Transcript Prúdenie ideálnej kvapaliny Hanka Ostrihoňová Obsah • Základné pojmy hydrodynamiky • Rovnica spojitosti = Zákon zachovania hmotnosti • Tlaková energia • Bernoulliho rovnica = Zákon zachovania.

Prúdenie ideálnej kvapaliny
Hanka Ostrihoňová
Obsah
• Základné pojmy hydrodynamiky
• Rovnica spojitosti = Zákon zachovania hmotnosti
• Tlaková energia
• Bernoulliho rovnica = Zákon zachovania energie
• Použitie Bernoulliho rovnice
• Voda a plyn sa privádzajú do domácností a závodov
potrubím.
• Ropovodmi a plynovodmi sa dopravujú do našej
republiky ropa a plyn.
• Olej potrebný na mazanie súčastí strojov a dopravných
prostriedkov sa rozvádza tlakovým potrubím.
• Tepny a žily v ľudskom tele sú sústavou potrubí, ktorá
zabezpečuje krvný obeh.
Preto poznanie zákonov prúdenia má veľký význam.
• Aby sme získali istú predstavu o pohybe častíc kvapaliny, pridáme do
prúdiacej kvapaliny ľahký prášok. Z väčšej vzdialenosti nerozoznáme
jednotlivé zrnká prášku a vidíme celé krivky utvorené pohybujúcimi
sa zrnkami prášku
• Keď voda prúdi rovnomerne, po istom čase sa rozloženie kriviek
ustáli. Jednotlivé zrnká sú ľahké, preto prúdia v tom istom mieste
rovnakou rýchlosťou ako častice kvapaliny. Krivky utvorené
unášaným práškom sú obrazom trajektórie častíc kvapaliny. Častice
sa pohybujú istou rýchlosťou, ich smer je určený dotyčnicou v
danom mieste trajektórie.
• Keď je rýchlosť prúdiacej kvapaliny v danom mieste stála (s časom
•
nemenná), nazýva sa takéto prúdenie ustálené (stacionárne).
V opačnom prípade sa prúdenie nazýva neustálené (nestacionárne).
• Prúdnica je taká myslená čiara, ktorej dotyčnica zostrojená v
ľubovoľnom bode určuje smer rýchlosti pohybujúcej sa častice
kvapaliny. Každým bodom kvapaliny prechádza práve jedna
prúdnica. Prúdnice sa nemôžu pretínať.
• Predstavme si vnútri prúdiacej kvapaliny uzavretú krivku, ktorej
každým bodom prechádza prúdnica. Všetky tieto prúdnice tvoria
plochu, ktorá sa nazýva prúdová trubica. Kvapalinu ohraničenú touto
trubicou nazývame prúdové vlákno.
Rovnica spojitosti (kontinuity)
• Uvažujeme o ustálenom prúdení kvapaliny v prúdovej
trubici s prierezom S.
• Keď je rýchlosť kvapaliny v, za 1 sekundu pretečie
prierezom S objem kvapaliny S.v . Keď je hustota
kvapaliny ρ, hmotnosť kvapaliny, ktorá za 1 sekundu
pretečie týmto prierezom (hmotnostný tok), je
Qm = S . v . ρ
• Keďže kvapalina nemôže stenami trubice ani vytiecť, ani
pritiecť, musí byť hmotnostný tok v ľubovoľnom priereze
trubice stály, čiže
S . v . ρ = konšt.
• Táto rovnica sa nazýva rovnica spojitosti alebo kontinuity a je
vyjadrením zákona zachovania hmotnosti pre ustálené prúdenie
kvapaliny.
• Rovnica spojitosti v uvedenom tvare platí aj pre plyny, teda pre
všetky tekutiny.
• Keď uvažujeme o prúdení nestlačiteľnej kvapaliny, tak pri stálej
teplote je stála hustota, a preto môžeme rovnicu spojitosti písať aj
v tvare
S . v = konšt.
S1 . v1 = S2 . v2
Tlaková energia
• Voda pod tlakom môže konať
prácu, má energiu, ktorú
nazývame tlaková energia.
Keď sa piest pôsobením
tlakovej sily kvapaliny
F = p . S posunie o dĺžku x,
vykoná prácu
W=F.Δx=
= p.S.Δ x =
= p.ΔV
• Vykonaná práca je určená súčinom tlaku a zmeny objemu kvapaliny
v tlakovej trubici. Z uvedeného vzťahu pre tlak kvapaliny vyplýva
p=W:ΔV
platí
[p] = 1 Pa = J . m-3
• Číselná hodnota tlaku kvapaliny určuje číselnú hodnotu tlakovej
energie kvapaliny pripadajúcu na jednotkový objem.
Bernoulliho rovnica a hydrodynamický paradox
• Vodorovnou trubicou s rôznymi prierezmi,
na ktorej sú manometrické trubice,
necháme prúdiť vodu.
• Výška vody v manometrickej trubici
udáva tlak prúdiacej kvapaliny v
danom mieste.
Zistíme, že najväčší tlak je v tej časti
trubice, ktorá má najväčší prierez, a
preto podľa rovnice spojitosti voda v
nej prúdi najmenšou rýchlosťou.
V miestach, kde je prierez najmenší a
rýchlosť prúdenia najväčšia, zistíme
najmenší tlak.
Celková energia prúdiacej
kvapaliny daná súčtom tlakovej
a kinetickej energie je vo
všetkých miestach ( potrubia )
stála.
• Pre miesta s rozličnými prierezmi vodorovnej trubice teda platí
• Bernoulliho rovnica vyjadruje zákon zachovania
mechanickej energie prúdiacej ideálnej kvapaliny
vo vodorovnej trubici. Pre plyny je táto rovnica
zložitejšia, pretože zmenou tlaku mení sa aj
hustota plynov.
Použitie Bernoulliho rovnice
• Znalosť Bernoulliho rovnice umožňuje merať veľkosť rýchlosti
prúdiacej kvapaliny.
• Napríklad prvá manometrická trubica registruje hodnotu tlaku v
prúdiacej kvapaline. V druhej manometrickej trubici, ktorá má otvor
obrátený proti prúdu kvapaliny, klesne rýchlosť prúdenia na nulu, a
preto meraný tlak udáva celkovú mechanickú energiu kvapaliny v
jednotkovom objeme v trubici
• Odtiaľ pre veľkosť rýchlosti dostaneme (p1 < p2)
• Podobný vzťah odvodíme pre veľkosť rýchlosti kvapaliny vytekajúcej
malým otvorom, ktorý je v stene nádoby v hĺbke h pod voľným
povrchom kvapaliny.
Pre hladinu kvapalín v hĺbke h platí
• Po dosadení do Bernoulliho rovnice dostaneme
• A pre veľkosť výtokovej rýchlosti platí
• Rýchlosť vytekajúcej kvapaliny má práve takú veľkosť, akú by získali častice
kvapaliny pri voľnom páde z výšky h.
• Pomocou Bernoulliho rovnice môžeme vysvetliť i činnosť rozprašovača.
Princíp rozprašovača je základom činnosti sprejov, karburátorov a pod.
Zdroje
1.J. Vachek a kol. : Fyzika pre 1. ročník
gymnázií, SPN, Bratislava, 2001