Transcript O problema da divisão das apostas e outras histórias Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra Escola Superior de Tecnologia e Gestão Guarda, 23 de.

O problema da divisão das
apostas e outras histórias
Carlos Tenreiro
Departamento de Matemática
Universidade de Coimbra
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Guarda, 23 de Novembro de 2006
Plano da exposição
1. O problema da divisão das apostas
2. O conceito de probabilidade
3. O problema dos três dados
4. Soluções de Pascal e de Fermat para o
problema da divisão das apostas
5. O erro de d’Alembert
O problema da divisão das
apostas

Dois jogadores jogam uma série de
partidas justas até que um deles obtenha
6 vitórias.

Por motivos exteriores ao jogo, este é
interrompido quando um dos jogadores
somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.
O problema da divisão das
apostas
Jogador A
V
V
V
V
V
V
Jogador B
V
V
O problema da divisão das
apostas
Como devemos dividir, de
forma justa, o montante
apostado por ambos os
jogadores?
O problema da divisão das
apostas
Blaise Pascal

Por volta de 1652,
este problema é
colocado a Pascal
(1623-1662) pelo
Chevalier de Méré,
um homem de letras
e filósofo marcante
na corte de Luís XIV.
O problema da divisão das
apostas
Pierre de Fermat

No verão de 1654,
ele é o principal
motivo duma troca
de correspondência
entre Pascal e
Fermat (1601-1665).
O problema da divisão das
apostas

Esse conjunto de documentos é composto por 7 cartas:
- 1ª carta, de Pascal para Fermat, que já não existe;
- 2ª carta, de Fermat para Pascal, da qual se desconhece a
data em que foi escrita;
- 3ª carta, de Pascal para Fermat, escrita a 29 de Julho de
1654;
- 4ª carta, de Pascal para Fermat, de 24 de Agosto de 1654;
- 5ª carta, de Fermat para Pascal, de 29 de Agosto de 1654;
- 6ª carta, de Fermat para Pascal, de 25 de Setembro de 1654;
- 7ª carta, de Pascal para Fermat, de 27 de Outubro de 1654.
O problema da divisão das
apostas
O problema já tinha
sido discutido por
vários matemáticos:

1494 – Pacioli (14451517) propõe:
5
3
 Prémio   Prémio
8
8
Luca Pacioli
O problema da divisão das
apostas
1556 – Tartaglia
(1499-1557) diz:
“A solução de Pacioli
não parece estar
correcta, mas qualquer que seja a
forma de dividir o
prémio haverá sempre lugar a litígio”
Nicolo Tartaglia
O problema da divisão das
apostas

1564 – Cardano (15011576) diz:
“Há um erro evidente
na divisão do prémio
proposta por Pacioli que
até uma criança pode
reconhecê-lo”
Girolamo Cardano
O problema da divisão das
apostas

Para os matemáticos anteriores o
problema da divisão das apostas é um
problema sobre proporções.

Para Pascal e Fermat o problema reduzse a um problema de probabilidades.
O problema da divisão das
apostas
“Ninguém, antes de Pascal e Fermat,
estabeleceu os princípios e os métodos
que permitissem calcular as chances
favoráveis e desfavoráveis aos jogadores,
bem como resolver questões complicadas
deste género.”
Laplace, P.-S., 1814, Essai Philosophique sur
les Probabilités.
Probabilidade

A probabilidade é um número entre
0 e 1 (ou entre 0% e 100%).

A probabilidade quantifica a maior
ou menor possibilidade que um
acontecimento tem de ocorrer.

Quanto maior for a probabilidade de
determinado acontecimento, mais
possibilidade tem ele de ocorrer.
Probabilidade
Para resultados igualmente prováveis:
Probabilidade =
resultados
favoráveis
resultados
possíveis
Probabilidade
Pierre-Simon Laplace
A definição anterior
de probabilidade é
conhecida como
“Definição Clássica”
sendo atribuída a
Laplace
(1749-1827)

Probabilidade

No entanto, a definição clássica de
probabilidade foi usada por outros
matemáticos anteriores a Laplace!!!!

A definição clássica de probabilidade está
relacionada com outro conceito de
probabilidade a que por vezes se dá o nome
de Definição Frequencista.
simul1dado.xls
Probabilidade
Repetindo muitas vezes a experiência:
proporção de
Probabilidade ~ resultados favoráveis
Probabilidade
Jacques Bernoulli

A igualdade
anterior é
conhecida como
“Lei dos grandes
números”
e é devida a
Jacques Bernoulli
(1645-1705).
O problema dos 3 dados
9 pontos
Jogando com três
dados, 9 e 10
pontos podem ser
obtidos de seis
maneiras
diferentes:
1
1
1
2
2
3
2
3
4
2
3
3
6
5
4
5
4
3
10 pontos
1
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2
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3
6
5
6
5
4
4
O problema dos 3 dados
Porque não está este facto de
acordo com a experiência que
revela que a soma 10 ocorre
mais vezes que a soma 9?
simul3dadosA.xls
O problema dos 3 dados
Este problema foi
estudado por gente
famosa:

Cardano (1501-1576)
“Livro sobre jogos de
azar”
(escrito em 1526,
publicado em 1663)
Girolamo Cardano
O problema dos 3 dados
Galileu Galilei

Galileu Galilei (15641642)
“Considerações sobre
o jogo dos dados”
(escrito entre 1613 e
1623)
O problema dos 3 dados

Ambos concluem que as combinações
anteriores não são igualmente prováveis.

A definição clássica de probabilidade não
pode ser usada a partir da contagens de
tais combinações.
O problema dos 3 dados

Resultado
1º dado
1
1
2
2
6
6
1 2 6
2º dado
2
6
1
6
1
2
3º dado
6
2
6
1
2
1
O problema dos 3 dados

Resultado
1º dado
1
4
4

Resultado
1 4 4
2º dado
4
1
4
3º dado
4
4
1
3 3 3
1º dado
2º dado
3º dado
3
3
3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
1
1
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2
2
3
2
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5
4
5
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O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
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O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
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O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
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O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
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O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
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O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
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3
6
1
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3
total
6
6
3
3
6
1
25
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3
total
6
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3
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25
10 pontos Possibilidades
1
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2
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4
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3
total
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10 pontos Possibilidades
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O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
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total
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10 pontos Possibilidades
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6
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3
total
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10 pontos Possibilidades
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3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3
total
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10 pontos Possibilidades
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O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
1 2 6
1 3 5
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2 2 5
2 3 4
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total
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10 pontos Possibilidades
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3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3
total
6
6
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3
6
1
25
10 pontos Possibilidades
1
1
2
2
2
3
3
4
2
3
4
3
6
5
6
5
4
4
6
6
3
6
3
3
O problema dos 3 dados
9 pontos Possibilidades
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3
total
6
6
3
3
6
1
25
10 pontos Possibilidades
1 3 6
1 4 5
2 2 6
2 3 5
2 4 4
3 3 4
total
6
6
3
6
3
3
27
O problema dos 3 dados

Há 27 maneiras igualmente prováveis de
obter 10 pontos.

Há apenas 25 maneiras igualmente
prováveis de obter 9 pontos.
simul3dadosB.xls
O problema da divisão das
apostas

Dois jogadores jogam uma série de
partidas justas até que um deles obtenha
6 vitórias.

Por motivos exteriores ao jogo, este é
interrompido quando um dos jogadores
somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.
O problema da divisão das
apostas
Jogador A
V
V
V
V
V
V
Jogador B
V
V
O problema da divisão das
apostas
Como devemos dividir, de forma
justa, o montante apostado por
ambos os jogadores?
O problema da divisão das
apostas
Christiaan Huygens

A primeira
publicação de uma
solução para o
problema é feita por
Christians Huygens
(1629-1695) em
1657.
Primeira página
da versão latina
do livro de Huygens
De Ratiociniis
de Ludo Aleæ
(Sobre o raciocínio
nos jogos de azar)
1657
O problema da divisão das
apostas

Se p é a probabilidade de um dos
jogadores ganhar, ele deverá
arrecadar
p x Prémio

Divisão justa:
p x Prémio
(1-p) x Prémio
O problema da divisão das
apostas

O problema reduz-se ao cálculo da
probabilidade de um jogador ganhar

As soluções apresentadas por Pascal
e por Fermat são diferentes mas
chegam ao mesmo resultado.
O problema da divisão das
apostas
O seu método é muito bom e foi o primeiro que me
ocorreu durante estas pesquisas. Mas, devido ao
facto de as combinações serem excessivas, eu
encontrei um atalho e, na realidade, outro método
mais curto e claro, o qual lhe passo a descrever em
poucas palavras; pelo que gostaria de lhe abrir o
meu coração daqui para a frente, se tal me é
permitido, visto ter sido enorme o prazer que tive
com o nosso acordo. Claramente vejo que a
VERDADE é a mesma em Toulouse e em Paris.
Carta de Pascal a Fermat de 29 de Julho 1654
O problema da divisão das
apostas
Solução de Pascal
Jogador A
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Jogador B
1 1 1 1 1 1
7
     
2 2 2 2 2 2 8
V
O problema da divisão das
apostas
Solução de Fermat
1ª partida
2ª partida
A
A
B
A
B
B
3ª partida
A
B
A
B
A
B
A
B
vencedor
A
A
A
A
A
A
A
B
O problema da divisão das
apostas
Divisão justa:
Jogador A recebe
7
 Prémio
8
Jogador B recebe
1
 Prémio
8
simuldivisao.xls
O erro de D’Alembert
Jean Le Round D’Alembert
Esta questão tem
origem num artigo
publicado por
D’Alembert

(1717-1783) na
“Enciclopédia
Francesa” de 1754.
O erro de D’Alembert
O erro de D’Alembert
Qual é a probabilidade de obter pelo
menos uma cara em dois
lançamentos duma moeda?
Resposta de D’Alembert:
2
= 0.666…
3
O erro de D’Alembert
1º lançamento 2º lançamento
cara
1 ou 2 caras
sim
cara
sim
coroa
não
coroa
O erro de D’Alembert
Qual é a probabilidade de obter pelo
menos uma cara em três
lançamentos duma moeda?
Resposta de D’Alembert:
3
= 0.75
4
O erro de D’Alembert
1º
2º
3º
lançamento lançamento lançamento
cara
1,2 ou 3
caras
sim
cara
coroa
sim
cara
sim
coroa
não
coroa
O erro de D’Alembert

Cardano (1501-1576)
Galileu (1564-1642)
Fermat (1601-1665)
Pascal (1623-1662)
Huygens (1629-1695)
Bernoulli (1645-1705)
Montmort (1678-1719)
De Moivre (1667 – 1754)

Laplace (1749-1827)







D’Alembert
(1717-1783)
O erro de D’Alembert
O erro de D’Alembert

E D’Alembert termina:
“Isto parece-me digno de merecer a
atenção dos calculadores que irão
reformular as regras por todos
aceites sobre os jogos de azar”
Estarão as respostas de
D’Alembert correctas?
simul2erroA.xls
simul3erroA.xls
O erro de D’Alembert

As respostas de D’Alembert não
estão correctas.

As combinações por ele descritas
não são igualmente prováveis.

D’Alembert devia ter usado o método
que Fermat utilizou 100 anos antes.
O erro de D’Alembert
1º lançamento 2º lançamento
1 ou 2 caras
cara
sim
coroa
cara
sim
sim
coroa
não
cara
coroa
simul2erroB.xls
O erro de D’Alembert
1º
2º
3º
lançamento lançamento lançamento
cara
cara
coroa
cara
coroa
coroa
simul3erroB.xls
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
cara
coroa
1,2 ou 3
caras
sim
sim
sim
sim
sim
sim
sim
não
Bibliografia


•

Deheuvels, Paul (1990)
La Probabilité, le Hasard et la Certitude, PUF.
Hald, Anders (1990)
A history of probability and statistics and their
applications before 1750, Wiley.
Laplace, Pierre-Simon (1812)
Essai Philosophique sur les probabilités.
Székely, Gábor J. (1986)
Paradoxes in probability theory and mathematical
statistics, Reidel.