Transcript Bazele Fizicii Teoretice De ce Mecanica Analitica ? Descrierea unificata a tuturor fizicilor clasice (necuantice) , a chimiei, ingineriei etc. - mecanica cereasca (miscarea.

Bazele Fizicii Teoretice
De ce Mecanica Analitica ?
Descrierea unificata a tuturor fizicilor clasice (necuantice)
, a chimiei, ingineriei etc.
- mecanica cereasca (miscarea stelelor, planetelor, satelitilor)
- fizica plasmei
- dinamica moleculara
- mecanica (& electricitate) ing.
Este o infrastructura puternica pentru dezvoltarea Mecanicii Cuantice
CONŢINUTUL CURSULUI
1.SISTEME DE PUNCTE MATERIALE: Legături, Principiul II al dinamicii
pentru SPM, Teoreme de variaţie ale cantităţii de mişcare, moment cinetic,
energie cinetică.
2.ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ:Coordonate generalizate,
Principiul lui d’Alambert, Ecuaţiile lui Lagrange (mişcarea liniară,
mişcarea unei particule incărcate electric in câmpuri electrice şi
magnetice staţionare, funcţia lui Lagrange pentru un sistem de referinţă
neinerţial).
3.ECUAŢIILE HAMILTON: Expresia ecuaţiilor Hamilton, Proprietăţile
funcţiei Hamilton, Parantezele Poisson.
4.ECUAŢIA HAMILTON-JACOBI:. Expresia ecuaţiei Hamilton-Jacobi,
Transformări canonice, Ecuaţia Hamilton-Jacobi pentru sisteme
conservative.
5.APLICAŢII
ALE
SISTEMULUI
LAGRANGIAN
IN
MECANICA
SISTEMELOR DISCRETE DE PUNCTE MATERIALE: Problema celor două
corpuri, Mişcarea in câmp central, Problema lui Kepler, Mişcarea in câmp
gravitaţional
6.CIOCNIRILE PARTICULELOR, OSCILAŢII:: Dezintegrarea particulelor,
Ciocniri elestice ale particulelor, Imprăştierea particulelor, Formula lui
Rutherford, Teoria micilor oscilaţii, Oscilaţii amortizate, Oscilaţii forţate,
Micile oscilaţii ale sistemelor cu mai multe grade de libertate, oscilaţii
anarmonice, Rezonanţa parametrică.
7. SOLIDUL RIGID: Mişcarea de translaţie şi de rotaţie a solidului rigid,
Mişcarea solidului rigid cu punct fix.
Bibliografia obligatorie:
“Mecanica” L.D. Landau, E.M. Lifşiţ, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1966
“Mecanica teoretica” C. Iacob, Ed. Did. si Ped. Bucure;ti, 1971
“Mecanica analitica si a mediilor deformabile” Merches,
L. Burlacu, Ed. Did. si Ped. Bucure;ti, 1983
“Mecanică analitică şi aplicaţii” S. Filip, A. Marcu, Ed. Univ.
Oradea, 2002
”Problems in Theoretical Physics”L.G. Sugakov, MIR, Moscow 1977.
“Problems in Theoretical Physics” L.G. Grechko, MIR, Moscow, 1977
“Culegere de probleme de Mecanica Analitică” L. Burlacu, D.G.
David, Univ.Bucuresti, 1988
“ Introduction to Lagrangian and Hamiltonian mechanics “,A.J.
Brizard, Saint Michael’s College,Colchester, 2003
Bibliografia opţională:
‘Advanced Classical Mechanics’, S.G. Rajeev, Univ.Rochester
Spring, 2000.
‘Classsical Mechanics’, Haret C. Rosu, Leon, Guajanato,
Mexico,1999
http://arXiv.physics/9909035 v1 19 sept.1999
Los Alamos Electronic Archives : physics/9909035
‘Calculus of Variations and Applications’, Lecture Notes, A.
Cherkaev, 2002
‘Lecture Notes on the Dynamics and Particles and Rigid Bodies’,
Oliver M. Reilly, Berkeley, California 97420-1740, 2004
[email protected]
‘Methodsof mathematical physics I’, Michael Stone, Univ. of
Illiois, 1110
West Green Str. Urbana, IL 61801, USA, 2004
‘Mechanics of Manipulation’, Mat Mason, 2004
http://www.cs.cmu.edu/~mason
Istoric
Galileo
Sec.16,17
Sec.18
Sec.19
Sec.20
Newton
Leibnitz
Bernoulli
Euler
Lagrange
Hamilton
Maxwell
Boltzmann
Gibbs
Poincare
Einstein
Noether
Landau
Kolmogorov
Cinematica particulelor
Vectorii forta si impuls
Gravitatia
Calculul variational
Descrierea Spatiului Configuratiilor
Energia
Principii variationale
Descrierea Spatiului Fazelor
Electrodinamica
Mecanica Statistica
Integrabilitate
Simetrie
Teoria sistemelor Dinamice
Haos
Sec.21
Se pare ca este randul vostru!!!
-Simulare
-Vizualizare
?
-Biodinamici
-Complexitate
Leonhard Euler 1707 Basel – 1783 St.Petesburg
Mechanica 1736-37 pentru
prima data se face o prezentare
a dinamicii Newtoniene in formalismul analizei matematice
Theory of the Motions of
Rigid Bodies 1765
Contributii importante
1.Mecanica mediilor continue
2.Teoria miscarii Lunii (Clairaut)
3.Elasticitate, Acustica, Hdraulica
4.Teoria ondulatorie a luminii
Joseph-Louis Lagrange
1736-1813
1788 Mecanique Analytique
Contributii importante
1. Calculul variatiilor
2. Calculul probabilitatilor
3. Propagarea sunetului
4. Studiul corzilor vibrante
5. Integrarea ecuatiilor diferentiale
6.Teoria orbitelor
7.Teoria numerelor
Teorie perfecta
Newton
Sisteme simple
Sisteme reale
Cresterea Complexitatii
•Ecuatii vectoriale care sunt dificil de controlat
•Constrangeri
•Inexistenta unor proceduri generale
Propunerea Lagrange
•
•
•
Eliminarea constrangerilor
Utilizarea energiilor cinetice si potentiale
in rezolvarea miscarii
Standardizarea formei ecuatiilor
Mecanica Analitica
Teorema cantitatii de miscare pentru un SPM
P1
P2
Pi
Fij
Fji
F
ij
P3
j
Ri
Pn
2
d ri
mi
 R i   F ij
2
dt
j
dP
R
dt
rezultanta tuturor forţelor interioare

R0
rezultanta forţelor exterioare ce acţionează
asupra fiecărui punct material
2
d ri
F ij
i mi dt2  i Ri  
i
j
dri
P   mi
dt
i


R   Ri
i
dri
P   mi
  mi v i  const.
dt
i
i
Teorema momentului cinetic pentru un SPM
d vi
r i  F ij
i r i  mi dt  i r i  R i  
i
j
 v
i
i
 F ij  0 conform principiului acţiunii şi reactiunii
j
L   r i  mi v i momentul cinetic total al sistemului de puncte materiale
i
M   r i  Ri
vectorul moment rezultant al forţelor exterioare
i
dL
M
dt

M 0

L   r  mi vi  const.
i
Teorema energiei cinetic epentru un SPM
d vi
Fij  d ri
i mi dt d ri  i Ri  d ri  
i
j
dLint   F ij  d ri Lucrul mecanic elementar al forţelor interioare
i
j
dLext   Ri d ri
i
Lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare
 
d vi
d vi
 1
2
i mi dt d ri  i mi dt vi dt  d i 2 mi vi 
1
 1
2
2
d  mi vi   dLext  dLint T   mi vi dT  dL
ext
 i 2

i 2
dT  0  T  const .
 dLint
CONSTRANGERI
Sistemele naturale implica existenta unor “legaturi” (constangeri) prin
care PM sunt obligate a se misca pe curbe sau suprafete (z=0; x2+y2=R2).
Constrangerile sunt restrictii cinematice ale posibilitatilor de miscare
ale particulelor unui sistem si se exprima prin intermediul unor relatii
saclare de forma:
 .
 j (ri , r i , t )  0;
j  1,2,...m; i  1,2,...n
n = numarul PM din sistem
m = numarul constrangerilor
Existenta constrangerilor duce la mari complicatii in rezolvarea
problemelor si de aceea :
-pot fi pur si simplu eliminate
-se lucreaza cu ele in mod direct (multiplicatorii Lagrange)
Tipuri de constrangeri:
Olonome (holos=integral) nu depind de viteze

 j (ri , t )  0;
Scleronome
(nu depind explicit de timp)-fixate

 j (ri )  0
miscarile se efectueaza fara frecare,
lucrul mecanic este nul
j  1,2,...m; i  1,2,...n
Reonome
(depind explicit de timp)

 j (ri , t )  0
miscari pe curbe sau suprafete mobile,
fortele de reactiune produc lucru mecanic
Exemple:
Penddulul canonic
Coord. Carteziene
Coord. Sferice
n =3= (x,y,z)
m = 1 (x2+y2+z2=L2)
NGL = n-m =2
n = 3=(r, θ, φ)
m =1 , r = L
NGL = n-m =2
(θ, φ)
Pendulul dublu
n =6= (x1 ,y1 ,z1)
(x2 ,y2 ,z2)
m =4
z1=0
z2=0
x12+y12 = l12
(x2-x1)2+(y2-y1)2 =l22
NGL = n-m =2
(φ1 , φ2)
Cd. ca un sistem sa poata efectua o miscare este m<3n
Spatiul Configuratiilor (Figurativ)
Dificultati induse de prezenta constrangerilor:
1. Razele vectoare ri nu mai sunt toate independente datorita ecuatiilor
legaturilor => Ec. de miscare nu mai sunt nici ele toate independente
2. Conform legii a IIIa a mecanicii, datorita legaturilor, asupra PM constranse
actioneaza si Forte de Reactiune (necunoscute apriori)
Cum pot fi inlaturate asemenea dificultati ?
N
puncte materiale
K legaturi independente
 

 j r1 , r2 ,.....rN   0, j  1, k
Propunerea Lagrange:
3N coordonate carteziene dintre care
k sunt dependente (se pot exprima in functie de
restul de 3N-k)
n=3N-k sunt independente =nr. Grd. Libertate Sistem
- se aleg n marimi independente (q1, q2,….qn) care pot descrie
in mod univoc configuratia spatiala a SPM
- se renunta a se lucra cu raza vectoare sau coord. carteziene
si se lucreaza direct cu qi i=1,n = coordonate generalizate
q , q ,...qn descriu in mod univoc,
Coordonatele generalizate
1
2
configuratia SPM in orice moment
Se ne imaginam un spatiu n-dimensional
Spatiul
configuratiilor
Fiecare punct din acest spatiu q1 , q2 ,...qn corespunde unei
configuratii a SPM
Evolutia in timp asistemului  Curba in Spatiul Configuratiilor
Deplasari
Efectul de miscare se reduce la deplasarile PM ce
alcatuiesc SPM, ale unor regiuni din SPM sau ale
intregului sistem ca un tot unitar
xi
xi

Deplasari posibile, reale
dxi 
dqk  dt ;

qk
t
 x1  x1 (q1 , q2 ,...,qn , t )

 x  x (q , q ,...,q , t )
 
y
y
 2
2
1
2
n
dr  v dt  dyi  i dqk  i dt ;

qk
t
..........
..........
..........
...


dz  zi dq  zi dt ;
 x N  x N (q1 , q2 ,...,qn , t )
 i qk k t
Deplasari virtuale, compatibile cu constringerile
Pentru o deplasare virtuala δt=0 ≡ toate
punctele sistemului sufera o deplasare
spontana, ele miscandu-se sincron
x
y
z
i
i
x 
q ; y 
q ; z  i q ; i 1,2,..., n
i q
k
i q
k i q
k
k
k
k
Deplasari virtuale, compatibile cu constringerile
 
Consideram un sistem cu constrangeri: r  r ( q , q ,...,q , t )
1
1
1
2
n

 

Coordinate ordinare
ri (i  1, N ) r2  r2 (q1 , q2 ,...,qn , t )
Coordonate generalizate q ( j  1, n) 
j
.................................


rN  rN ( q1 , q2 ,...,qn , t )
Sa ne imaginam ca toate particulele se misca usor:

 
ri  ri  ri
q j  q j  q j
Deplasare virtuala
δri trebuie sa satisfaca constrangerile


ri
ri   q j
j q j
3N coordonate dependente
n coordonate independente
Principiul lui d`Alembert
Dinamica Lagrangiana este capabila sa opereze cu constrangeri dependente de
timp, constrangeri care efectueaza lucru mecanic real, insa nu si lucru mecanic
virtual. Ne putem gandi la lucrul mec. virtual ca “un lucru mecanic care a
uitat de timp”. Nu exista nici o diferenta intre cele doua tipuri de lucru mecanic
atat timp cat se opereaza cu constrangeri dependente de timp.
Din ecuatia de miscare a lui Newton:
O parte a fortei Fi se datoreaza constrangerilor
Forta aplicata
Forta aplicata este cunoscuta
Forta de constrangere
Forta de constrangere fi (in general) nu
efectueaza lucru mecanic firi 0
1.Miscarea este perpendicular pe forta
2. Exceptia: frecarea
.
(a )
Multiplicand Fi  fi  pi 0
Deoarece
cu δri si summand dupa i
Forta de constrangere a fost eliminata
Si nu mai are rost indicele (a)
Principiul lui d`Alembert (1743)
Pentru un sistem de puncte materiale în mişcare, supus acţiunii unor forţe
date şi unor legături bilaterale fără frecare (dependente sau independente de
timp), suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor date şi ale forţelor de
inerţie este nulă


ri
ri   q j
j q j
2
n


r
d
r
i 
i


F

m
 qj  0
i


i
2

dt  j 1 q j
i 1 
N
Conceptul de lucru mechanic virtual ne-a permis eliminarea
tuturor constrangerilor din sistem si pastrarea doar a fortelor
externe!!
Acest principiu trebuie sa functioneze pentru orice variatie dqj 
2
n


r
d
r
i 
i


F

m
0
i


i
2

dt  j 1 q j
i 1 
N


r i
r i 
  mi r i
 F i
0


q

q
j 1 
i

1
i

1
j
j 


r i
r i
dq j 
dt
t
j 1 q j
n
d ri  

n
d ri
r i  r i
 vi  r i 

qj 
dt
t
j 1 q j
vi
r i
  
 q j q j

qj 
dq j
dt

r i N
d vi r i
mi r i
  mi



q j i 1
dt q j
i 1
d   r i  N
d   r i  N
d   r i  N
d   r i 
  mi
vi
  mi v i
  mi
vi
  mi v i

dt  q j  i 1
dt  q j  i 1 dt  q j  i 1
dq j  t 
i 1
N


d   r i  N
d vi N
d  r i  N
d vi
  mi
vi
  mi v i
  mi  v i     mi v i


dt  q j  i 1
dq j i 1 dt   q  i 1
dq j
i 1
j 

N

r i
d  v i
F

m
i i q i i dt  vi 
 q
j
j

Notam Q j 
N
 Fi
i 1
Observăm că:


v i

m
v
  i i q
 i
j

r i
componentele generalizate ale forţelor
q j





  v i 
d  vi  d 
i mi dt  v i    dt i mi  v i   
 q 
 q 
j
j 











d
1 
d   1
d  T
2 
2 


  mi 
v

m
v

i
i i 
 
 dt    2 

dt  i
2  q
dt
i
q



  q j
j
j


 vi 
 1
T
2


i mi  v i q   q  2 i mi vi   q

j 
j 
j

 



d  T  T
Qj     
; T  T ( q, q, t )
dt   q  q j
 j
Ec. Lagrange de speţa a II-a.





În cazul forţelor potenţiale (forte conservative)
F i  iU
 r i U  r i U
iU



q j  r i q j q j

r i

r
U
i 


i iU r i  i iU j q  q j  j  i iU q  q j  j q  q j  j Q j q j
j
j 
j

Qj  
U
q j




d  T  T
U
d  T  
T  U   0; U  U (q, t )
Qj     

   
dt   q  q j
q j
dt   q  q j
 j
 j
  
  
Intoducem notiunea de “potenţialul cinetic” L q, q, t   T  q, q, t   U q, t 






Ec Lagrange
d  L  L

 0 sau ecuaţiile diferenţiale ale mişcării unui SPM
 

dt   q  q j
 j