Transcript Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation Vorlesung 9 SS 2001 Voronoi-Diagramme: Bestimmung der Tangente bei der Konstruktion des trennenden Kantenzuges Übersicht I • • • • • • • • Bestimmung der Tangente Extrempunkte.

Institut für Kartographie und Geoinformation
Prof. Dr. Lutz Plümer
Geoinformation
Vorlesung 9
SS 2001
Voronoi-Diagramme: Bestimmung der
Tangente bei der Konstruktion des
trennenden Kantenzuges
Übersicht I
•
•
•
•
•
•
•
•
Bestimmung der Tangente
Extrempunkte von CH(P1)  CH(P2)
Tangente von CH(P1)  CH(P2)
Nochmals zur konvexen Hülle CH
Tangente
Nachfolger - Bestimmung
Nachfolger
Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen
Hüllen
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Übersicht II
•
•
•
•
•
•
•
Extrempunkte
2 vertikal monotone Kantenzüge
Tangente
Bestimmung des Nachfolgers
Konvexe Hülle
Bestimmung des Nachfolgers
Konvexe Hülle
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Bestimmung der Tangente
• im Detail
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Extrempunkte von CH(P1) bzw. CH(P2)
max y
max y
min y
min y
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Tangente von CH(P1)  CH(P2)
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Tangente von CH(P1)  CH(P2)
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Extrempunkte: Funktioniert das immer ?
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Nochmals zur konvexen Hülle CH
Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P?
Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH.
• Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante
ganz in CH enthalten.
• Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH
in zwei vertikal monotone Kantenzüge.
• Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert
eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte
von P auf der gleichen Seite von k liegen.
• P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der
zugehörige polare Winkel von P2 minimal ist.
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Tangente
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Nochmals zur konvexen Hülle CH
Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P?
Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH.
• Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante
ganz in CH enthalten.
• Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH
in zwei vertikal monotone Kantenzüge.
• Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert
eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte
von P auf der gleichen Seite von k liegen.
• P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der
zugehörige polare Winkel von P2 minimal ist.
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Extrempunkte
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2 vertikal monotone Kantenzüge
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Tangente
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Nochmals zur konvexen Hülle CH
Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P?
Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH.
• Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante
ganz in CH enthalten.
• Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH
in zwei vertikal monotone Kantenzüge.
• Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert
eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte
von P auf der gleichen Seite von k liegen.
• P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der
zugehörige polare Winkel von P2 minimal ist.
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Nachfolger - Bestimmung
Winkel minimal
P1
P2
P3
P4
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Nachfolger
P1
Winkel minimal
P2
P3
P4
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Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen
1. Betrachte die oberen Extrempunkte P1 und Q1 und die Nachfolger
P2 und Q2 im Uhrzeigersinn, und sei P1 höher als Q1
2. Bestimme das Minimum der mit P1P2, P1Q1 und P1Q2 assoziierten
Winkel
3. Fälle:
– P1 Q1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig
– P1 P2 minimal: ersetze P1 durch P2 und P2 durch P3 (wandere auf
–
der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn)
P1 Q2 minimal: ersetze Q1 durch Q2 und Q2 durch Q3 (wandere auf
der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn)
4. weiter mit 2.
Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch
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Bestimmung des Nachfolgers
P1
P2
Winkel nicht minimal
Q1
Q2
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Bestimmung des Nachfolgers
P1
P2
Winkel minimal
Q1
Q2
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Bestimmung des Nachfolgers
P1
P2
Q1
Q2
P3
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Bestimmung des Nachfolgers
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22
Bestimmung des Nachfolgers
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Bestimmung des Nachfolgers
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Konvexe Hülle
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