Transcript UD 5 INTERÉS SIMPLE EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN ANUAL UD 5 Es la ley financiera en la que los intereses de cada periodo se.

UD 5
INTERÉS SIMPLE
EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN
ANUAL
UD 5
Es la ley financiera en la que los intereses
de cada periodo se calculan siempre sobre el
mismo capital.
EJEMPLO: Deposito en el banco 1000 €. Me dan un
interés del 2% semestral. ¿Al final de año, cuánto
tendré?
Hoy
Al año
1000 €
1040 €
6 meses
1000 x 2% = 20 €
12 meses
1000 x 2% = 20 €
EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN
ANUAL
UD 5
Se caracteriza porque los intereses producidos no
se añaden al capital final de cada período para el
cálculo de los intereses del período siguiente,
sino que los intereses generados se retiran y se
vuelve a invertir el mismo capital, que
permanece constante en el tiempo.
Se utiliza, normalmente, en operaciones a corto
plazo.
EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN
ANUAL
UD 5
Ejemplos de operaciones financieras a las que se
le aplica el interés simple:
-
Cuentas corrientes bancarias.
- El descuento de efectos: letras de cambio, pagarés.
En primer lugar estudiaremos interés simple para
periodos enteros anuales y posteriormente para
periodos inferiores al año.
EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN
ANUAL
UD 5
Hablamos de CAPITALIZACIÓN , cuando
partiendo de un capital inicial queremos
saber el valor de ese capital al final de un
periodo de tiempo.
Capital inicial = 1000 €
Capital final = 1040 €
EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN
ANUAL
UD 5
Hablamos de ACTUALIZACIÓN ,
cuando
partiendo de un capital FINAL queremos saber
el valor de ese capital al INICIO de un periodo
de tiempo.
Capital inicial = 1000 €
Capital final = 1040 €
EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN
ANUAL
CAPITALIZACIÓN ANUAL
UD 5
EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN
ANUAL
UD 5
El interés simple se aplica en una operación
financiera cuando para el cálculo de los intereses de
cada periodo no se tiene en cuenta nada más que el
capital inicial.
CAPITAL
I1
I2
I3
PERIODOS
I1+ I2+I3
EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN
ANUAL
UD 5
Elementos que intervienen en una operación financiera:
Co = Capital Inicial
n = Duración de la operación financiera.
i = Tipo de interés anual expresado en tanto por uno
I = Intereses de un año.
Como se calculan sobre el capital inicial, su valor será Co x i. Será igual
para todos los periodos.
IT = Intereses totales de la operación (I +I +I…)
Cn = Capital final de la operación
UD 5
Capital final o montante
Se trata de saber cuál es el valor del capital final de un
capital Co en régimen de capitalización simple
transcurridos n años, siendo el tanto anual aplicado a la
operación i.
Cn = Co + IT
IT = I + I + I +…+ I = n * I
I = Co * i
(Intereses de un periodo)
IT = Co * n *i
(Intereses totales)
UD 5
IT = Co x n x i
Si sustituimos I por su valor en Cn = Co + IT
Cn = Co + Co x n x i
Sacamos factor común Co
Cn = Co (1 + n x i)
Expresión que nos permite calcular el montante o capital final
en función del capital inicial, dados el tiempo y el tipo.
Ver caso práctico 1.
UD 5
Calculo de los intereses totales
Sabiendo que:
IT= n x I
y además que:
I = Co x i
Si sustituimos I por su valor en la primera expresión, se
obtiene:
IT = Co x n x i
Ver caso práctico 2.
UD 5
Cálculo del capital inicial
A partir de Cn = Co ( 1 + n +i), despejamos Co y obtenemos:
Co =
Cn
( 1+ n * i)
O bien, si conocemos los intereses, IT = Cn – Co, de
donde:
Co = Cn - IT
Ver caso práctico 3-4
UD 5
Realizar actividades de la 1 a la 4 de
la Página 105
Realizar actividad 5 Página 106
UD 5
Cálculo del tipo de interés
Partiendo de IT = Co * n * i, despejamos i
IT
i=
(Co * n)
Si tenemos en cuenta que IT = Cn – Co, se obtiene
Cn - Co
i=
Co * n
Ver caso práctico 5.
UD 5
Cálculo del tiempo
Partiendo de IT = Co * n * i y despejamos n, resulta:
n=
IT
Co * i
O bien
n=
Cn - Co
Co * i
Ver caso práctico 6
UD 5
Realizar actividades de la 1 a la 5.
Página 123
UD 5
CAPITALIZACIÓN NO ANUAL
UD 5
Capitalización en periodos inferiores al año
Periodos más usuales:
PERIODOS
m
Años
1
Semestres
2
Trimestre
4
Cuatrimestre
3
Meses
12
Semanas
52
Días (año civil)
365
Días (año comercial)
360
m
es el
número de veces
que un periodo
está contenido en
el año
UD 5
Capitalización en periodos inferiores al año
Al usar las fórmulas anteriores para periodos
anuales en otros no anuales, nos podemos
encontrar con dificultades:
Qué el tiempo venga expresado en unos
periodos y el interés en otros.
Por ejemplo: que el tiempo venga expresado
en semestres y el interés sea anual.
UD 5
Capitalización en periodos inferiores al año
Tenemos que homogenizar
Es decir, convertir ambos magnitudes en la
misma unidad de tiempo
Tendremos que buscar un tipo de interés
equivalente al anual y ya podemos utilizar
las fórmulas aprendidas normalmente.
UD 5
Tantos equivalentes y tantos proporcionales
Se denominan tantos equivalentes aquellos
que aplicados a un mismo capital producen
idéntico montante durante el mismo intervalo
de tiempo, aunque se refiera a diferentes
frecuencias de capitalización.
UD 5
Capitalización en periodos inferiores al año
Ejemplo:
Siendo Co = 1000 € n = 2 años i = 12% anual
¿Cn?
Cn= 1000 (1+2 x 0,12) = 1240 €
Siendo Co = 1000 € n = 2 años i = 1% mensual
¿Cn?
Convertimos el tiempo en meses: 12x2 = 24 meses
Cn= 1000 (1+24 x 0.01) = 1240 €
Relación entre el tipo de interés anual
y el de un periodo fraccionado
i = tipo de interés anual expresado en tanto por uno.
i(m) = tipo de interés equivalente de un periodo
fraccionado.
m = número de veces que está incluido el periodo de
frecuencia en el año.
(número de veces que está incluido i(m) en i )
i(2)
SEMESTRAL
i(3)
i(4)
CUATRIMESTRAL
TRIMESTRAL
Ejemplo: i =12 %
i = 0, 12
i(2) = 0,12/2 = 0,06
i(3) = 0,12/3 = 0,04
i(4) = 0,12/4 = 0,03
UD 5
UD 5
Tantos equivalentes y tantos proporcionales
Supongamos que se calcula el montante de una
cantidad Co al cabo de n periodos anuales al tanto i por
un lado
Cn = (1 +n*i)
Y el mismo montante con n.m periodos inferiores
al año al tanto i(m)
Cn = (1 + n*m*i(m))
Si los tipos usados son equivalentes, tenemos:
Co(1 +n*i) = Co (1 + n*m*i(m))
UD 5
Tantos equivalentes y tantos proporcionales
Co(1 +n*i) = Co (1 + n*m*i(m))
Simplificando:
n*i = n * m* i(m)
De donde:
i = m * i(m)
O también:
i(m) =
i
m
Son tantos equivalentes
UD 5
Tantos equivalentes y tantos proporcionales
A partir de este momento cuando surja
una operación en la que el tiempo esté
referido a fracciones del año, bastará
con dividir el tanto anual entre el
fraccionamiento m y trabajar con las
fórmulas deducidas para periodos
anuales
UD 5
Tantos equivalentes y tantos proporcionales
Actividades: 6-7-8-9-10. Página 123
UD 5
FORMAS ABREVIADAS PARA
EL CÁCULO DE LOS INTERESES
UD 5
Formas abreviadas para el calculo de los intereses
Es habitual usar fórmulas abreviadas de
cálculo de los intereses en determinadas
operaciones, puesto que facilitan el cálculo
y la comprensión de la operación financiera
que se está realizando.
UD 5
Formas abreviadas para el calculo de los intereses
Conceptos más utilizados:
El número comercial (N): es el resultado de
multiplicar el capital por el tiempo
N = Co x n
El divisor fijo (D): Es el cociente entre la constante
m y el tipo de interés
D=
m
i
UD 5
Formas abreviadas para el calculo de los intereses
Sustituyendo en la fórmula para el cálculo
de los intereses tenemos:
IT = N
D
La formula abreviada para el cálculo de los
intereses e usan sobre todo en el cálculo de
los intereses de las cuentas corrientes
bancarias y en los casos de equivalencia
financiera.
UD 5
Formas abreviadas para el calculo de los intereses
Realizar actividades:
6 de la Página 110
11-12 13 de la Página 123
UD 5
EL DESCUENTO
UD 5
Imaginen que están en una tienda de informática en
un día cualquiera de su actividad. El primer cliente
que llega a la empresa compra un ordenador pero
acuerda con nosotros no pagar al contado: firma con
nosotros una letra de cambio. El siguiente cliente
compra tres portátiles para su empresa y la forma de
pago será también a plazo a través de dos pagarés.
Esto mismo ocurre con más clientes que llegan a la
empresa durante ese día y los días siguientes. Al final
de la semana tan solo se han cobrado en efectivo
operaciones valoradas en 3 100 €, y se han aplazado
34 000 €.
UD 5
El Descuento
Lógicamente, el empresario va a tener que
hacer frente a una serie de pagos
(empleados,
gastos
de
luz,
agua,
proveedores, etc.). Para poder hacer frente a
ellos acude a una entidad financiera para que
le anticipe el dinero que él tiene que cobrar en
los respectivos vencimientos. Para ello el
empresario entrega a la entidad financiera los
efectos que tiene para que el banco se
encargue de cobrarlos y anticiparle ahora el
dinero.
UD 5
El Descuento
Por este motivo el banco cobrará unas
comisiones, gastos e intereses. A esta
operación se le denomina descuento.
Conviene destacar que las entidades
financieras aplican el descuento sobre el
nominal y no sobre el líquido, que sería la
postura más lógica matemáticamente
hablando, pero menos rentable para
estas entidades.
UD 5
El Descuento
Operación por la que una institución financiera
adelanta el importe de un efecto a cobrar en un
periodo posterior de tiempo. A cambio cobra
intereses, comisiones y gastos.
Los efectos más usuales en el descuento son letras
comerciales y pagarés, y al descuento de estos se
les denomina negociación de efectos.
Es la situación inversa a la capitalización simple:
es una operación financiera que sustituye un capital
futuro por otro con vencimiento presente.
UD 5
El Descuento
Matemáticamente
se
entiende
por
descuento simple la operación financiera
que consiste en la sustitución de un capital
futuro por otro con vencimiento presente;
esta operación, además, es la inversa a la
capitalización simple.
E = 850 €
Pagaré: 1000 €
Vencimiento. 2 años
Hoy
N =1000 €
2 años
D= 150 €
Si llamamos:
E: Efectivo o cantidad adelantada
N : Nominal o importe del cobro que se adelanta.
D: Descuento o diferencia entre el nominal y el efectivo
Entonces:
D=N-E
o
N=E+D
Si usamos la terminología de la unidad anterior:
N = Cn
E = Co
Por lo que: D = Cn - Co
UD 5
El Descuento
Hay dos formas de calcular el descuento:
Descuento comercial Dc: las más habitual
Descuento racional Dr: más lógica y menos usada
UD 5
Dc = Cn * n* i o Dc = Cn * n* i/m
Dc: Descuento comercial
Cuando el
tiempo viene
expresado en
unidades
inferiores al
años
Cn: Nominal o valor en el momento o fecha del
vencimiento del cobro.
n: Tiempo o periodo que va desde la fecha de
descuento a la fecha de vencimiento
i: Tipo aplicado a la operación o tanto de
descuento expresado en tanto por uno.
UD 5
Descuento comercial: Dc
Partimos del nominal del efecto. El nominal es la
cifra que aparece en el documento que se va a
descontar, en el pagaré. Si utilizamos la misma
terminología que en la unidad anterior:
Dc= Cn * n* i
Cn = Dc
n* i
n = Dc
Cn *i
i = Dc
Cn * n
UD 5
Descuento comercial: Dc
UD 5
Descuento comercial: Dc
Actividades: 8- 9-10- 11. Página 114
Actividades: de la 14 a la 19. Página 123-124
UD 5
CAPITALES EQUIVALENTES
UD 5
Capitales equivalentes
El valor de un capital depende del momento en que
se valore;
Si lo estimamos en el momento actual, recibe el
nombre de valor actual
Si lo consideramos al final de la operación, se
le denomina valor final.
Capital
Tiempo
Co
C1
C2
C3
C4
C5
0
1
2
3
4
5
Un mismo capital Co valorado en el momento 0 tiene diferente
valor que en el momento 1, y así sucesivamente
UD 5
Capitales equivalentes
Los capitales, que tienen diferente valor numérico, y
sin embargo son el mismo en distintos momentos
del tiempo.
Esta equivalencia recibe el nombre de equivalencia
financiera, es decir, desde el punto de vista
financiero estamos hablando del mismo capital
Ejemplo: desde un punto de vista financiero, 500 €
de hoy son los mismo que 510 € dentro de un año,
si esos 10 € de diferencia son los intereses.
UD 5
Suponiendo un capital de 1.000 € a un 10%
anual y representando el tiempo en años:
Cn = Co (1+ n * i)
C1 = 1000 (1+ 1 * 0,1) = 1100
C2 = 1000 (1+ 2 *0,1) = 1200
C3 = 1000 (1+ 3 *0,1) = 1300
C4 = 1000 (1+ 4 *0,1) = 1400
C5 = 1000 (1+ 5 *0,1) = 1500
Capital
1000
0
Tiempo
1100
1
1200
1300
1400
2
3
4
UD 5
Capitales equivalentes
Cuando los valores actuales de uno o varios
capitales son iguales a los valores actuales de otro
u otros capitales, son entonces equivalentes
financieramente.
En el ejemplo, un capital de 1.400 € dentro de
cuatro años es equivalente a uno de 1.000 € en el
momento actual,
En la práctica comercial, la equivalencia de
capitales se utiliza frecuentemente pero no se
sigue la regla del interés simple, sino del
descuento comercial
UD 5
Co = Cn (1- n x i)
C1 =
C2 =
1000 = 1111,1
(1- 1 x 0.1)
1000
= 1250
(1- 2 x 0.1)
C3 =
1000 = 1428,57
(1- 3 x 0.1)
C4 =
1000 = 1666,6
(1- 4 x 0.1)
Cn =
Co
(1- n x i)
En
la
equivalencia
financiera, es costumbre
comercial la utilización
de
la
regla
del
descuento comercial, en
operaciones inferiores
al año
UD 5
Caso práctico 14. Un deudor nos propone que
adelantemos el cobro de 3450 € que teníamos
pendiente con él por otro financieramente
equivalente. Al no haber inconveniente alguno,
accedemos aceptando su oferta de aplicar un tipo
del 8% anual. Haz los cálculos oportunos sabiendo
que el vencimiento del efecto sería dentro de dos
meses
Cn = 3450
n = 2 meses
i = 0.08
Co = Cn (1- n x i)
Cn = 3450 ( 1 – 2 x 0,08 ) = 3404
12
Co = ?
UD 5
Caso práctico 15. Halla el capital equivalente en el
momento actual a otro de 45.000 € que vence
dentro de 120 días, Tipo aplicado 9% anual.
Cn = 45000
n = 120
i = 0.09
Co = Cn (1- n x i)
Cn = 45000 ( 1 – 120 x 0,09 ) = 43.668,49
365
43.668,49
0
45.000
120
Co = ?
UD 5
Capitales equivalentes
Vamos a suponer ahora que tenemos varios capitales
con vencimiento futuro, por ejemplo:
C1 = 1000 €,
C2 = 3000 €,
C3 = 2000 €,
Con vencimiento a:
n1 = 30 días,
n2 = 60 días,
n3 = 90 días,
Y queremos sustituirlo por uno único que venza
dentro de 45 días y al que se le aplique un tipo del
7 % anual
UD 5
Capitales equivalentes
Si llamamos C1, C2 y C3 al valor de dichos capitales
en el momento actual y C0 al valor actual del capital
Cn que queremos calcular, entonces ha de ocurrir que:
C0 = C1 + C2 + C3
Recordemos que para el calculo del valor actual en
función del descuento comercial se aplica la fórmula:
Co = Cn (1- n *i)
Capitales equivalentes
UD 5
Si añadimos los valores que corresponden según la
primera expresión, resulta:
Cn (1- n *i) = C1 (1- n1 *i) + C2 (1- n2 *i) + C3 (1- n3 *i)
Si vamos agrupando la expresión para poder resolver el
problema anterior, tenemos:
Cn (1- n *i) = C1 - C1* n1 *i + C2 – C2 * n2 *i + C3 – C3* n3 *i
Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)
UD 5
Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)
Con los datos numéricos:
Cn ( 1 – 45 x 0,07 ) = 1000 – 1000 x 30 x 0,07 +
365
365
+ 3000 – 3000 * 60 * 0,07 + 2000 – 2000 * 90 * 0,07
365
365
Cn 0,99136986 = 994,46 + 2965,54 + 1965,47
Cn = 994,46 + 2965,54 + 1965,47
0,99136986
=
UD 5
Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)
Cn = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)
1–n*i
Si se desea calcular n:
Vencimiento común
n = Cn – (C1 + C2 + C3) + i( C1 * n1 + C2 * n2 + C3 * n3)
i * Cn
Vencimiento medio
n = C1 * n1 + C2 * n2 + C3 * n3
Cn
UD 5
Caso práctico nº 16
Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)
30- sep
1200
1000
31-oct
30-nov
?
31-dic
Dos capitales de 1200 y 1000 € con vencimiento respectivamente
los días 31 de octubre y 30 de noviembre han de ser sustituidos
por uno único con vencimiento el 31 de diciembre.
¿Cuál será el importe del capital que los sustituye, si el tipo es del
10% y la operación se acuerda el día 30 de septiembre?
UD 5
Tres capitales de 1.000, 3.000 y 2.000 € con
vencimiento a los 30, 60 y 90 días respectivamente,
queremos sustituirlos por un único capital que venza
dentro de 45 días y aplicándole a dicha operación el
7% anual. ¿Cuál será dicha cuantía?
Cj
nj
Cj*nj
1000
30
30000
3000
60
180000
2000
90
180000
6000
390000
Y sustituimos.
UD 5
Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)
6000 – 0,07 * 390000
365
Cn =
1 – 45 * 0,07
365
Cn = 5976,79
= 5976,79
UD 5
Realizar caso práctico 17. Página117
Calcula el vencimiento común de dos capitales de 15.000 y 35.000
€ con vencimiento respectivamente los días 15 de marzo y 17 de
abril, sabiendo que han de ser sustituidos por uno único de 49.700
€, que el tipo aplicado a la operación es del 6% anual y que la
misma se realiza el día 15 de enero.
n=
Cn – (C1 + C2 + C3) + i( C1 * n1 + C2 * n2 + C3 * n3)
i * Cn
Ci
15.000
35.000
30.000
Ni
Ci* ni
59
92
885.000
3.220.000
4.105.000
UD 5
Cuando en el vencimiento común se da la circunstancia
de que la suma de los capitales a sustituir es igual al
capital que los sustituye, entonces se habla de
vencimiento medio.
Realizar caso práctico 18. Página 118
UD 5
Realizar caso práctico 18. Página 118
UD 5
UD 5
20. Al disponer de un efectivo de 4 460 €, queremos
saber si se puede adelantar el pago que tenemos que
realizar de un efecto de 4 520 € que vence el día 7 de
abril. Se sabe que la operación se realiza el 4 de enero
y que se aplica un tipo del 6 % anual.
Cn = 4 520 €
n = 4 de enero al 7 de abril = 93 días
i = 0,06
Co = ?
Co = Cn (1 – n · i)
Como Co = 4 450,90 € < 4 460 €, sí, se puede pagar el efecto
adelantándolo al 4 de enero.
UD 5
21. La empresa MU, S.A., que nos debe pagar tres letras los
últimos días de abril, mayo y junio, y cuyo importe, igual para
cada letra, asciende a 1 000 €, desea sustituirlas por un único
pago de 2 987,89 €. Si el tipo de que se aplica a la operación es
de un 4 % y la fecha en que se formaliza la operación es el 15 de
marzo, ¿en qué fecha se deberá de hacer el cobro?
C1 = 1 000 €
C2 = 1 000 €
C3 = 1 000 €
Cn = 2 987,89 €
n1 = 15 de marzo a 30 de abril = 46 días
n2 = 15 de marzo a 31 de mayo = 77 días
n3 = 15 de marzo a 30 de junio = 107 días
i = 0,04 anual
n=?
UD 5
22. ¿Cuál fue el vencimiento medio de tres capitales de
100 000 € con vencimiento a los 30, 60 y 90 días si se
aplica un tipo del 9 % anual?
C1 = 100 000 €
C2 = 100 000 €
C3 = 100 000 €
Cn = C1 + C2 + C3 = 300 000 €
n1 = 30 días
n2 = 60 días
n3 = 90 días
n=?
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Actividades: 12- 13-14. Página 118
Actividades: de la 20 a la 23. Página 124
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UD 5