУ :
• http://www.pld.ttu.ee/~kruus/diskmat/
На русском языке:
• лекции доцента ТТУ Александра Судницына
http://www.pld.ttu.ee/~alsu/IAY0010.html
• Домашняя страница УГТУ по предмету Дискретная
математика
http://ait.ustu.ru/disciplines/discret/el_ucheb/
• Дискретная математика. Кулабухов С.Ю.
http://www.allmath.ru/higheralgebra.htm
• Видеокурс Дискретная математика на INTUIT.RU
http://www.intuit.ru/department/ds/discretemath/
• Курс Основы дискретной математики на INTUIT.RU
http://www.intuit.ru/department/ds/discrmath/
МАТЕМАТИКА
ДИСКРЕТНАЯ
антоним
входят в данный курс
изучаемые разделы:
·
·
·
·
·
·
·
·
·
логика высказываний
математическая логика
теория множеств
теория графов
комбинаторика
криптология
теория алгоритмов
теория автоматов
и т.д. …
НЕПРЕРЫВНАЯ
входят все области
математики, которые
занимаются непрерывными
функциями (графики
которых – непрерывные
кривые,
аргументы –
действительные числа):
• математический анализ
• дифференциальное
исчисление
• интегральное исчисление
Двоичная система счисления
Позиционная система счисления - система счисления, в
которой значение каждого числового знака (цифры) в
записи числа зависит от его позиции (разряда).
Основанием системы счисления k называется количество
различных символов (цифр), используемых для записи
чисел в данной системе счисления .
Десятичная система: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (основание k = 10)
Двоичная система: 0,1 (основание k = 2)
Шестнадцатиричная система: 0,1,…,8,9,A,B,C,D,E,F
(основание k = 16)
Наибольший интерес для информатиков представляют
системы счисления с основаниями 2, 8 и 16.
В позиционной системе счисления каждый разряд числа
имеет свой вес, который связан со степенью основания:
an an-1 an-2…...a1 a0 , a-1 a-2 …... a-m - веса
kn kn-1 kn-2…...k1 k0 , k-1 k-2…...k-m- степени основания
Если основание равно k, то ki = k i
Развернутой формой записи числа называется запись в виде
Аk = а n-1 k n-1 + а n-2 k n-2 +...+ а 0 k 0 + а -1 k -1 + а -2 k -2 +...+ а –m k -m,
где
Аk - само число,
k - основание системы счисления,
аi - цифра данной системы счисления,
n - число разрядов целой части числа,
m - число разрядов дробной части числа.
Примеры:
537,610 = 5*102 + 3*101 + 7*100+ 6*10-1
1101,112=1*23+1*22+0*21 + 1*20+ 1*2-1 + 1*2-2 = 13,7510
A6,E16= 10*161 + 6*160+ 14*16-1 =166,87510 ,
где A = 10 и E = 14
Преобразования
• Из 10-ой системы в 2-ую
Целая и дробная части преобразуются отдельно.
• При преобразовании целой части необходимо делить число на
основание новой системы счисления (т.е. 2), до тех пор, пока частное
больше нуля, выделяя на каждом шаге целую часть деления и остаток.
• Запись числа происходит в направлении снизу вверх.
Пример:
a) 2510 = ?2
целая
часть
остаток
25 : 2 =
12
1 (a0)
12 : 2 =
6
0 (a1)
6:2=
3
0 (a2)
3:2=
1
1 (a3)
1:2=
0
1 (a4)
2510=110012
b) 3710= ?2
c) 10510= ?2
Очень важно запомнить в ближайшее время представление
в двоичной системе чисел от 0 до 15.
010 = 02
110 = 12
210 = 102
310 = 112
410 = 1002
510 = 1012
610 = 1102
710 = 1112
810 = 10002
910 = 10012
1010 = 10102
1110 = 10112
1210 = 11002
1310 = 11012
1410 = 11102
1510 = 11112
• При преобразовании дробной части необходимо последовательно
умножать данную дробную часть на основание новой системы счисления
(т.е. 2), выделяя на каждом шаге целую и дробную части произведения до
тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не
будет достигнута требуемая точность представления числа в новой
системе счисления.
• Запись числа происходит в направлении сверху вниз.
Пример:
a) 0,610 = ?2
дробная
часть
целая
часть
0,610= 0,100112 (точность 5 знаков
после запятой)
0,6
0 (a0)
0,6* 2 =
0,2
1 (a-1)
0,2* 2 =
0,4
0 (a-2)
0,4* 2 =
0,8
0 (a-3)
b) 0,410= ?2 (точность 7 знаков после
запятой)
c) 0,2310= ?2 (точность 5 знаков
после запятой)
0,8* 2 =
0,6
1 (a-4)
0,6* 2 =
0,2
1 (a-5)
Замечание 1: дроби в общем случае не преобразуются точно,
точность оценивается весом последнего вычисленного
разряда.
Замечание 2: при преобразовании смешанных чисел целая
и дробная части преобразуются отдельно, а затем
соединяются.
25,610= 11001,100112
Гл. I. Математическая логика
1. Логика высказываний (математическая модель логического
мышления)
Определение 1.1 Каждое предложение, для которого имеет смысл
говорить о соответствии этого предложения действительности, называют
(простым) высказыванием.
Если высказывание соответствует действительности, то назовем это
высказывание истинным, в противном случае – ложным.
Т.о. каждому высказыванию можно присвоить одно из двух возможных
значений истинности – истина или ложь.
Истинность – мера соответствия высказывания действительности.
значения истинности
истина
1
t
T
ложь
0
v
F
Обозначаем высказывания большими латинскими
буквами: A, B, C, D, ...
Примеры простых высказываний:
A = "2 простое число" = 1
B = "Сегодня хорошая погода" = 0
C = "2 + 2 = 5" = 0
D = " Сегодня идет снег" = 1
E = "Светит солнце" = 0
Высказываниями в логике не являются:
• Вопросы: ”Как дела?”
• Восклицания: “Tere!”
• Предложения, истинность которых невозможно
определить: “Быть или не быть”
1.1. Логические действия
При помощи логических действий образуют из простых высказываний
составные или сложные.
Простые высказывания в составе сложных называют
компонентами.
2 соглашения при образовании сложных высказываний:
1. Логические действия можно выполнять с любыми высказываниями.
2. Истинность составного высказывания зависит только от истинности
компонент, не от смысла полученного высказывания.
Основные логические действия:
"не" (отрицание, инверсия, обозначают  )
"и" (конъюнкция, обозначают & , ^, *)
"или" (дизъюнкция, обозначают V, + )
"если" ….., "то" ……. (импликация, следование, ,  )
"тогда и только тогда" (эквиваленция, равносильность, , )
Основные логические действия:
"не" (отрицание, инверсия, обозначают  )
"и" (конъюнкция, обозначают & , ^, *)
"или" (дизъюнкция, обозначают V, + )
"если" ….., "то" ……. (импликация, следование, ,  )
"тогда и только тогда" (эквиваленция, равносильность, , )
Пример:
“Начальник на месте только тогда, когда его машина у дома.”
AB
“Если зарплату не поднимают или рабочее время не сокращают,
то начинается забастовка.”
( A V  B)  C
“Не верно, что если Кадри сильна в физике, то она не сильна в
математике, и не верно, что Кадри сильна в математике и в
физике одновременно.”
(F  M) & (M & F)
Определение 1.1.1 Конъюнкцией высказываний A и B
называют высказывание A&B, которое истинно тогда и
только тогда, когда оба компонента A и B истинны
(A = 1 и B = 1).
Таблица истинности для &:
A, B
0 0
0 1
1 0
1 1
A&B
0
0
0
1
Определение 1.1.2 Дизъюнкцией высказываний A и B
называют высказывание AB, которое ложно тогда и
только тогда, когда оба компонента A и B ложны
(A = 0 и B = 0).
Таблица истинности для :
A, B
0 0
0 1
1 0
AB
0
1
1
1 1
1
Определение 1.1.3 Импликацией высказываний A и B
называют высказывание A  B, которое ложно тогда и
только тогда, когда первый компонент A истинен, а второй
компонент B ложен (A = 1 и B = 0).
Таблица истинности для :
A, B
A B
0 0
0 1
1
1
1 0
1 1
0
1
Пример:
“ Если начальник на месте, то его машина у дома.”
“Если зарплату не поднимают или рабочее время не
сокращают, то начинается забастовка.”
Определение 1.1.4 Эквиваленцией высказываний A и B
называют высказывание A  B, которое истинно тогда и
только тогда, когда оба компонента A и B одновременно
истинны или одновременно ложны
(A = 1 и B = 1 или A = 0 и B = 0 ).
Таблица истинности для :
A, B A  B
0 0
0 1
1
0
1 0
1 1
0
1
Определение 1.1.5 Отрицанием высказывания A называют
высказывание  A , которое истинно тогда и только тогда,
когда высказывание A ложно (A = 0 ).
Таблица истинности для :
A
0
1
A
1
0
Приоритет логических действий: , &, V, , .
A, B
A&B A  B A B A  B  A
0 0
0 1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1 0
1 1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1.2. Формулы логики высказываний
Формальные представления простых и составных
высказываний называют формулами.
Определение 1.2.1 Формула логики высказываний
определяется следующим образом:
1. все высказывания (A, B, ...) формулы;
2. значения истинности 0 и 1 формулы (логические
константы);
3. если A формула, то  A тоже формула;
4. если A и B формулы, то A & B, A  B, A  B, A  B тоже
формулы.
Пример: Найти значения истинности формул:
a) (A   B)   A ;
b) A &  B   A  B.
Пример: Найти значения истинности формул:
a) (A   B)   A
A, B
2 1
(A   B)
4

3
A
0 0
1 1
1
1
0 1
0 0
1
1
1 0
1 1
0
0
1 1
1 0
0
0
b) A &  B   A  B
A, B
3
A &
1
5 2
4
 B  A  B
0 0
0
1
1 1
0
0 1
0
0
0 1
1
1 0
1
1
1 0
1
1 1
0
0
0 0
1
Определение 1.2.2 Формула логики высказываний A
называется тождественно истинной (тавтологией), если
она принимает значение 1 для всех комбинаций значений
истинности компонент.
Пример: A v  A  1
A
2 1
A  A
0
1 1
1
1 0
Определение 1.2.3 Формула логики высказываний A
называется тождественно ложной (противоречие), если она
принимает значение 0 для всех комбинаций значений
истинности компонент.
Пример: A &  A  0
A
2 1
A & A
0
0 1
1
0 0
Замечание: если формула не является тождественно ложной,
то она называется выполнимой, т.е. она принимает хотя бы
одно не равное 0 значение.
Определение 1.2.4 Формула логики высказываний A и B
называются равносильными, если они принимают равные
между собой значения истинности при всех комбинациях
значений истинности компонент.
Пример: A &  A   (A v  A)
A
3
2 1
 (A   A)
2 1
A & A
0
0
1 1
0 1
1
0
1 0
0 0
Законы математической логики
1. Закон двойного отрицания:
 AA
2. Коммутативность:
a) A & B  B & A
b) A  B  B  A
3. Асоциативность:
a) (A & B ) & C A & (B &C)
b) (A  B )  C  A  (B  C )
4. Дистрибутивность:
a) A & ( B  C )  A &B  A &C
b) A  ( B & C )  ( A  B) & ( A  C )
5. Идемпотентность:
a) A & A  A
b) A  A  A
6. Действия с константами:
d)
a) A & 0  0
e)
b) A  0  A
f)
c) A &1  A
A11
A  A  1
A & A  0
7. Законы де Моргана:
a) (A & B)   A   B
b) (A  B)   A &  B
8. Преобразования импликации:
a) A  B   A  B
b) A  B  (A &  B)
9. Преобразования эквиваленции:
a) A  B  (A & B)  ( A &  B)
b) A  B  (A  B) & (B  A)
10. Законы склеивания:
a) (A & B)  (A &  B)  A
b) (A  B) & (A   B)  A
11. Законы поглащения:
a) A & (A  B)  A
b) A  (A & B)  A