Transcript ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕН И МЕТАЛУРГИЧЕН УНИВЕРСИТЕТ Катедра “Приложна механика” ТЕХНИЧЕСКА МЕХАНИКА Въпрос №14 Геометрични характеристики на равнинни фигури доц.

ХИМИКОТЕХНОЛОГИЧЕН И МЕТАЛУРГИЧЕН УНИВЕРСИТЕТ
Катедра “Приложна механика”
ТЕХНИЧЕСКА МЕХАНИКА
Въпрос №14 Геометрични характеристики
на равнинни фигури
доц. Веселин Димитров Илиев
ПЛОЩ
на напречното сечение на
гредата
Увод
Площта на първата колона е А1.
При натискова сила Р се получава
напрежение
1 
P
,
A1
P
А1
деформация
1 
1
E1
,
lo
и скъсяване
l1  1 l0
Както беше показано в предишна тема,
напреженията и деформацията при
опън и натиск зависят от площта на
напречното сечение на пръта (гредата,
колоната).
Нека да разгледаме тези две колони с
еднаква
дължина
lo,
различно
напречно сечение А, изработени от
един и същ материал с модул на
еластичност Е и натоварени със сили с
еднаква големина Р.
В заключение може да се каже, че
геометричната характеристика с която
се работи при опън и натиск е площта
на
напречното
сечение
на
разглеждания елемент.
Площта на втората колона е А2,
като А2 > А1.
При натискова сила Р се получава
напрежение
P
, като  2  1
2 
A2
деформация
2 
 l2
 2 , като   
2
1
E2
и скъсяване
l2   2 l0, като l2  l1
lo
P
A2
 l1
ПЛОЩ на напречното сечение на гредата
при огъване
Увод
ПЛОЩ на напречното сечение на гредата
при огъване
Съпротивата на гредата при огъване зависи
от площта на напречното сечение
Увод
ПЛОЩ на напречното сечение на гредата
при огъване
Увод
ПЛОЩ на напречното сечение на гредата
при огъване
Площта на напречното сечение на гредата не
е единствената геометрична характеристика,
която определя съпротивата на гредата при
огъване.
Важно значение има и формата на
напречното сечение.
Увод
Увод
В предишни теми бяха използвани някои
известни геометрични характеристики,
като лице на фигура (А)
И център на
тежестта С
Увод
Лице на фигура (А)
Център на
тежестта С
Лицето на напречното сечение на гредата
беше използвано вече във формулата

P
A
за определяне на напреженията при чист
опън или натиск.
В тази тема ще бъдат въведени други, посложни
геометрични
характеристики,
които участват във формулите за
определяне на напреженията при посложните въздействия върху гредата
(усукване и огъване).
Статичен момент
За определяне на центъра на тежестта, в тема
№4 бяхa изведени следните уравнения:
 Z dA
 X dA
xc  A
zc  A
A
A
S x   Z dA
S z   X dA
A
A
Изразът  X dA се дефинира като
Изразът  Z dA се дефинира като
статичен момент Sz
статичен момент Sx
на фигурата спрямо оста z.
на фигурата спрямо оста x.
A
A
Статичен момент
С изразите за статичен момент, уравненията за
определяне на центъра на тежестта добиват
следния вид:
 XSdA
z
x

A
xc c
 ZSdA
x
z

A
zc c
AA
AA
S xx   Z dA
SSzz   X dA
A
A
Изразът  X dA се дефинира като
Изразът  Z dA се дефинира като
статичен момент Sz
статичен момент Sx
на фигурата спрямо оста z.
на фигурата спрямо оста x.
A
A
Статичен момент
С изразите за статичен момент, уравненията за
определяне на центъра на тежестта добиват
следния вид:
S
xc  z
A
S
AA
zzcc  S xx
От където за статичния момент се получава:
Sx 
Статичен момент
С изразите за статичен момент, уравненията за
определяне на центъра на тежестта добиват
следния вид:
SS
xcc  zz
A
A
S
zc  x
A
От където за статичния момент се получава:
S x  A zc
Sz 
Статичен момент
За оси, минаващи през центъра на
тежестта, статичният момент винаги е
нула, тъй като координатите x и z са
нули:
S x1  A z1c
 A.0  0
S z1  A x1c
 A.0  0
Тези оси се наричат ЦЕНТРАЛНИ ОСИ.
x1
В техническата механика се работи само с
централни оси.
S x  A zc
z1
S z  A xc
Статичен момент
Мярката на статичния момент е:
2 zm
3 m
S
A
c
mx
S z  A xc
Инерционен момент
Статичните моменти са моменти от първи ред,
тъй като променливата под интеграла е от
първа степен.
y
S y   Z dA
S z   Y dA
A
z
2
Изразът  Z dA се дефинира като
A
Може да се дефинират и моминти от втори ред,
при които променливата под интеграла е от
втора степен.
A
инерционен момент Iy
на фигурата спрямо оста y.
Изразът  Z dA се дефинира като
A
инерционен момент Iz
на фигурата спрямо оста z.
Iy
2
Iz
2
Iy и Iz са осови инерционни моменти. Тъй
като при тях променливата е на втора степен,
те видаги са положителни.
Центробежен момент
y
y(+)
y(-)
z(-)
z(-)
yz(-)
yz(+)
y(+)
y(-)
z(+)
z(+)
yz(+)
Освен Iy и Iz, може да се дефинира и друг осов
момент от втори род:
I yz   YZ dA
A
Този момент се нарича центробежен момент Iyz.
yz(-)
z
За разлика от Iy и Iz, центробежния момент може
да бъде и отрицателен,
тъй като интегрирането се извършва както в
области където променливите имат еднакви знаци
(произведението YZ е положително),
така и в области, където променливите имат
различни
знаци
(произведението
YZ
е
отрецателно)
Центробежен момент
y
y(+)
y(-)
z(-)
z(-)
yz(-)
yz(+)
-
+
Когато осите са ориентирани така,
че положителните площи
y(+)
y(-)
и отрицателните площи
z(+)
+
z(+)
-
са равни,
yz(+)
yz(-)
тези оси се наричат ГЛАВНИ.
z
В техническата механика се работи само с
ГЛАВНИ ИНЕРЦИОННИ ОСИ.
Определяне на осов инерционен момент на правоъгълна фигура
Задача:
Дадено е правоъгълно напречно сечение на
греда с основа b и височина h.
Търси се осовият инерционен момент спрямо
централната ос, успоредна на основата.
Решение:
Сечението, центъра на тежестта и главните
инерционни оси са показани на схемата. Вижда се, че
търсеният момент е Iy.
С две линии, успоредни на основата и отстоящи на
разстояние z от оста у, да отделим елементарната прощ, с
която ще дефинираме осовия момент.
I y   z 2 dA
A
Определяне на осов инерционен момент на правоъгълна фигура
От фигурата се вижда, че dA = bbdz,
dz
което ни позволява да сменим променливата на интеграла:
I y   z 2 dA
A
Определяне на осов инерционен момент на правоъгълна фигура
IIyy   bz22dz
dz
A
Смяната на променливата налага и смяна на
границите:
h/2
-h/2
Горната граница за z е h/2.
Долната граница за z е –h/2.
Определяне на осов инерционен момент на правоъгълна фигура
Iy 
hh
22
2
b
z
dz


hh
22
Основата b е еднаква по височина на сечението (не зависи
от z) и може да бъде извадена пред интеграла:
b
След решаването на интеграла се получава:
h
2
3

z
I y  b  z 2 dz   b  I
 3 
h



2
h
2
h

2
Определяне на осов инерционен момент на правоъгълна фигура
След решаването на интеграла се получава,
h
2
3

z
I y  b  z 2 dz   b  I
 3 
h



2
h
2
h

2
и след замедтване на границите:
3
 z
b
 3

I


h
2
h

2

 
 h 3 
h 3
3
3
 2    2  bh3  bh3  bh bh

 

 b

 b




24 24
24  24 
3 
 3  

 

3
Краен резултат:
bh
Iy 
12
bh3

12