Transcript 11.- Hallar los elementos invertibles de Z6, Z7 y Z8. •Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} En Z6 un elemento.

11.- Hallar los elementos invertibles de Z6, Z7 y Z8.
•Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
En Z6 un elemento es invertible si es
coprimo con 6, es decir, si no es divisible ni
por 2 ni por 3
Vamos a marcar los divisibles por 2
Ahora marcamos los divisibles por 3
Los que quedan son los invertibles.
Los elementos invertibles de Z6 son 1 y 5
11.- Hallar los elementos invertibles de Z6, Z7 y Z8.
•Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
Como 7 primo, todos los elementos no
nulos en Z7 son invertibles.
11.- Hallar los elementos invertibles de Z6, Z7 y Z8.
•Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
En Z8 un elemento es invertible si es
coprimo con 8, es decir, si no es divisible
por 2.
Veamos los divisibles por 2
Los que quedan son los invertibles.
Los elementos invertibles de Z8 son 1, 3, 5 y 7
12.- Hallar los inversos de Z6, Z7 y Z8.
• 6 en Z11:
Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido:

11=6·1+5
6 = 5·1 +1
yendo al revés
1 = 6 - 5·1 = 6 - (11-6·1) = 6·2 - 11
1 = 6·2 mod 11
(6)-1 = 2 en Z11
12.- Hallar los inversos de Z6, Z7 y Z8.
• 6 en Z17:
Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido:

17 = 6·2+5
6 = 5·1 +1
yendo al revés
1 = 6 - 5·1 = 6 - (17 - 6·2) = 6·3 - 17
1 = 6·3 mod 17
(6)-1 = 3 en Z17
12.- Hallar los inversos de Z6, Z7 y Z8.
• 3 en Z10:
Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido:
10=3·3+1
entonces
1 = 10 - 3·3
1 = -3·3 mod 10
(3)-1 = -3 = 7 en Z10
12.- Hallar los inversos de Z6, Z7 y Z8.
• 5 en Z12:
Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido:

12 = 5 ·2+2
5 = 2 ·2 +1
yendo al revés
1 = 5 - 2·2 = 5 - (12 - 5·2)2 = 5.5 - 12·2
1 = 5·5 mod 12
(5)-1 = 5 en Z12
12.- Hallar los inversos de Z6, Z7 y Z8.
• 7 en Z16:
Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido:

16 = 7·2+2
7 = 2·3 +1
yendo al revés
1 = 7 - 2·3 = 7 - (16 - 7·2) ·3 = 7·7 - 16·3
1 = 7·7 mod 16
(7)-1 = 7 en Z16
13.- Probar que 3 | (n3- n) para todo n.
• Si n es múltiplo de 3
3| n2
3| n2(n-1)
• Si n no es múltiplo de 3
(3) = 2
n2=1 mod 3
n3=n mod 3
14.- Demostrar que el cuadrado de todo número entero es de la
forma 4k o 4k + 1.
Tenemos dos opciones:
•n es par:
n = 2m  n2 = 4m2 =4k con k=m2
• n es impar:
n = 2m +1
n2 = 4m2+1+4m = 4(m2+m)+1 = 4k+1, con k= (m2+m)
15.- Si a no es múltiplo de 2 ni de 3, entonces 24
divide a a2- 1.
Como 24=8·3,
veamos primero que 3 | a2-1 y después que 8 | a2-1
• (3) = 2 y mcd(a,3) =1  a2 = 1 mod 3  3 | a2 -1
• a = 2k-1  a-1=2k , a+1 = 2(k+1)
a2-1 = (a+1)(a-1) = 4k(k+1)
Y como 2| k(k+1), entonces 8 | a2-1
16.- Si 5 no divide a n, entonces 5 divide a n8-1
(5) = 4 y n invertible en Z5, entonces
n8 = n4.2 = 12 = 1 mod 5
n8-1=0 mod 5  5 divide a n8-1
17.- Demostrar que todo número primo p mayor que 3 se
puede escribir en la forma 6n + 1 ó 6n + 5.
Hay que demostrar que p = 1 mod 6 ó p = 5 mod 6
Como p no es ni 2 ni 3, p es coprimo con 3·2 = 6
p es invertible en Z6
Los únicos invertibles en Z6 son 1 y 5
p = 1 mod 6 ó p = 5 mod 6
18.- Si p es un primo distinto de 2 y 5, entonces p2-1 o
p2+1 ha de ser divisible por 10.
p es primo , p≠2,
p impar
p2 + 1 es par y p2-1 es par
Falta ver que 5 divide a p2 + 1 ó p2 - 1
(5) = 4 , p≠5
p4-1 = 0 mod 5  5| (p2-1)(p2+1) 
5| (p2-1) ó 5 | (p2+1)
18.- Si p es un primo distinto de 2 y 5, entonces p2-1 o p2+1 ha
de ser divisible por 10.
Otra manera de hacer el ejercicio:
Como p≠2 y p≠5 , tenemos que mcd(p,10)=1.
Así, p es invertible en Z10 .
Invertibles en Z10 = {1,3,7,9}
p=1 o p=3 o p=7 o p=9 (mod 10)
p2=1 o p2=9=-1 o p2=49=-1 o p2=81=1 (mod 10)
19.- ¿Existe algún múltiplo de 28 cuyas dos últimas cifras
sean 16 ?
Hay que buscar a, b tal que: 28a = 16+ 100b, a,b0,
Por el algoritmo de Euclides Extendido, obtenemos:
mcd(100,28) = 4 ,
28a - 100b = 16
7a - 25b = 4
7(-7) - 25(-2)=1
7(-28) - 25(-8)=4
Solución general : b = -8+7k; a = -28+25k , k en Z,
tal que
-100 (-8+7k) + 28 (-28+25k) =16
19.- ¿Existe algún múltiplo de 28 cuyas dos últimas cifras
sean 16 ?
Entonces,
Buscamos que -8+7k sea mayor o igual que 0
-8+7k  0  k  2
Así, por ejemplo, si k=2,
28 (-28+25·2 ) = 28·22 = 616
20.- Calcular el resto de la división de 24k entre 5, k >0.
(5) = 4 y mcd (2,5)=1
24=1 mod 5
24k = 1k = 1 mod 5
Con lo cual, el resto será 1.