Transcript Teoria micilor oscilatii Fie un set de coordonate generalizate q  q ,..., q jn Presupunem ca particulele sistemului interactioneaza prin intermediul unui potential.

Teoria micilor oscilatii
Fie un set de coordonate generalizate q  q ,..., q
j
1
n
Presupunem ca particulele sistemului interactioneaza prin intermediul
unui potential conservativ independent de timp:
V

V  q



j 
iar constrangerile sun olonome si independente de timp
xi  xi q j  (i  1,..., N )
In acest caz Lagrangianul sistemului este:
d T
dt q j

T
q j

V
q j
0
j  1,..., n
In cazul echilibrului static
q j  0,
 j  0,
q
q j  q0 j
j  1,..., n
Expresia fortei generalizate:

 V
Q  
j
 q j





 V 
 
0



 q j 
q

0
0j
Energia cinetica este o functie cuadratica de viteza
T 
1
2
m jk (q1 ,..., qn )q j q k
Ne propunem studiul miscarii in vecinatatea acestei pozitii de echilibru:
Introducem mici deplasari de la starea de echilibru:
q j  q0 j   j
j  1,..., n
q j   j
 m jk
1
1
T  m jk (q1 ,..., qn )q j q k  m jk   
0
2
2 
 ql

1

 l  ... jk 

2

0
n
T
 jk
jk
j , k 1
Matrice simetrica
 V
V (q1 ,..., qn )  V (q01,..., q0 n )   

j 1  q j
2

1 n  V 
   

j

 q q  j k
2
j , k 1
j
k 
0
0
n
Matrice simetrica
1
V (q1 ,..., qn )  V (q01 ,..., q0 n )  V jk j k
2 j ,k
Lagrangianul sistemului va fi:
n
L  T V 
n
T

2
1
j .k 1
 jk  V jk j k   V (q01,..., q0 n )
jk
Ecuatiile Lagrange capata forma:
n
 T
k  V jk k   0
jk
j  1,..., n
k 1
ecuatie diferentiala cu coeficienti constanti
sau in forma matriciala
  V η  0
Tη
Pentru a rezolva problema generala, cautam o solutie de forma:
 j  C je
 i t
Cj este complex, insa ηj este real, deoarece Vjk si Tjk sunt matrici reale
Ecuatiile Lagrange devin:
n
 V
jk

  T jk Ck  0
2
j  1,..., n
≡
(V   T )C  0
2
k 1
Sistemul are solutiii netriviale daca determinantul coeficientilor se
anuleaza
det(V   T )  0
2
V11   2T11

2
V


T21
 21



V12   T12
V22   T22
Valorile proprii
 ,..., 
2
2
  

    0


Ecuatie caracteristica !
(polinom de gradul n in ω2)
(V  l T )C l  0
2
2
1
2
n
l  1,2,..., n
Vectori proprii ce pot fi calculati rezolvand
sistemul prin metoda eliminarii a lui Gauss
sau alta aprox.
Determinand radacinile ecuatiei caracteristice, solutia generala va fi
o combinatie a solutiilor particulare
 n

  Re  A j C j exp( i j t )
 j

Utilizand vectorii proprii Cj putem construi urmatoarea matrice:
 C11

 C12
Z 


C
 1n
astfel incat:
 12

 0
T
 Z VZ 


 0

C21

C22



C2 n

0

22





Cn1 

Cn 2 
 

Cnn 
1

0
T
Z TZ 


0

0 

0 



2
n 
0

1



0

0

0


1 
Definim coordonatele normale   Z
1
  Z   Z T
T
  V η  0
Tη
T Z   V Z   0
Z
T
 
T
Z 

T Z   Z V Z   0
T
    0 si pe componente k  k2 k
k  1,..., n
Observam faptul ca aceste ecuatii nu sunt cuplate !!
Fiecare coordonata normala
i
oscileaza independent cu
i
 i  Ai cos(i t )  Bi sin( i t )
unde Ai si Bi se determina din conditiile initiale
Exemplificari:
Un sistem este in echilibru stabil cand energia sa potentiala V(q) este minima.
Scotand sistemul din starea sa de echilibru stabil, apare o forta restauratoare

V
care tinde sa readuca sistemulin starea de echilibru
q
Notam cu q0 coordonata generalizata corespunzatoare starii de echilibru
In cazul deviatiilor mici:


 V ( q0 )  0  pozitia de zero este poz. de echillibru

1
 V 
2
  0  nu exista forte exterioare
V ( q )  V (q0 )  k ( q  q0 )  
2
 q  q0
   2V 
 k
 
2 
q  q

0
 
notam   q  q
0
1

2
V
(
q
)

k


2

1
 T  m 2
2

Lagrangianul pentru oscilatorul
armonic liniar va fi:
Ecuatia Lagrange devine:
L
1
m 
2
2
m  k  0
   2  0;
Solutia ecuatiei este de forma:

2
m
k
  C1 cos(t )  C2 sin( t )
Deoarece: cos(t   )  cos t cos   sin t sin 
Solutia ecuatiei se poate pune sub forma:
  A cos(t   )
unde
1
A  C2  C2
1
2

C1

 tan    C
2

k
Deseori se utilizeaza:
  Re[ a exp( it )]
a  A exp( i ) Amplitudine complexa
Energia sistemului supus unor mici oscilatii este:
E
1
(m  k ) 
2
2
2
Pentru un sistem cu n grade de libertate:
1
m A
2
2
2
  V η  0
Tη
 m11

 m21
T 


m
 n1
m12

m22

mn 2

m1n 

m2 n 
 

mnn 
 k11

 k 21
V 


k
 n1
 j  C j exp( it )
k12

k 22

kn 2

k1n 
 1 

 
2
k2n 
d  2 




2
 
dt   

 

 
k nn 
 n
n
 V

  T jk Ck  0
2
jk
 1 
 
 2 
  

 
 
 n
j  1,..., n
k 1
 kijCi Ci
*
kij   mij
2
2
0
 (kij   mij )Ci C j  0
2
j
*
2 
 mijCi Ci
*
Cazul pendulului dublu Energia potentiala este:
V  m1 gl1 (1  cos1 )  m2 g[l1 (1  cos1 )  l2 (1  cos 2 )
 V
V (q1 ,..., qn )  V (q01,..., q0 n )   

j 1  q j
n
V 
V 
1
2
1
(m1  m2 ) gl  
2
1 1
n
V

2
 j k 
jk
j ,k
1
n
1
2
k

2

1
 
 j 2
0
m2 gl2
2
2
 j k
jk
  2V
  q q
j , k 1
j
k
n


 j k
0
k11  ( m1  m2 )l1
2
k12  k 21  0
k 22  m2 gl2
j ,k
Energia cinetica este:
1
2 2
2 2
(m1  m2 )l1 1  m2l2 2  m2l1l212
2 n
2n
1
1


T   T jk j k   m jk jk
2 j ,k 1
2 j ,k 1
T 
Ecuatiile
Lagrange
n
 T
k 1
1
k  V jk k   0
jk
 m11

 m21
m12  1   k11
   
m22 2   0
m11  (m1  m2 )l1
2
m12  m21  m2l1l2
m22  m2l2
2
0  1 
   0
k 22  2 
Cuplarea oscilatorilor armonici
Ecuatiile cuplate sunt de forma:
 mx1  (k  K ) x1  Kx2  0

mx2  (k  K ) x2  Kx1  0
x1 (t )  ~
x1e
Solutiile x1(t) si x2(t) in reprezentarea modului normal sunt
 i t
x2 (t )  ~
x2 e
i t
ecuatia matriciala in mod normal va fi:
  2 m  (k  K )


K

x1 
 ~
   0
~ 
2
 m  (k  K )  x2 
K
Frecventele proprii vor fi:  
2

kK
m

K
m
 m  (k  K )
2
2
 
 
1
K 0
2
(k  2 K )
m
k
m
Introducem frecventa proprie ω+ in ecuatia matriciala si obtinem:
~
 K K  x1 
Frcventa proprie ω+ este asociata
~
~

 ~   0
x2   x1
cu miscarea cuplata antisimetric
x
K
K

 2 
Introducem frecventa proprie ω- in ecuatia matriciala si obtinem:
Frcventa proprie ω- este asociata
x1 
K  ~
 K
~
~
cu miscarea cuplata simetric

 ~   0
x2  x1
 K  x2 
 K
Construim coordonatele normale , care satisfac conditia:
  
2
ceea ce inseamna:
~
~
  (t )  x1 (t )  x2 (t )

~
~

(
t
)

x
(
t
)

x2 (t )
1
 
Solutia η±(t) este de forma:
 (t )  A cos(t   )
unde A± si φ± sunt constante determinabile din conditiile initiale
mx  (k  K ) x1  Kx2  0
In mod explicit solutia generala a ecuatiei  1

mx2  (k  K ) x2  Kx1  0
~
 x1 (t )  A
A
 ~
 
cos(t    ) 
cos( t    )
2
2
 x2 (t ) 
este
Oscilatori cuplati neliniar
Lagrangianul sistemului este:
L
l
2
2
(m   m2 )  gl m1 (1  cos 1 )  m2 (1  cos  2 ) 
2
1 1
2
2
Ecuatiile de miscare cuplate neliniar sunt:
2


 m11  m1 g sin 1  k (sin 1  sin  2 ) cos 1  0
 
2
m


m

sin  2  k (sin 1  sin  2 ) cos  2  0

2 g
 2 2
kl
2
2
(sin 1  sin  2 )
 
2
g
l
g
Dezvoltand ecuatiile in jurul pozitiei de echilibru θ1=0=θ2 obtinem
doua ec. cuplate liniar:

1  m1 g2 q1  k (q1  q2 )  0
 m1q

2


m
q

m

q  k ( q1  q2 )  0

2 g 2
 2 2
unde
1  q1  1

 2  q2  1
2
Forma matriciala a modului normal asociat este:
 m1 ( 2   g2 )  k


k

 q1 
   0
2
2
m2 (   g )  k  q2 
k
Polinomul caracteristic este de forma:
 m1m2
 2
2
2
2
(m1  m2 ) 
(   g )  k  (   g )  0
 m1  m2

M

2  g2
Frecventele proprii vor fi:
  
2

Coordonatele normale vor fi:
2
g
k

  A q1  B q2
unde A± si B± sunt constante determinabile din conditia:
  
2
 2
 2
k  B k
k  A k
g 


   g 


 B m
m
A
m
m
1 

2
2 

1


Pentru frecventa proprie
 
2

2
g
B

A
adica pozitia centrului de masa al sistemului
m2
m1
 
m1
M
q1 
m2
M
q2
Pentru frecventa proprie
  
2

2
g
k
B

A
m2

q





 1
M
Acum putem obtine usor:

m
q2     1  
M

 1
  q1  q2
unde
2







sunt
solutiile
ecuatiilor
modului
normal
 (t )  C cos(t   )

 
Oscilatii armonice fortate
Daca asupra unui sistem oscilant actioneaza o forta exterioara slaba ,
spunem ca oscilatiile sistemului sunt fortate.
Prezenta fortei exterioare implica existenta unui potential suplimentar
Ve(x,t)
 Ve 
Ve ( x, t )  Ve (0, t )  x

 x  x 0
F (t )
Lagrangianul sistemului devine:
L
1
2
mx 
2
1
Forta ext. ce actioneaza
asupra sistemului in pozitia
de echilibru
kx  xF (t )
2
2
Ecuatia de miscare corespunzatoare:
2
mx  kx  F (t )  x  0 x 
1
F (t );
0 
k
= frcventa proprie de oscilatie
m
m
Solutia generala a ecuatiei: x  x  x
0
p
Studiem cazul particular: F (t )  f cos(t   )
O solutie particulara ar putea fi: x p  b cos(t   )
Inlocuind xp in ecuatia de miscare, rezulta imediat ca:
b
f
m(   )
2
0
2
xp 
f
m(   )
2
0
2
cos(t   )
Solutia generala devine:
x  a cos(0t   ) 
f
m(   )
2
0
2
cos(t   )
Este o suprapunere de doua oscilatii: una cu frecventa proprie si cealalta cu
frecventa fortei ext.
Ecuatia de miscare poate fi integrata pentru orice F(t), daca:
 d2

1
d
 d


 2  02  x  
 i0 
 i0  x    i0 
F (t )
 dt

m
 dt
 dt



  (t )  x  i0 x
  i0 
  i  e
0
i 0 t
d
i t
i t
i t
 e 0   (i0 e 0 ) 
(e 0 )
dt
1
F (t )  e
i 0 t
m
d
dt
(e
i 0 t
)
F (t )
m
e
i 0 t
t
e
Integrand:
i0t
  (0)  
0
F (t ' )
e
i0t
dt '
m
t

F (t ' ) i0t 
i0t
 (t )  e
e dt '
 (0)  
m
0


 x  Re[ ]

 x   1 Im[  ]

0

 (t )  x  i0 x
 (0)  x (0)  i0 x(0)  0
Notand F (0)  f  const.
0
 (t ) 
f0
t
e
i0t
m
1 e
 i0t
i
x(t )  
1
0
Im[  ] 
f0
m0
2
(1  cos 0t ) 
e
0
i0t '
dt ' 
f0 1  e
0 m
 i 0 t
i
 sin 0t  i (1  cos 0t )
2  0t 
sin


2
m0
 2 
2 f0
Oscilatii amortizate
In prezenta efectelor disipative (mediu vascos), reactia mediului poate fi
imaginata in termenii fortelor de frecare. Cand sunt mici , acesti termeni
pot fi dezvoltati in serie dupa viteze, termenul de ordin zero fiind nul
( deoarece forte frecare nu se manifesta asupra corpurilor in repaus)
f d   x
x=coord. generalizata
α= costanata pozitiva
Ecuatia de miscare capata forma:
mx   x  kx  0 
1
m
Notam:  2  k ; 2  
0
m
β= coeficient de atenuare (damping)
m
Ecuatia de miscare devine:
Cautam o solutie de tipul :
x  2 x  02 x  0
x(t )  exp[ r  t ]
r  2  r  0  0
2
Pentru r1  r2
2

x(t )  C1 exp
Cazuri particulare:
1. 0  
2
2

r1, 2      0
2


2

 2  02  C2 exp   2  02 exp(  t )
x(t )  Ce
 t
sin(  t   )
 
02   2
Oscilatia atenuata este ooscilatie armonica cu o amplitudine
descrescand exponential
Fracventa de oscilatie  este mai mica decat ω02.
2. 0  
2
2
x(t )  C1e
(   ) t
1  C e
2
2 t

Miscare monotona, amplitudinea scade asimptotic (t→∞), tinzand catre
pozitia de echilibru.
Miscare aperiodica
3.   
2
0
2
r1  r2    
x(t )  C1te
 t
C2 

1 

t 

Generalizand pentru n grade de libertate
f d ,i    ij xi
deoarece
 ij   ji
f d ,i  
F
xi
j
;F 
Ecuatia diferentiala a miscarii devine:
 m
jk
1


2
ij
xi x j =functie disipativa
i, j
xk  k jk xk   jk x j   0
k
Cautam o solutie de forma: x  A exp[rt ]
l
l
Ecuatia caracteristica
 m

r   jk r  k jk Ak  0
jk
2
k
m jk r   jk r  k jk  0
2
        
Oscilatii amortizate in medii disipative
x  2 x  02 x  F (t )
d
 d

 r1 
 r2  x  F (t )

 dt
 dt

atunci
2
r1, 2  Re (0   )
x (0)  x(0)  0;
d
  r1  F (t )  f 0
dt
e
x
  0
e   e
 r1t
 r1t
 f0  e
 r1t
  f 0e
1 e
r1
 r1t
*

f 0 r1
r1
2
e
r1t

1 
f 0 r2
02
e
r1t

1
x

Im 
02   2

Im 

r1, 2     i
f0
t
 r1t
Im 
Im r2
dt  f 0
0
r1t
2
  (t )  x  r2 x
  r1  F (t )

 x  r2 x   (t )
Daca F  f  const.
0
r1, 2      0
Im 


1 e
 r1t
r1
f0 


 t 
1

e
cos

t

sin

t


2 
0 




f (t )   f n cos( n t ),
Daca
t 0
n 0
f (t )  f1 cos( t )
Cautam solutii de forma:
x(t )  x0 (t )  x p (t )
unde x (t )  A cos( t   )
p
f
0

 A 0  

2
2
x  2 x  02 x  f 0 cos  t
x p (t )   A sin(  t   )


2


x
(
t
)


A

sin(  t   )

p

 sin(  t   )  sin  t cos   cos  t sin 

cos( t   )  cos  t cos   sin  t sin 
cos   2 sin  cos  t 
Daca A  0

 A 0   sin   2 cos  sin  t  0
2
2
tan  
A
2
 
2
0
x p (t ) 
2
f0

2
0


2 2
 4 
2
2
f 0 cos( t   )

2
0


2 2
 4 
2
2

tan  
 
 : 0  

 : 0  
2
02   2

0

A
f0

2
0


2 2
 4 
2
2
A
  r
4r  4(2  0 )r  0
3
2
2
r  02  2 2
A(r ) 

f0
2   
2
0
  cand   0
2