ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

• Дифференциальным уравнением (ДУ) называется дифференциалы.

уравнение, содержащее производные от искомой функции или её

F



x

,

y

,

y

 ,

y

 ,...,

y

  0 или

F

 

x

,

y

,

dy dx

,

d

2

y

,...,

dx

2

d n y dx n

   0

Примеры ДУ: 6

y

 

xy

 0

y

  4

x x dy

 2

y dx y

  2

x y

  0

y

 

xe y x dy



y

ln

x dx

• Наивысший входящей порядком ДУ.

в порядок уравнение, производной, называется • Решением ДУ подстановка которой в уравнение обращает его в тождество.

называется такая функция,

Пример 1 .

Показать, что данная функция

y



C

1 sin

x



C

2 cos

x

,

C

1 ,

C

2 

R

является решением ДУ

d

2

y



dx

2

y

 0

Решение:

y

 

C

1 cos

x



C

2 sin

x y

  

C

1 sin

x



C

2 cos

x

Подставим: 

C

1 sin

x



C

2 cos

x



C

1 sin

x



C

2 cos

x

 0 0  0 Т.о. функции вида и С 2 :

C

1  1

u y C

2 

C

1 sin

x



C

2 cos

x

являются решениями данного ДУ при любом выборе постоянных С 0 :

y

 sin

x

1

C

1  0

u C

2  2 :

y

 2 cos

x C

1  3

u C

2   1 :

y

 3 sin

x

 cos

x

Дифференциальные уравнения I порядка

• ДУ I порядка имеет вид

y

 

f

(

x

,

y

) или

F



x

,

dy



f y

,

y

(

x

,    0

y

)

dx

• Общим решением ДУ I порядка называется функция

y

  (

x

,

C

) , которая зависит от одного произвольного постоянного С.

или  (

x

,

y

,

C

)  0 (неявный вид)

• Частным решением ДУ I порядка называется любая функция

y

полученная из общего решения 

y

  (

x

 ,

C

( 0

x

, )

C

при конкретном значении постоянной С=С ) 0 .

или  (

x

,

y

,

C

0 )  0 (неявный вид)

Пример 2.

ДУ:

y

  3

x

2

y



x

3 

C

-общее решение

y

  

x

3 

C

   3

x

2

C

 2 :

y



x

3  2

C

  1 :

y



x

3  1

C

 0 :

y



x

3

y

  

x

3  2    3

x

2

y

  

x

3  1    3

x

2

y

      3

x

2

Геометрически:

• • Общее решение ДУ

y

  (

x

,

C

) есть семейство интегральных кривых на плоскости Оху; Частное решение ДУ

y

  (

x

,

C

) -одна 0 этого семейства, проходящая через точку (

x

0 кривая ,

y

0 )

у y

  3

x

2

y



x

3 

C

-общее решение

y



x

3  1 -частное решение (

х 0 , у 0

)

х

• Условие, что при

х

=

х

0 функция быть равна заданному числу

у

0 начальным условием .

у

должна называется

y

(

x

0 ) 

y

0 или

y x



x

0 

y

0 • Задача отыскания конкретного частного решения данного ДУ по начальным данным называется задачей Коши (Cauchy).

Пример 3.

Решить задачу Коши:

y

 

e

 3

x

,

y

( 0 )  2 3 Решение:

y

  1 3

e

 3

x



C

-общее решение Подставим в общее решение начальные условия:

у

2 3   1 3

e

 3  0 

C

0 ; 2 3

х

2 3   1 3 

C y

( 0 )  2 3

C

 2 3  1 3  1

y

  1 3

e

 3

x

 1 -частное решение

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

• Если в уравнении

y

 

f

(

x

,

y

) функция

f

(

x,y

) и её частная производная некоторой области D, содержащей точку (

х

0 ;

у

0 ), то существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

y

(

x

0 ) 

y

0

f



y

(

x

;

y

) непрерывны

y

  (

x

) в

1. ДУ I порядка с разделёнными переменными.

• Если каждая часть ДУ представляет собой произведение некоторого выражения, зависящего от одной переменной, на дифференциал этой переменной, то говорят, что переменные в этом уравнении разделены .

M

(

x

)

dx



N

(

y

)

dy

 0 В этом случае проинтегрировать: уравнение достаточно 

M

(

x

)

dx

 

N

(

y

)

dy



C

Пример 4.

Решить ДУ:

x dx



y dy

 0 Решение:

y dy

 

x dx

общее решение: или

у y

2  

x

2 

C y

2 

x

2 

C



y dy

  

x dx y

2 2  

x

2 2 

C y

2  

x

2  2

C

С  2

0

С

х

Геометрически: получили семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С.

Пример 5.

Решение:

y dy



x dx



y dy

 

x dx y

2 2 

x

2 2 

C y

2 

x

2  2

C

С  2 Решить ДУ:

x dx



y dy

 0 С=-2

у 0

С=3 С=1 С=-2

х

С=3 С=1 общее решение: или

y

2 

x

2 

C y

2 

x

2 

C

2. ДУ I порядка с разделяющимися переменными.

• Уравнения, в которых переменные разделяются, называются ДУ с разделяющимися переменными .

M

1 (

x

)

N

1 (

y

)

dx



M

2 (

x

)

N

2 (

y

)

dy

 0 где

M

1 (

x

),

M

2 (

x

),

N

1 (

y

),

N

2 (

y

) некоторые функции.

M

1 (

x

)

N

1 (

y

)

dx



M

2 (

x

)

N

2 (

y

)

dy

 0

M N

1 1

   

1

   

2

y dx



M N

1 2

   

2

   

2

y dy

 0 :

N

1 (

y

)

M

2 (

x

)  0

M

1 (

x

)

M

2 (

x

)

dx



N

2 (

y

)

dy N

1 (

y

)  0 интегрируем: 

M

1 (

x

)

M

2 (

x

)

dx

 

N

2 (

y

)

dy N

1 (

y

) 

C

Замечание: • При проведении почленного деления ДУ на

N

1 (

y

)

M

2 (

x

) могут быть потеряны некоторые решения.

Поэтому следует отдельно решить уравнение

N

1 (

y

)

M

2 (

x

)  0 и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения особые решения.

Пример 6.

Найти общее и частное решение ДУ:

x dy



y dx

,

y

( 5 )  10 Решение:

x dy



y dx

1) Найдём общее решение ДУ:  1

xy

ln ln

y

 ln

x



C y

 ln

x

 ln

C dy y



dx x

ln

y

 ln

xC y



Cx



dy y

 

dx x y

 

Cx

⇒

y



Cx

Итак, общее решение ДУ:

y



Cx

2) Найдём частное решение ДУ, если

y

( 5 )  10 Подставим эти начальные условия в общее решение ДУ и найдем С: 10  5 

C C

 2 ⇒

y

 2

x

- частное решение ДУ.

Ответ: общее решение

y



Cx

частное решение

y

 2

x

Геометрически: общее решение

y



Cx

частное решение

y

 2

x у

у = 2х

(5;10)

х

Пример 7.

Найти общее решение ДУ:  1 

x



y dx

  1 

y



x dy

 0 Решение:  1 

x



y dx

  1 

y



x dy

 0  1 

y



x dy

   1 

x



y dx

 1

xy

1 

y y dy

  1 

x x dx

  1

y

 1  

dy

   1

x

1

dx

⇒    1

y

 1  

dy

ln

y



y

  ln

x



x



C

ln

y

 ln

x



y



x



C

   1

x

1

dx

ln

xy



y



x



C

или ln

xy



y



x



C

Ответ.

Общее решение: ln

xy



y



x



C

Нахождение особого решения: Здесь уравнение Его решения ни при

N

1 (

х

=0, каких

y

)

M

( 2

у

=0

x

)  0 имеет вид

ху

=0 являются решениями данного ДУ, но не получаются из общего решения значениях произвольной постоянной.

Значит, решения

х

= 0,

у

= 0 являются особыми.

Пример 8.

2

x

Найти общее решение ДУ: sin

y dx

 

x

2  3  cos

y dy

 0 Решение: 2

x

sin

y dx

 

x

2  3  cos

y dy

 0 

x

2  3  cos

y dy

  2

x

sin

y dx

 

x

2  1 3  sin

y

cos

y dy

sin

y

 

x

2 2

x

 3

dx

 cos

y

sin

y dy

  

x

2 2

x

 3

dx

ln sin

y

  ln

x

2  3 

C

ln sin

y

  ln

x

2  3  ln

C

ln sin

y

 ln

x

2

C

 3 sin

y



x

2

C

 3 ⇒ sin

y

 

x

2

C

 3 или sin

y



x

2

C

 3

y

 arcsin

x

2

C

 3

Геометрически:

у

С=3 С=1 С=5 С=-2 С=-5

х

общее решение

y

 arcsin

x

2

C

 3

Пример 9.

 1 Решить задачу Коши: 

e

2

x



y

2

y

 

e x

,

y

( 0 )  1 Решение: 1) Найдём общее решение ДУ:  1 

e

2

x



y

2

dy



e x dx

 1 

e

2

x



y

2

dy dx



e x

 1  1

e

2

x y

2

dy



e x

1 

e

2

x dx



y

2

dy

  1 

e x e

2

x dx y

3  arctan

e x



C

3  3

y

3  arctan

e x

 3

C

С или

y

3  arctan

e x



C

Итак, общее решение ДУ:

y

3  arctan

e x



C

2) Найдём частное решение ДУ, если

y

( 0 )  1 Подставим эти начальные условия в общее решение

y

3  arctan

e x



C

и найдем С: 1  3 arctan

e

0 

C

1  3 arctan 1  1  3   4 

C C

частное решение ДУ:

y

3  3 arctan

e x

 1  3  4

y

3  3 arctan

e x

 1  3  4 или

y

 3 3 arctan

e x

 1  3  4

Геометрически:

y

 3 3 arctan

e x

 1  3  4 С=0

C

 1  3  4

у

С=5 (0;1) С=-3

х

С=-6 общее решение частное решение

y

3  arctan

e x



C y

 3 3 arctan

e x

 1  3  4

Пример 10.

Решить задачу Коши:

dy dx

 2 (

y

 3 ),

y

( 0 )  4 Решение: 1) Найдём общее решение ДУ:

dy

 2 (

y

 3 )

dx



y

1  3

y dy

 3  2

dx

ln 

dy y

 3   2

dx y

 3  2

x



C

ln

y

 3  ln

e

2

x

 ln

C

ln

y

 3  ln

C



e

2

x y

 3  

C



e

2

x y

 3 

C



e

2

x

⇒

y

 3 

C



e

2

x

Итак, общее решение ДУ:

y

 3 

C



e

2

x

2) Найдём частное решение ДУ, если

y

( 0 )  4 Подставим эти начальные условия в общее решение

y

 3 

C



e

2

x

и найдем С: 4  3 

C



e

0 4  3 

C C

 1 Тогда, частное решение ДУ:

y

 3 

e

2

x

Геометрически: общее решение частное решение

y

 3 

C



e

2

x y

 3 

e

2

x

С=9

у y

 3 

e

2

x

С=1 (0;4) С=-5

х

С=-1