Transcript COORDENADAS NUM EIXO Num eixo a posição de um ponto fica definida por um só número. A • A 3 x.

COORDENADAS NUM EIXO
Num eixo a posição de um ponto fica
definida por um só número.
A
•
0
A
3
3
x
O Referencial Cartesiano no
Plano
y
Origem
Eixo das
Abcissas
x
0
Eixo das
Ordenadas
As Coordenadas no Plano
No plano a posição de um ponto fica definida por um
par ordenado de números.
y
b
0
P
a
x
P (a , b)
O Ponto P tem abcissa a e ordenada b.
a e b são as coordenadas do ponto P.
Síntese
A uma dimensão
A duas dimensões
Eixo
Plano


A
A
2
A
x
A (a,b)
Referencial Cartesiano no
Espaço
z
Eixo das
Cotas
Origem
0
x
Eixo das
Abcissas
y
Eixo das
Ordenadas
Referencial Cartesiano no
Espaço
Os três eixos são perpendiculares dois a dois
(referencial ortogonal) e considera-se a mesma
unidade de comprimento nos três eixos
(referencial monométrico).
z
0
x
y
Referencial Cartesiano no
Espaço
No espaço a posição de um ponto fica definida por um
terno ordenado de números.
z
A
A tem:
3
2
x
y
0
A
( 2,3,0 )
• Abcissa 2
• Ordenada 3
• Cota 0
Referencial Cartesiano no
Espaço
z
0
x
y
Ordenada
De um modo geral P (a,b,c)
abcissa
Cota
Referencial Cartesiano no
Espaço
Conclusão:
Existe uma correspondência biunívoca entre o conjunto
dos pontos do espaço e o conjunto dos ternos reais ( 3 ).
{ pontos do espaço}  R
3
  {( x, y, z) : x, y, z }
3
Coordenadas de Pontos nos
Eixos
z
C •4
-4
B•
A
•
3
x
0
y
A
( 3, 0, 0 )
B
( 0, -4, 0)
C
( 0, 0, 4 )
PLANOS COORDENADOS
Os três eixos coordenados Ox, Oy e Oz definem
três planos, perpendiculares entre si:
z
- plano
xOy
0
- plano
- plano
yOz
xOz
y
x
Os octantes
Os planos dividem o espaço em oito octantes.
3º
z
2º
4º
1º
0
y
x
7º
8º
5º
6º
PLANO xOy
z
P
Conclusão:
y
x
• Todo o ponto deste plano tem cota 0, logo o plano pode
ser definido por z = 0.
• O plano xOy (z = 0) é perpendicular a Oz.
Condição do Tipo z = k
z
5•
0
•
-3
x
•
Plano z = 5
y
Plano z = 0
Plano z = -3
Estes planos são perpendiculares ao eixo Oz e
paralelos ao plano xOy.
PLANO xOz
z
P
0
x
Conclusão:
• Todo o ponto deste plano tem ordenada 0, logo o
plano pode ser definido por y = 0.
• O plano xOz (y = 0) é perpendicular a Oy.
Condição do Tipo y = k
z
•
-3
•0
•
4
y
Plano y = 4
Plano y = 0
x
Plano y = -3
Estes planos são perpendiculares ao eixo Oy e
paralelos ao plano xOz.
PLANO yOz
z
P
0
y
Conclusão:
x
• Todo o ponto deste plano tem abcissa 0, logo o plano
pode ser definido por x = 0.
• O plano yOz (x = 0) é perpendicular a Ox.
Condição do Tipo x = k
z
•-3
•0
•
2
Plano x = -3
y
Plano x = 0
Plano x = 2
x
Estes planos são perpendiculares ao eixo Ox e
paralelos ao plano yOz.
Simetrias em relação a uma recta
P
r
P’
P’ é simétrico P em relação a r se:
• PP’ e r são concorrentes;
• PP’  r;
• r é a mediatriz de [ PP’ ]
Simetrias em relação a um plano
P
P’
P’ é simétrico do ponto P se
• PP’ 

• P e P’ são equidistantes de

Simetrias em relação ao plano xOy
z
P
y
P’
x
P’ é simétrico de P em relação ao plano xOy
P (x,y,z)
P’ (x,y,-z)
Simetrias em relação ao plano xOz
z
P’
P
0
y
x
P’ é simétrico de P em relação ao plano xOz
P (x,y,z)
P’ (x,-y,z)
Simetrias em relação ao plano yOz
z
P
0
P’
y
x
P’ é simétrico de P em relação ao plano yOz
P (x,y,z)
P’ (-x,y,z)
Condição do Tipo x = k e y = c
z
x=k
•-3
0
x
y=c
y
A condição
x=key=c
define uma
recta paralela a
Oz, ou seja,
uma recta
perpendicular
ao plano xOy.
Condição do Tipo y = k e z = c
z
z=c
y
0
y=k
x
A condição
y=kez=c
define uma
recta paralela a
Ox, ou seja,
uma recta
perpendicular
ao plano yOz.
Condição do Tipo x = k e z = c
z
x=k
z=c
0
x
y
A condição
x=kez=c
define uma
recta paralela a
Oy, ou seja,
uma recta
perpendicular
ao plano xOz.
Distância entre 2 pontos na recta
P
Q
a
b
dPQ= |a-b|
a
b
x
A distância entre P e Q é dada por dPQ = |a - b|
Distância entre 2 pontos no plano
y
P(a1,b1)
Q(a2,b2)
Q
b2
a2
a1
0
b1
d PQ

R
P
(a1 - a2 )2 + (b1 - b2 )2
x
Distância entre 2 pontos no espaço
z
P
P(a1,b1,c1)
Q(a2,b2,c2)
0
y
R
x
Q
d PQ 
(a1 - a2 )2 + (b1 - b2 )2 + (c1 - c2 )2
A circunferência
Circunferência de centro C (a,b) e raio r é o
conjunto dos pontos do plano cuja distância a C
é igual a r e tem por equação:
( x - a)2 + ( y - b)2  r 2
Superfície esférica
De centro C(x0,y0,z0)
raio R
P(x,y,z) um ponto da superfície esférica
CP  R  ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z0 ) 2  R
O que é equivalente a
( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 + ( z - z0 )2  R2
O círculo
Círculo de centro C (a,b) e raio r é o
conjunto dos pontos do plano cuja
distância a C é menor ou igual a r e
tem por equação:
( x - a)2 + ( y - b)2  r 2
A esfera
De centro C(x0,y0,z0)
R o raio
P(x,y,z) um ponto da superfície esférica
ou interior a ela
( x - x0 ) + ( y - y0 ) + ( z - z0 )  R
2
2
2
2
Plano Mediador
A
M
B
O Plano mediador de um segmento de recta
[AB] é o conjunto dos pontos equidistantes
de A e de B.